Файл: Садовский М.В. Квантовая теория поля. Часть 2.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 402

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

169

¨á. 6-9

ãà ¢­¥­¨© ¤¢¨¦¥­¨ï á E = 0 (¯®áª®«ìªã E = 0 ¢ ­ ç «ì­®¬ á®áâ®ï­¨¨ x = a).®®â¢¥âá⢥­­® (á¬. (6.110)):

ddtx = p2V ; (6.118) ¨ à¥è¥­¨¥ í⮣® ãà ¢­¥­¨ï ¨¬¥¥â ¢¨¤:

 

t = t1 + Z0x dx0

p

1

 

 

(6.119)

 

2V

 

 

£¤¥

t1 { ª®­áâ ­â ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï (¢à¥¬ï, ¯à¨ ª®â®à®¬

x = 0).

â® à¥è¥-

­¨¥,

®ç¥¢¨¤­®, ¨¬¥¥â ¢¨¤, ¯®ª § ­­ë© ­ ¨á.6-9. ª®¥

à¥è¥­¨¥

­ §ë¢ ¥âáï

¨­áâ ­â®­®¬7, 業âà¨à®¢ ­­ë¬ ¢ â®çª¥ t1 . ¥àª «ì­® ᨬ¬¥âà¨ç­®¥ à¥è¥­¨¥ ¬®¦­® ­ §¢ âì ­â¨¨­áâ ­â®­®¬. ¦­® ¯®¤ç¥àª­ãâì, çâ® ¨­áâ ­â®­ ®¡« ¤ ¥â ª®- ­¥ç­ë¬ ¤¥©á⢨¥¬:

T=2 1

dx

 

2

T=2

dx

 

2

a

 

 

 

 

 

 

 

= Z;a dxp2V

 

S0 = Z;T=2 dt "2

dt

 

+ V # = Z;T=2 dt dt

 

(6.120)

£¤¥ ¨á¯®«ì§®¢ «¨ (6.118). ਠ¡®«ìè¨å t ¨¬¥¥¬ x ! a, â ª çâ® (6.118) ¬®¦­® ¯- ¯à®ªá¨¬¨à®¢ âì ª ª:

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

=

p

!2

(x ; a)2

= !(a ; x)

(6.121)

 

dt

â ª çâ® ¯à¨ ¡®«ìè¨å t:

 

 

 

 

 

 

 

(a ; x) e;!t

(6.122)

{ ¨­áâ ­â®­ \«®ª «¨§®¢ ­ ¢® ¢à¥¬¥­¨" (­ ¢à¥¬¥­ å !1 ), çâ® ¨ ¯®ïá­ï¥â ¯à®¨áå®- ¦¤¥­¨¥ ­ §¢ ­¨ï.

б­®, зв® ¯а¨ ¡®«ми¨е T ­¥ в®«мª® ¨­бв ­в®­ ¨ ­в¨¨­бв ­в®­ п¢«повбп а¥- и¥­¨п¬¨ га ¢­¥­¨© ¤¢¨¦¥­¨п, ­® ¯а¨¡«¨¦¥­­л¬¨ а¥и¥­¨п¬¨ п¢«повбп в ª¦¥ ¨

楯®çª¨ ¨§ å®à®è® à §¤¥«¥­­ëå ¨­áâ ­â®­®¢ ¨

­â¨¨áâ ­â®­®¢. ਬ¥à â ª®© ª®­-

䨣ãà 樨 ¯®ª § ­ ­ ¨á.6-10, £¤¥ ¨¬¥¥âáï n ®¡ê¥ªâ®¢ (¨­áâ ­â®­®¢ ¨«¨

­â¨¨­-

áâ ­â®­®¢), 業âà¨à®¢ ­­ëå ¢ â®çª å t1; :::; tn:

 

 

T

T

 

2 > t1 > t2 > ::: > tn > ; 2

(6.123)

®®â¢¥âá⢥­­®, ¢ ¨­â¥£à «¥ ¯® âà ¥ªâ®à¨ï¬ ­¥®¡å®¤¨¬® ¯à®á㬬¨à®¢ âì ¢ª« ¤ë ®â ¢á¥å â ª¨å ª®­ä¨£ãà 権.

7 நá宦¤¥­¨¥ í⮣® ­ §¢ ­¨ï á¢ï§ ­® á ®ç¥¢¨¤­®© ­ «®£¨¥© á ᮫¨â®­®¬, ­® ¯®¤ç¥àª¨¢ ¥â, çâ® à¥çì ¨¤¥â ® à¥è¥­¨¨ ¥¢ª«¨¤®¢ëå ãà ¢­¥­¨© ¤¢¨¦¥­¨ï.

170

 

¨á. 6-10

¥à¥©¤¥¬ ª áç¥âã! «ï n å®à®è® ®â¤¥«¥­­ëå ®¡ê¥ªâ®¢, ®ç¥¢¨¤­®, ¨¬¥¥¬ ¢ª« ¤ ¢ ¤¥©á⢨¥ S = nS0, çâ® ¤ ¥â ¢ ä㭪樮­ «ì­®¬ ¨­â¥£à «¥ ¢ª« ¤ exp(;nS0).¥â¥à¬¨­ ­â á®áç¨â âì á«®¦­¥¥. áᬮâਬ ®¯¥à â®à ¢à¥¬¥­­®© í¢®«î樨 e;HT ª ª ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ ®¯¥à â®à®¢, á¢ï§ ­­ëå á í¢®«î樥© ¬¥¦¤ã â®çª ¬¨, £¤¥ 業âà¨- ஢ ­ë ¨­áâ ­â®­ë ¨ ­â¨¨­áâ ­â®­ë. ᫨ ¡ë ¨å ­¥ ¡ë«®, â® ­ ¢á¥© ¢à¥¬¥­­®© ®á¨ ¬ë ¨¬¥«¨ ¡ë V 00 = !2 ¨ ¯®«ã稫¨ ¡ë â®â ¦¥ १ã«ìâ â, çâ® ¨ ¢ëè¥, ¤«ï ®¤­®ï¬­®£® ¯®â¥­æ¨ « (6.113):

!

 

1=2

 

 

 

 

 

 

e;!T=2

(6.124)

~

 

­â¥à¢ «ë, ­ ª®â®àëå à ᯮ«®¦¥­ë ¨­áâ ­â®­ë ¨

­â¨¨­áâ ­â®­ë ¢­®áïâ ¯®-

¯à ¢ªã, ª®â®àãî § ¯¨è¥¬ ª ª:

 

 

 

 

 

 

 

!

 

1=2

 

 

 

 

 

 

 

e;!T=2Kn

(6.125)

~

 

 

£¤¥ K ®¯à¥¤¥«¨¬ ¨§ ãá«®¢¨ï, ç⮡ë íâ

ä®à¬ã« ¤ ¢ « ¯à ¢¨«ì­ë© ®â¢¥â ¤«ï

á«ãç ï ®¤­®£® ¨­áâ ­â®­ . ®§¦¥ ¬ë ­ ©¤¥¬ ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ®¥ ¢ëà ¦¥­¨¥.¯®ª § ¬¥â¨¬, ¤«ï ãç¥â ¢á¥å ¢®§¬®¦­ëå ¢ª« ¤®¢ ¢ ¨­â¥£à « ¯® âà ¥ªâ®à¨ï¬ ­ã¦­® ¯à®¨­â¥£à¨à®¢ âì ¯® ¯à®¨§¢®«ì­ë¬ ¯®«®¦¥­¨ï¬ 業â஢:

T=2

t1

tn;1

Tn

 

dt1

dt2:::

dtn =

n!

(6.126)

Z;T=2

Z;T=2

Z;T=2

 

 

㦭® ¥é¥ ãç¥áâì, çâ® ã ­ á ­¥â ¯®«­®© ᢮¡®¤ë ¤«ï à ááâ ­®¢ª¨ ¨­áâ ­â®­®¢ ¨ ­â¨¨­áâ ­â®­®¢. ¯à¨¬¥à, ¥á«¨ ¬ë áâ àâ㥬 á ;a, ¯¥à¢ë© ®¡ê¥ªâ, ª®â®àë© ¬®¦¥â ¯®¢áâà¥ç âìáï, ¤®«¦¥­ ¡ëâì ¨­áâ ­â®­®¬, á«¥¤ãî騩 { ­â¨¨­áâ ­â®­®¬ ¨ â.¤. ᫨ ¯à¨ í⮬ ¬ë ¢®§¢à é ¥¬áï ¢ ;a, â® n ¤®«¦­® ¡ëâì ç¥â­ë¬, ­ ®¡®à®â, ¥á«¨ ¬ë å®â¨¬ ¯¥à¥©â¨ ¢ +a, n ¤®«¦­® ¡ëâì ­¥ç¥â­ë¬. ª¨¬ ®¡à §®¬ ¯®«ãç ¥¬:

~

 

 

!

 

1=2

X

 

(Ke;S0=~T )n

 

< ;aje;HT=

j ; a >=

 

e;!T=2

n

 

[1 + O(~)]; (6.127)

~

n!

 

 

¥â­ë¥

 

⮣¤ ª ª < aje;HT=~j;a > ¤ ¥âáï â ª¨¬ ¦¥ ¢ëà ¦¥­¨¥¬, ­® á á㬬®© ¯® ­¥ç¥â­ë¬ n. ã¬¬ë ¢¯®«­¥ âਢ¨ «ì­ë ¨ ¬ë ¯®«ãç ¥¬:

~

!

 

1=2 1

~

~

 

< aje;HT=

j ; a >=

 

 

 

[exp(Ke;S0=

T ) exp(;Ke;S0=

T )] (6.128)

~

2

 

171

ᯮ¬¨­ ï (6.99)

< xf je;HT=~jxi >=

X

e;EnT=~ < xf jn >< njxi >;

(6.129)

 

n

 

 

¯®­¨¬ ¥¬, çâ® ¤¢ ­ ¨­¨§è¨å ã஢­ï á¨áâ¥¬ë ®¡« ¤ îâ í­¥à£¨ï¬¨:

E =

1

~! ~Ke;S0

=

~

(6.130)

2

 

᫨ ®¡®§­ ç¨âì ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 á®áâ®ï­¨ï j+ > ¨ j; >, ¢¨¤¨¬, çâ®:

j < +j a > j

2

= j < ;j a > j

2

=< aj; >< ;j;a >= ; < aj+ >< +j;a >=

1

 

!

;1=2

 

 

2

~

 

 

 

 

 

 

 

(6.131)

â® å®à®è® ¨§¢¥áâ­ë¥ १ã«ìâ âë ª¢ ­â®¢®© ¬¥å ­¨ª¨ [29]: ¯à®¨á室¨â à á饯«¥- ­¨¥ ã஢­ï ¢ ¤¢ãåêשּׂ®¬ ¯®â¥­æ¨ «¥ § áç¥â âã­­¥«¨à®¢ ­¨ï (á­ï⨥ ¢ë஦¤¥­¨ï ¬¥¦¤ã ã஢­ï¬¨ ¢ ¤¢ãå ¬¨­¨¬ã¬ å). §­®áâì í­¥à£¨© ¯à¨ í⮬ e;S0=~. ¨¦­¥¥ á®áâ®ï­¨¥ j; > { ç¥â­ ï ª®¬¡¨­ æ¨ï ¢®«­®¢ëå ä㭪権, ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ç áâ¨æ¥, «®ª «¨§®¢ ­­®© ¢ ª ¦¤®© ¨§ אַª (¯¥à¢®¥ ¢®§¡ã¦¤¥­­®¥ á®áâ®ï­¨¥ j; > { ­¥ç¥â­ ï ª®¬¡¨­ æ¨ï).

¥¯¥àì § ©¬¥¬áï à áç¥â®¬ ä ªâ®à K. «ï í⮣® ­ã¦­® ¨§ãç¨âì ᢮©á⢠à¥- 襭¨© ãà ¢­¥­¨ï (6.105):

;

d2xn

+ V 00(x)xn = nxn

(6.132)

dt2

£¤¥ x ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ®¤­®¨­áâ ­â®­­®¥ à¥è¥­¨¥. ®áª®«ìªã ¨¬¥¥âáï ¨­¢ à¨- ­â­®áâì ®â­®á¨â¥«ì­® ᤢ¨£ ¯® ¢à¥¬¥­¨ (業âà ¨­áâ ­â®­ ¬®¦¥â ¡ëâì à ᯮ«®- ¦¥­ ¢ ¯à®¨§¢®«ì­®© â®çª¥ ­ ®á¨ ¢à¥¬¥­¨), íâ® ãà ¢­¥­¨¥ ®¡ï§ ⥫쭮 ®¡« ¤ ¥â ᮡá⢥­­®© ä㭪樥© á ᮡá⢥­­ë¬ §­ 祭¨¥¬ à ¢­ë¬ ­ã«î (­ã«¥¢ ï âà ­á«ï- 樮­­ ï ¬®¤ ). ¢­ë© ¢¨¤ í⮩ ä㭪樨:

x1

;1=2 dx

(6.133)

= S0

dt

®à¬¨à®¢®ç­ë© ä ªâ®à §¤¥áì ¢®§­¨ª ¥â ¨§ (6.120):

Z

dx

2

 

dt dt

= S0

(6.134)

áãé¥á⢮¢ ­¨¨ ­ã«¥¢®© ¬®¤ë «¥£ª® ã¡¥¤¨âìáï á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬. ­áâ ­â®­ x(t) 㤮¢«¥â¢®- àï¥â ãà ¢­¥­¨î (6.104)

 

d2x

+ V 0(x) = 0

 

 

; dt2

 

(6.135)

® x(t + T ), £¤¥ T ¯à®¨§¢®«ì­®, ¥áâì á­®¢ à¥è¥­¨¥ í⮣® ãà ¢­¥­¨ï:

 

 

d2x(t + T )

+ V 0(x(t + T )) = 0

(6.136)

 

 

 

; dt2

 

 

 

 

¨ää¥à¥­æ¨àãï íâ® ãà ¢­¥­¨¥ ¯® T , ¯®«ãç ¥¬

 

 

d2x1

+ V 00(x)x1 = 0

 

 

; dt2

(6.137)

çâ® ¨ ¤®ª §ë¢ ¥â ­ è¥ ã⢥ত¥­¨¥ ®â­®á¨â¥«ì­® (6.133).

172

ãé¥á⢮¢ ­¨¥ ­ã«¥¢®© ¬®¤ë á 1 = 0, ª § «®áì ¡ë, ¯à¨¢®¤¨â ª ¯à®¡«¥¬¥. ᫨ ¬ë ¡ã¤¥¬ áç¨â âì £ ãáᮢ ¨­â¥£à « ¢¡«¨§¨ íªáâ६ «ì­®© âà ¥ªâ®à¨¨ (¨­áâ ­â®­ ) â ª, ª ª íâ® ®¯¨á ­® ¢ á¢ï§¨ á (6.101), (6.103) ¨ (6.109), â® ¯à¨ ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¨ ¯® c1 ¬ë ¯®«ã稬 à á室¨¬®áâì! ªâ¨ç¥áª¨, ®¤­ ª®, ¬ë 㦥 ¯à®¤¥« «¨ ᮮ⢥â- áâ¢ãî饥 ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¥, ª®£¤ ¨­â¥£à¨à®¢ «¨ ¯® 業âà ¬ ¨­áâ ­â®­®¢ ( ­â¨¨­- áâ ­â®­®¢) ¢ (6.126). á ¬®¬ ¤¥«¥, ¨§¬¥­¥­¨¥ x(t) ¯à¨ ­¥¡®«ì讬 ᤢ¨£¥ 業âà ¨­áâ ­â®­ t1 à ¢­®:

dx

dt1

 

dx = dt

(6.138)

⮦¥ ¢à¥¬ï, ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ¨§¬¥­¥­¨¥ § áç¥â ¨§¬¥­¥­¨ï ª®íää¨æ¨¥­â à §-

«®¦¥­¨ï c1 ¢ (6.101) ¥áâì:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx = x1dc1

 

(6.139)

 

 

 

 

dx

 

dt1 = p

 

x1dt1, ¨ áà ¢­¨¢ ï íâ® á (6.139), ¯®«ãç ¥¬

®£¤ , § ¯¨áë¢ ï ¢ (6.138)

 

 

S0

; dt

 

dc1 = p

 

dt1, ¨«¨:

 

 

 

 

 

 

S0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2 ~);1=2dc1 =

S0

1=2

 

 

 

 

dt1

(6.140)

 

 

 

2 ~

£¤¥ ~ ¢¢¥¤¥­ ¤«ï ®¡¥§à §¬¥à¨¢ ­¨ï ­®à¬¨à®¢®ç­®£® ¬­®¦¨â¥«ï. ®í⮬㠯ਠ¢ëç¨á«¥­¨¨ ¤¥â¥à¬¨­ ­â , á¢ï§ ­­®£® á £ ãáᮢ᪨¬ ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¥¬, ¢ ¢ëà ¦¥- ­¨¨ ⨯ (6.109) ­¥ ­ã¦­® ¢ª«îç âì ­ã«¥¢®¥ ᮡá⢥­­®¥ §­ 祭¨¥, ­® § â® ­ã¦­®

¢ª«îç¨âì ¢ K ¬­®¦¨â¥«ì ; S0 1=2. ®í⮬ã, ®¤­®¨­áâ ­â®­­ë© ¢ª« ¤ ¢ ¬ âà¨ç­ë©

2 ~

í«¥¬¥­â ¯¥à¥å®¤ ¤ ¥âáï ¢ëà ¦¥­¨¥¬:

 

1=2

 

 

~

 

S0

~

 

< aje;HT=

j ; a >1inst= NT

 

 

e;S0=

[Det0(;@t2 + V 00(x))];1=2 (6.141)

2 ~

£¤¥ èâà¨å ­ ¤ §­ ª®¬ ¤¥â¥à¬¨­ ­â ®§­ ç ¥â, çâ® ¯à¨ ¢ëç¨á«¥­¨¨ í⮣® ¤¥â¥à¬¨- ­ ­â ®¯ã᪠¥âáï ­ã«¥¢®¥ ᮡá⢥­­®¥ §­ 祭¨¥. à ¢­¨¢ ï (6.141) á ®¤­®¨­áâ ­- â®­­ë¬ ¢ª« ¤®¬ ¢ (6.127),­ 室¨¬:

 

 

1=2

 

Det(;@t2 + !2)

1=2

 

K =

 

S0

 

 

 

(6.142)

2 ~

 

Det0(;@t2 + V 00(x))

 

 

 

â® § ¢¥àè ¥â ­ è à áç¥â!

 

 

 

 

¤¥« ¥¬ ­¥ª®â®àë¥ § ¬¥ç ­¨ï ¯® ¯®¢®¤ã ¯à®¤¥« ­­ëå ¢ëç¨á«¥­¨©:

 

1.®¦­® ã¡¥¤¨âìáï, çâ® ¯®«ã祭­ë¥ १ã«ìâ âë ᮢ¯ ¤ îâ á® áâ ­¤ àâ­ë¬¨ ¢ë¢®¤ ¬¨ ª¢ ­â®¢®© ¬¥å ­¨ª¨ [29].

2.ë ¯®« £ «¨, çâ® ¢á¥ n > 0 (ªà®¬¥ 1 = 0). â® ¤¥©á⢨⥫쭮 â ª, ¯®- ᪮«ìªã ­ ¨­¨§è¥¥ á®áâ®ï­¨¥ x1, ª ª «¥£ª® ¢¨¤¥âì ¨§ ¥£® ®£® ¢¨¤ , ­¥ ¨¬¥¥â ­ã«¥©, ª ª ¨ ¤®«¦­® ¡ëâì ã ®¤­®¬¥à­®£® ãà ¢­¥­¨ï ।¨­£¥à . â®

ïá­® ¨§ ⮣®, çâ® à áᬮâ७­ë© ¨­áâ ­â®­ ï¥âáï ¬®­®â®­­® ¢®§à áâ î饩

( ­â¨¨­áâ ­â®­ { ã¡ë¢ î饩) ä㭪樥© t, ⮣¤ ¥£® ¯à®¨§¢®¤­ ï x1 ddtx ­¥ ¨¬¥¥â ­ã«¥©.

3.®íää¨æ¨¥­â K ¯à®¯®à樮­ «¥­ ~;1=2, çâ® á¢ï§ ­® á ¢ª« ¤®¬ ­ã«¥¢®© ¬®¤ë.

â®, ­ á ¬®¬ ¤¥«¥, ®¡é¥¥ ¯à ¢¨«® { ª ¦¤ ï ­ã«¥¢ ï ¬®¤ ( ¨å ¬®¦¥â ¡ëâì ¨ ­¥áª®«ìª®!) ¤ ¥â ¬­®¦¨â¥«ì ~;1=2.

Смотрите также файлы