Файл: В. В. Тюрнев теория цепей свч красноярск 2006.pdf

133
По формулам (6.72)
−(6.73) вычисляем приближенные значения Z
e
и Z
o
. Эти значения вводим в программу Microstrips. Выполнив в ней синтез, находим приближенные размеры проводников, а главное
− приближенные значения ε
e
и
ε
o
. Затем приближенные значения
ε
e
и
ε
o
подставляем в уравнения (6.85),
(6.72)
−(6.74) и находим уточненные значения Z
e
, Z
o
,
ε
2
. Значения Z
e
и Z
o
сно- ва вводим в программу Microstrips. Находим уточненные размеры проводни- ков и уточненные значения
ε
e
и
ε
o
. Последние две операции следует повто- рять до тех пор, пока все электрические параметры не перестанут изменяться.
В данном случае потребуется всего три итерации. В итоге находим
ε
2
= 7.441,
ε
e
= 8.101,
ε
o
= 6.395, Z
e
= 30.94 Ом, Z
o
= 21.07 Ом. Этим электрическим пара- метрам и параметру
θ
2
отвечают размеры W
21
= 2.816 мм, S
21
= 0.322 мм и
l
21
= 6.381 мм.
Аналогичным образом вычисляем параметры остальной пары связан- ных проводников. Получаем: J
23
= 2.758
⋅10
−3
Ом
−1
,
ε
2
= 7.458,
ε
e
= 8.132,
ε
o
= 6.528, Z
e
= 29.56 Ом, Z
o
= 22.06 Ом. Этим электрическим параметрам отве- чают размеры W
22
= 2.906 мм, S
22
= 0.545 мм и l
22
= 6.374 мм.
Остается теперь вычислить длину
Δl, на которую следует укоротить крайние участки всех резонаторов для учета влияния концевых емкостей C
k
Подставляя в (6.23) отвечающие ширине W
2
значения Z
2
и
ε′
2
, находим длину
Δl = 0.506 мм.
Контрольные вопросы
38. Как изменятся резонансные частоты регулярного микрополоскового резонатора при увеличении ширины его полоскового проводника по всей длине?
39. Назовите две причины, которые приводят к нарушению эквидис- тантности спектра частот регулярного микрополоскового резонатора.
40. Как можно подстраивать (повышать и понижать) первую резонанс- ную частоту микрополоскового резонатора одним уменьшением ширины по- лоскового проводника на некоторых его участках?
41. При какой относительной длине внутреннего высокоомного участка нерегулярный полуволновый микрополосковый резонатор имеет минималь- ную электрическую длину?

134 42. При какой относительной длине внутреннего высокоомного участка нерегулярного полуволнового микрополоскового резонатора вторая резо- нансная частота максимально удалена от первой?
43. Как ведут себя реактансы резонаторов последовательного и парал- лельного типов вблизи резонансной частоты?
44. Зависят ли затухание, потери на отражение и сдвиг фазы во взаим- ных и в симметричных фильтрах СВЧ от направления падающей волны?
45. Является ли инвертор сопротивления взаимным и симметричным четырехполюсником?
46. Как нормируют параметры фильтра-прототипа нижних частот?
47. Почему полосковые проводники резонаторов при прямом синтезе микрополосковых фильтров обычно имеют скачок ширины?
48. Какие препятствия стоят на пути разработки прямого метода пара- метрического синтеза микрополосковых фильтров с удлиненными связями, в том числе и фильтров решетчатого типа?

135
7. КОЭФФИЦИЕНТЫ СВЯЗИ
7.1. Коэффициент связи резонаторов СВЧ
Выше мы рассмотрели прямой метод синтеза фильтров СВЧ, в котором используются эквивалентные схемы с инверторами сопротивлений (см. рис.
6.18 и рис. 6.19). Согласно этому методу фильтр СВЧ будет иметь требуемую
АЧХ вблизи полосы пропускания, если все резонаторы фильтра (с учетом их связей) будут настроены на центральную частоту полосы пропускания, а зна- чения инверторов сопротивлений будут удовлетворять формулам (6.48).
Однако такой прямой метод синтеза фильтров СВЧ допускает и другую формулировку. Начнем с того, что формулы (6.48) перепишем в виде
,
,
,
,
,
1 1
2 1
,
1 1
1 1
,
1 0
1 1
2 01 1
1 2
1
,
1 1
1 1
,
1 0
1 1
2 01
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Ω
=
Ω
=
Ω
=
Ω
=
Ω
=
Ω
=
n
n
n
B
n
n
i
i
i
i
i
i
A
n
n
n
B
n
n
i
i
i
i
i
i
A
g
g
w
b
G
J
g
g
w
b
b
J
g
g
w
b
G
J
g
g
w
x
R
K
g
g
w
x
x
K
g
g
w
x
R
K
(7.1)
Установим физический смысл величин, расположенных в левых частях уравнений в формуле (7.1). Инвертор сопротивления K
01
, согласно схеме на рис. 6.18, является нагрузкой для последовательного резонатора x
1
. Входное сопротивление инвертора со стороны резонатора равно отношению K
2 01
/R
A
Эта величина является сопротивлением нагрузки резонатора. Поэтому, со- гласно формуле (3.14), отношение K
2 01
/(R
A
x
1
) есть обратная величина внеш- ней добротности последовательного резонатора, то есть
1 1
2 01
)
(
−
=
A
A
Q
x
R
K
. (7.2)
Аналогичным образом получаем
1 2
1
,
)
(
−
+
=
B
n
B
n
n
Q
x
R
K
. (7.3)
Для схемы фильтра СВЧ с параллельными резонаторами (рис. 6.19), используя формулу (3.15), находим
1 2
1
,
1 1
2 01
)
(
,
)
(
−
+
−
=
=
B
n
B
n
n
A
A
Q
b
G
J
Q
b
G
J
. (7.4)

136
Рассмотрим теперь положительную величину
|k
i
L
, i
+1
|
1 1
,
+
+
=
i
i
i
i
x
x
K
. (
7.5
)
Выясним ее физический смысл. Для этого обратимся к схеме фильтра с по- следовательными резонаторами, изображенной на рис. 6.18. Вычислим |k
i
L
, i
+1
| для частного случая, когда резонаторы СВЧ являются последовательными контурами с параметрами C
i
и L
i
, настроенными на частоту
i
i
C
L
1 0
=
ω
, а инверторы сопротивлений выполнены из индуктивностей по Т-схеме (см. рис. 6.11) с параметрами K
i
, i+1
=
ω
0
|L
i
m
, i
+1
|. Здесь пара вертикальных скобок, обозначающая абсолютную величину, говорит о том, что L
i
m
, i
+1
может прини- мать отрицательные значения. Фрагмент схемы фильтра для такого частного случая приведен на рис. 7.1.
Фрагмент схемы на рис. 7.1 содержит два резонатора x
i
и x
i
+1
, соеди- ненные инвертором сопротивления K
i
, i+1
. Очевидно, что он эквивалентен двум колебательным контурам, охваченным индуктивной связью. Их схема изображена на рис. 7.2.
x
i
x
i +1
K
i,i+1
C
i +1
L
i +1
C
i
L
i
−L
i
m
, i + 1
L
i
m
, i + 1
−L
i
m
, i + 1
Рис. 7.1. Фрагмент схемы фильтра с последовательными контурами и инверторами сопротивлений, выполненными из индуктивностей
C
i+1
L
i +1
C
i
L
i
L
i
m
, i + 1
Рис. 7.2. Последовательные контуры с внутренней индуктивной связью

137
C
i
m
, i + 1
b
i
C
i
L
i
b
i +1
C
i +1
L
i +1
J
i, i+1
−C
i
m
, i+ 1
−C
i
m
, i+1
Рис. 7.3. Фрагмент схемы фильтра с параллельными контурами и инверторами проводимостей, выполненными из емкостей
Согласно формуле (6.46) параметры крутизны реактивных сопротивле- ний последовательных контуров x
i
=
ω
0
L
i
. Подставляя это выражение в (7.5) и учитывая, что K
i
, i+1
=
ω
0
|L
i
m
, i
+1
|, получаем
1 1
,
1
,
+
+
+
=
i
i
m
i
i
L
i
i
L
L
L
k
. (
7.6
)
Выражение, стоящее в правой части равенства (7.6), хорошо известно в теории связанных контуров. Оно задает значение коэффициента связи конту- ров с внутренней индуктивной связью (рис. 7.2) на их общей резонансной частоте
ω
0
. Поэтому величину k
i
L
, i
+1
, определяемую формулой (7.5) для фильтра с последовательными резонаторами, будем называть коэффици- ентом индуктивной связи i-го и i
+1-го резонатора.
Рассмотрим, наконец, положительную величину
1 1
,
1
,
+
+
+
=
i
i
i
i
C
i
i
b
b
J
k
. (
7.7
)
Для выяснения ее физического смысла обратимся к схеме фильтра с парал- лельными резонаторами, изображенной на рис. 6.19.
Вычислим |k
i
С
, i
+1
| для частного случая, когда резонаторы СВЧ являются параллельными контурами с параметрами C
i
и L
i
, настроенными на частоту
i
i
C
L
1 0
=
ω
, а инверторы проводимостей выполнены из емкостей по
П-схеме с параметрами J
i
, i+1
=
ω
0
|C
i
m
, i
+1
|. Фрагмент схемы фильтра для такого частного случая приведен на рис. 7.3.
Согласно формуле (6.46) параметры крутизны реактивных проводимо- стей параллельных колебательных контуров b
i
=
ω
0
C
i
. Отсюда находим, что

138
величина |k
i
С
, i
+1
|, определяемая формулой (7.7), принимает значение
|k
i
С
, i
+1
|
1 1
,
+
+
=
i
i
m
i
i
C
C
C
. (
7.8
)
Фрагмент схемы фильтра на рис. 7.3 эквивалентен двум связанным парал- лельным колебательным контурам с параметрами C
i
′
+1
= C
i
+1
−C
i
m
, i + 1 и
C
i
′ = C
i
−C
i
m
, i + 1
, представленным на рис. 7.4.
C
i
m
, i+ 1
L
i
C
i
′
L
i +1
C
i
′
+1
Рис. 7.4. Параллельные контуры с внешней емкостной связью
Выразим емкости в формуле (7.8) через параметры эквивалентных кон- туров
)
(
)
(
1
,
1 1
,
1
,
1
,
m
i
i
i
m
i
i
i
m
i
i
C
i
i
C
C
C
C
C
k
+
+
+
+
+
+
′
+
′
=
. (
7.9
)
Выражение, расположенное в правой части равенства (7.9), хорошо известно в теории связанных контуров. Оно называется коэффициентом связи колеба- тельных контуров с внешней емкостной связью (рис. 7.4). Поэтому величину
k
i
C
, i
+1
, определяемую формулой (7.8) для фильтра с параллельными резонато- рами, будем называть коэффициентом емкостной связи i-го и i
+1-го резонаторов.
Теперь любую из двух строк группы формул (7.1) можно записать од- ной общей строкой формул
1 1
1 1
1 1
,
1 0
1 1
,
,
+
−
+
+
−
Ω
=
Ω
=
Ω
=
n
n
B
i
i
i
i
A
g
g
w
Q
g
g
w
k
g
g
w
Q
, (

139
k
i
, i
+1
и внешние добротности Q
A
и Q
B
его резонаторов СВЧ будут удовлетво- рять формулам (7.10). При этом, естественно, резонансные частоты всех ре- зонаторов должны быть настроены на центральную частоту требуемой поло- сы пропускания.
7.2. Структура связей резонаторов в фильтре СВЧ
Исследование зависимостей, выражаемых формулами (7.10), (6.32) и
(6.33), позволяет выявить следующие закономерности в характере связей ре- зонаторов в фильтре СВЧ.
1. Коэффициенты связи резонаторов k
i
, i
+1
, а также коэффициенты 1/Q
A
и 1/Q
B
, характеризующие связь оконечных резонаторов с внешним трактом
СВЧ, прямо пропорциональны ширине полосы пропускания, независимо от того, по какому уровню затухания она измеряется.
2. Коэффициенты связи резонаторов k
i
, i
+1
, а также коэффициенты 1/Q
A
и 1/Q
B
симметричны относительно центрального резонатора или централь- ной пары резонаторов даже в несимметричном фильтре (трансформаторе).
3. Наибольшим по абсолютной величине из всех коэффициентов связи
k
i
, i
+1
является коэффициент k
1,2
, характеризующий взаимодействие крайней пары смежных резонаторов.
4. Абсолютная величина коэффициента связи k
1,2
растет при увеличе- нии числа резонаторов n. Причем рост тем больше, чем меньше неравномер- ности затухания
ΔL в полосе пропускания.
5. Абсолютная величина коэффициента связи k
i
, i
+1
других пар резона- торов убывает при переходе от одной пары резонаторов к соседней паре, расположенной ближе к центру фильтра.
6. Для уменьшения неравномерности затухания
ΔL в полосе пропуска- ния требуется в большей степени увеличить коэффициенты 1/Q
A
и 1/Q
B
, характеризующие величину связи оконечных резонаторов с внешним трак- том СВЧ, и в меньшей степени увеличить коэффициент k
1,2
, характеризую- щий взаимодействие крайней пары смежных резонаторов; остальные коэф- фициенты связи не требуют существенной корректировки.
7. В случае, когда требуется увеличить число резонаторов n в фильтре, то в первом приближении достаточно просто продублировать центральный резонатор, сохраняя величину его связей с ближайшим окружением.

140
7.3. Формула сложения коэффициентов индуктивной
и емкостной связи
Формулы (7.10) получены нами для двух частных случаев. В одном случае между резонаторами СВЧ существует только индуктивная связь, ко- эффициент k
i
L
, i
+1
которой определяется формулой (7.5). В другом случае меж- ду резонаторами СВЧ существует только емкостная связь, коэффициент k
i
C
, i
+1
которой определяется формулой (7.7). Однако индуктивная и емкостная свя- зи между резонаторами СВЧ могут существовать и одновременно. Такую связь называют ко мбинированной . Ее можно характеризовать своим ко- эффициентом k
i
, i
+1
, который будем называть ко эффициентом связи. Его величину определим так, чтобы формулы (7.10) оставались справедливыми после замены индуктивной или емкостной связи на комбинированную связь.
Получим формулу для расчета коэффициента связи k
i
, i
+1
для случая комбинированной связи по известным значениям коэффициента индуктивной связи k
i
L
, i
+1
и коэффициента емкостной связи k
i
C
, i
+1
. Для этого рассмотрим уе- диненную пару связанных резонаторов. Для краткости индексы i и i
+1 будем опускать. Тогда индексы L и C у коэффициентов связи можно писать как нижние индексы.
Как уже отмечалось, относительная ширина полосы пропускания фильтра w пропорциональна коэффициентам связи резонаторов. Ширина w, в свою очередь, пропорциональна расщеплению резонансных частот связан- ных колебаний уединенных резонаторов
ω
+
и
ω
−
(
ω
+
>
ω
−
). Поэтому между коэффициентом связи k и отношением частот
ω
+
/
ω
−
должна существовать однозначная зависимость, не зависящая от типа резонаторов.
C
2
L
2
C
1
L
1
L
m
Рис. 7.5. Колебательные контуры с индуктивной связью
Для нахождения этой зависимости рассмотрим связанные колебатель- ные контуры. Начнем со случая индуктивной связи контуров (см. рис. 7.5).

141
Будем считать, что, как и в фильтре, контуры в отсутствие связи имеют вы- рожденные резонансные частоты, то есть
L
1
C
1
= L
2
C
2
=
ω
0
−2
. (7.11)
При наличии индуктивной связи резонансные частоты связанных коле- баний
[
]
1 2
1 2
0 2
L
L
L
m
∓
−
−
±
ω
=
ω
(7.12)
Здесь пара вертикальных скобок указывает на абсолютную величину числа.
Их наличие означает, что коэффициент взаимной индукции L
m
может прини- мать как положительные, так и отрицательные значения.
Из формул (7.12) и (7.6) находим искомое выражение для коэффициен- та индуктивной связи
)
(
)
(
2 2
2 2
−
+
−
+
ω
+
ω
ω
−
ω
=
L
k
. (7.13)
Видно, что при слабой индуктивной связи k
L
≈ (ω
+
− ω
−
)/
ω
0
C
m
L
1
C
1
L
2
C
2
Рис. 7.6. Колебательные контуры с емкостной связью
Рассмотрим теперь емкостную связь контуров (см. рис. 7.6). Вместо условия (7.11) будем предполагать выполнение обобщенного условия
L
1
(C
1
+C
m
) = L
2
(C
2
+C
m
) =
ω
0
−2
. (7.14)
В этом случае резонансные частоты связанных колебаний выражаются фор- мулой
[
]
)
(
)
(
1 2
1 2
0 2
m
m
m
C
C
C
C
C
+
+
ω
=
ω
−
−
±
∓
. (7.15)
В этой формуле наличие пары вертикальных скобок не является обязатель- ным, так как величина C
m
не может быть отрицательной. Тем не менее, скоб- ки мы оставляем для упрощения последующих выкладок.