ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 08.11.2023
Просмотров: 247
Скачиваний: 10
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
СОДЕРЖАНИЕ
142
Из формул (7.15) и (7.8) получаем следующее выражение для коэффи- циента емкостной связи
)
(
)
(
2 2
2 2
−
+
−
+
ω
+
ω
ω
−
ω
=
С
k
. (7.16)
Сравнивая формулы (7.13) и (7.16), убеждаемся, что коэффициент свя- зи контуров однозначно выражается через резонансные частоты связанных колебаний, независимо от типа связи. Поэтому абсолютную величину коэф- фициента связи резонаторов СВЧ при любом типе связи, включая и комби- нированную связь, определим формулой
)
(
)
(
2 2
2 2
−
+
−
+
ω
+
ω
ω
−
ω
=
k
. (7.17)
C
m
L
1
C
1
L
2
C
2
L
m
Рис. 7.7. Колебательные контуры с комбинированной связью
Рассмотрим, наконец, контуры с комбинированной связью (рис. 7.7).
По-прежнему будем предполагать выполнение условия (7.14), которое явля- ется условием равенства резонансных частот отдельных резонаторов
ω
1
и
ω
2
В рассматриваемом случае резонансные частоты связанных колебаний
)
(
)
(
)
(
)
(
1 2
1 2
1 2
0 2
1 2
1 2
0 2
m
m
m
m
m
m
m
m
C
C
C
C
C
L
L
L
L
L
L
C
C
C
C
C
+
+
−
ω
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
−
ω
=
ω
−
−
−
±
∓
∓
(7.18)
Эта формула согласуется с формулами (7.12) и (7.15). Подставляя (7.18) в (7.17), получаем
2 1
2 1
2 1
2 1
)
(
)
(
1
)
(
)
(
L
L
L
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
L
L
L
k
m
m
m
m
m
m
m
m
+
+
−
+
+
−
=
(7.19)
143
Видно, что при комбинированной связи |k| зависит не только от абсо- лютных величин коэффициентов k
L
и k
C
, но и от их знаков. Действительно, при одинаковых знаках L
m
и C
m
индуктивная и емкостная связи в колебатель- ных контурах вычитаются одна из другой, а при противоположных знаках – складываются. Поэтому при комбинированной связи контуров важно знать еще и знаки коэффициентов k
L
и k
C
, а точнее – знак отношения k
L
/k
C
. По- следнее уточнение означает, что знак одного из коэффициентов можно опре- делить произвольно, а знак другого – с учетом формулы (7.19).
Одним из возможных вариантов задать знаки коэффициентов связи и при этом обеспечить выполнение всех ранее приведенных формул является следующий. Коэффициент связи резонаторов СВЧ, имеющих одинаковые резонансные частоты (
ω
1
= ω
2
), определим для любого типа связи формулой
k
)
(
)
(
2 2
2 2
e
o
e
o
ω
+
ω
ω
−
ω
=
, (
7.20
) где
ω
e
,
ω
o
– частоты четных и нечетных связанных колебаний. В общем слу- чае деление связанных колебаний на четные и нечетные является условным.
Поэтому условным будет и знак коэффициента связи. Однако знак отноше- ния коэффициентов будет абсолютным. В частном случае, когда резонаторы
СВЧ являются колебательными контурами, четными колебаниями будем на- зывать колебания, при которых напряжения на емкостях C
1
и C
2
относительно земли имеют одинаковые знаки. В этом случае формула (7.18) принимает вид
)
(
)
(
)
(
)
(
1 2
1 2
1 2
0 2
1 2
1 2
0 2
,
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
−
ω
±
±
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
−
ω
=
ω
−
−
−
m
m
m
m
m
m
m
m
o
e
C
C
C
C
C
L
L
L
L
L
L
C
C
C
C
C
(7.21) где верхний знак (
+) в двойном символе ± отвечает первому индексу частоты
(e), а нижний знак (–) — второму индексу (o).
Подставляя (7.21) в (7.20) и полагая C
m
= 0, получаем формулу для коэффициента индуктивной связи контуров
k
L
2 1
L
L
L
m
=
, (
7.22
) согласующуюся с известной формулой (7.6). Видно, что знак k
L
совпадает со знаком L
m
144
Подставляя (7.21) в (7.20) и полагая L
m
= 0, получаем формулу для коэффициента емкостной связи контуров
k
C
)
(
)
(
2 1
m
m
m
C
C
C
C
C
+
+
−
=
, (
7.23
) согласующуюся с известной формулой (7.9). Видно, что знак k
C
при C
m
>0 всегда отрицателен.
Наконец, подставляя (7.21) в (7.20) и учитывая (7.22) и (7.23), получаем искомую формулу сложения коэффициентов индуктивной и емкост- ной связи резонаторов СВЧ
k
= (k
L
+ k
C
) ⁄ (1+ k
L
k
C
). (
7.24
)
Как мы увидим ниже, формулу (7.24), в отличие от исходных формул
(7.20), (7.22) и (7.23), можно использовать не только на резонансной, но и на произвольной частоте.
7.4. Симметричная пара регулярных МПР,
связанных по всей длине. Резонансная частота
Рассмотрим резонансное взаимодействие двух одинаковых регулярных микрополосковых резонаторов. Начнем со случая, когда длина области связи
l
св равна длине полосковых проводников l (см. рис. 7.8).
l
с
= l
S
W
W
Рис. 7.8. Симметричная пара регулярных МПР, связанных по всей длине
В этом случае резонансные частоты связанных колебаний МПР удов- летворяют условиям
θ
e
= n
π,
θ
o
= n
π, (7.25) где
c
l
c
l
o
o
o
e
e
e
/
и
/
ε
ω
=
θ
ε
ω
=
θ
– электрические длины резонаторов для четных и нечетных колебаний соответственно. Учитывая условия (7.25), фор- мулу (7.20) можно записать в виде
145
k = (
ε
e
− ε
o
)/(
ε
e
+ ε
o
). (
7.26
)
Формула (7.26) выражает коэффициент связи МПР через электрические параметры связанных микрополосковых линий. Так как в связанных МПЛ всегда
∗
ε
e
≥ ε
o
, то из (7.26) следует, что коэффициент k не может быть отри- цательным. Для резонаторов, являющихся отрезками связанных полосковых и других однородных линий передачи, коэффициент k обращается в нуль.
При описании симметричных пар связанных линий передачи часто ис- пользуют коэффициенты индуктивной и емкостной связи, определяемые формулами
K
L
= L
m
/L
1
,
K
C
= C
m
/(C
1
+ C
m
), (
7.27
) где L
1
, C
1
– погонные индуктивность и емкость проводников относительно экрана; L
m
, C
m
– погонные взаимные индуктивность и емкость проводников.
Используя формулы (2.27)–(2.28), определение (7.27) можно перепи- сать в виде
e
o
o
e
e
o
o
e
C
o
o
e
e
o
o
e
e
L
Z
Z
Z
Z
K
Z
Z
Z
Z
K
ε
+
ε
ε
−
ε
=
ε
+
ε
ε
−
ε
=
,
. (7.28)
Установим связь коэффициентов K
L
и K
C
с коэффициентами k
L
и k
C
Для этого подставим выражения (7.28) в формулу (7.26). Получаем
k = (K
L
− K
C
)/(1
− K
L
K
C
). (7.29)
Эта формула аналогична формуле (7.24). Из нее следует, что для микропо- лосковых резонаторов, взаимодействующих по всей длине, коэффициенты индуктивной и емкостной связи выражаются формулами
k
L
= K
L
,
k
C
=
−K
C
. (
7.30
)
Из формул (7.29) и (7.26) также следует, что при
ε
e
=ε
o
имеет место равенство
K
L
= K
C
. (
7.31
)
Связанные линии передачи, для которых нарушается равенство (7.31), называют линиями передачи с неуравновешенными связями. К их числу относятся и связанные микрополосковые линии кроме случая, когда высота верхнего экрана над полосковыми проводниками h
a
равна толщине подложки h.
∗ См. примечание на с. 17.
146
Исследуем зависимости коэффициентов K
L
, K
C
и k от конструктивных параметров. На рис. 7.9 по формулам (7.28) и (7.26) построены зависимости этих коэффициентов от диэлектрической проницаемости подложки для двух значений зазора S между полосковыми проводниками. Видно, что коэффици- ент индуктивной связи K
L
не зависит от
ε
r
. Коэффициент емкостной связи K
C
является монотонно убывающей функцией, асимптотически приближающей- ся к константе при больших значениях
ε
r
. Напротив, коэффициент связи k является монотонно возрастающей функцией, асимптотически приближаю- щейся к константе.
Рис. 7.9. Зависимости коэффициентов связи от диэлектрической проницаемости подложки
На рис. 7.10 построены зависимости коэффициентов связи от ширины полосковых проводников. Видно, что коэффициенты K
L
, K
C
и k имеют по од- ному максимуму. Что же касается отношения K
C
/K
L
, то оно убывает с увели- чением W/h, асимптотически приближаясь к константе.
147
Рис. 7.10. Зависимости коэффициентов связи от ширины полосковых проводников
Рис. 7.11. Зависимости коэффициентов связи от зазора между полосковыми проводниками
148
На рис. 7.11 построены зависимости коэффициентов связи от величины зазора между полосковыми проводниками. Видно, что все коэффициенты монотонно убывают с увеличением S/h. При этом коэффициент емкостной связи K
C
убывает быстрее коэффициента индуктивной связи K
L
. Причем с увеличением диэлектрической проницаемости подложки убывание отноше- ния K
C
/K
L
происходит сильнее.
1 ... 12 13 14 15 16 17 18 19 ... 22
7.5. Симметричная пара регулярных МПР с произвольной
длиной области связи. Резонансная частота
Рассмотрим теперь резонансное взаимодействие двух одинаковых ре- гулярных микрополосковых резонаторов при произвольной длине области l
с
(см. рис. 7.12).
0
−l
1
l
l
с
z
l
1
l
с
= xl
1 2
Рис. 7.12. Симметричная пара регулярных МПР с произвольной длиной области связи
Введем относительную длину области связи
x = l
с
/l. (7.32)
Резонансные частоты таких резонаторов удовлетворяют уравнению
,
0
sin sin
)
(
)
cos cos
1
(
2
tg
)
cos sin cos sin
( tg sin sin
4
]
[
]
[
2 2
1 2
1 1
1
=
θ
θ
+
−
θ
θ
+
θ
+
+
θ
θ
+
θ
θ
θ
+
θ
θ
o
e
o
e
o
e
o
e
o
e
o
e
o
e
o
e
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
(7.33) где
c
l
c
l
c
o
o
c
e
e
/
,
/
ε
ω
=
θ
ε
ω
=
θ
– электрические длины области связи на частоте
ω для четных и нечетных волн соответственно;
c
l /
1 1
1
ε
ω
=
θ
− элек- трическая длина одиночных несвязанных участков.
Уравнение (7.33) может быть получено путем вычисления ABCD- матрицы соответствующего составного четырехполюсника с помощью фор- мул (6.3) и (6.4). Частным случаем уравнения (7.33) при l
c
= l являются урав-
149
нения (7.25). В случае l
c
= 0 из (7.33) следует, что частоты четных и нечетных колебаний вырождены и удовлетворяют условию
θ
1
=
πn.
На рис. 7.13 по формуле (7.20) построены зависимости коэффициента связи МПР на частоте полуволновых колебаний (n = 1) от относительной длины области связи для нескольких значений диэлектрической проницаемо- сти подложки. Частоты полуволновых четных и нечетных связанных колеба- ний находились численным решением уравнения (7.33).
Рис. 7.13. Зависимость коэффициента связи от относительной длины области связи (n = 1)
Видно, что все кривые пересекаются в одной точке. Координата этой точки x
c
= 0.646 является корнем уравнения
πx
c
+ tg(
πx
c
) = 0. (7.34)
Пересечение кривых k(x) в одной точке говорит о том, что при x = x
c коэффициент связи резонаторов не зависит от диэлектрической проницаемо- сти подложки. Очевидно, что это возможно только в том случае, когда коэф- фициент емкостной связи резонаторов k
C
|
x
= x
c
= 0. Другими словами, при
x = x
c
связь между резонаторами становится чисто индуктивной.
150
Для начала получим простые приближенные аналитические выражения для функций k
L
(x) и k
C
(x), полагая, что эти функции пропорциональны соот- ветственно энергиям индуктивного и емкостного взаимодействий
∫
∫
−
=
=
xl
m
C
xl
m
L
dz
z
u
z
u
C
x
W
dz
z
i
z
i
L
x
W
0 2
1 12 0
2 1
12
)
(
)
(
)
(
,
)
(
)
(
)
(
. (7.35)
Распределение токов и напряжений вдоль проводников обоих резона- торов на частоте полуволнового резонанса (n=1) аппроксимируем функциями
]
)
1
/
(
[ cos
)
(
),
/
(
cos
)
(
,
]
)
1
/
(
[ sin
)
(
),
/
(
sin
)
(
2 2
1 1
2 2
1 1
x
l
z
U
z
u
l
z
U
z
u
x
l
z
I
z
i
l
z
I
z
i
−
+
π
=
π
=
−
+
π
=
π
=
(7.36)
После выполнения интегрирования в (7.35) получаем
)
( cos
)
( sin
1
)
(
,
)
( cos
)
(
sin
1
)
(
]
[
]
[
x
x
x
K
x
k
x
x
x
K
x
k
C
C
L
L
π
+
π
π
≈
π
−
π
π
≈
(7.37)
Коэффициенты пропорциональности в (7.37) выбраны из условия, что- бы при x =1 эти формулы переходили в формулы (7.30). Видим, что из второй строки формулы (7.37) получается уравнение (7.34) для определения x
c
На рис. 7.14 приведены зависимости k
L
(x) и k
C
(x), построенные по формулам (7.37). Видно, что на частоте полуволнового резонанса коэффици- ент индуктивной связи k
L
(x) всегда положителен, а коэффициент емкостной связи k
C
(x) положителен только при x < x
c
Рис. 7.14. Зависимости коэффициентов индуктивной и емкостной связи от относительной длины области связи (n = 1)
151
Вычислив по формулам (7.37) коэффициенты k
L
(x) и k
C
(x), можно найти коэффициент связи k(x), не прибегая к формуле (7.20) и не решая трансцендентного уравнения (7.33). Его можно вычислить по формуле (7.24).
Правомерность использования формулы (7.24) при любых значениях x , а не только при x =1 подтверждается численными расчетами для конкретных случаев.
Рис. 7.15. Относительная погрешность расчета коэффициента связи по формулам (7.37) и (7.24) на частоте полуволнового резонанса (n = 1)
Расчетные кривые, представленные на рис. 7.15, являются одним из та- ких доказательств. Они показывают зависимости относительной погрешно- сти расчета k(x) по формулам (7.37) и (7.24) от длины области связи для трех значений
ε
r
. Величина
Δk вычислялась как разность приближенного и точно- го значения k(x), рассчитанного по формулам (7.20) и (7.33). Видно, что во всем диапазоне значений x относительная погрешность
Δk/k составляет по- рядка 1 %. С одной стороны, это говорит о высокой точности приближенных формул (7.37), а с другой – о правомерности использования формулы (7.24) при x
≠1.
Аналогичным образом могут быть получены формулы для коэффици- ентов индуктивной и емкостной связи на частотах высших мод колебаний.
На частоте о д н о в о л н о в ы х колебаний (n = 2) эти формулы имеют вид
)
2
(
cos
)
2
(
sin
2 1
,
)
2
(
cos
)
2
(
sin
2 1
]
[
]
[
x
x
x
π
K
k
x
x
x
π
K
k
C
C
L
L
π
+
π
−
≈
π
−
π
−
≈
(7.38)
152
Забегая вперед, заметим, что приближенные формулы (7.37) и (7.38) становятся точными в пределе K
L
, K
C
→ 0.
Коэффициент связи k(x) для о д н о в о л н о в ы х колебаний может быть по-прежнему вычислен по формуле (7.24).
Рис. 7.16. Зависимости коэффициентов индуктивной и емкостной связи от относительной длины области связи (n = 2)
На рис. 7.16 для второй моды колебаний (n = 2) построены нормиро- ванные зависимости коэффициентов индуктивной и емкостной связи от дли- ны области связи. Эти зависимости существенно отличаются от соответст- вующих кривых, построенных для первой моды колебаний (см. рис. 7.14).
Коэффициент k
L
(x) меняет свой знак в точке x = 0.715, а коэффициент k
C
(x) меняет свой знак дважды. Минимум коэффициента k
L
(x) располагается в точке x = 0.5 а его величина k
L min
= –0.5K
L
. Первый минимум коэффициента
k
C
(x) располагается в точке x = 0.165, имея величину k
C m in
1
= –0.22 K
C
. Вто- рой минимум располагается в точке x = 1, имея величину k
C mi n
2
= –K
C
. Мак- симум коэффициента k
C
(x) расположен в точке x = 0.58, а его величина
k
C ma x
= 0.59K
C
На рис. 7.17 для нескольких значений
ε
r
построены зависимости коэф- фициента связи резонаторов от относительной длины их области связи на частоте одноволнового резонанса. Видно, что кривые на этом рисунке существенно отличаются от соответствующих кривых для первой моды
153
колебаний (см. рис. 7.13). Во-первых, коэффициент k(x) для второй моды колебаний может быть, в зависимости от смещения резонаторов, как по- ложительным, так и отрицательным. Во-вторых, существует не один, а два значения x, при которых коэффициент связи не зависит от
ε
r
. Это точки
x
c
1
= 0.323 и x
c
2
= 0.782. В них коэффициент k
C
= 0. В-третьих, для каждого
ε
r
существует такое значение x = x
k
, при котором k = 0. Причем с увеличением
ε
r
от 1 до
∞ значение x
k
изменяется от 0.50 до 0.75. При длине области связи
x = x
k
емкостное взаимодействие полностью компенсируется индуктивным.
Следует отметить, что величина x
k
зависит не только от
ε
r
, но и от W, S и h.
Рис. 7.17. Зависимость коэффициента связи от относительной длины области связи (n = 2)
При рассмотрении высших мод колебаний (n > 1) в связанных микро- полосковых резонаторах следует помнить, что квазистатическое приближе- ние дает хороший результат только когда поперечные размеры резонаторов
W, S, h значительно меньше длины волны в резонаторе
λ
g
Таким образом, коэффициент связи k для симметричной пары парал- лельно связанных микрополосковых резонаторов характеризует степень рас- щепления резонансных частот четных
ω
e
и нечетных
ω
o
связанных колеба- ний, описываемую формулой (7.20). Это расщепление вызывается как индук- тивным, так и емкостным взаимодействиями резонаторов. Степень индук- тивного взаимодействия резонаторов характеризуется коэффициентом k
L
,
154
емкостного – коэффициентом k
C
. Эти коэффициенты могут быть вычислены по приближенным формулам (7.37), (7.38). Коэффициент k является «сум- мой» коэффициентов k
L
и k
C
, причем суммирование производится по форму- ле (7.24).
7.6. Связанные контуры. Энергия и коэффициенты связи
Определения коэффициента связи резонаторов СВЧ, приведенные вы- ше, не удобны для практического применения. Так, использование формул
(7.5) и (7.7) для связанных резонаторов требует предварительного нахожде- ния параметров эквивалентной схемы. Кроме того, эти формулы и формула
(7.20) задают значение коэффициента связи k лишь на резонансной частоте, в то время как связь между резонаторами фильтра существует на всех частотах
ω, где коэффициент прохождения мощности СВЧ отличен от нуля.
Используя энергетический подход, сформулируем физическое опреде- ление коэффициента связи резонаторов, позволяющее исследовать частот- ную зависимость k(
ω). Для этого рассмотрим пару связанных колебательных контуров, включенную между генератором и нагрузкой (см. рис. 7.18).
C
m
I
1
I
2
U
1
U
2
L
2
L
1
C
2
C
1
R
2
R
1
∼
Є
L
m
Рис. 7.18. Связанные колебательные контуры, включенные между генератором и нагрузкой
Пусть ЭДС генератора изменяется по закону Є(t) = Є
0
exp (
−iωt). Тогда комплексные напряжения и токи в индуктивностях контуров будут удовле- творять уравнениям
U
1
=
−iω(L
1
I
1
+ L
m
I
2
), (7.39)
U
2
=
−iω(L
2
I
2
+ L
m
I
1
), (7.40)
]
[
2 2
2 2
2 2
1
R
U
U
C
i
I
C
i
U
U
m
+
ω
−
ω
=
−
. (7.41)
155
Из уравнений (7.39)
−(7.41) находим коэффициент передачи по напряжению из первого контура во второй:
2 1
2 2
2 2
2 1
2 2
1 1
2
]
[
]
)
(
[
1
]
[
ω
−
ω
+
+
−
ω
−
−
=
L
L
L
R
i
C
C
C
L
L
L
L
L
U
U
m
m
m
m
m
. (7.42)
Видно, что коэффициент передачи обращается в нуль на частоте
]
)
[
2 2
1
(
m
m
m
p
C
L
L
L
L
−
=
ω
(7.43) и имеет максимум модуля вблизи резонансной частоты второго контура
]
)
(
1
[
)
(
1 2
1 2
2 2
2
L
L
L
C
C
L
m
m
−
+
=
ω
. (7.44)
Замечаем, что на резонансной частоте
ω
2
коэффициент передачи является мнимым числом:
]
[
]
)
(
1
[
)
(
2 2
1 2
2 1
2 2
1 2
2
m
m
m
m
m
C
C
L
L
L
L
C
L
L
C
C
iR
U
U
+
−
−
+
=
ω
=
ω
(7.45)
Очевидно, что резонансная частота первого контура
]
)
(
1
[
)
(
1 2
1 2
1 1
1
L
L
L
C
C
L
m
m
−
+
=
ω
. (7.46)
Запишем выражение для электромагнитной энергии, запасаемой всеми элементами связанных контуров. Начнем с энергии электрического поля:
(
2 1
2 2
1 2
2 2
2 1
1 2
1 2
1
Re
)
(
Re
)
(
Re
)
(
U
U
C
U
C
U
C
t
W
m
C
−
+
+
=
)
. (
7.47
)
Выделяя для комплексных напряжений U
1
(t), U
2
(t) амплитуды |U
1
|, |U
2
| и на- чальные фазы
ϕ
1
= arg(U
1
)|
t
= 0
,
ϕ
2
= arg(U
2
)|
t
= 0
, выражение (7.47) записываем в виде
)
(
)
(
t
W
W
t
W
C
C
C
+
=
, где
)
(
cos
)
(
)
(
2 1
2 1
2 1
2 2
2 4
1 2
1 1
4 1
ϕ
−
ϕ
−
+
+
+
=
U
U
C
U
C
C
U
C
C
W
m
m
m
C
(7.48)
− постоянная составляющая энергии электрического поля, которую будем называть усредненной по времени энергией;
156
)
2
(
cos
)
(
2
cos
)
(
)
(
2
cos
)
(
)
(
2 1
2 1
2 1
2 2
2 2
4 1
1 2
1 1
4 1
ϕ
−
ϕ
−
ω
−
−
ϕ
−
ω
+
+
ϕ
−
ω
+
=
t
U
U
C
t
U
C
C
t
U
C
C
t
W
m
m
m
C
(7.49)
− переменная составляющая энергии электрического поля, которую будем называть колеблющейся энергией.
Усредненная энергия W
¯
C
, согласно (7.48),
C
C
C
C
W
W
W
W
12 22 11
+
+
=
, где
2 2
2 4
1 22 2
1 1
4 1
11
)
(
,
)
(
U
C
C
W
U
C
C
W
m
C
m
C
+
=
+
=
(7.50)
− усредненные энергии электрического поля, запасаемые первым и вторым контуром в отдельности;
)
(
Re
2
*
1 2
1 12
U
U
C
W
m
C
−
=
(7.51)
− усредненная энергия электрического поля, запасаемая первым и вторым контуром совместно.
Напротив, колеблющаяся энергия W
C
, согласно (7.49),
)
(
)
(
)
(
)
(
12 22 11
t
W
t
W
t
W
t
W
C
C
C
C
+
+
=
, где
)
(
Re
)
(
)
(
),
(
Re
)
(
)
(
2 2
2 4
1 22 2
1 1
4 1
11
U
C
C
t
W
U
C
C
t
W
m
C
m
C
+
=
+
=
(7.52)
− колеблющиеся энергии электрического поля, запасаемые первым и вторым контуром в отдельности;
)
(
Re
)
(
2 1
2 1
12
U
U
C
t
W
m
C
−
=
(7.53)
− колеблющаяся энергия электрического поля, запасаемая первым и вторым контуром совместно.
Запишем теперь энергию магнитного поля, запасаемую всеми элемен- тами связанных контуров:
(
)
2 1
2 2
2 2
1 1
2 1
2 1
(
Re
)
Re
)
(
Re
)
(
Re
)
(
I
I
L
I
L
I
L
t
W
m
L
+
+
=
. (
1 ... 14 15 16 17 18 19 20 21 22
7.5. Симметричная пара регулярных МПР с произвольной
длиной области связи. Резонансная частота
Рассмотрим теперь резонансное взаимодействие двух одинаковых ре- гулярных микрополосковых резонаторов при произвольной длине области l
с
(см. рис. 7.12).
0
−l
1
l
l
с
z
l
1
l
с
= xl
1 2
Рис. 7.12. Симметричная пара регулярных МПР с произвольной длиной области связи
Введем относительную длину области связи
x = l
с
/l. (7.32)
Резонансные частоты таких резонаторов удовлетворяют уравнению
,
0
sin sin
)
(
)
cos cos
1
(
2
tg
)
cos sin cos sin
( tg sin sin
4
]
[
]
[
2 2
1 2
1 1
1
=
θ
θ
+
−
θ
θ
+
θ
+
+
θ
θ
+
θ
θ
θ
+
θ
θ
o
e
o
e
o
e
o
e
o
e
o
e
o
e
o
e
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
(7.33) где
c
l
c
l
c
o
o
c
e
e
/
,
/
ε
ω
=
θ
ε
ω
=
θ
– электрические длины области связи на частоте
ω для четных и нечетных волн соответственно;
c
l /
1 1
1
ε
ω
=
θ
− элек- трическая длина одиночных несвязанных участков.
Уравнение (7.33) может быть получено путем вычисления ABCD- матрицы соответствующего составного четырехполюсника с помощью фор- мул (6.3) и (6.4). Частным случаем уравнения (7.33) при l
c
= l являются урав-
149
нения (7.25). В случае l
c
= 0 из (7.33) следует, что частоты четных и нечетных колебаний вырождены и удовлетворяют условию
θ
1
=
πn.
На рис. 7.13 по формуле (7.20) построены зависимости коэффициента связи МПР на частоте полуволновых колебаний (n = 1) от относительной длины области связи для нескольких значений диэлектрической проницаемо- сти подложки. Частоты полуволновых четных и нечетных связанных колеба- ний находились численным решением уравнения (7.33).
Рис. 7.13. Зависимость коэффициента связи от относительной длины области связи (n = 1)
Видно, что все кривые пересекаются в одной точке. Координата этой точки x
c
= 0.646 является корнем уравнения
πx
c
+ tg(
πx
c
) = 0. (7.34)
Пересечение кривых k(x) в одной точке говорит о том, что при x = x
c коэффициент связи резонаторов не зависит от диэлектрической проницаемо- сти подложки. Очевидно, что это возможно только в том случае, когда коэф- фициент емкостной связи резонаторов k
C
|
x
= x
c
= 0. Другими словами, при
x = x
c
связь между резонаторами становится чисто индуктивной.
150
Для начала получим простые приближенные аналитические выражения для функций k
L
(x) и k
C
(x), полагая, что эти функции пропорциональны соот- ветственно энергиям индуктивного и емкостного взаимодействий
∫
∫
−
=
=
xl
m
C
xl
m
L
dz
z
u
z
u
C
x
W
dz
z
i
z
i
L
x
W
0 2
1 12 0
2 1
12
)
(
)
(
)
(
,
)
(
)
(
)
(
. (7.35)
Распределение токов и напряжений вдоль проводников обоих резона- торов на частоте полуволнового резонанса (n=1) аппроксимируем функциями
]
)
1
/
(
[ cos
)
(
),
/
(
cos
)
(
,
]
)
1
/
(
[ sin
)
(
),
/
(
sin
)
(
2 2
1 1
2 2
1 1
x
l
z
U
z
u
l
z
U
z
u
x
l
z
I
z
i
l
z
I
z
i
−
+
π
=
π
=
−
+
π
=
π
=
(7.36)
После выполнения интегрирования в (7.35) получаем
)
( cos
)
( sin
1
)
(
,
)
( cos
)
(
sin
1
)
(
]
[
]
[
x
x
x
K
x
k
x
x
x
K
x
k
C
C
L
L
π
+
π
π
≈
π
−
π
π
≈
(7.37)
Коэффициенты пропорциональности в (7.37) выбраны из условия, что- бы при x =1 эти формулы переходили в формулы (7.30). Видим, что из второй строки формулы (7.37) получается уравнение (7.34) для определения x
c
На рис. 7.14 приведены зависимости k
L
(x) и k
C
(x), построенные по формулам (7.37). Видно, что на частоте полуволнового резонанса коэффици- ент индуктивной связи k
L
(x) всегда положителен, а коэффициент емкостной связи k
C
(x) положителен только при x < x
c
Рис. 7.14. Зависимости коэффициентов индуктивной и емкостной связи от относительной длины области связи (n = 1)
151
Вычислив по формулам (7.37) коэффициенты k
L
(x) и k
C
(x), можно найти коэффициент связи k(x), не прибегая к формуле (7.20) и не решая трансцендентного уравнения (7.33). Его можно вычислить по формуле (7.24).
Правомерность использования формулы (7.24) при любых значениях x , а не только при x =1 подтверждается численными расчетами для конкретных случаев.
Рис. 7.15. Относительная погрешность расчета коэффициента связи по формулам (7.37) и (7.24) на частоте полуволнового резонанса (n = 1)
Расчетные кривые, представленные на рис. 7.15, являются одним из та- ких доказательств. Они показывают зависимости относительной погрешно- сти расчета k(x) по формулам (7.37) и (7.24) от длины области связи для трех значений
ε
r
. Величина
Δk вычислялась как разность приближенного и точно- го значения k(x), рассчитанного по формулам (7.20) и (7.33). Видно, что во всем диапазоне значений x относительная погрешность
Δk/k составляет по- рядка 1 %. С одной стороны, это говорит о высокой точности приближенных формул (7.37), а с другой – о правомерности использования формулы (7.24) при x
≠1.
Аналогичным образом могут быть получены формулы для коэффици- ентов индуктивной и емкостной связи на частотах высших мод колебаний.
На частоте о д н о в о л н о в ы х колебаний (n = 2) эти формулы имеют вид
)
2
(
cos
)
2
(
sin
2 1
,
)
2
(
cos
)
2
(
sin
2 1
]
[
]
[
x
x
x
π
K
k
x
x
x
π
K
k
C
C
L
L
π
+
π
−
≈
π
−
π
−
≈
(7.38)
152
Забегая вперед, заметим, что приближенные формулы (7.37) и (7.38) становятся точными в пределе K
L
, K
C
→ 0.
Коэффициент связи k(x) для о д н о в о л н о в ы х колебаний может быть по-прежнему вычислен по формуле (7.24).
Рис. 7.16. Зависимости коэффициентов индуктивной и емкостной связи от относительной длины области связи (n = 2)
На рис. 7.16 для второй моды колебаний (n = 2) построены нормиро- ванные зависимости коэффициентов индуктивной и емкостной связи от дли- ны области связи. Эти зависимости существенно отличаются от соответст- вующих кривых, построенных для первой моды колебаний (см. рис. 7.14).
Коэффициент k
L
(x) меняет свой знак в точке x = 0.715, а коэффициент k
C
(x) меняет свой знак дважды. Минимум коэффициента k
L
(x) располагается в точке x = 0.5 а его величина k
L min
= –0.5K
L
. Первый минимум коэффициента
k
C
(x) располагается в точке x = 0.165, имея величину k
C m in
1
= –0.22 K
C
. Вто- рой минимум располагается в точке x = 1, имея величину k
C mi n
2
= –K
C
. Мак- симум коэффициента k
C
(x) расположен в точке x = 0.58, а его величина
k
C ma x
= 0.59K
C
На рис. 7.17 для нескольких значений
ε
r
построены зависимости коэф- фициента связи резонаторов от относительной длины их области связи на частоте одноволнового резонанса. Видно, что кривые на этом рисунке существенно отличаются от соответствующих кривых для первой моды
153
колебаний (см. рис. 7.13). Во-первых, коэффициент k(x) для второй моды колебаний может быть, в зависимости от смещения резонаторов, как по- ложительным, так и отрицательным. Во-вторых, существует не один, а два значения x, при которых коэффициент связи не зависит от
ε
r
. Это точки
x
c
1
= 0.323 и x
c
2
= 0.782. В них коэффициент k
C
= 0. В-третьих, для каждого
ε
r
существует такое значение x = x
k
, при котором k = 0. Причем с увеличением
ε
r
от 1 до
∞ значение x
k
изменяется от 0.50 до 0.75. При длине области связи
x = x
k
емкостное взаимодействие полностью компенсируется индуктивным.
Следует отметить, что величина x
k
зависит не только от
ε
r
, но и от W, S и h.
Рис. 7.17. Зависимость коэффициента связи от относительной длины области связи (n = 2)
При рассмотрении высших мод колебаний (n > 1) в связанных микро- полосковых резонаторах следует помнить, что квазистатическое приближе- ние дает хороший результат только когда поперечные размеры резонаторов
W, S, h значительно меньше длины волны в резонаторе
λ
g
Таким образом, коэффициент связи k для симметричной пары парал- лельно связанных микрополосковых резонаторов характеризует степень рас- щепления резонансных частот четных
ω
e
и нечетных
ω
o
связанных колеба- ний, описываемую формулой (7.20). Это расщепление вызывается как индук- тивным, так и емкостным взаимодействиями резонаторов. Степень индук- тивного взаимодействия резонаторов характеризуется коэффициентом k
L
,
154
емкостного – коэффициентом k
C
. Эти коэффициенты могут быть вычислены по приближенным формулам (7.37), (7.38). Коэффициент k является «сум- мой» коэффициентов k
L
и k
C
, причем суммирование производится по форму- ле (7.24).
7.6. Связанные контуры. Энергия и коэффициенты связи
Определения коэффициента связи резонаторов СВЧ, приведенные вы- ше, не удобны для практического применения. Так, использование формул
(7.5) и (7.7) для связанных резонаторов требует предварительного нахожде- ния параметров эквивалентной схемы. Кроме того, эти формулы и формула
(7.20) задают значение коэффициента связи k лишь на резонансной частоте, в то время как связь между резонаторами фильтра существует на всех частотах
ω, где коэффициент прохождения мощности СВЧ отличен от нуля.
Используя энергетический подход, сформулируем физическое опреде- ление коэффициента связи резонаторов, позволяющее исследовать частот- ную зависимость k(
ω). Для этого рассмотрим пару связанных колебательных контуров, включенную между генератором и нагрузкой (см. рис. 7.18).
C
m
I
1
I
2
U
1
U
2
L
2
L
1
C
2
C
1
R
2
R
1
∼
Є
L
m
Рис. 7.18. Связанные колебательные контуры, включенные между генератором и нагрузкой
Пусть ЭДС генератора изменяется по закону Є(t) = Є
0
exp (
−iωt). Тогда комплексные напряжения и токи в индуктивностях контуров будут удовле- творять уравнениям
U
1
=
−iω(L
1
I
1
+ L
m
I
2
), (7.39)
U
2
=
−iω(L
2
I
2
+ L
m
I
1
), (7.40)
]
[
2 2
2 2
2 2
1
R
U
U
C
i
I
C
i
U
U
m
+
ω
−
ω
=
−
. (7.41)
155
Из уравнений (7.39)
−(7.41) находим коэффициент передачи по напряжению из первого контура во второй:
2 1
2 2
2 2
2 1
2 2
1 1
2
]
[
]
)
(
[
1
]
[
ω
−
ω
+
+
−
ω
−
−
=
L
L
L
R
i
C
C
C
L
L
L
L
L
U
U
m
m
m
m
m
. (7.42)
Видно, что коэффициент передачи обращается в нуль на частоте
]
)
[
2 2
1
(
m
m
m
p
C
L
L
L
L
−
=
ω
(7.43) и имеет максимум модуля вблизи резонансной частоты второго контура
]
)
(
1
[
)
(
1 2
1 2
2 2
2
L
L
L
C
C
L
m
m
−
+
=
ω
. (7.44)
Замечаем, что на резонансной частоте
ω
2
коэффициент передачи является мнимым числом:
]
[
]
)
(
1
[
)
(
2 2
1 2
2 1
2 2
1 2
2
m
m
m
m
m
C
C
L
L
L
L
C
L
L
C
C
iR
U
U
+
−
−
+
=
ω
=
ω
(7.45)
Очевидно, что резонансная частота первого контура
]
)
(
1
[
)
(
1 2
1 2
1 1
1
L
L
L
C
C
L
m
m
−
+
=
ω
. (7.46)
Запишем выражение для электромагнитной энергии, запасаемой всеми элементами связанных контуров. Начнем с энергии электрического поля:
(
2 1
2 2
1 2
2 2
2 1
1 2
1 2
1
Re
)
(
Re
)
(
Re
)
(
U
U
C
U
C
U
C
t
W
m
C
−
+
+
=
)
. (
7.47
)
Выделяя для комплексных напряжений U
1
(t), U
2
(t) амплитуды |U
1
|, |U
2
| и на- чальные фазы
ϕ
1
= arg(U
1
)|
t
= 0
,
ϕ
2
= arg(U
2
)|
t
= 0
, выражение (7.47) записываем в виде
)
(
)
(
t
W
W
t
W
C
C
C
+
=
, где
)
(
cos
)
(
)
(
2 1
2 1
2 1
2 2
2 4
1 2
1 1
4 1
ϕ
−
ϕ
−
+
+
+
=
U
U
C
U
C
C
U
C
C
W
m
m
m
C
(7.48)
− постоянная составляющая энергии электрического поля, которую будем называть усредненной по времени энергией;
156
)
2
(
cos
)
(
2
cos
)
(
)
(
2
cos
)
(
)
(
2 1
2 1
2 1
2 2
2 2
4 1
1 2
1 1
4 1
ϕ
−
ϕ
−
ω
−
−
ϕ
−
ω
+
+
ϕ
−
ω
+
=
t
U
U
C
t
U
C
C
t
U
C
C
t
W
m
m
m
C
(7.49)
− переменная составляющая энергии электрического поля, которую будем называть колеблющейся энергией.
Усредненная энергия W
¯
C
, согласно (7.48),
C
C
C
C
W
W
W
W
12 22 11
+
+
=
, где
2 2
2 4
1 22 2
1 1
4 1
11
)
(
,
)
(
U
C
C
W
U
C
C
W
m
C
m
C
+
=
+
=
(7.50)
− усредненные энергии электрического поля, запасаемые первым и вторым контуром в отдельности;
)
(
Re
2
*
1 2
1 12
U
U
C
W
m
C
−
=
(7.51)
− усредненная энергия электрического поля, запасаемая первым и вторым контуром совместно.
Напротив, колеблющаяся энергия W
C
, согласно (7.49),
)
(
)
(
)
(
)
(
12 22 11
t
W
t
W
t
W
t
W
C
C
C
C
+
+
=
, где
)
(
Re
)
(
)
(
),
(
Re
)
(
)
(
2 2
2 4
1 22 2
1 1
4 1
11
U
C
C
t
W
U
C
C
t
W
m
C
m
C
+
=
+
=
(7.52)
− колеблющиеся энергии электрического поля, запасаемые первым и вторым контуром в отдельности;
)
(
Re
)
(
2 1
2 1
12
U
U
C
t
W
m
C
−
=
(7.53)
− колеблющаяся энергия электрического поля, запасаемая первым и вторым контуром совместно.
Запишем теперь энергию магнитного поля, запасаемую всеми элемен- тами связанных контуров:
(
)
2 1
2 2
2 2
1 1
2 1
2 1
(
Re
)
Re
)
(
Re
)
(
Re
)
(
I
I
L
I
L
I
L
t
W
m
L
+
+
=
. (
1 ... 14 15 16 17 18 19 20 21 22
7.5. Симметричная пара регулярных МПР с произвольной
длиной области связи. Резонансная частота
Рассмотрим теперь резонансное взаимодействие двух одинаковых ре- гулярных микрополосковых резонаторов при произвольной длине области l
с
(см. рис. 7.12).
0
−l
1
l
l
с
z
l
1
l
с
= xl
1 2
Рис. 7.12. Симметричная пара регулярных МПР с произвольной длиной области связи
Введем относительную длину области связи
x = l
с
/l. (7.32)
Резонансные частоты таких резонаторов удовлетворяют уравнению
,
0
sin sin
)
(
)
cos cos
1
(
2
tg
)
cos sin cos sin
( tg sin sin
4
]
[
]
[
2 2
1 2
1 1
1
=
θ
θ
+
−
θ
θ
+
θ
+
+
θ
θ
+
θ
θ
θ
+
θ
θ
o
e
o
e
o
e
o
e
o
e
o
e
o
e
o
e
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
(7.33) где
c
l
c
l
c
o
o
c
e
e
/
,
/
ε
ω
=
θ
ε
ω
=
θ
– электрические длины области связи на частоте
ω для четных и нечетных волн соответственно;
c
l /
1 1
1
ε
ω
=
θ
− элек- трическая длина одиночных несвязанных участков.
Уравнение (7.33) может быть получено путем вычисления ABCD- матрицы соответствующего составного четырехполюсника с помощью фор- мул (6.3) и (6.4). Частным случаем уравнения (7.33) при l
c
= l являются урав-
149
нения (7.25). В случае l
c
= 0 из (7.33) следует, что частоты четных и нечетных колебаний вырождены и удовлетворяют условию
θ
1
=
πn.
На рис. 7.13 по формуле (7.20) построены зависимости коэффициента связи МПР на частоте полуволновых колебаний (n = 1) от относительной длины области связи для нескольких значений диэлектрической проницаемо- сти подложки. Частоты полуволновых четных и нечетных связанных колеба- ний находились численным решением уравнения (7.33).
Рис. 7.13. Зависимость коэффициента связи от относительной длины области связи (n = 1)
Видно, что все кривые пересекаются в одной точке. Координата этой точки x
c
= 0.646 является корнем уравнения
πx
c
+ tg(
πx
c
) = 0. (7.34)
Пересечение кривых k(x) в одной точке говорит о том, что при x = x
c коэффициент связи резонаторов не зависит от диэлектрической проницаемо- сти подложки. Очевидно, что это возможно только в том случае, когда коэф- фициент емкостной связи резонаторов k
C
|
x
= x
c
= 0. Другими словами, при
x = x
c
связь между резонаторами становится чисто индуктивной.
150
Для начала получим простые приближенные аналитические выражения для функций k
L
(x) и k
C
(x), полагая, что эти функции пропорциональны соот- ветственно энергиям индуктивного и емкостного взаимодействий
∫
∫
−
=
=
xl
m
C
xl
m
L
dz
z
u
z
u
C
x
W
dz
z
i
z
i
L
x
W
0 2
1 12 0
2 1
12
)
(
)
(
)
(
,
)
(
)
(
)
(
. (7.35)
Распределение токов и напряжений вдоль проводников обоих резона- торов на частоте полуволнового резонанса (n=1) аппроксимируем функциями
]
)
1
/
(
[ cos
)
(
),
/
(
cos
)
(
,
]
)
1
/
(
[ sin
)
(
),
/
(
sin
)
(
2 2
1 1
2 2
1 1
x
l
z
U
z
u
l
z
U
z
u
x
l
z
I
z
i
l
z
I
z
i
−
+
π
=
π
=
−
+
π
=
π
=
(7.36)
После выполнения интегрирования в (7.35) получаем
)
( cos
)
( sin
1
)
(
,
)
( cos
)
(
sin
1
)
(
]
[
]
[
x
x
x
K
x
k
x
x
x
K
x
k
C
C
L
L
π
+
π
π
≈
π
−
π
π
≈
(7.37)
Коэффициенты пропорциональности в (7.37) выбраны из условия, что- бы при x =1 эти формулы переходили в формулы (7.30). Видим, что из второй строки формулы (7.37) получается уравнение (7.34) для определения x
c
На рис. 7.14 приведены зависимости k
L
(x) и k
C
(x), построенные по формулам (7.37). Видно, что на частоте полуволнового резонанса коэффици- ент индуктивной связи k
L
(x) всегда положителен, а коэффициент емкостной связи k
C
(x) положителен только при x < x
c
Рис. 7.14. Зависимости коэффициентов индуктивной и емкостной связи от относительной длины области связи (n = 1)
151
Вычислив по формулам (7.37) коэффициенты k
L
(x) и k
C
(x), можно найти коэффициент связи k(x), не прибегая к формуле (7.20) и не решая трансцендентного уравнения (7.33). Его можно вычислить по формуле (7.24).
Правомерность использования формулы (7.24) при любых значениях x , а не только при x =1 подтверждается численными расчетами для конкретных случаев.
Рис. 7.15. Относительная погрешность расчета коэффициента связи по формулам (7.37) и (7.24) на частоте полуволнового резонанса (n = 1)
Расчетные кривые, представленные на рис. 7.15, являются одним из та- ких доказательств. Они показывают зависимости относительной погрешно- сти расчета k(x) по формулам (7.37) и (7.24) от длины области связи для трех значений
ε
r
. Величина
Δk вычислялась как разность приближенного и точно- го значения k(x), рассчитанного по формулам (7.20) и (7.33). Видно, что во всем диапазоне значений x относительная погрешность
Δk/k составляет по- рядка 1 %. С одной стороны, это говорит о высокой точности приближенных формул (7.37), а с другой – о правомерности использования формулы (7.24) при x
≠1.
Аналогичным образом могут быть получены формулы для коэффици- ентов индуктивной и емкостной связи на частотах высших мод колебаний.
На частоте о д н о в о л н о в ы х колебаний (n = 2) эти формулы имеют вид
)
2
(
cos
)
2
(
sin
2 1
,
)
2
(
cos
)
2
(
sin
2 1
]
[
]
[
x
x
x
π
K
k
x
x
x
π
K
k
C
C
L
L
π
+
π
−
≈
π
−
π
−
≈
(7.38)
152
Забегая вперед, заметим, что приближенные формулы (7.37) и (7.38) становятся точными в пределе K
L
, K
C
→ 0.
Коэффициент связи k(x) для о д н о в о л н о в ы х колебаний может быть по-прежнему вычислен по формуле (7.24).
Рис. 7.16. Зависимости коэффициентов индуктивной и емкостной связи от относительной длины области связи (n = 2)
На рис. 7.16 для второй моды колебаний (n = 2) построены нормиро- ванные зависимости коэффициентов индуктивной и емкостной связи от дли- ны области связи. Эти зависимости существенно отличаются от соответст- вующих кривых, построенных для первой моды колебаний (см. рис. 7.14).
Коэффициент k
L
(x) меняет свой знак в точке x = 0.715, а коэффициент k
C
(x) меняет свой знак дважды. Минимум коэффициента k
L
(x) располагается в точке x = 0.5 а его величина k
L min
= –0.5K
L
. Первый минимум коэффициента
k
C
(x) располагается в точке x = 0.165, имея величину k
C m in
1
= –0.22 K
C
. Вто- рой минимум располагается в точке x = 1, имея величину k
C mi n
2
= –K
C
. Мак- симум коэффициента k
C
(x) расположен в точке x = 0.58, а его величина
k
C ma x
= 0.59K
C
На рис. 7.17 для нескольких значений
ε
r
построены зависимости коэф- фициента связи резонаторов от относительной длины их области связи на частоте одноволнового резонанса. Видно, что кривые на этом рисунке существенно отличаются от соответствующих кривых для первой моды
153
колебаний (см. рис. 7.13). Во-первых, коэффициент k(x) для второй моды колебаний может быть, в зависимости от смещения резонаторов, как по- ложительным, так и отрицательным. Во-вторых, существует не один, а два значения x, при которых коэффициент связи не зависит от
ε
r
. Это точки
x
c
1
= 0.323 и x
c
2
= 0.782. В них коэффициент k
C
= 0. В-третьих, для каждого
ε
r
существует такое значение x = x
k
, при котором k = 0. Причем с увеличением
ε
r
от 1 до
∞ значение x
k
изменяется от 0.50 до 0.75. При длине области связи
x = x
k
емкостное взаимодействие полностью компенсируется индуктивным.
Следует отметить, что величина x
k
зависит не только от
ε
r
, но и от W, S и h.
Рис. 7.17. Зависимость коэффициента связи от относительной длины области связи (n = 2)
При рассмотрении высших мод колебаний (n > 1) в связанных микро- полосковых резонаторах следует помнить, что квазистатическое приближе- ние дает хороший результат только когда поперечные размеры резонаторов
W, S, h значительно меньше длины волны в резонаторе
λ
g
Таким образом, коэффициент связи k для симметричной пары парал- лельно связанных микрополосковых резонаторов характеризует степень рас- щепления резонансных частот четных
ω
e
и нечетных
ω
o
связанных колеба- ний, описываемую формулой (7.20). Это расщепление вызывается как индук- тивным, так и емкостным взаимодействиями резонаторов. Степень индук- тивного взаимодействия резонаторов характеризуется коэффициентом k
L
,
154
емкостного – коэффициентом k
C
. Эти коэффициенты могут быть вычислены по приближенным формулам (7.37), (7.38). Коэффициент k является «сум- мой» коэффициентов k
L
и k
C
, причем суммирование производится по форму- ле (7.24).
7.6. Связанные контуры. Энергия и коэффициенты связи
Определения коэффициента связи резонаторов СВЧ, приведенные вы- ше, не удобны для практического применения. Так, использование формул
(7.5) и (7.7) для связанных резонаторов требует предварительного нахожде- ния параметров эквивалентной схемы. Кроме того, эти формулы и формула
(7.20) задают значение коэффициента связи k лишь на резонансной частоте, в то время как связь между резонаторами фильтра существует на всех частотах
ω, где коэффициент прохождения мощности СВЧ отличен от нуля.
Используя энергетический подход, сформулируем физическое опреде- ление коэффициента связи резонаторов, позволяющее исследовать частот- ную зависимость k(
ω). Для этого рассмотрим пару связанных колебательных контуров, включенную между генератором и нагрузкой (см. рис. 7.18).
C
m
I
1
I
2
U
1
U
2
L
2
L
1
C
2
C
1
R
2
R
1
∼
Є
L
m
Рис. 7.18. Связанные колебательные контуры, включенные между генератором и нагрузкой
Пусть ЭДС генератора изменяется по закону Є(t) = Є
0
exp (
−iωt). Тогда комплексные напряжения и токи в индуктивностях контуров будут удовле- творять уравнениям
U
1
=
−iω(L
1
I
1
+ L
m
I
2
), (7.39)
U
2
=
−iω(L
2
I
2
+ L
m
I
1
), (7.40)
]
[
2 2
2 2
2 2
1
R
U
U
C
i
I
C
i
U
U
m
+
ω
−
ω
=
−
. (7.41)
155
Из уравнений (7.39)
−(7.41) находим коэффициент передачи по напряжению из первого контура во второй:
2 1
2 2
2 2
2 1
2 2
1 1
2
]
[
]
)
(
[
1
]
[
ω
−
ω
+
+
−
ω
−
−
=
L
L
L
R
i
C
C
C
L
L
L
L
L
U
U
m
m
m
m
m
. (7.42)
Видно, что коэффициент передачи обращается в нуль на частоте
]
)
[
2 2
1
(
m
m
m
p
C
L
L
L
L
−
=
ω
(7.43) и имеет максимум модуля вблизи резонансной частоты второго контура
]
)
(
1
[
)
(
1 2
1 2
2 2
2
L
L
L
C
C
L
m
m
−
+
=
ω
. (7.44)
Замечаем, что на резонансной частоте
ω
2
коэффициент передачи является мнимым числом:
]
[
]
)
(
1
[
)
(
2 2
1 2
2 1
2 2
1 2
2
m
m
m
m
m
C
C
L
L
L
L
C
L
L
C
C
iR
U
U
+
−
−
+
=
ω
=
ω
(7.45)
Очевидно, что резонансная частота первого контура
]
)
(
1
[
)
(
1 2
1 2
1 1
1
L
L
L
C
C
L
m
m
−
+
=
ω
. (7.46)
Запишем выражение для электромагнитной энергии, запасаемой всеми элементами связанных контуров. Начнем с энергии электрического поля:
(
2 1
2 2
1 2
2 2
2 1
1 2
1 2
1
Re
)
(
Re
)
(
Re
)
(
U
U
C
U
C
U
C
t
W
m
C
−
+
+
=
)
. (
7.47
)
Выделяя для комплексных напряжений U
1
(t), U
2
(t) амплитуды |U
1
|, |U
2
| и на- чальные фазы
ϕ
1
= arg(U
1
)|
t
= 0
,
ϕ
2
= arg(U
2
)|
t
= 0
, выражение (7.47) записываем в виде
)
(
)
(
t
W
W
t
W
C
C
C
+
=
, где
)
(
cos
)
(
)
(
2 1
2 1
2 1
2 2
2 4
1 2
1 1
4 1
ϕ
−
ϕ
−
+
+
+
=
U
U
C
U
C
C
U
C
C
W
m
m
m
C
(7.48)
− постоянная составляющая энергии электрического поля, которую будем называть усредненной по времени энергией;
156
)
2
(
cos
)
(
2
cos
)
(
)
(
2
cos
)
(
)
(
2 1
2 1
2 1
2 2
2 2
4 1
1 2
1 1
4 1
ϕ
−
ϕ
−
ω
−
−
ϕ
−
ω
+
+
ϕ
−
ω
+
=
t
U
U
C
t
U
C
C
t
U
C
C
t
W
m
m
m
C
(7.49)
− переменная составляющая энергии электрического поля, которую будем называть колеблющейся энергией.
Усредненная энергия W
¯
C
, согласно (7.48),
C
C
C
C
W
W
W
W
12 22 11
+
+
=
, где
2 2
2 4
1 22 2
1 1
4 1
11
)
(
,
)
(
U
C
C
W
U
C
C
W
m
C
m
C
+
=
+
=
(7.50)
− усредненные энергии электрического поля, запасаемые первым и вторым контуром в отдельности;
)
(
Re
2
*
1 2
1 12
U
U
C
W
m
C
−
=
(7.51)
− усредненная энергия электрического поля, запасаемая первым и вторым контуром совместно.
Напротив, колеблющаяся энергия W
C
, согласно (7.49),
)
(
)
(
)
(
)
(
12 22 11
t
W
t
W
t
W
t
W
C
C
C
C
+
+
=
, где
)
(
Re
)
(
)
(
),
(
Re
)
(
)
(
2 2
2 4
1 22 2
1 1
4 1
11
U
C
C
t
W
U
C
C
t
W
m
C
m
C
+
=
+
=
(7.52)
− колеблющиеся энергии электрического поля, запасаемые первым и вторым контуром в отдельности;
)
(
Re
)
(
2 1
2 1
12
U
U
C
t
W
m
C
−
=
(7.53)
− колеблющаяся энергия электрического поля, запасаемая первым и вторым контуром совместно.
Запишем теперь энергию магнитного поля, запасаемую всеми элемен- тами связанных контуров:
(
)
2 1
2 2
2 2
1 1
2 1
2 1
(
Re
)
Re
)
(
Re
)
(
Re
)
(
I
I
L
I
L
I
L
t
W
m
L
+
+
=
. (
1 ... 14 15 16 17 18 19 20 21 22
7.5. Симметричная пара регулярных МПР с произвольной
длиной области связи. Резонансная частота
Рассмотрим теперь резонансное взаимодействие двух одинаковых ре- гулярных микрополосковых резонаторов при произвольной длине области l
с
(см. рис. 7.12).
0
−l
1
l
l
с
z
l
1
l
с
= xl
1 2
Рис. 7.12. Симметричная пара регулярных МПР с произвольной длиной области связи
Введем относительную длину области связи
x = l
с
/l. (7.32)
Резонансные частоты таких резонаторов удовлетворяют уравнению
,
0
sin sin
)
(
)
cos cos
1
(
2
tg
)
cos sin cos sin
( tg sin sin
4
]
[
]
[
2 2
1 2
1 1
1
=
θ
θ
+
−
θ
θ
+
θ
+
+
θ
θ
+
θ
θ
θ
+
θ
θ
o
e
o
e
o
e
o
e
o
e
o
e
o
e
o
e
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
(7.33) где
c
l
c
l
c
o
o
c
e
e
/
,
/
ε
ω
=
θ
ε
ω
=
θ
– электрические длины области связи на частоте
ω для четных и нечетных волн соответственно;
c
l /
1 1
1
ε
ω
=
θ
− элек- трическая длина одиночных несвязанных участков.
Уравнение (7.33) может быть получено путем вычисления ABCD- матрицы соответствующего составного четырехполюсника с помощью фор- мул (6.3) и (6.4). Частным случаем уравнения (7.33) при l
c
= l являются урав-
149
нения (7.25). В случае l
c
= 0 из (7.33) следует, что частоты четных и нечетных колебаний вырождены и удовлетворяют условию
θ
1
=
πn.
На рис. 7.13 по формуле (7.20) построены зависимости коэффициента связи МПР на частоте полуволновых колебаний (n = 1) от относительной длины области связи для нескольких значений диэлектрической проницаемо- сти подложки. Частоты полуволновых четных и нечетных связанных колеба- ний находились численным решением уравнения (7.33).
Рис. 7.13. Зависимость коэффициента связи от относительной длины области связи (n = 1)
Видно, что все кривые пересекаются в одной точке. Координата этой точки x
c
= 0.646 является корнем уравнения
πx
c
+ tg(
πx
c
) = 0. (7.34)
Пересечение кривых k(x) в одной точке говорит о том, что при x = x
c коэффициент связи резонаторов не зависит от диэлектрической проницаемо- сти подложки. Очевидно, что это возможно только в том случае, когда коэф- фициент емкостной связи резонаторов k
C
|
x
= x
c
= 0. Другими словами, при
x = x
c
связь между резонаторами становится чисто индуктивной.
150
Для начала получим простые приближенные аналитические выражения для функций k
L
(x) и k
C
(x), полагая, что эти функции пропорциональны соот- ветственно энергиям индуктивного и емкостного взаимодействий
∫
∫
−
=
=
xl
m
C
xl
m
L
dz
z
u
z
u
C
x
W
dz
z
i
z
i
L
x
W
0 2
1 12 0
2 1
12
)
(
)
(
)
(
,
)
(
)
(
)
(
. (7.35)
Распределение токов и напряжений вдоль проводников обоих резона- торов на частоте полуволнового резонанса (n=1) аппроксимируем функциями
]
)
1
/
(
[ cos
)
(
),
/
(
cos
)
(
,
]
)
1
/
(
[ sin
)
(
),
/
(
sin
)
(
2 2
1 1
2 2
1 1
x
l
z
U
z
u
l
z
U
z
u
x
l
z
I
z
i
l
z
I
z
i
−
+
π
=
π
=
−
+
π
=
π
=
(7.36)
После выполнения интегрирования в (7.35) получаем
)
( cos
)
( sin
1
)
(
,
)
( cos
)
(
sin
1
)
(
]
[
]
[
x
x
x
K
x
k
x
x
x
K
x
k
C
C
L
L
π
+
π
π
≈
π
−
π
π
≈
(7.37)
Коэффициенты пропорциональности в (7.37) выбраны из условия, что- бы при x =1 эти формулы переходили в формулы (7.30). Видим, что из второй строки формулы (7.37) получается уравнение (7.34) для определения x
c
На рис. 7.14 приведены зависимости k
L
(x) и k
C
(x), построенные по формулам (7.37). Видно, что на частоте полуволнового резонанса коэффици- ент индуктивной связи k
L
(x) всегда положителен, а коэффициент емкостной связи k
C
(x) положителен только при x < x
c
Рис. 7.14. Зависимости коэффициентов индуктивной и емкостной связи от относительной длины области связи (n = 1)
151
Вычислив по формулам (7.37) коэффициенты k
L
(x) и k
C
(x), можно найти коэффициент связи k(x), не прибегая к формуле (7.20) и не решая трансцендентного уравнения (7.33). Его можно вычислить по формуле (7.24).
Правомерность использования формулы (7.24) при любых значениях x , а не только при x =1 подтверждается численными расчетами для конкретных случаев.
Рис. 7.15. Относительная погрешность расчета коэффициента связи по формулам (7.37) и (7.24) на частоте полуволнового резонанса (n = 1)
Расчетные кривые, представленные на рис. 7.15, являются одним из та- ких доказательств. Они показывают зависимости относительной погрешно- сти расчета k(x) по формулам (7.37) и (7.24) от длины области связи для трех значений
ε
r
. Величина
Δk вычислялась как разность приближенного и точно- го значения k(x), рассчитанного по формулам (7.20) и (7.33). Видно, что во всем диапазоне значений x относительная погрешность
Δk/k составляет по- рядка 1 %. С одной стороны, это говорит о высокой точности приближенных формул (7.37), а с другой – о правомерности использования формулы (7.24) при x
≠1.
Аналогичным образом могут быть получены формулы для коэффици- ентов индуктивной и емкостной связи на частотах высших мод колебаний.
На частоте о д н о в о л н о в ы х колебаний (n = 2) эти формулы имеют вид
)
2
(
cos
)
2
(
sin
2 1
,
)
2
(
cos
)
2
(
sin
2 1
]
[
]
[
x
x
x
π
K
k
x
x
x
π
K
k
C
C
L
L
π
+
π
−
≈
π
−
π
−
≈
(7.38)
152
Забегая вперед, заметим, что приближенные формулы (7.37) и (7.38) становятся точными в пределе K
L
, K
C
→ 0.
Коэффициент связи k(x) для о д н о в о л н о в ы х колебаний может быть по-прежнему вычислен по формуле (7.24).
Рис. 7.16. Зависимости коэффициентов индуктивной и емкостной связи от относительной длины области связи (n = 2)
На рис. 7.16 для второй моды колебаний (n = 2) построены нормиро- ванные зависимости коэффициентов индуктивной и емкостной связи от дли- ны области связи. Эти зависимости существенно отличаются от соответст- вующих кривых, построенных для первой моды колебаний (см. рис. 7.14).
Коэффициент k
L
(x) меняет свой знак в точке x = 0.715, а коэффициент k
C
(x) меняет свой знак дважды. Минимум коэффициента k
L
(x) располагается в точке x = 0.5 а его величина k
L min
= –0.5K
L
. Первый минимум коэффициента
k
C
(x) располагается в точке x = 0.165, имея величину k
C m in
1
= –0.22 K
C
. Вто- рой минимум располагается в точке x = 1, имея величину k
C mi n
2
= –K
C
. Мак- симум коэффициента k
C
(x) расположен в точке x = 0.58, а его величина
k
C ma x
= 0.59K
C
На рис. 7.17 для нескольких значений
ε
r
построены зависимости коэф- фициента связи резонаторов от относительной длины их области связи на частоте одноволнового резонанса. Видно, что кривые на этом рисунке существенно отличаются от соответствующих кривых для первой моды
153
колебаний (см. рис. 7.13). Во-первых, коэффициент k(x) для второй моды колебаний может быть, в зависимости от смещения резонаторов, как по- ложительным, так и отрицательным. Во-вторых, существует не один, а два значения x, при которых коэффициент связи не зависит от
ε
r
. Это точки
x
c
1
= 0.323 и x
c
2
= 0.782. В них коэффициент k
C
= 0. В-третьих, для каждого
ε
r
существует такое значение x = x
k
, при котором k = 0. Причем с увеличением
ε
r
от 1 до
∞ значение x
k
изменяется от 0.50 до 0.75. При длине области связи
x = x
k
емкостное взаимодействие полностью компенсируется индуктивным.
Следует отметить, что величина x
k
зависит не только от
ε
r
, но и от W, S и h.
Рис. 7.17. Зависимость коэффициента связи от относительной длины области связи (n = 2)
При рассмотрении высших мод колебаний (n > 1) в связанных микро- полосковых резонаторах следует помнить, что квазистатическое приближе- ние дает хороший результат только когда поперечные размеры резонаторов
W, S, h значительно меньше длины волны в резонаторе
λ
g
Таким образом, коэффициент связи k для симметричной пары парал- лельно связанных микрополосковых резонаторов характеризует степень рас- щепления резонансных частот четных
ω
e
и нечетных
ω
o
связанных колеба- ний, описываемую формулой (7.20). Это расщепление вызывается как индук- тивным, так и емкостным взаимодействиями резонаторов. Степень индук- тивного взаимодействия резонаторов характеризуется коэффициентом k
L
,
154
емкостного – коэффициентом k
C
. Эти коэффициенты могут быть вычислены по приближенным формулам (7.37), (7.38). Коэффициент k является «сум- мой» коэффициентов k
L
и k
C
, причем суммирование производится по форму- ле (7.24).
7.6. Связанные контуры. Энергия и коэффициенты связи
Определения коэффициента связи резонаторов СВЧ, приведенные вы- ше, не удобны для практического применения. Так, использование формул
(7.5) и (7.7) для связанных резонаторов требует предварительного нахожде- ния параметров эквивалентной схемы. Кроме того, эти формулы и формула
(7.20) задают значение коэффициента связи k лишь на резонансной частоте, в то время как связь между резонаторами фильтра существует на всех частотах
ω, где коэффициент прохождения мощности СВЧ отличен от нуля.
Используя энергетический подход, сформулируем физическое опреде- ление коэффициента связи резонаторов, позволяющее исследовать частот- ную зависимость k(
ω). Для этого рассмотрим пару связанных колебательных контуров, включенную между генератором и нагрузкой (см. рис. 7.18).
C
m
I
1
I
2
U
1
U
2
L
2
L
1
C
2
C
1
R
2
R
1
∼
Є
L
m
Рис. 7.18. Связанные колебательные контуры, включенные между генератором и нагрузкой
Пусть ЭДС генератора изменяется по закону Є(t) = Є
0
exp (
−iωt). Тогда комплексные напряжения и токи в индуктивностях контуров будут удовле- творять уравнениям
U
1
=
−iω(L
1
I
1
+ L
m
I
2
), (7.39)
U
2
=
−iω(L
2
I
2
+ L
m
I
1
), (7.40)
]
[
2 2
2 2
2 2
1
R
U
U
C
i
I
C
i
U
U
m
+
ω
−
ω
=
−
. (7.41)
155
Из уравнений (7.39)
−(7.41) находим коэффициент передачи по напряжению из первого контура во второй:
2 1
2 2
2 2
2 1
2 2
1 1
2
]
[
]
)
(
[
1
]
[
ω
−
ω
+
+
−
ω
−
−
=
L
L
L
R
i
C
C
C
L
L
L
L
L
U
U
m
m
m
m
m
. (7.42)
Видно, что коэффициент передачи обращается в нуль на частоте
]
)
[
2 2
1
(
m
m
m
p
C
L
L
L
L
−
=
ω
(7.43) и имеет максимум модуля вблизи резонансной частоты второго контура
]
)
(
1
[
)
(
1 2
1 2
2 2
2
L
L
L
C
C
L
m
m
−
+
=
ω
. (7.44)
Замечаем, что на резонансной частоте
ω
2
коэффициент передачи является мнимым числом:
]
[
]
)
(
1
[
)
(
2 2
1 2
2 1
2 2
1 2
2
m
m
m
m
m
C
C
L
L
L
L
C
L
L
C
C
iR
U
U
+
−
−
+
=
ω
=
ω
(7.45)
Очевидно, что резонансная частота первого контура
]
)
(
1
[
)
(
1 2
1 2
1 1
1
L
L
L
C
C
L
m
m
−
+
=
ω
. (7.46)
Запишем выражение для электромагнитной энергии, запасаемой всеми элементами связанных контуров. Начнем с энергии электрического поля:
(
2 1
2 2
1 2
2 2
2 1
1 2
1 2
1
Re
)
(
Re
)
(
Re
)
(
U
U
C
U
C
U
C
t
W
m
C
−
+
+
=
)
. (
7.47
)
Выделяя для комплексных напряжений U
1
(t), U
2
(t) амплитуды |U
1
|, |U
2
| и на- чальные фазы
ϕ
1
= arg(U
1
)|
t
= 0
,
ϕ
2
= arg(U
2
)|
t
= 0
, выражение (7.47) записываем в виде
)
(
)
(
t
W
W
t
W
C
C
C
+
=
, где
)
(
cos
)
(
)
(
2 1
2 1
2 1
2 2
2 4
1 2
1 1
4 1
ϕ
−
ϕ
−
+
+
+
=
U
U
C
U
C
C
U
C
C
W
m
m
m
C
(7.48)
− постоянная составляющая энергии электрического поля, которую будем называть усредненной по времени энергией;
156
)
2
(
cos
)
(
2
cos
)
(
)
(
2
cos
)
(
)
(
2 1
2 1
2 1
2 2
2 2
4 1
1 2
1 1
4 1
ϕ
−
ϕ
−
ω
−
−
ϕ
−
ω
+
+
ϕ
−
ω
+
=
t
U
U
C
t
U
C
C
t
U
C
C
t
W
m
m
m
C
(7.49)
− переменная составляющая энергии электрического поля, которую будем называть колеблющейся энергией.
Усредненная энергия W
¯
C
, согласно (7.48),
C
C
C
C
W
W
W
W
12 22 11
+
+
=
, где
2 2
2 4
1 22 2
1 1
4 1
11
)
(
,
)
(
U
C
C
W
U
C
C
W
m
C
m
C
+
=
+
=
(7.50)
− усредненные энергии электрического поля, запасаемые первым и вторым контуром в отдельности;
)
(
Re
2
*
1 2
1 12
U
U
C
W
m
C
−
=
(7.51)
− усредненная энергия электрического поля, запасаемая первым и вторым контуром совместно.
Напротив, колеблющаяся энергия W
C
, согласно (7.49),
)
(
)
(
)
(
)
(
12 22 11
t
W
t
W
t
W
t
W
C
C
C
C
+
+
=
, где
)
(
Re
)
(
)
(
),
(
Re
)
(
)
(
2 2
2 4
1 22 2
1 1
4 1
11
U
C
C
t
W
U
C
C
t
W
m
C
m
C
+
=
+
=
(7.52)
− колеблющиеся энергии электрического поля, запасаемые первым и вторым контуром в отдельности;
)
(
Re
)
(
2 1
2 1
12
U
U
C
t
W
m
C
−
=
(7.53)
− колеблющаяся энергия электрического поля, запасаемая первым и вторым контуром совместно.
Запишем теперь энергию магнитного поля, запасаемую всеми элемен- тами связанных контуров:
(
)
2 1
2 2
2 2
1 1
2 1
2 1
(
Re
)
Re
)
(
Re
)
(
Re
)
(
I
I
L
I
L
I
L
t
W
m
L
+
+
=
. (
1 ... 14 15 16 17 18 19 20 21 22
7.5. Симметричная пара регулярных МПР с произвольной
длиной области связи. Резонансная частота
Рассмотрим теперь резонансное взаимодействие двух одинаковых ре- гулярных микрополосковых резонаторов при произвольной длине области l
с
(см. рис. 7.12).
0
−l
1
l
l
с
z
l
1
l
с
= xl
1 2
Рис. 7.12. Симметричная пара регулярных МПР с произвольной длиной области связи
Введем относительную длину области связи
x = l
с
/l. (7.32)
Резонансные частоты таких резонаторов удовлетворяют уравнению
,
0
sin sin
)
(
)
cos cos
1
(
2
tg
)
cos sin cos sin
( tg sin sin
4
]
[
]
[
2 2
1 2
1 1
1
=
θ
θ
+
−
θ
θ
+
θ
+
+
θ
θ
+
θ
θ
θ
+
θ
θ
o
e
o
e
o
e
o
e
o
e
o
e
o
e
o
e
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
(7.33) где
c
l
c
l
c
o
o
c
e
e
/
,
/
ε
ω
=
θ
ε
ω
=
θ
– электрические длины области связи на частоте
ω для четных и нечетных волн соответственно;
c
l /
1 1
1
ε
ω
=
θ
− элек- трическая длина одиночных несвязанных участков.
Уравнение (7.33) может быть получено путем вычисления ABCD- матрицы соответствующего составного четырехполюсника с помощью фор- мул (6.3) и (6.4). Частным случаем уравнения (7.33) при l
c
= l являются урав-
149
нения (7.25). В случае l
c
= 0 из (7.33) следует, что частоты четных и нечетных колебаний вырождены и удовлетворяют условию
θ
1
=
πn.
На рис. 7.13 по формуле (7.20) построены зависимости коэффициента связи МПР на частоте полуволновых колебаний (n = 1) от относительной длины области связи для нескольких значений диэлектрической проницаемо- сти подложки. Частоты полуволновых четных и нечетных связанных колеба- ний находились численным решением уравнения (7.33).
Рис. 7.13. Зависимость коэффициента связи от относительной длины области связи (n = 1)
Видно, что все кривые пересекаются в одной точке. Координата этой точки x
c
= 0.646 является корнем уравнения
πx
c
+ tg(
πx
c
) = 0. (7.34)
Пересечение кривых k(x) в одной точке говорит о том, что при x = x
c коэффициент связи резонаторов не зависит от диэлектрической проницаемо- сти подложки. Очевидно, что это возможно только в том случае, когда коэф- фициент емкостной связи резонаторов k
C
|
x
= x
c
= 0. Другими словами, при
x = x
c
связь между резонаторами становится чисто индуктивной.
150
Для начала получим простые приближенные аналитические выражения для функций k
L
(x) и k
C
(x), полагая, что эти функции пропорциональны соот- ветственно энергиям индуктивного и емкостного взаимодействий
∫
∫
−
=
=
xl
m
C
xl
m
L
dz
z
u
z
u
C
x
W
dz
z
i
z
i
L
x
W
0 2
1 12 0
2 1
12
)
(
)
(
)
(
,
)
(
)
(
)
(
. (7.35)
Распределение токов и напряжений вдоль проводников обоих резона- торов на частоте полуволнового резонанса (n=1) аппроксимируем функциями
]
)
1
/
(
[ cos
)
(
),
/
(
cos
)
(
,
]
)
1
/
(
[ sin
)
(
),
/
(
sin
)
(
2 2
1 1
2 2
1 1
x
l
z
U
z
u
l
z
U
z
u
x
l
z
I
z
i
l
z
I
z
i
−
+
π
=
π
=
−
+
π
=
π
=
(7.36)
После выполнения интегрирования в (7.35) получаем
)
( cos
)
( sin
1
)
(
,
)
( cos
)
(
sin
1
)
(
]
[
]
[
x
x
x
K
x
k
x
x
x
K
x
k
C
C
L
L
π
+
π
π
≈
π
−
π
π
≈
(7.37)
Коэффициенты пропорциональности в (7.37) выбраны из условия, что- бы при x =1 эти формулы переходили в формулы (7.30). Видим, что из второй строки формулы (7.37) получается уравнение (7.34) для определения x
c
На рис. 7.14 приведены зависимости k
L
(x) и k
C
(x), построенные по формулам (7.37). Видно, что на частоте полуволнового резонанса коэффици- ент индуктивной связи k
L
(x) всегда положителен, а коэффициент емкостной связи k
C
(x) положителен только при x < x
c
Рис. 7.14. Зависимости коэффициентов индуктивной и емкостной связи от относительной длины области связи (n = 1)
151
Вычислив по формулам (7.37) коэффициенты k
L
(x) и k
C
(x), можно найти коэффициент связи k(x), не прибегая к формуле (7.20) и не решая трансцендентного уравнения (7.33). Его можно вычислить по формуле (7.24).
Правомерность использования формулы (7.24) при любых значениях x , а не только при x =1 подтверждается численными расчетами для конкретных случаев.
Рис. 7.15. Относительная погрешность расчета коэффициента связи по формулам (7.37) и (7.24) на частоте полуволнового резонанса (n = 1)
Расчетные кривые, представленные на рис. 7.15, являются одним из та- ких доказательств. Они показывают зависимости относительной погрешно- сти расчета k(x) по формулам (7.37) и (7.24) от длины области связи для трех значений
ε
r
. Величина
Δk вычислялась как разность приближенного и точно- го значения k(x), рассчитанного по формулам (7.20) и (7.33). Видно, что во всем диапазоне значений x относительная погрешность
Δk/k составляет по- рядка 1 %. С одной стороны, это говорит о высокой точности приближенных формул (7.37), а с другой – о правомерности использования формулы (7.24) при x
≠1.
Аналогичным образом могут быть получены формулы для коэффици- ентов индуктивной и емкостной связи на частотах высших мод колебаний.
На частоте о д н о в о л н о в ы х колебаний (n = 2) эти формулы имеют вид
)
2
(
cos
)
2
(
sin
2 1
,
)
2
(
cos
)
2
(
sin
2 1
]
[
]
[
x
x
x
π
K
k
x
x
x
π
K
k
C
C
L
L
π
+
π
−
≈
π
−
π
−
≈
(7.38)
152
Забегая вперед, заметим, что приближенные формулы (7.37) и (7.38) становятся точными в пределе K
L
, K
C
→ 0.
Коэффициент связи k(x) для о д н о в о л н о в ы х колебаний может быть по-прежнему вычислен по формуле (7.24).
Рис. 7.16. Зависимости коэффициентов индуктивной и емкостной связи от относительной длины области связи (n = 2)
На рис. 7.16 для второй моды колебаний (n = 2) построены нормиро- ванные зависимости коэффициентов индуктивной и емкостной связи от дли- ны области связи. Эти зависимости существенно отличаются от соответст- вующих кривых, построенных для первой моды колебаний (см. рис. 7.14).
Коэффициент k
L
(x) меняет свой знак в точке x = 0.715, а коэффициент k
C
(x) меняет свой знак дважды. Минимум коэффициента k
L
(x) располагается в точке x = 0.5 а его величина k
L min
= –0.5K
L
. Первый минимум коэффициента
k
C
(x) располагается в точке x = 0.165, имея величину k
C m in
1
= –0.22 K
C
. Вто- рой минимум располагается в точке x = 1, имея величину k
C mi n
2
= –K
C
. Мак- симум коэффициента k
C
(x) расположен в точке x = 0.58, а его величина
k
C ma x
= 0.59K
C
На рис. 7.17 для нескольких значений
ε
r
построены зависимости коэф- фициента связи резонаторов от относительной длины их области связи на частоте одноволнового резонанса. Видно, что кривые на этом рисунке существенно отличаются от соответствующих кривых для первой моды
153
колебаний (см. рис. 7.13). Во-первых, коэффициент k(x) для второй моды колебаний может быть, в зависимости от смещения резонаторов, как по- ложительным, так и отрицательным. Во-вторых, существует не один, а два значения x, при которых коэффициент связи не зависит от
ε
r
. Это точки
x
c
1
= 0.323 и x
c
2
= 0.782. В них коэффициент k
C
= 0. В-третьих, для каждого
ε
r
существует такое значение x = x
k
, при котором k = 0. Причем с увеличением
ε
r
от 1 до
∞ значение x
k
изменяется от 0.50 до 0.75. При длине области связи
x = x
k
емкостное взаимодействие полностью компенсируется индуктивным.
Следует отметить, что величина x
k
зависит не только от
ε
r
, но и от W, S и h.
Рис. 7.17. Зависимость коэффициента связи от относительной длины области связи (n = 2)
При рассмотрении высших мод колебаний (n > 1) в связанных микро- полосковых резонаторах следует помнить, что квазистатическое приближе- ние дает хороший результат только когда поперечные размеры резонаторов
W, S, h значительно меньше длины волны в резонаторе
λ
g
Таким образом, коэффициент связи k для симметричной пары парал- лельно связанных микрополосковых резонаторов характеризует степень рас- щепления резонансных частот четных
ω
e
и нечетных
ω
o
связанных колеба- ний, описываемую формулой (7.20). Это расщепление вызывается как индук- тивным, так и емкостным взаимодействиями резонаторов. Степень индук- тивного взаимодействия резонаторов характеризуется коэффициентом k
L
,
154
емкостного – коэффициентом k
C
. Эти коэффициенты могут быть вычислены по приближенным формулам (7.37), (7.38). Коэффициент k является «сум- мой» коэффициентов k
L
и k
C
, причем суммирование производится по форму- ле (7.24).
7.6. Связанные контуры. Энергия и коэффициенты связи
Определения коэффициента связи резонаторов СВЧ, приведенные вы- ше, не удобны для практического применения. Так, использование формул
(7.5) и (7.7) для связанных резонаторов требует предварительного нахожде- ния параметров эквивалентной схемы. Кроме того, эти формулы и формула
(7.20) задают значение коэффициента связи k лишь на резонансной частоте, в то время как связь между резонаторами фильтра существует на всех частотах
ω, где коэффициент прохождения мощности СВЧ отличен от нуля.
Используя энергетический подход, сформулируем физическое опреде- ление коэффициента связи резонаторов, позволяющее исследовать частот- ную зависимость k(
ω). Для этого рассмотрим пару связанных колебательных контуров, включенную между генератором и нагрузкой (см. рис. 7.18).
C
m
I
1
I
2
U
1
U
2
L
2
L
1
C
2
C
1
R
2
R
1
∼
Є
L
m
Рис. 7.18. Связанные колебательные контуры, включенные между генератором и нагрузкой
Пусть ЭДС генератора изменяется по закону Є(t) = Є
0
exp (
−iωt). Тогда комплексные напряжения и токи в индуктивностях контуров будут удовле- творять уравнениям
U
1
=
−iω(L
1
I
1
+ L
m
I
2
), (7.39)
U
2
=
−iω(L
2
I
2
+ L
m
I
1
), (7.40)
]
[
2 2
2 2
2 2
1
R
U
U
C
i
I
C
i
U
U
m
+
ω
−
ω
=
−
. (7.41)
155
Из уравнений (7.39)
−(7.41) находим коэффициент передачи по напряжению из первого контура во второй:
2 1
2 2
2 2
2 1
2 2
1 1
2
]
[
]
)
(
[
1
]
[
ω
−
ω
+
+
−
ω
−
−
=
L
L
L
R
i
C
C
C
L
L
L
L
L
U
U
m
m
m
m
m
. (7.42)
Видно, что коэффициент передачи обращается в нуль на частоте
]
)
[
2 2
1
(
m
m
m
p
C
L
L
L
L
−
=
ω
(7.43) и имеет максимум модуля вблизи резонансной частоты второго контура
]
)
(
1
[
)
(
1 2
1 2
2 2
2
L
L
L
C
C
L
m
m
−
+
=
ω
. (7.44)
Замечаем, что на резонансной частоте
ω
2
коэффициент передачи является мнимым числом:
]
[
]
)
(
1
[
)
(
2 2
1 2
2 1
2 2
1 2
2
m
m
m
m
m
C
C
L
L
L
L
C
L
L
C
C
iR
U
U
+
−
−
+
=
ω
=
ω
(7.45)
Очевидно, что резонансная частота первого контура
]
)
(
1
[
)
(
1 2
1 2
1 1
1
L
L
L
C
C
L
m
m
−
+
=
ω
. (7.46)
Запишем выражение для электромагнитной энергии, запасаемой всеми элементами связанных контуров. Начнем с энергии электрического поля:
(
2 1
2 2
1 2
2 2
2 1
1 2
1 2
1
Re
)
(
Re
)
(
Re
)
(
U
U
C
U
C
U
C
t
W
m
C
−
+
+
=
)
. (
7.47
)
Выделяя для комплексных напряжений U
1
(t), U
2
(t) амплитуды |U
1
|, |U
2
| и на- чальные фазы
ϕ
1
= arg(U
1
)|
t
= 0
,
ϕ
2
= arg(U
2
)|
t
= 0
, выражение (7.47) записываем в виде
)
(
)
(
t
W
W
t
W
C
C
C
+
=
, где
)
(
cos
)
(
)
(
2 1
2 1
2 1
2 2
2 4
1 2
1 1
4 1
ϕ
−
ϕ
−
+
+
+
=
U
U
C
U
C
C
U
C
C
W
m
m
m
C
(7.48)
− постоянная составляющая энергии электрического поля, которую будем называть усредненной по времени энергией;
156
)
2
(
cos
)
(
2
cos
)
(
)
(
2
cos
)
(
)
(
2 1
2 1
2 1
2 2
2 2
4 1
1 2
1 1
4 1
ϕ
−
ϕ
−
ω
−
−
ϕ
−
ω
+
+
ϕ
−
ω
+
=
t
U
U
C
t
U
C
C
t
U
C
C
t
W
m
m
m
C
(7.49)
− переменная составляющая энергии электрического поля, которую будем называть колеблющейся энергией.
Усредненная энергия W
¯
C
, согласно (7.48),
C
C
C
C
W
W
W
W
12 22 11
+
+
=
, где
2 2
2 4
1 22 2
1 1
4 1
11
)
(
,
)
(
U
C
C
W
U
C
C
W
m
C
m
C
+
=
+
=
(7.50)
− усредненные энергии электрического поля, запасаемые первым и вторым контуром в отдельности;
)
(
Re
2
*
1 2
1 12
U
U
C
W
m
C
−
=
(7.51)
− усредненная энергия электрического поля, запасаемая первым и вторым контуром совместно.
Напротив, колеблющаяся энергия W
C
, согласно (7.49),
)
(
)
(
)
(
)
(
12 22 11
t
W
t
W
t
W
t
W
C
C
C
C
+
+
=
, где
)
(
Re
)
(
)
(
),
(
Re
)
(
)
(
2 2
2 4
1 22 2
1 1
4 1
11
U
C
C
t
W
U
C
C
t
W
m
C
m
C
+
=
+
=
(7.52)
− колеблющиеся энергии электрического поля, запасаемые первым и вторым контуром в отдельности;
)
(
Re
)
(
2 1
2 1
12
U
U
C
t
W
m
C
−
=
(7.53)
− колеблющаяся энергия электрического поля, запасаемая первым и вторым контуром совместно.
Запишем теперь энергию магнитного поля, запасаемую всеми элемен- тами связанных контуров:
(
)
2 1
2 2
2 2
1 1
2 1
2 1
(
Re
)
Re
)
(
Re
)
(
Re
)
(
I
I
L
I
L
I
L
t
W
m
L
+
+
=
. (
1 ... 14 15 16 17 18 19 20 21 22
149
нения (7.25). В случае l
c
= 0 из (7.33) следует, что частоты четных и нечетных колебаний вырождены и удовлетворяют условию
θ
1
=
πn.
На рис. 7.13 по формуле (7.20) построены зависимости коэффициента связи МПР на частоте полуволновых колебаний (n = 1) от относительной длины области связи для нескольких значений диэлектрической проницаемо- сти подложки. Частоты полуволновых четных и нечетных связанных колеба- ний находились численным решением уравнения (7.33).
Рис. 7.13. Зависимость коэффициента связи от относительной длины области связи (n = 1)
Видно, что все кривые пересекаются в одной точке. Координата этой точки x
c
= 0.646 является корнем уравнения
πx
c
+ tg(
πx
c
) = 0. (7.34)
Пересечение кривых k(x) в одной точке говорит о том, что при x = x
c коэффициент связи резонаторов не зависит от диэлектрической проницаемо- сти подложки. Очевидно, что это возможно только в том случае, когда коэф- фициент емкостной связи резонаторов k
C
|
x
= x
c
= 0. Другими словами, при
x = x
c
связь между резонаторами становится чисто индуктивной.
150
Для начала получим простые приближенные аналитические выражения для функций k
L
(x) и k
C
(x), полагая, что эти функции пропорциональны соот- ветственно энергиям индуктивного и емкостного взаимодействий
∫
∫
−
=
=
xl
m
C
xl
m
L
dz
z
u
z
u
C
x
W
dz
z
i
z
i
L
x
W
0 2
1 12 0
2 1
12
)
(
)
(
)
(
,
)
(
)
(
)
(
. (7.35)
Распределение токов и напряжений вдоль проводников обоих резона- торов на частоте полуволнового резонанса (n=1) аппроксимируем функциями
]
)
1
/
(
[ cos
)
(
),
/
(
cos
)
(
,
]
)
1
/
(
[ sin
)
(
),
/
(
sin
)
(
2 2
1 1
2 2
1 1
x
l
z
U
z
u
l
z
U
z
u
x
l
z
I
z
i
l
z
I
z
i
−
+
π
=
π
=
−
+
π
=
π
=
(7.36)
После выполнения интегрирования в (7.35) получаем
)
( cos
)
( sin
1
)
(
,
)
( cos
)
(
sin
1
)
(
]
[
]
[
x
x
x
K
x
k
x
x
x
K
x
k
C
C
L
L
π
+
π
π
≈
π
−
π
π
≈
(7.37)
Коэффициенты пропорциональности в (7.37) выбраны из условия, что- бы при x =1 эти формулы переходили в формулы (7.30). Видим, что из второй строки формулы (7.37) получается уравнение (7.34) для определения x
c
На рис. 7.14 приведены зависимости k
L
(x) и k
C
(x), построенные по формулам (7.37). Видно, что на частоте полуволнового резонанса коэффици- ент индуктивной связи k
L
(x) всегда положителен, а коэффициент емкостной связи k
C
(x) положителен только при x < x
c
Рис. 7.14. Зависимости коэффициентов индуктивной и емкостной связи от относительной длины области связи (n = 1)
151
Вычислив по формулам (7.37) коэффициенты k
L
(x) и k
C
(x), можно найти коэффициент связи k(x), не прибегая к формуле (7.20) и не решая трансцендентного уравнения (7.33). Его можно вычислить по формуле (7.24).
Правомерность использования формулы (7.24) при любых значениях x , а не только при x =1 подтверждается численными расчетами для конкретных случаев.
Рис. 7.15. Относительная погрешность расчета коэффициента связи по формулам (7.37) и (7.24) на частоте полуволнового резонанса (n = 1)
Расчетные кривые, представленные на рис. 7.15, являются одним из та- ких доказательств. Они показывают зависимости относительной погрешно- сти расчета k(x) по формулам (7.37) и (7.24) от длины области связи для трех значений
ε
r
. Величина
Δk вычислялась как разность приближенного и точно- го значения k(x), рассчитанного по формулам (7.20) и (7.33). Видно, что во всем диапазоне значений x относительная погрешность
Δk/k составляет по- рядка 1 %. С одной стороны, это говорит о высокой точности приближенных формул (7.37), а с другой – о правомерности использования формулы (7.24) при x
≠1.
Аналогичным образом могут быть получены формулы для коэффици- ентов индуктивной и емкостной связи на частотах высших мод колебаний.
На частоте о д н о в о л н о в ы х колебаний (n = 2) эти формулы имеют вид
)
2
(
cos
)
2
(
sin
2 1
,
)
2
(
cos
)
2
(
sin
2 1
]
[
]
[
x
x
x
π
K
k
x
x
x
π
K
k
C
C
L
L
π
+
π
−
≈
π
−
π
−
≈
(7.38)
152
Забегая вперед, заметим, что приближенные формулы (7.37) и (7.38) становятся точными в пределе K
L
, K
C
→ 0.
Коэффициент связи k(x) для о д н о в о л н о в ы х колебаний может быть по-прежнему вычислен по формуле (7.24).
Рис. 7.16. Зависимости коэффициентов индуктивной и емкостной связи от относительной длины области связи (n = 2)
На рис. 7.16 для второй моды колебаний (n = 2) построены нормиро- ванные зависимости коэффициентов индуктивной и емкостной связи от дли- ны области связи. Эти зависимости существенно отличаются от соответст- вующих кривых, построенных для первой моды колебаний (см. рис. 7.14).
Коэффициент k
L
(x) меняет свой знак в точке x = 0.715, а коэффициент k
C
(x) меняет свой знак дважды. Минимум коэффициента k
L
(x) располагается в точке x = 0.5 а его величина k
L min
= –0.5K
L
. Первый минимум коэффициента
k
C
(x) располагается в точке x = 0.165, имея величину k
C m in
1
= –0.22 K
C
. Вто- рой минимум располагается в точке x = 1, имея величину k
C mi n
2
= –K
C
. Мак- симум коэффициента k
C
(x) расположен в точке x = 0.58, а его величина
k
C ma x
= 0.59K
C
На рис. 7.17 для нескольких значений
ε
r
построены зависимости коэф- фициента связи резонаторов от относительной длины их области связи на частоте одноволнового резонанса. Видно, что кривые на этом рисунке существенно отличаются от соответствующих кривых для первой моды
153
колебаний (см. рис. 7.13). Во-первых, коэффициент k(x) для второй моды колебаний может быть, в зависимости от смещения резонаторов, как по- ложительным, так и отрицательным. Во-вторых, существует не один, а два значения x, при которых коэффициент связи не зависит от
ε
r
. Это точки
x
c
1
= 0.323 и x
c
2
= 0.782. В них коэффициент k
C
= 0. В-третьих, для каждого
ε
r
существует такое значение x = x
k
, при котором k = 0. Причем с увеличением
ε
r
от 1 до
∞ значение x
k
изменяется от 0.50 до 0.75. При длине области связи
x = x
k
емкостное взаимодействие полностью компенсируется индуктивным.
Следует отметить, что величина x
k
зависит не только от
ε
r
, но и от W, S и h.
Рис. 7.17. Зависимость коэффициента связи от относительной длины области связи (n = 2)
При рассмотрении высших мод колебаний (n > 1) в связанных микро- полосковых резонаторах следует помнить, что квазистатическое приближе- ние дает хороший результат только когда поперечные размеры резонаторов
W, S, h значительно меньше длины волны в резонаторе
λ
g
Таким образом, коэффициент связи k для симметричной пары парал- лельно связанных микрополосковых резонаторов характеризует степень рас- щепления резонансных частот четных
ω
e
и нечетных
ω
o
связанных колеба- ний, описываемую формулой (7.20). Это расщепление вызывается как индук- тивным, так и емкостным взаимодействиями резонаторов. Степень индук- тивного взаимодействия резонаторов характеризуется коэффициентом k
L
,
154
емкостного – коэффициентом k
C
. Эти коэффициенты могут быть вычислены по приближенным формулам (7.37), (7.38). Коэффициент k является «сум- мой» коэффициентов k
L
и k
C
, причем суммирование производится по форму- ле (7.24).
7.6. Связанные контуры. Энергия и коэффициенты связи
Определения коэффициента связи резонаторов СВЧ, приведенные вы- ше, не удобны для практического применения. Так, использование формул
(7.5) и (7.7) для связанных резонаторов требует предварительного нахожде- ния параметров эквивалентной схемы. Кроме того, эти формулы и формула
(7.20) задают значение коэффициента связи k лишь на резонансной частоте, в то время как связь между резонаторами фильтра существует на всех частотах
ω, где коэффициент прохождения мощности СВЧ отличен от нуля.
Используя энергетический подход, сформулируем физическое опреде- ление коэффициента связи резонаторов, позволяющее исследовать частот- ную зависимость k(
ω). Для этого рассмотрим пару связанных колебательных контуров, включенную между генератором и нагрузкой (см. рис. 7.18).
C
m
I
1
I
2
U
1
U
2
L
2
L
1
C
2
C
1
R
2
R
1
∼
Є
L
m
Рис. 7.18. Связанные колебательные контуры, включенные между генератором и нагрузкой
Пусть ЭДС генератора изменяется по закону Є(t) = Є
0
exp (
−iωt). Тогда комплексные напряжения и токи в индуктивностях контуров будут удовле- творять уравнениям
U
1
=
−iω(L
1
I
1
+ L
m
I
2
), (7.39)
U
2
=
−iω(L
2
I
2
+ L
m
I
1
), (7.40)
]
[
2 2
2 2
2 2
1
R
U
U
C
i
I
C
i
U
U
m
+
ω
−
ω
=
−
. (7.41)
155
Из уравнений (7.39)
−(7.41) находим коэффициент передачи по напряжению из первого контура во второй:
2 1
2 2
2 2
2 1
2 2
1 1
2
]
[
]
)
(
[
1
]
[
ω
−
ω
+
+
−
ω
−
−
=
L
L
L
R
i
C
C
C
L
L
L
L
L
U
U
m
m
m
m
m
. (7.42)
Видно, что коэффициент передачи обращается в нуль на частоте
]
)
[
2 2
1
(
m
m
m
p
C
L
L
L
L
−
=
ω
(7.43) и имеет максимум модуля вблизи резонансной частоты второго контура
]
)
(
1
[
)
(
1 2
1 2
2 2
2
L
L
L
C
C
L
m
m
−
+
=
ω
. (7.44)
Замечаем, что на резонансной частоте
ω
2
коэффициент передачи является мнимым числом:
]
[
]
)
(
1
[
)
(
2 2
1 2
2 1
2 2
1 2
2
m
m
m
m
m
C
C
L
L
L
L
C
L
L
C
C
iR
U
U
+
−
−
+
=
ω
=
ω
(7.45)
Очевидно, что резонансная частота первого контура
]
)
(
1
[
)
(
1 2
1 2
1 1
1
L
L
L
C
C
L
m
m
−
+
=
ω
. (7.46)
Запишем выражение для электромагнитной энергии, запасаемой всеми элементами связанных контуров. Начнем с энергии электрического поля:
(
2 1
2 2
1 2
2 2
2 1
1 2
1 2
1
Re
)
(
Re
)
(
Re
)
(
U
U
C
U
C
U
C
t
W
m
C
−
+
+
=
)
. (
7.47
)
Выделяя для комплексных напряжений U
1
(t), U
2
(t) амплитуды |U
1
|, |U
2
| и на- чальные фазы
ϕ
1
= arg(U
1
)|
t
= 0
,
ϕ
2
= arg(U
2
)|
t
= 0
, выражение (7.47) записываем в виде
)
(
)
(
t
W
W
t
W
C
C
C
+
=
, где
)
(
cos
)
(
)
(
2 1
2 1
2 1
2 2
2 4
1 2
1 1
4 1
ϕ
−
ϕ
−
+
+
+
=
U
U
C
U
C
C
U
C
C
W
m
m
m
C
(7.48)
− постоянная составляющая энергии электрического поля, которую будем называть усредненной по времени энергией;
156
)
2
(
cos
)
(
2
cos
)
(
)
(
2
cos
)
(
)
(
2 1
2 1
2 1
2 2
2 2
4 1
1 2
1 1
4 1
ϕ
−
ϕ
−
ω
−
−
ϕ
−
ω
+
+
ϕ
−
ω
+
=
t
U
U
C
t
U
C
C
t
U
C
C
t
W
m
m
m
C
(7.49)
− переменная составляющая энергии электрического поля, которую будем называть колеблющейся энергией.
Усредненная энергия W
¯
C
, согласно (7.48),
C
C
C
C
W
W
W
W
12 22 11
+
+
=
, где
2 2
2 4
1 22 2
1 1
4 1
11
)
(
,
)
(
U
C
C
W
U
C
C
W
m
C
m
C
+
=
+
=
(7.50)
− усредненные энергии электрического поля, запасаемые первым и вторым контуром в отдельности;
)
(
Re
2
*
1 2
1 12
U
U
C
W
m
C
−
=
(7.51)
− усредненная энергия электрического поля, запасаемая первым и вторым контуром совместно.
Напротив, колеблющаяся энергия W
C
, согласно (7.49),
)
(
)
(
)
(
)
(
12 22 11
t
W
t
W
t
W
t
W
C
C
C
C
+
+
=
, где
)
(
Re
)
(
)
(
),
(
Re
)
(
)
(
2 2
2 4
1 22 2
1 1
4 1
11
U
C
C
t
W
U
C
C
t
W
m
C
m
C
+
=
+
=
(7.52)
− колеблющиеся энергии электрического поля, запасаемые первым и вторым контуром в отдельности;
)
(
Re
)
(
2 1
2 1
12
U
U
C
t
W
m
C
−
=
(7.53)
− колеблющаяся энергия электрического поля, запасаемая первым и вторым контуром совместно.
Запишем теперь энергию магнитного поля, запасаемую всеми элемен- тами связанных контуров:
(
)
2 1
2 2
2 2
1 1
2 1
2 1
(
Re
)
Re
)
(
Re
)
(
Re
)
(
I
I
L
I
L
I
L
t
W
m
L
+
+
=
. (
1 ... 14 15 16 17 18 19 20 21 22
7.54
)
Выделяя амплитуды токов |I
1
|, |I
2
| и их начальные фазы
ψ
1
,
ψ
2
, запишем вы- ражение (7.54) в виде
)
(
)
(
t
W
W
t
W
L
L
L
+
=
,
157
где
)
(
cos
2 1
2 1
2 1
2 2
2 4
1 2
1 1
4 1
ψ
−
ψ
+
+
=
I
I
L
I
L
I
L
W
m
L
(7.55)
− усредненная энергия магнитного поля;
)
2
(
cos
)
(
2
cos
)
(
2
cos
)
(
2 1
2 1
2 1
2 2
2 2
4 1
1 2
1 1
4 1
ψ
−
ψ
−
ω
+
+
ψ
−
ω
+
ψ
−
ω
=
t
I
I
L
t
I
L
t
I
L
t
W
m
L
(7.56)
− колеблющаяся энергия магнитного поля.
В формулах (7.55)–(7.56), в отличие от формул (7.48) и (7.49), ни одно из слагаемых нельзя отождествлять с энергией, запасаемой каким-либо опре- деленным контуром, так как ток в одном из контуров может быть связан с колебанием в другом контуре. Последнее утверждение становится очевид- ным, если рассматривать колебания на частоте
ω = ω
р
, когда U
2
= 0 при U
1
≠ 0.
Действительно, в этом случае колебания во втором контуре отсутствуют
(U
2
= 0), а ток I
2
, согласно (7.41), отличен от нуля. Это означает, что колеба- ния в первом контуре простираются лишь на один из элементов второго кон- тура (L
2
), а не на весь второй контур в целом.
Таким образом, ток I
2
во втором контуре может быть связан как с коле- банием во втором контуре, так и с колебанием в первом контуре. Аналогич- ная неопределенность имеет место и для тока I
1
Эту неопределенность можно устранить, если учитывать реальную взаи- мосвязь между токами и напряжениями, выражаемую общими формулами
,
2 22 1
21 2
2 12 1
11 1
U
i
U
i
I
U
i
U
i
I
+
=
+
=
(7.57)
Подставляя (7.57) в (7.55), получаем
L
L
L
L
W
W
W
W
12 22 11
+
+
=
, где
2 2
22
*
12 2
22 2
2 12 1
4 1
22 2
1 21
*
11 2
21 2
2 11 1
4 1
11
]
[
]
[
)
(
Re
2
,
)
(
Re
2
U
i
i
L
i
L
i
L
W
U
i
i
L
i
L
i
L
W
m
L
m
L
+
+
=
+
+
=
(7.58)
− усредненные энергии магнитного поля, запасаемые первым и вторым кон- туром в отдельности;
158
(
)
2
*
1 12
*
21 22
*
11 22
*
21 2
12
*
11 1
2 1
12
]
[
)
(
Re
U
U
i
i
i
i
L
i
i
L
i
i
L
W
m
L
+
+
+
=
(7.59)
− усредненная энергия магнитного поля, запасаемая первым и вторым конту- ром совместно.
Теперь подставим (7.57) в (7.56). Получаем
)
(
)
(
)
(
)
(
12 22 11
t
W
t
W
t
W
t
W
L
L
L
L
+
+
=
, где
(
)
(
2 2
22 12 2
22 2
2 12 1
4 1
22 2
1 21 11 2
21 2
2 11 1
4 1
11
]
[
]
[
2
Re
)
(
,
2
Re
)
(
U
i
i
L
i
L
i
L
t
W
U
i
i
L
i
L
i
L
t
W
m
L
m
L
+
+
=
+
+
=
)
(7.60)
− колеблющиеся энергии магнитного поля, запасаемые первым и вторым контуром в отдельности;
(
)
2 1
21 12 22 11 22 21 2
12 11 1
2 1
12
]
[
)
(
Re
)
(
U
U
i
i
i
i
L
i
i
L
i
i
L
t
W
m
L
+
+
+
=
(7.61)
− колеблющаяся энергия магнитного поля, запасаемая первым и вторым кон- туром совместно.
Из уравнений (7.39)–(7.40) находим коэффициенты
,
,
,
2 2
1 1
22 2
2 1
21 2
2 1
12 2
2 1
2 11
m
m
m
m
m
m
L
L
L
L
i
i
L
L
L
L
i
i
L
L
L
L
i
i
L
L
L
L
i
i
−
ω
=
−
ω
−
=
−
ω
−
=
−
ω
=
(7.62)
Подставляя (7.62) в (7.61), получаем
)
(
Re
)
(
2
)
(
2 1
2 2
1 2
12
U
U
L
L
L
L
t
W
m
m
L
−
ω
=
. (7.63)
Учитывая, что
)
2
(
cos
)
(
Re
2 1
2 1
2 1
ϕ
−
ϕ
−
ω
=
t
U
U
U
U
, из формул (7.53) и (7.63) находим амплитуды
∗
колеблющихся энергий электрического и магнитного поля, запасаемых контурами совместно:
∗ Амплитуды обеих колеблющихся энергий допускают совместное изменение их знаков, так как амплитудой синусоиды Re(U
1
U
2
) можно считать как |U
1
U
2
|, так и –|U
1
U
2
|.
159 2
1 2
2 1
2 12 2
1 2
1 12
)
(
2
,
U
U
L
L
L
L
W
U
U
C
W
m
m
L
m
C
−
ω
=
−
=
. (7.64)
Теперь подставим (7.62) в (7.58). Получаем
2 2
2 2
1 2
1 22 2
1 2
2 1
2 2
11
)
(
4
,
)
(
4
U
L
L
L
L
W
U
L
L
L
L
W
m
L
m
L
−
ω
=
−
ω
=
. (7.65)
Очевидно, что усредненная энергия электрического поля W
—
12 C
, запа- саемая контурами совместно, есть энергия емкостной связи контуров, а ус- редненная энергия магнитного поля W
—
12 L
есть энергия индуктивной связи контуров.
Можно предположить, что коэффициенты связи k
C
и k
L
пропорцио- нальны энергиям W
—
12 C
и W
—
12 L
. Подобное предположение уже делалось при выводе формул (7.37), где оно достаточно хорошо оправдалось. Однако это не вполне верно. Действительно, если бы коэффициенты k
C
и k
L
были про- порциональны усредненным энергиям W
―
12 C
и W
―
12 L
, то на резонансной часто- те
ω = ω
2
эти коэффициенты, согласно формулам (7.53), (7.63), (7.45) и
(7.39)
−(7.40), обращались бы в нуль, а не принимали значения, выражаемые формулами (7.22) и (7.23). Поэтому будем искать взаимосвязь коэффициен- тов k
C
и k
L
не с усредненными энергиями W
―
12 C
и W
―
12 L
, а с амплитудами W
ֹ
12 C
и W
ֹ
12 L
колеблющихся энергий, которые не обнуляются на резонансной частоте.
Используя формулы (7.50), (7.64), (7.65), приходим к равенствам
,
)
1
)(
1
(
2
)
(
)
(
2 2
2 2
2 1
2 1
22 22 11 11 12
)
)(
(
−
−
ω
ω
+
ω
ω
+
×
×
+
+
−
=
+
+
m
m
m
C
L
C
L
C
C
C
C
C
C
W
W
W
W
W
(7.66)
)
1
(
)
1
(
2
)
(
)
(
2 2
2 2
2 1
2 1
22 22 11 11 12
ω
ω
+
ω
ω
+
=
+
+
−
−
L
L
L
W
W
W
W
W
m
C
L
C
L
L
. (7.67)
Видно, что при выполнении условий двойного резонанса
ω = ω
1
= ω
2
правые стороны равенств (7.66) и (7.67) совпадают соответственно с правыми сторо- нами формул (7.22) и (7.23). Поэтому коэффициенты индуктивной и емкостной связи любых резонаторов СВЧ и контуров определяем форму- лами
160
k
L
)
(
)
(
22 22 11 11 12
C
L
C
L
L
W
W
W
W
W
+
+
=
, (
7.68
)
k
C
)
(
)
(
22 22 11 11 12
C
L
C
L
C
W
W
W
W
W
+
+
=
. (
7.69
)
Из этих определений, в частности, следует, что коэффициенты k
L
и k
C
для контуров с внутренней индуктивной и внешней емкостной связью могут быть вычислены на произвольной частоте
ω по формулам
,
)
1
(
)
1
(
2 2
2 2
2 1
2 2
1
−
−
ω
ω
+
ω
ω
+
=
L
L
L
k
m
L
(7.70)
)
1
(
)
1
(
2
)
(
)
(
2 2
2 2
2 1
2 1
−
−
ω
ω
+
ω
ω
+
+
+
−
=
m
m
m
C
C
C
C
C
C
k
(7.71)
Видно, что при L
m
> 0 коэффициент k
L
всегда положителен. Он убывает с ростом частоты
ω. Напротив, коэффициент k
С
всегда отрицателен и возрас- тает по модулю с ростом частоты. Поэтому всегда существует частота взаим- ной компенсации индуктивной и емкостной связи
ω
z
, на которой сумма
k
L
+ k
C
обращается в нуль, а вместе с ней, согласно (7.24), обращается в нуль и коэффициент k. Не трудно проверить, что частота
ω
z
строго совпадает с частотой нуля коэффициента передачи напряжения
ω
p
, значение которой за- дается формулой (7.43). В зависимости от величины отношения L
m
/
C
m
часто- та
ω
z
может быть как выше, так и ниже частот
ω
1
и
ω
2
Таким образом, согласно формулам (7.68)–(7.69) коэффициенты индук- тивной связи k
L
и емкостной связи k
C
есть отношения амплитуд колеблю- щейся части соответственно магнитной и электрической энергии, запасаемой резонаторами совместно, к среднегеометрической величине усредненных по времени полных энергий, запасаемых каждым резонатором в отдельности.
Зная коэффициенты k
L
и k
C
, по формуле сложения (7.24) можно вычислить коэффициент связи k.
7.7. Энергия связанных МПР
Рассмотрим два параллельных микрополосковых резонатора. Ось ко- ординат z направим параллельно резонаторам. В общем случае погонные емкости и индуктивности проводников будут функциями от z. Пусть вход
161
первого резонатора расположен в точке z
1
, а вход второго – в точке z
2
. Будем полагать, что напряжения на проводниках в этих точках принимают значения
u
1
(z
1
) = U
1
,
u
2
(z
2
) = U
2
. (7.72)
Запишем усредненную электрическую и магнитную энергию поля СВЧ связанных резонаторов
∫
∫
∫
−
+
+
+
=
,
)
(
Re
)
(
)
(
2
*
1 2
1 2
2 2
4 1
2 1
1 4
1
dz
u
u
C
dz
u
C
C
dz
u
C
C
W
m
m
m
C
(7.73)
,
)
(
Re
2
*
1 2
1 2
2 2
4 1
2 1
1 4
1
∫
∫
∫
+
+
=
dz
i
i
L
dz
i
L
dz
i
L
W
m
L
(7.74) где интегрирование производится по области существования токов и напря- жений.
Прежде чем выделять в выражениях (7.73) и (7.74) энергии, запасаемые каждым резонатором в отдельности, и энергии, запасаемые резонаторами со- вместно, преобразуем формулу (7.74) исходя из следующего. В режиме бе- гущей волны напряжение на любом из проводников связанных линий про- порционально определенной линейной комбинации токов на обоих провод- никах. Поэтому напряжениям u
1
и u
2
, согласно телеграфным уравнениям
(2.3), можно сопоставить некие сопряженные токи j
1
и j
2
, которые связа- ны с токами на проводниках i
1
и i
2
, унитарным преобразованием
)
(
1
/
]
)
/
(
[
,
)
(
1
/
]
)
/
(
[
2 1
2 2
1 2
2 2
1 2
2 1
1 1
L
L
L
j
j
L
L
i
L
L
L
j
L
L
j
i
m
m
m
m
−
+
−
=
−
−
=
(7.75)
Выражение (7.74) после подстановки в него формул (7.75) принимает вид
∫
∫
∫
−
+
=
dz
j
j
L
dz
j
L
dz
j
L
W
m
L
)
(
Re
2
*
1 2
1 2
2 2
4 1
2 1
1 4
1
. (7.76)
Напряжения и токи на проводниках, в силу линейности задачи о воз- буждении колебаний в связанных резонаторах, можно представить в виде
)
(
)
(
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
2 22 1
21 2
2 22 1
21 2
2 12 1
11 1
2 12 1
11 1
U
z
j
U
z
j
j
U
z
u
U
z
u
u
U
z
j
U
z
j
j
U
z
u
U
z
u
u
+
=
+
=
+
=
+
=
(7.77)
Из (7.72) следует, что
1
)
(
,
0
)
(
,
0
)
(
,
1
)
(
2 22 2
21 1
12 1
11
=
=
=
=
z
u
z
u
z
u
z
u
. (7.78)
162
Подставляя (7.77) в (7.73) и (7.76), получаем
W
—
C
= W
—
11C
+ W
—
22C
+ W
—
12C
,
W
—
L
= W
—
11L
+ W
—
22L
+ W
—
12L
, где искомые энергии
(
)
,
)
(
)
(
)
(
Re
,
2
)
(
)
(
Re
,
2
)
(
)
(
Re
]
[
]
[
]
[
12
*
21 22
*
11 22
*
21 2
12
*
11 1
2
*
1 2
1 12 22
*
12 2
12 1
2 22 2
2 2
4 1
22 21
*
11 2
21 2
2 11 1
2 1
4 1
11
∫
∫
∫
+
−
+
+
+
=
−
+
+
+
=
−
+
+
+
=
dz
u
u
u
u
C
u
u
C
C
u
u
C
C
U
U
W
dz
u
u
C
u
C
C
u
C
C
U
W
dz
u
u
C
u
C
C
u
C
C
U
W
m
m
m
C
m
m
m
C
m
m
m
C
(7.79)
(
)
)
(
Re
,
2
Re
,
2
Re
]
[
]
[
]
[
12
*
21 22
*
11 22
*
21 2
12
*
11 1
2
*
1 2
1 12 22
*
12 2
22 2
2 12 1
2 2
4 1
22 21
*
11 2
21 2
2 11 1
2 1
4 1
11
∫
∫
∫
+
−
+
=
−
+
=
−
+
=
dz
j
j
j
j
L
j
j
L
j
j
L
U
U
W
dz
j
j
L
j
L
j
L
U
W
dz
j
j
L
j
L
j
L
U
W
m
L
m
L
m
L
(7.80)
Усредненным энергиям W
—
12 C
, W
—
12 L
соответствуют колеблющиеся энергии
(
)
∫
+
−
+
+
+
=
dz
u
u
u
u
C
u
u
C
C
u
u
C
C
U
U
W
m
m
m
C
]
[
)
(
)
(
)
(
Re
12 21 22 11 22 21 2
12 11 1
2 1
2 1
12
, (7.81)
(
)
∫
+
−
+
=
dz
j
j
j
j
L
j
j
L
j
j
L
U
U
W
m
L
]
[
)
(
Re
12 21 22 11 22 21 2
12 11 1
2 1
2 1
12
. (7.82)
Для нахождения функций u
ij
(z) и j
i j
(z) воспользуемся линейными свой- ствами связанных колебаний резонаторов. Согласно (7.77) имеем
)
(
)
(
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
1
,
0 2
22 1
,
0 2
22 0
,
1 2
21 0
,
1 2
21 1
,
0 1
12 1
,
0 1
12 0
,
1 1
11 0
,
1 1
11 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
z
j
z
j
z
u
z
u
z
j
z
j
z
u
z
u
z
j
z
j
z
u
z
u
z
j
z
j
z
u
z
u
(7.83)
Таким образом, вычислив распределение токов и напряжений на про- водниках связанных резонаторов для двух способов их возбуждения (U
1
= 1,
U
2
= 0 и U
1
= 0, U
2
= 1), можно по формулам (7.79)
−(7.83) рассчитать все энер- гии, а затем по формулам (7.68)
−(7.69) вычислить коэффициенты связи.
163
1 ... 14 15 16 17 18 19 20 21 22
7.54
)
Выделяя амплитуды токов |I
1
|, |I
2
| и их начальные фазы
ψ
1
,
ψ
2
, запишем вы- ражение (7.54) в виде
)
(
)
(
t
W
W
t
W
L
L
L
+
=
,
157
где
)
(
cos
2 1
2 1
2 1
2 2
2 4
1 2
1 1
4 1
ψ
−
ψ
+
+
=
I
I
L
I
L
I
L
W
m
L
(7.55)
− усредненная энергия магнитного поля;
)
2
(
cos
)
(
2
cos
)
(
2
cos
)
(
2 1
2 1
2 1
2 2
2 2
4 1
1 2
1 1
4 1
ψ
−
ψ
−
ω
+
+
ψ
−
ω
+
ψ
−
ω
=
t
I
I
L
t
I
L
t
I
L
t
W
m
L
(7.56)
− колеблющаяся энергия магнитного поля.
В формулах (7.55)–(7.56), в отличие от формул (7.48) и (7.49), ни одно из слагаемых нельзя отождествлять с энергией, запасаемой каким-либо опре- деленным контуром, так как ток в одном из контуров может быть связан с колебанием в другом контуре. Последнее утверждение становится очевид- ным, если рассматривать колебания на частоте
ω = ω
р
, когда U
2
= 0 при U
1
≠ 0.
Действительно, в этом случае колебания во втором контуре отсутствуют
(U
2
= 0), а ток I
2
, согласно (7.41), отличен от нуля. Это означает, что колеба- ния в первом контуре простираются лишь на один из элементов второго кон- тура (L
2
), а не на весь второй контур в целом.
Таким образом, ток I
2
во втором контуре может быть связан как с коле- банием во втором контуре, так и с колебанием в первом контуре. Аналогич- ная неопределенность имеет место и для тока I
1
Эту неопределенность можно устранить, если учитывать реальную взаи- мосвязь между токами и напряжениями, выражаемую общими формулами
,
2 22 1
21 2
2 12 1
11 1
U
i
U
i
I
U
i
U
i
I
+
=
+
=
(7.57)
Подставляя (7.57) в (7.55), получаем
L
L
L
L
W
W
W
W
12 22 11
+
+
=
, где
2 2
22
*
12 2
22 2
2 12 1
4 1
22 2
1 21
*
11 2
21 2
2 11 1
4 1
11
]
[
]
[
)
(
Re
2
,
)
(
Re
2
U
i
i
L
i
L
i
L
W
U
i
i
L
i
L
i
L
W
m
L
m
L
+
+
=
+
+
=
(7.58)
− усредненные энергии магнитного поля, запасаемые первым и вторым кон- туром в отдельности;
158
(
)
2
*
1 12
*
21 22
*
11 22
*
21 2
12
*
11 1
2 1
12
]
[
)
(
Re
U
U
i
i
i
i
L
i
i
L
i
i
L
W
m
L
+
+
+
=
(7.59)
− усредненная энергия магнитного поля, запасаемая первым и вторым конту- ром совместно.
Теперь подставим (7.57) в (7.56). Получаем
)
(
)
(
)
(
)
(
12 22 11
t
W
t
W
t
W
t
W
L
L
L
L
+
+
=
, где
(
)
(
2 2
22 12 2
22 2
2 12 1
4 1
22 2
1 21 11 2
21 2
2 11 1
4 1
11
]
[
]
[
2
Re
)
(
,
2
Re
)
(
U
i
i
L
i
L
i
L
t
W
U
i
i
L
i
L
i
L
t
W
m
L
m
L
+
+
=
+
+
=
)
(7.60)
− колеблющиеся энергии магнитного поля, запасаемые первым и вторым контуром в отдельности;
(
)
2 1
21 12 22 11 22 21 2
12 11 1
2 1
12
]
[
)
(
Re
)
(
U
U
i
i
i
i
L
i
i
L
i
i
L
t
W
m
L
+
+
+
=
(7.61)
− колеблющаяся энергия магнитного поля, запасаемая первым и вторым кон- туром совместно.
Из уравнений (7.39)–(7.40) находим коэффициенты
,
,
,
2 2
1 1
22 2
2 1
21 2
2 1
12 2
2 1
2 11
m
m
m
m
m
m
L
L
L
L
i
i
L
L
L
L
i
i
L
L
L
L
i
i
L
L
L
L
i
i
−
ω
=
−
ω
−
=
−
ω
−
=
−
ω
=
(7.62)
Подставляя (7.62) в (7.61), получаем
)
(
Re
)
(
2
)
(
2 1
2 2
1 2
12
U
U
L
L
L
L
t
W
m
m
L
−
ω
=
. (7.63)
Учитывая, что
)
2
(
cos
)
(
Re
2 1
2 1
2 1
ϕ
−
ϕ
−
ω
=
t
U
U
U
U
, из формул (7.53) и (7.63) находим амплитуды
∗
колеблющихся энергий электрического и магнитного поля, запасаемых контурами совместно:
∗ Амплитуды обеих колеблющихся энергий допускают совместное изменение их знаков, так как амплитудой синусоиды Re(U
1
U
2
) можно считать как |U
1
U
2
|, так и –|U
1
U
2
|.
159 2
1 2
2 1
2 12 2
1 2
1 12
)
(
2
,
U
U
L
L
L
L
W
U
U
C
W
m
m
L
m
C
−
ω
=
−
=
. (7.64)
Теперь подставим (7.62) в (7.58). Получаем
2 2
2 2
1 2
1 22 2
1 2
2 1
2 2
11
)
(
4
,
)
(
4
U
L
L
L
L
W
U
L
L
L
L
W
m
L
m
L
−
ω
=
−
ω
=
. (7.65)
Очевидно, что усредненная энергия электрического поля W
—
12 C
, запа- саемая контурами совместно, есть энергия емкостной связи контуров, а ус- редненная энергия магнитного поля W
—
12 L
есть энергия индуктивной связи контуров.
Можно предположить, что коэффициенты связи k
C
и k
L
пропорцио- нальны энергиям W
—
12 C
и W
—
12 L
. Подобное предположение уже делалось при выводе формул (7.37), где оно достаточно хорошо оправдалось. Однако это не вполне верно. Действительно, если бы коэффициенты k
C
и k
L
были про- порциональны усредненным энергиям W
―
12 C
и W
―
12 L
, то на резонансной часто- те
ω = ω
2
эти коэффициенты, согласно формулам (7.53), (7.63), (7.45) и
(7.39)
−(7.40), обращались бы в нуль, а не принимали значения, выражаемые формулами (7.22) и (7.23). Поэтому будем искать взаимосвязь коэффициен- тов k
C
и k
L
не с усредненными энергиями W
―
12 C
и W
―
12 L
, а с амплитудами W
ֹ
12 C
и W
ֹ
12 L
колеблющихся энергий, которые не обнуляются на резонансной частоте.
Используя формулы (7.50), (7.64), (7.65), приходим к равенствам
,
)
1
)(
1
(
2
)
(
)
(
2 2
2 2
2 1
2 1
22 22 11 11 12
)
)(
(
−
−
ω
ω
+
ω
ω
+
×
×
+
+
−
=
+
+
m
m
m
C
L
C
L
C
C
C
C
C
C
W
W
W
W
W
(7.66)
)
1
(
)
1
(
2
)
(
)
(
2 2
2 2
2 1
2 1
22 22 11 11 12
ω
ω
+
ω
ω
+
=
+
+
−
−
L
L
L
W
W
W
W
W
m
C
L
C
L
L
. (7.67)
Видно, что при выполнении условий двойного резонанса
ω = ω
1
= ω
2
правые стороны равенств (7.66) и (7.67) совпадают соответственно с правыми сторо- нами формул (7.22) и (7.23). Поэтому коэффициенты индуктивной и емкостной связи любых резонаторов СВЧ и контуров определяем форму- лами
160
k
L
)
(
)
(
22 22 11 11 12
C
L
C
L
L
W
W
W
W
W
+
+
=
, (
7.68
)
k
C
)
(
)
(
22 22 11 11 12
C
L
C
L
C
W
W
W
W
W
+
+
=
. (
7.69
)
Из этих определений, в частности, следует, что коэффициенты k
L
и k
C
для контуров с внутренней индуктивной и внешней емкостной связью могут быть вычислены на произвольной частоте
ω по формулам
,
)
1
(
)
1
(
2 2
2 2
2 1
2 2
1
−
−
ω
ω
+
ω
ω
+
=
L
L
L
k
m
L
(7.70)
)
1
(
)
1
(
2
)
(
)
(
2 2
2 2
2 1
2 1
−
−
ω
ω
+
ω
ω
+
+
+
−
=
m
m
m
C
C
C
C
C
C
k
(7.71)
Видно, что при L
m
> 0 коэффициент k
L
всегда положителен. Он убывает с ростом частоты
ω. Напротив, коэффициент k
С
всегда отрицателен и возрас- тает по модулю с ростом частоты. Поэтому всегда существует частота взаим- ной компенсации индуктивной и емкостной связи
ω
z
, на которой сумма
k
L
+ k
C
обращается в нуль, а вместе с ней, согласно (7.24), обращается в нуль и коэффициент k. Не трудно проверить, что частота
ω
z
строго совпадает с частотой нуля коэффициента передачи напряжения
ω
p
, значение которой за- дается формулой (7.43). В зависимости от величины отношения L
m
/
C
m
часто- та
ω
z
может быть как выше, так и ниже частот
ω
1
и
ω
2
Таким образом, согласно формулам (7.68)–(7.69) коэффициенты индук- тивной связи k
L
и емкостной связи k
C
есть отношения амплитуд колеблю- щейся части соответственно магнитной и электрической энергии, запасаемой резонаторами совместно, к среднегеометрической величине усредненных по времени полных энергий, запасаемых каждым резонатором в отдельности.
Зная коэффициенты k
L
и k
C
, по формуле сложения (7.24) можно вычислить коэффициент связи k.
7.7. Энергия связанных МПР
Рассмотрим два параллельных микрополосковых резонатора. Ось ко- ординат z направим параллельно резонаторам. В общем случае погонные емкости и индуктивности проводников будут функциями от z. Пусть вход
161
первого резонатора расположен в точке z
1
, а вход второго – в точке z
2
. Будем полагать, что напряжения на проводниках в этих точках принимают значения
u
1
(z
1
) = U
1
,
u
2
(z
2
) = U
2
. (7.72)
Запишем усредненную электрическую и магнитную энергию поля СВЧ связанных резонаторов
∫
∫
∫
−
+
+
+
=
,
)
(
Re
)
(
)
(
2
*
1 2
1 2
2 2
4 1
2 1
1 4
1
dz
u
u
C
dz
u
C
C
dz
u
C
C
W
m
m
m
C
(7.73)
,
)
(
Re
2
*
1 2
1 2
2 2
4 1
2 1
1 4
1
∫
∫
∫
+
+
=
dz
i
i
L
dz
i
L
dz
i
L
W
m
L
(7.74) где интегрирование производится по области существования токов и напря- жений.
Прежде чем выделять в выражениях (7.73) и (7.74) энергии, запасаемые каждым резонатором в отдельности, и энергии, запасаемые резонаторами со- вместно, преобразуем формулу (7.74) исходя из следующего. В режиме бе- гущей волны напряжение на любом из проводников связанных линий про- порционально определенной линейной комбинации токов на обоих провод- никах. Поэтому напряжениям u
1
и u
2
, согласно телеграфным уравнениям
(2.3), можно сопоставить некие сопряженные токи j
1
и j
2
, которые связа- ны с токами на проводниках i
1
и i
2
, унитарным преобразованием
)
(
1
/
]
)
/
(
[
,
)
(
1
/
]
)
/
(
[
2 1
2 2
1 2
2 2
1 2
2 1
1 1
L
L
L
j
j
L
L
i
L
L
L
j
L
L
j
i
m
m
m
m
−
+
−
=
−
−
=
(7.75)
Выражение (7.74) после подстановки в него формул (7.75) принимает вид
∫
∫
∫
−
+
=
dz
j
j
L
dz
j
L
dz
j
L
W
m
L
)
(
Re
2
*
1 2
1 2
2 2
4 1
2 1
1 4
1
. (7.76)
Напряжения и токи на проводниках, в силу линейности задачи о воз- буждении колебаний в связанных резонаторах, можно представить в виде
)
(
)
(
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
2 22 1
21 2
2 22 1
21 2
2 12 1
11 1
2 12 1
11 1
U
z
j
U
z
j
j
U
z
u
U
z
u
u
U
z
j
U
z
j
j
U
z
u
U
z
u
u
+
=
+
=
+
=
+
=
(7.77)
Из (7.72) следует, что
1
)
(
,
0
)
(
,
0
)
(
,
1
)
(
2 22 2
21 1
12 1
11
=
=
=
=
z
u
z
u
z
u
z
u
. (7.78)
162
Подставляя (7.77) в (7.73) и (7.76), получаем
W
—
C
= W
—
11C
+ W
—
22C
+ W
—
12C
,
W
—
L
= W
—
11L
+ W
—
22L
+ W
—
12L
, где искомые энергии
(
)
,
)
(
)
(
)
(
Re
,
2
)
(
)
(
Re
,
2
)
(
)
(
Re
]
[
]
[
]
[
12
*
21 22
*
11 22
*
21 2
12
*
11 1
2
*
1 2
1 12 22
*
12 2
12 1
2 22 2
2 2
4 1
22 21
*
11 2
21 2
2 11 1
2 1
4 1
11
∫
∫
∫
+
−
+
+
+
=
−
+
+
+
=
−
+
+
+
=
dz
u
u
u
u
C
u
u
C
C
u
u
C
C
U
U
W
dz
u
u
C
u
C
C
u
C
C
U
W
dz
u
u
C
u
C
C
u
C
C
U
W
m
m
m
C
m
m
m
C
m
m
m
C
(7.79)
(
)
)
(
Re
,
2
Re
,
2
Re
]
[
]
[
]
[
12
*
21 22
*
11 22
*
21 2
12
*
11 1
2
*
1 2
1 12 22
*
12 2
22 2
2 12 1
2 2
4 1
22 21
*
11 2
21 2
2 11 1
2 1
4 1
11
∫
∫
∫
+
−
+
=
−
+
=
−
+
=
dz
j
j
j
j
L
j
j
L
j
j
L
U
U
W
dz
j
j
L
j
L
j
L
U
W
dz
j
j
L
j
L
j
L
U
W
m
L
m
L
m
L
(7.80)
Усредненным энергиям W
—
12 C
, W
—
12 L
соответствуют колеблющиеся энергии
(
)
∫
+
−
+
+
+
=
dz
u
u
u
u
C
u
u
C
C
u
u
C
C
U
U
W
m
m
m
C
]
[
)
(
)
(
)
(
Re
12 21 22 11 22 21 2
12 11 1
2 1
2 1
12
, (7.81)
(
)
∫
+
−
+
=
dz
j
j
j
j
L
j
j
L
j
j
L
U
U
W
m
L
]
[
)
(
Re
12 21 22 11 22 21 2
12 11 1
2 1
2 1
12
. (7.82)
Для нахождения функций u
ij
(z) и j
i j
(z) воспользуемся линейными свой- ствами связанных колебаний резонаторов. Согласно (7.77) имеем
)
(
)
(
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
1
,
0 2
22 1
,
0 2
22 0
,
1 2
21 0
,
1 2
21 1
,
0 1
12 1
,
0 1
12 0
,
1 1
11 0
,
1 1
11 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
z
j
z
j
z
u
z
u
z
j
z
j
z
u
z
u
z
j
z
j
z
u
z
u
z
j
z
j
z
u
z
u
(7.83)
Таким образом, вычислив распределение токов и напряжений на про- водниках связанных резонаторов для двух способов их возбуждения (U
1
= 1,
U
2
= 0 и U
1
= 0, U
2
= 1), можно по формулам (7.79)
−(7.83) рассчитать все энер- гии, а затем по формулам (7.68)
−(7.69) вычислить коэффициенты связи.
163
1 ... 14 15 16 17 18 19 20 21 22
7.54
)
Выделяя амплитуды токов |I
1
|, |I
2
| и их начальные фазы
ψ
1
,
ψ
2
, запишем вы- ражение (7.54) в виде
)
(
)
(
t
W
W
t
W
L
L
L
+
=
,
157
где
)
(
cos
2 1
2 1
2 1
2 2
2 4
1 2
1 1
4 1
ψ
−
ψ
+
+
=
I
I
L
I
L
I
L
W
m
L
(7.55)
− усредненная энергия магнитного поля;
)
2
(
cos
)
(
2
cos
)
(
2
cos
)
(
2 1
2 1
2 1
2 2
2 2
4 1
1 2
1 1
4 1
ψ
−
ψ
−
ω
+
+
ψ
−
ω
+
ψ
−
ω
=
t
I
I
L
t
I
L
t
I
L
t
W
m
L
(7.56)
− колеблющаяся энергия магнитного поля.
В формулах (7.55)–(7.56), в отличие от формул (7.48) и (7.49), ни одно из слагаемых нельзя отождествлять с энергией, запасаемой каким-либо опре- деленным контуром, так как ток в одном из контуров может быть связан с колебанием в другом контуре. Последнее утверждение становится очевид- ным, если рассматривать колебания на частоте
ω = ω
р
, когда U
2
= 0 при U
1
≠ 0.
Действительно, в этом случае колебания во втором контуре отсутствуют
(U
2
= 0), а ток I
2
, согласно (7.41), отличен от нуля. Это означает, что колеба- ния в первом контуре простираются лишь на один из элементов второго кон- тура (L
2
), а не на весь второй контур в целом.
Таким образом, ток I
2
во втором контуре может быть связан как с коле- банием во втором контуре, так и с колебанием в первом контуре. Аналогич- ная неопределенность имеет место и для тока I
1
Эту неопределенность можно устранить, если учитывать реальную взаи- мосвязь между токами и напряжениями, выражаемую общими формулами
,
2 22 1
21 2
2 12 1
11 1
U
i
U
i
I
U
i
U
i
I
+
=
+
=
(7.57)
Подставляя (7.57) в (7.55), получаем
L
L
L
L
W
W
W
W
12 22 11
+
+
=
, где
2 2
22
*
12 2
22 2
2 12 1
4 1
22 2
1 21
*
11 2
21 2
2 11 1
4 1
11
]
[
]
[
)
(
Re
2
,
)
(
Re
2
U
i
i
L
i
L
i
L
W
U
i
i
L
i
L
i
L
W
m
L
m
L
+
+
=
+
+
=
(7.58)
− усредненные энергии магнитного поля, запасаемые первым и вторым кон- туром в отдельности;
158
(
)
2
*
1 12
*
21 22
*
11 22
*
21 2
12
*
11 1
2 1
12
]
[
)
(
Re
U
U
i
i
i
i
L
i
i
L
i
i
L
W
m
L
+
+
+
=
(7.59)
− усредненная энергия магнитного поля, запасаемая первым и вторым конту- ром совместно.
Теперь подставим (7.57) в (7.56). Получаем
)
(
)
(
)
(
)
(
12 22 11
t
W
t
W
t
W
t
W
L
L
L
L
+
+
=
, где
(
)
(
2 2
22 12 2
22 2
2 12 1
4 1
22 2
1 21 11 2
21 2
2 11 1
4 1
11
]
[
]
[
2
Re
)
(
,
2
Re
)
(
U
i
i
L
i
L
i
L
t
W
U
i
i
L
i
L
i
L
t
W
m
L
m
L
+
+
=
+
+
=
)
(7.60)
− колеблющиеся энергии магнитного поля, запасаемые первым и вторым контуром в отдельности;
(
)
2 1
21 12 22 11 22 21 2
12 11 1
2 1
12
]
[
)
(
Re
)
(
U
U
i
i
i
i
L
i
i
L
i
i
L
t
W
m
L
+
+
+
=
(7.61)
− колеблющаяся энергия магнитного поля, запасаемая первым и вторым кон- туром совместно.
Из уравнений (7.39)–(7.40) находим коэффициенты
,
,
,
2 2
1 1
22 2
2 1
21 2
2 1
12 2
2 1
2 11
m
m
m
m
m
m
L
L
L
L
i
i
L
L
L
L
i
i
L
L
L
L
i
i
L
L
L
L
i
i
−
ω
=
−
ω
−
=
−
ω
−
=
−
ω
=
(7.62)
Подставляя (7.62) в (7.61), получаем
)
(
Re
)
(
2
)
(
2 1
2 2
1 2
12
U
U
L
L
L
L
t
W
m
m
L
−
ω
=
. (7.63)
Учитывая, что
)
2
(
cos
)
(
Re
2 1
2 1
2 1
ϕ
−
ϕ
−
ω
=
t
U
U
U
U
, из формул (7.53) и (7.63) находим амплитуды
∗
колеблющихся энергий электрического и магнитного поля, запасаемых контурами совместно:
∗ Амплитуды обеих колеблющихся энергий допускают совместное изменение их знаков, так как амплитудой синусоиды Re(U
1
U
2
) можно считать как |U
1
U
2
|, так и –|U
1
U
2
|.
159 2
1 2
2 1
2 12 2
1 2
1 12
)
(
2
,
U
U
L
L
L
L
W
U
U
C
W
m
m
L
m
C
−
ω
=
−
=
. (7.64)
Теперь подставим (7.62) в (7.58). Получаем
2 2
2 2
1 2
1 22 2
1 2
2 1
2 2
11
)
(
4
,
)
(
4
U
L
L
L
L
W
U
L
L
L
L
W
m
L
m
L
−
ω
=
−
ω
=
. (7.65)
Очевидно, что усредненная энергия электрического поля W
—
12 C
, запа- саемая контурами совместно, есть энергия емкостной связи контуров, а ус- редненная энергия магнитного поля W
—
12 L
есть энергия индуктивной связи контуров.
Можно предположить, что коэффициенты связи k
C
и k
L
пропорцио- нальны энергиям W
—
12 C
и W
—
12 L
. Подобное предположение уже делалось при выводе формул (7.37), где оно достаточно хорошо оправдалось. Однако это не вполне верно. Действительно, если бы коэффициенты k
C
и k
L
были про- порциональны усредненным энергиям W
―
12 C
и W
―
12 L
, то на резонансной часто- те
ω = ω
2
эти коэффициенты, согласно формулам (7.53), (7.63), (7.45) и
(7.39)
−(7.40), обращались бы в нуль, а не принимали значения, выражаемые формулами (7.22) и (7.23). Поэтому будем искать взаимосвязь коэффициен- тов k
C
и k
L
не с усредненными энергиями W
―
12 C
и W
―
12 L
, а с амплитудами W
ֹ
12 C
и W
ֹ
12 L
колеблющихся энергий, которые не обнуляются на резонансной частоте.
Используя формулы (7.50), (7.64), (7.65), приходим к равенствам
,
)
1
)(
1
(
2
)
(
)
(
2 2
2 2
2 1
2 1
22 22 11 11 12
)
)(
(
−
−
ω
ω
+
ω
ω
+
×
×
+
+
−
=
+
+
m
m
m
C
L
C
L
C
C
C
C
C
C
W
W
W
W
W
(7.66)
)
1
(
)
1
(
2
)
(
)
(
2 2
2 2
2 1
2 1
22 22 11 11 12
ω
ω
+
ω
ω
+
=
+
+
−
−
L
L
L
W
W
W
W
W
m
C
L
C
L
L
. (7.67)
Видно, что при выполнении условий двойного резонанса
ω = ω
1
= ω
2
правые стороны равенств (7.66) и (7.67) совпадают соответственно с правыми сторо- нами формул (7.22) и (7.23). Поэтому коэффициенты индуктивной и емкостной связи любых резонаторов СВЧ и контуров определяем форму- лами
160
k
L
)
(
)
(
22 22 11 11 12
C
L
C
L
L
W
W
W
W
W
+
+
=
, (
7.68
)
k
C
)
(
)
(
22 22 11 11 12
C
L
C
L
C
W
W
W
W
W
+
+
=
. (
7.69
)
Из этих определений, в частности, следует, что коэффициенты k
L
и k
C
для контуров с внутренней индуктивной и внешней емкостной связью могут быть вычислены на произвольной частоте
ω по формулам
,
)
1
(
)
1
(
2 2
2 2
2 1
2 2
1
−
−
ω
ω
+
ω
ω
+
=
L
L
L
k
m
L
(7.70)
)
1
(
)
1
(
2
)
(
)
(
2 2
2 2
2 1
2 1
−
−
ω
ω
+
ω
ω
+
+
+
−
=
m
m
m
C
C
C
C
C
C
k
(7.71)
Видно, что при L
m
> 0 коэффициент k
L
всегда положителен. Он убывает с ростом частоты
ω. Напротив, коэффициент k
С
всегда отрицателен и возрас- тает по модулю с ростом частоты. Поэтому всегда существует частота взаим- ной компенсации индуктивной и емкостной связи
ω
z
, на которой сумма
k
L
+ k
C
обращается в нуль, а вместе с ней, согласно (7.24), обращается в нуль и коэффициент k. Не трудно проверить, что частота
ω
z
строго совпадает с частотой нуля коэффициента передачи напряжения
ω
p
, значение которой за- дается формулой (7.43). В зависимости от величины отношения L
m
/
C
m
часто- та
ω
z
может быть как выше, так и ниже частот
ω
1
и
ω
2
Таким образом, согласно формулам (7.68)–(7.69) коэффициенты индук- тивной связи k
L
и емкостной связи k
C
есть отношения амплитуд колеблю- щейся части соответственно магнитной и электрической энергии, запасаемой резонаторами совместно, к среднегеометрической величине усредненных по времени полных энергий, запасаемых каждым резонатором в отдельности.
Зная коэффициенты k
L
и k
C
, по формуле сложения (7.24) можно вычислить коэффициент связи k.
7.7. Энергия связанных МПР
Рассмотрим два параллельных микрополосковых резонатора. Ось ко- ординат z направим параллельно резонаторам. В общем случае погонные емкости и индуктивности проводников будут функциями от z. Пусть вход
161
первого резонатора расположен в точке z
1
, а вход второго – в точке z
2
. Будем полагать, что напряжения на проводниках в этих точках принимают значения
u
1
(z
1
) = U
1
,
u
2
(z
2
) = U
2
. (7.72)
Запишем усредненную электрическую и магнитную энергию поля СВЧ связанных резонаторов
∫
∫
∫
−
+
+
+
=
,
)
(
Re
)
(
)
(
2
*
1 2
1 2
2 2
4 1
2 1
1 4
1
dz
u
u
C
dz
u
C
C
dz
u
C
C
W
m
m
m
C
(7.73)
,
)
(
Re
2
*
1 2
1 2
2 2
4 1
2 1
1 4
1
∫
∫
∫
+
+
=
dz
i
i
L
dz
i
L
dz
i
L
W
m
L
(7.74) где интегрирование производится по области существования токов и напря- жений.
Прежде чем выделять в выражениях (7.73) и (7.74) энергии, запасаемые каждым резонатором в отдельности, и энергии, запасаемые резонаторами со- вместно, преобразуем формулу (7.74) исходя из следующего. В режиме бе- гущей волны напряжение на любом из проводников связанных линий про- порционально определенной линейной комбинации токов на обоих провод- никах. Поэтому напряжениям u
1
и u
2
, согласно телеграфным уравнениям
(2.3), можно сопоставить некие сопряженные токи j
1
и j
2
, которые связа- ны с токами на проводниках i
1
и i
2
, унитарным преобразованием
)
(
1
/
]
)
/
(
[
,
)
(
1
/
]
)
/
(
[
2 1
2 2
1 2
2 2
1 2
2 1
1 1
L
L
L
j
j
L
L
i
L
L
L
j
L
L
j
i
m
m
m
m
−
+
−
=
−
−
=
(7.75)
Выражение (7.74) после подстановки в него формул (7.75) принимает вид
∫
∫
∫
−
+
=
dz
j
j
L
dz
j
L
dz
j
L
W
m
L
)
(
Re
2
*
1 2
1 2
2 2
4 1
2 1
1 4
1
. (7.76)
Напряжения и токи на проводниках, в силу линейности задачи о воз- буждении колебаний в связанных резонаторах, можно представить в виде
)
(
)
(
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
2 22 1
21 2
2 22 1
21 2
2 12 1
11 1
2 12 1
11 1
U
z
j
U
z
j
j
U
z
u
U
z
u
u
U
z
j
U
z
j
j
U
z
u
U
z
u
u
+
=
+
=
+
=
+
=
(7.77)
Из (7.72) следует, что
1
)
(
,
0
)
(
,
0
)
(
,
1
)
(
2 22 2
21 1
12 1
11
=
=
=
=
z
u
z
u
z
u
z
u
. (7.78)
162
Подставляя (7.77) в (7.73) и (7.76), получаем
W
—
C
= W
—
11C
+ W
—
22C
+ W
—
12C
,
W
—
L
= W
—
11L
+ W
—
22L
+ W
—
12L
, где искомые энергии
(
)
,
)
(
)
(
)
(
Re
,
2
)
(
)
(
Re
,
2
)
(
)
(
Re
]
[
]
[
]
[
12
*
21 22
*
11 22
*
21 2
12
*
11 1
2
*
1 2
1 12 22
*
12 2
12 1
2 22 2
2 2
4 1
22 21
*
11 2
21 2
2 11 1
2 1
4 1
11
∫
∫
∫
+
−
+
+
+
=
−
+
+
+
=
−
+
+
+
=
dz
u
u
u
u
C
u
u
C
C
u
u
C
C
U
U
W
dz
u
u
C
u
C
C
u
C
C
U
W
dz
u
u
C
u
C
C
u
C
C
U
W
m
m
m
C
m
m
m
C
m
m
m
C
(7.79)
(
)
)
(
Re
,
2
Re
,
2
Re
]
[
]
[
]
[
12
*
21 22
*
11 22
*
21 2
12
*
11 1
2
*
1 2
1 12 22
*
12 2
22 2
2 12 1
2 2
4 1
22 21
*
11 2
21 2
2 11 1
2 1
4 1
11
∫
∫
∫
+
−
+
=
−
+
=
−
+
=
dz
j
j
j
j
L
j
j
L
j
j
L
U
U
W
dz
j
j
L
j
L
j
L
U
W
dz
j
j
L
j
L
j
L
U
W
m
L
m
L
m
L
(7.80)
Усредненным энергиям W
—
12 C
, W
—
12 L
соответствуют колеблющиеся энергии
(
)
∫
+
−
+
+
+
=
dz
u
u
u
u
C
u
u
C
C
u
u
C
C
U
U
W
m
m
m
C
]
[
)
(
)
(
)
(
Re
12 21 22 11 22 21 2
12 11 1
2 1
2 1
12
, (7.81)
(
)
∫
+
−
+
=
dz
j
j
j
j
L
j
j
L
j
j
L
U
U
W
m
L
]
[
)
(
Re
12 21 22 11 22 21 2
12 11 1
2 1
2 1
12
. (7.82)
Для нахождения функций u
ij
(z) и j
i j
(z) воспользуемся линейными свой- ствами связанных колебаний резонаторов. Согласно (7.77) имеем
)
(
)
(
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
1
,
0 2
22 1
,
0 2
22 0
,
1 2
21 0
,
1 2
21 1
,
0 1
12 1
,
0 1
12 0
,
1 1
11 0
,
1 1
11 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
z
j
z
j
z
u
z
u
z
j
z
j
z
u
z
u
z
j
z
j
z
u
z
u
z
j
z
j
z
u
z
u
(7.83)
Таким образом, вычислив распределение токов и напряжений на про- водниках связанных резонаторов для двух способов их возбуждения (U
1
= 1,
U
2
= 0 и U
1
= 0, U
2
= 1), можно по формулам (7.79)
−(7.83) рассчитать все энер- гии, а затем по формулам (7.68)
−(7.69) вычислить коэффициенты связи.
163
1 ... 14 15 16 17 18 19 20 21 22
7.54
)
Выделяя амплитуды токов |I
1
|, |I
2
| и их начальные фазы
ψ
1
,
ψ
2
, запишем вы- ражение (7.54) в виде
)
(
)
(
t
W
W
t
W
L
L
L
+
=
,
157
где
)
(
cos
2 1
2 1
2 1
2 2
2 4
1 2
1 1
4 1
ψ
−
ψ
+
+
=
I
I
L
I
L
I
L
W
m
L
(7.55)
− усредненная энергия магнитного поля;
)
2
(
cos
)
(
2
cos
)
(
2
cos
)
(
2 1
2 1
2 1
2 2
2 2
4 1
1 2
1 1
4 1
ψ
−
ψ
−
ω
+
+
ψ
−
ω
+
ψ
−
ω
=
t
I
I
L
t
I
L
t
I
L
t
W
m
L
(7.56)
− колеблющаяся энергия магнитного поля.
В формулах (7.55)–(7.56), в отличие от формул (7.48) и (7.49), ни одно из слагаемых нельзя отождествлять с энергией, запасаемой каким-либо опре- деленным контуром, так как ток в одном из контуров может быть связан с колебанием в другом контуре. Последнее утверждение становится очевид- ным, если рассматривать колебания на частоте
ω = ω
р
, когда U
2
= 0 при U
1
≠ 0.
Действительно, в этом случае колебания во втором контуре отсутствуют
(U
2
= 0), а ток I
2
, согласно (7.41), отличен от нуля. Это означает, что колеба- ния в первом контуре простираются лишь на один из элементов второго кон- тура (L
2
), а не на весь второй контур в целом.
Таким образом, ток I
2
во втором контуре может быть связан как с коле- банием во втором контуре, так и с колебанием в первом контуре. Аналогич- ная неопределенность имеет место и для тока I
1
Эту неопределенность можно устранить, если учитывать реальную взаи- мосвязь между токами и напряжениями, выражаемую общими формулами
,
2 22 1
21 2
2 12 1
11 1
U
i
U
i
I
U
i
U
i
I
+
=
+
=
(7.57)
Подставляя (7.57) в (7.55), получаем
L
L
L
L
W
W
W
W
12 22 11
+
+
=
, где
2 2
22
*
12 2
22 2
2 12 1
4 1
22 2
1 21
*
11 2
21 2
2 11 1
4 1
11
]
[
]
[
)
(
Re
2
,
)
(
Re
2
U
i
i
L
i
L
i
L
W
U
i
i
L
i
L
i
L
W
m
L
m
L
+
+
=
+
+
=
(7.58)
− усредненные энергии магнитного поля, запасаемые первым и вторым кон- туром в отдельности;
158
(
)
2
*
1 12
*
21 22
*
11 22
*
21 2
12
*
11 1
2 1
12
]
[
)
(
Re
U
U
i
i
i
i
L
i
i
L
i
i
L
W
m
L
+
+
+
=
(7.59)
− усредненная энергия магнитного поля, запасаемая первым и вторым конту- ром совместно.
Теперь подставим (7.57) в (7.56). Получаем
)
(
)
(
)
(
)
(
12 22 11
t
W
t
W
t
W
t
W
L
L
L
L
+
+
=
, где
(
)
(
2 2
22 12 2
22 2
2 12 1
4 1
22 2
1 21 11 2
21 2
2 11 1
4 1
11
]
[
]
[
2
Re
)
(
,
2
Re
)
(
U
i
i
L
i
L
i
L
t
W
U
i
i
L
i
L
i
L
t
W
m
L
m
L
+
+
=
+
+
=
)
(7.60)
− колеблющиеся энергии магнитного поля, запасаемые первым и вторым контуром в отдельности;
(
)
2 1
21 12 22 11 22 21 2
12 11 1
2 1
12
]
[
)
(
Re
)
(
U
U
i
i
i
i
L
i
i
L
i
i
L
t
W
m
L
+
+
+
=
(7.61)
− колеблющаяся энергия магнитного поля, запасаемая первым и вторым кон- туром совместно.
Из уравнений (7.39)–(7.40) находим коэффициенты
,
,
,
2 2
1 1
22 2
2 1
21 2
2 1
12 2
2 1
2 11
m
m
m
m
m
m
L
L
L
L
i
i
L
L
L
L
i
i
L
L
L
L
i
i
L
L
L
L
i
i
−
ω
=
−
ω
−
=
−
ω
−
=
−
ω
=
(7.62)
Подставляя (7.62) в (7.61), получаем
)
(
Re
)
(
2
)
(
2 1
2 2
1 2
12
U
U
L
L
L
L
t
W
m
m
L
−
ω
=
. (7.63)
Учитывая, что
)
2
(
cos
)
(
Re
2 1
2 1
2 1
ϕ
−
ϕ
−
ω
=
t
U
U
U
U
, из формул (7.53) и (7.63) находим амплитуды
∗
колеблющихся энергий электрического и магнитного поля, запасаемых контурами совместно:
∗ Амплитуды обеих колеблющихся энергий допускают совместное изменение их знаков, так как амплитудой синусоиды Re(U
1
U
2
) можно считать как |U
1
U
2
|, так и –|U
1
U
2
|.
159 2
1 2
2 1
2 12 2
1 2
1 12
)
(
2
,
U
U
L
L
L
L
W
U
U
C
W
m
m
L
m
C
−
ω
=
−
=
. (7.64)
Теперь подставим (7.62) в (7.58). Получаем
2 2
2 2
1 2
1 22 2
1 2
2 1
2 2
11
)
(
4
,
)
(
4
U
L
L
L
L
W
U
L
L
L
L
W
m
L
m
L
−
ω
=
−
ω
=
. (7.65)
Очевидно, что усредненная энергия электрического поля W
—
12 C
, запа- саемая контурами совместно, есть энергия емкостной связи контуров, а ус- редненная энергия магнитного поля W
—
12 L
есть энергия индуктивной связи контуров.
Можно предположить, что коэффициенты связи k
C
и k
L
пропорцио- нальны энергиям W
—
12 C
и W
—
12 L
. Подобное предположение уже делалось при выводе формул (7.37), где оно достаточно хорошо оправдалось. Однако это не вполне верно. Действительно, если бы коэффициенты k
C
и k
L
были про- порциональны усредненным энергиям W
―
12 C
и W
―
12 L
, то на резонансной часто- те
ω = ω
2
эти коэффициенты, согласно формулам (7.53), (7.63), (7.45) и
(7.39)
−(7.40), обращались бы в нуль, а не принимали значения, выражаемые формулами (7.22) и (7.23). Поэтому будем искать взаимосвязь коэффициен- тов k
C
и k
L
не с усредненными энергиями W
―
12 C
и W
―
12 L
, а с амплитудами W
ֹ
12 C
и W
ֹ
12 L
колеблющихся энергий, которые не обнуляются на резонансной частоте.
Используя формулы (7.50), (7.64), (7.65), приходим к равенствам
,
)
1
)(
1
(
2
)
(
)
(
2 2
2 2
2 1
2 1
22 22 11 11 12
)
)(
(
−
−
ω
ω
+
ω
ω
+
×
×
+
+
−
=
+
+
m
m
m
C
L
C
L
C
C
C
C
C
C
W
W
W
W
W
(7.66)
)
1
(
)
1
(
2
)
(
)
(
2 2
2 2
2 1
2 1
22 22 11 11 12
ω
ω
+
ω
ω
+
=
+
+
−
−
L
L
L
W
W
W
W
W
m
C
L
C
L
L
. (7.67)
Видно, что при выполнении условий двойного резонанса
ω = ω
1
= ω
2
правые стороны равенств (7.66) и (7.67) совпадают соответственно с правыми сторо- нами формул (7.22) и (7.23). Поэтому коэффициенты индуктивной и емкостной связи любых резонаторов СВЧ и контуров определяем форму- лами
160
k
L
)
(
)
(
22 22 11 11 12
C
L
C
L
L
W
W
W
W
W
+
+
=
, (
7.68
)
k
C
)
(
)
(
22 22 11 11 12
C
L
C
L
C
W
W
W
W
W
+
+
=
. (
7.69
)
Из этих определений, в частности, следует, что коэффициенты k
L
и k
C
для контуров с внутренней индуктивной и внешней емкостной связью могут быть вычислены на произвольной частоте
ω по формулам
,
)
1
(
)
1
(
2 2
2 2
2 1
2 2
1
−
−
ω
ω
+
ω
ω
+
=
L
L
L
k
m
L
(7.70)
)
1
(
)
1
(
2
)
(
)
(
2 2
2 2
2 1
2 1
−
−
ω
ω
+
ω
ω
+
+
+
−
=
m
m
m
C
C
C
C
C
C
k
(7.71)
Видно, что при L
m
> 0 коэффициент k
L
всегда положителен. Он убывает с ростом частоты
ω. Напротив, коэффициент k
С
всегда отрицателен и возрас- тает по модулю с ростом частоты. Поэтому всегда существует частота взаим- ной компенсации индуктивной и емкостной связи
ω
z
, на которой сумма
k
L
+ k
C
обращается в нуль, а вместе с ней, согласно (7.24), обращается в нуль и коэффициент k. Не трудно проверить, что частота
ω
z
строго совпадает с частотой нуля коэффициента передачи напряжения
ω
p
, значение которой за- дается формулой (7.43). В зависимости от величины отношения L
m
/
C
m
часто- та
ω
z
может быть как выше, так и ниже частот
ω
1
и
ω
2
Таким образом, согласно формулам (7.68)–(7.69) коэффициенты индук- тивной связи k
L
и емкостной связи k
C
есть отношения амплитуд колеблю- щейся части соответственно магнитной и электрической энергии, запасаемой резонаторами совместно, к среднегеометрической величине усредненных по времени полных энергий, запасаемых каждым резонатором в отдельности.
Зная коэффициенты k
L
и k
C
, по формуле сложения (7.24) можно вычислить коэффициент связи k.
7.7. Энергия связанных МПР
Рассмотрим два параллельных микрополосковых резонатора. Ось ко- ординат z направим параллельно резонаторам. В общем случае погонные емкости и индуктивности проводников будут функциями от z. Пусть вход
161
первого резонатора расположен в точке z
1
, а вход второго – в точке z
2
. Будем полагать, что напряжения на проводниках в этих точках принимают значения
u
1
(z
1
) = U
1
,
u
2
(z
2
) = U
2
. (7.72)
Запишем усредненную электрическую и магнитную энергию поля СВЧ связанных резонаторов
∫
∫
∫
−
+
+
+
=
,
)
(
Re
)
(
)
(
2
*
1 2
1 2
2 2
4 1
2 1
1 4
1
dz
u
u
C
dz
u
C
C
dz
u
C
C
W
m
m
m
C
(7.73)
,
)
(
Re
2
*
1 2
1 2
2 2
4 1
2 1
1 4
1
∫
∫
∫
+
+
=
dz
i
i
L
dz
i
L
dz
i
L
W
m
L
(7.74) где интегрирование производится по области существования токов и напря- жений.
Прежде чем выделять в выражениях (7.73) и (7.74) энергии, запасаемые каждым резонатором в отдельности, и энергии, запасаемые резонаторами со- вместно, преобразуем формулу (7.74) исходя из следующего. В режиме бе- гущей волны напряжение на любом из проводников связанных линий про- порционально определенной линейной комбинации токов на обоих провод- никах. Поэтому напряжениям u
1
и u
2
, согласно телеграфным уравнениям
(2.3), можно сопоставить некие сопряженные токи j
1
и j
2
, которые связа- ны с токами на проводниках i
1
и i
2
, унитарным преобразованием
)
(
1
/
]
)
/
(
[
,
)
(
1
/
]
)
/
(
[
2 1
2 2
1 2
2 2
1 2
2 1
1 1
L
L
L
j
j
L
L
i
L
L
L
j
L
L
j
i
m
m
m
m
−
+
−
=
−
−
=
(7.75)
Выражение (7.74) после подстановки в него формул (7.75) принимает вид
∫
∫
∫
−
+
=
dz
j
j
L
dz
j
L
dz
j
L
W
m
L
)
(
Re
2
*
1 2
1 2
2 2
4 1
2 1
1 4
1
. (7.76)
Напряжения и токи на проводниках, в силу линейности задачи о воз- буждении колебаний в связанных резонаторах, можно представить в виде
)
(
)
(
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
2 22 1
21 2
2 22 1
21 2
2 12 1
11 1
2 12 1
11 1
U
z
j
U
z
j
j
U
z
u
U
z
u
u
U
z
j
U
z
j
j
U
z
u
U
z
u
u
+
=
+
=
+
=
+
=
(7.77)
Из (7.72) следует, что
1
)
(
,
0
)
(
,
0
)
(
,
1
)
(
2 22 2
21 1
12 1
11
=
=
=
=
z
u
z
u
z
u
z
u
. (7.78)
162
Подставляя (7.77) в (7.73) и (7.76), получаем
W
—
C
= W
—
11C
+ W
—
22C
+ W
—
12C
,
W
—
L
= W
—
11L
+ W
—
22L
+ W
—
12L
, где искомые энергии
(
)
,
)
(
)
(
)
(
Re
,
2
)
(
)
(
Re
,
2
)
(
)
(
Re
]
[
]
[
]
[
12
*
21 22
*
11 22
*
21 2
12
*
11 1
2
*
1 2
1 12 22
*
12 2
12 1
2 22 2
2 2
4 1
22 21
*
11 2
21 2
2 11 1
2 1
4 1
11
∫
∫
∫
+
−
+
+
+
=
−
+
+
+
=
−
+
+
+
=
dz
u
u
u
u
C
u
u
C
C
u
u
C
C
U
U
W
dz
u
u
C
u
C
C
u
C
C
U
W
dz
u
u
C
u
C
C
u
C
C
U
W
m
m
m
C
m
m
m
C
m
m
m
C
(7.79)
(
)
)
(
Re
,
2
Re
,
2
Re
]
[
]
[
]
[
12
*
21 22
*
11 22
*
21 2
12
*
11 1
2
*
1 2
1 12 22
*
12 2
22 2
2 12 1
2 2
4 1
22 21
*
11 2
21 2
2 11 1
2 1
4 1
11
∫
∫
∫
+
−
+
=
−
+
=
−
+
=
dz
j
j
j
j
L
j
j
L
j
j
L
U
U
W
dz
j
j
L
j
L
j
L
U
W
dz
j
j
L
j
L
j
L
U
W
m
L
m
L
m
L
(7.80)
Усредненным энергиям W
—
12 C
, W
—
12 L
соответствуют колеблющиеся энергии
(
)
∫
+
−
+
+
+
=
dz
u
u
u
u
C
u
u
C
C
u
u
C
C
U
U
W
m
m
m
C
]
[
)
(
)
(
)
(
Re
12 21 22 11 22 21 2
12 11 1
2 1
2 1
12
, (7.81)
(
)
∫
+
−
+
=
dz
j
j
j
j
L
j
j
L
j
j
L
U
U
W
m
L
]
[
)
(
Re
12 21 22 11 22 21 2
12 11 1
2 1
2 1
12
. (7.82)
Для нахождения функций u
ij
(z) и j
i j
(z) воспользуемся линейными свой- ствами связанных колебаний резонаторов. Согласно (7.77) имеем
)
(
)
(
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
1
,
0 2
22 1
,
0 2
22 0
,
1 2
21 0
,
1 2
21 1
,
0 1
12 1
,
0 1
12 0
,
1 1
11 0
,
1 1
11 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
z
j
z
j
z
u
z
u
z
j
z
j
z
u
z
u
z
j
z
j
z
u
z
u
z
j
z
j
z
u
z
u
(7.83)
Таким образом, вычислив распределение токов и напряжений на про- водниках связанных резонаторов для двух способов их возбуждения (U
1
= 1,
U
2
= 0 и U
1
= 0, U
2
= 1), можно по формулам (7.79)
−(7.83) рассчитать все энер- гии, а затем по формулам (7.68)
−(7.69) вычислить коэффициенты связи.
163
1 ... 14 15 16 17 18 19 20 21 22
7.54
)
Выделяя амплитуды токов |I
1
|, |I
2
| и их начальные фазы
ψ
1
,
ψ
2
, запишем вы- ражение (7.54) в виде
)
(
)
(
t
W
W
t
W
L
L
L
+
=
,
157
где
)
(
cos
2 1
2 1
2 1
2 2
2 4
1 2
1 1
4 1
ψ
−
ψ
+
+
=
I
I
L
I
L
I
L
W
m
L
(7.55)
− усредненная энергия магнитного поля;
)
2
(
cos
)
(
2
cos
)
(
2
cos
)
(
2 1
2 1
2 1
2 2
2 2
4 1
1 2
1 1
4 1
ψ
−
ψ
−
ω
+
+
ψ
−
ω
+
ψ
−
ω
=
t
I
I
L
t
I
L
t
I
L
t
W
m
L
(7.56)
− колеблющаяся энергия магнитного поля.
В формулах (7.55)–(7.56), в отличие от формул (7.48) и (7.49), ни одно из слагаемых нельзя отождествлять с энергией, запасаемой каким-либо опре- деленным контуром, так как ток в одном из контуров может быть связан с колебанием в другом контуре. Последнее утверждение становится очевид- ным, если рассматривать колебания на частоте
ω = ω
р
, когда U
2
= 0 при U
1
≠ 0.
Действительно, в этом случае колебания во втором контуре отсутствуют
(U
2
= 0), а ток I
2
, согласно (7.41), отличен от нуля. Это означает, что колеба- ния в первом контуре простираются лишь на один из элементов второго кон- тура (L
2
), а не на весь второй контур в целом.
Таким образом, ток I
2
во втором контуре может быть связан как с коле- банием во втором контуре, так и с колебанием в первом контуре. Аналогич- ная неопределенность имеет место и для тока I
1
Эту неопределенность можно устранить, если учитывать реальную взаи- мосвязь между токами и напряжениями, выражаемую общими формулами
,
2 22 1
21 2
2 12 1
11 1
U
i
U
i
I
U
i
U
i
I
+
=
+
=
(7.57)
Подставляя (7.57) в (7.55), получаем
L
L
L
L
W
W
W
W
12 22 11
+
+
=
, где
2 2
22
*
12 2
22 2
2 12 1
4 1
22 2
1 21
*
11 2
21 2
2 11 1
4 1
11
]
[
]
[
)
(
Re
2
,
)
(
Re
2
U
i
i
L
i
L
i
L
W
U
i
i
L
i
L
i
L
W
m
L
m
L
+
+
=
+
+
=
(7.58)
− усредненные энергии магнитного поля, запасаемые первым и вторым кон- туром в отдельности;
158
(
)
2
*
1 12
*
21 22
*
11 22
*
21 2
12
*
11 1
2 1
12
]
[
)
(
Re
U
U
i
i
i
i
L
i
i
L
i
i
L
W
m
L
+
+
+
=
(7.59)
− усредненная энергия магнитного поля, запасаемая первым и вторым конту- ром совместно.
Теперь подставим (7.57) в (7.56). Получаем
)
(
)
(
)
(
)
(
12 22 11
t
W
t
W
t
W
t
W
L
L
L
L
+
+
=
, где
(
)
(
2 2
22 12 2
22 2
2 12 1
4 1
22 2
1 21 11 2
21 2
2 11 1
4 1
11
]
[
]
[
2
Re
)
(
,
2
Re
)
(
U
i
i
L
i
L
i
L
t
W
U
i
i
L
i
L
i
L
t
W
m
L
m
L
+
+
=
+
+
=
)
(7.60)
− колеблющиеся энергии магнитного поля, запасаемые первым и вторым контуром в отдельности;
(
)
2 1
21 12 22 11 22 21 2
12 11 1
2 1
12
]
[
)
(
Re
)
(
U
U
i
i
i
i
L
i
i
L
i
i
L
t
W
m
L
+
+
+
=
(7.61)
− колеблющаяся энергия магнитного поля, запасаемая первым и вторым кон- туром совместно.
Из уравнений (7.39)–(7.40) находим коэффициенты
,
,
,
2 2
1 1
22 2
2 1
21 2
2 1
12 2
2 1
2 11
m
m
m
m
m
m
L
L
L
L
i
i
L
L
L
L
i
i
L
L
L
L
i
i
L
L
L
L
i
i
−
ω
=
−
ω
−
=
−
ω
−
=
−
ω
=
(7.62)
Подставляя (7.62) в (7.61), получаем
)
(
Re
)
(
2
)
(
2 1
2 2
1 2
12
U
U
L
L
L
L
t
W
m
m
L
−
ω
=
. (7.63)
Учитывая, что
)
2
(
cos
)
(
Re
2 1
2 1
2 1
ϕ
−
ϕ
−
ω
=
t
U
U
U
U
, из формул (7.53) и (7.63) находим амплитуды
∗
колеблющихся энергий электрического и магнитного поля, запасаемых контурами совместно:
∗ Амплитуды обеих колеблющихся энергий допускают совместное изменение их знаков, так как амплитудой синусоиды Re(U
1
U
2
) можно считать как |U
1
U
2
|, так и –|U
1
U
2
|.
159 2
1 2
2 1
2 12 2
1 2
1 12
)
(
2
,
U
U
L
L
L
L
W
U
U
C
W
m
m
L
m
C
−
ω
=
−
=
. (7.64)
Теперь подставим (7.62) в (7.58). Получаем
2 2
2 2
1 2
1 22 2
1 2
2 1
2 2
11
)
(
4
,
)
(
4
U
L
L
L
L
W
U
L
L
L
L
W
m
L
m
L
−
ω
=
−
ω
=
. (7.65)
Очевидно, что усредненная энергия электрического поля W
—
12 C
, запа- саемая контурами совместно, есть энергия емкостной связи контуров, а ус- редненная энергия магнитного поля W
—
12 L
есть энергия индуктивной связи контуров.
Можно предположить, что коэффициенты связи k
C
и k
L
пропорцио- нальны энергиям W
—
12 C
и W
—
12 L
. Подобное предположение уже делалось при выводе формул (7.37), где оно достаточно хорошо оправдалось. Однако это не вполне верно. Действительно, если бы коэффициенты k
C
и k
L
были про- порциональны усредненным энергиям W
―
12 C
и W
―
12 L
, то на резонансной часто- те
ω = ω
2
эти коэффициенты, согласно формулам (7.53), (7.63), (7.45) и
(7.39)
−(7.40), обращались бы в нуль, а не принимали значения, выражаемые формулами (7.22) и (7.23). Поэтому будем искать взаимосвязь коэффициен- тов k
C
и k
L
не с усредненными энергиями W
―
12 C
и W
―
12 L
, а с амплитудами W
ֹ
12 C
и W
ֹ
12 L
колеблющихся энергий, которые не обнуляются на резонансной частоте.
Используя формулы (7.50), (7.64), (7.65), приходим к равенствам
,
)
1
)(
1
(
2
)
(
)
(
2 2
2 2
2 1
2 1
22 22 11 11 12
)
)(
(
−
−
ω
ω
+
ω
ω
+
×
×
+
+
−
=
+
+
m
m
m
C
L
C
L
C
C
C
C
C
C
W
W
W
W
W
(7.66)
)
1
(
)
1
(
2
)
(
)
(
2 2
2 2
2 1
2 1
22 22 11 11 12
ω
ω
+
ω
ω
+
=
+
+
−
−
L
L
L
W
W
W
W
W
m
C
L
C
L
L
. (7.67)
Видно, что при выполнении условий двойного резонанса
ω = ω
1
= ω
2
правые стороны равенств (7.66) и (7.67) совпадают соответственно с правыми сторо- нами формул (7.22) и (7.23). Поэтому коэффициенты индуктивной и емкостной связи любых резонаторов СВЧ и контуров определяем форму- лами
160
k
L
)
(
)
(
22 22 11 11 12
C
L
C
L
L
W
W
W
W
W
+
+
=
, (
7.68
)
k
C
)
(
)
(
22 22 11 11 12
C
L
C
L
C
W
W
W
W
W
+
+
=
. (
7.69
)
Из этих определений, в частности, следует, что коэффициенты k
L
и k
C
для контуров с внутренней индуктивной и внешней емкостной связью могут быть вычислены на произвольной частоте
ω по формулам
,
)
1
(
)
1
(
2 2
2 2
2 1
2 2
1
−
−
ω
ω
+
ω
ω
+
=
L
L
L
k
m
L
(7.70)
)
1
(
)
1
(
2
)
(
)
(
2 2
2 2
2 1
2 1
−
−
ω
ω
+
ω
ω
+
+
+
−
=
m
m
m
C
C
C
C
C
C
k
(7.71)
Видно, что при L
m
> 0 коэффициент k
L
всегда положителен. Он убывает с ростом частоты
ω. Напротив, коэффициент k
С
всегда отрицателен и возрас- тает по модулю с ростом частоты. Поэтому всегда существует частота взаим- ной компенсации индуктивной и емкостной связи
ω
z
, на которой сумма
k
L
+ k
C
обращается в нуль, а вместе с ней, согласно (7.24), обращается в нуль и коэффициент k. Не трудно проверить, что частота
ω
z
строго совпадает с частотой нуля коэффициента передачи напряжения
ω
p
, значение которой за- дается формулой (7.43). В зависимости от величины отношения L
m
/
C
m
часто- та
ω
z
может быть как выше, так и ниже частот
ω
1
и
ω
2
Таким образом, согласно формулам (7.68)–(7.69) коэффициенты индук- тивной связи k
L
и емкостной связи k
C
есть отношения амплитуд колеблю- щейся части соответственно магнитной и электрической энергии, запасаемой резонаторами совместно, к среднегеометрической величине усредненных по времени полных энергий, запасаемых каждым резонатором в отдельности.
Зная коэффициенты k
L
и k
C
, по формуле сложения (7.24) можно вычислить коэффициент связи k.
7.7. Энергия связанных МПР
Рассмотрим два параллельных микрополосковых резонатора. Ось ко- ординат z направим параллельно резонаторам. В общем случае погонные емкости и индуктивности проводников будут функциями от z. Пусть вход
161
первого резонатора расположен в точке z
1
, а вход второго – в точке z
2
. Будем полагать, что напряжения на проводниках в этих точках принимают значения
u
1
(z
1
) = U
1
,
u
2
(z
2
) = U
2
. (7.72)
Запишем усредненную электрическую и магнитную энергию поля СВЧ связанных резонаторов
∫
∫
∫
−
+
+
+
=
,
)
(
Re
)
(
)
(
2
*
1 2
1 2
2 2
4 1
2 1
1 4
1
dz
u
u
C
dz
u
C
C
dz
u
C
C
W
m
m
m
C
(7.73)
,
)
(
Re
2
*
1 2
1 2
2 2
4 1
2 1
1 4
1
∫
∫
∫
+
+
=
dz
i
i
L
dz
i
L
dz
i
L
W
m
L
(7.74) где интегрирование производится по области существования токов и напря- жений.
Прежде чем выделять в выражениях (7.73) и (7.74) энергии, запасаемые каждым резонатором в отдельности, и энергии, запасаемые резонаторами со- вместно, преобразуем формулу (7.74) исходя из следующего. В режиме бе- гущей волны напряжение на любом из проводников связанных линий про- порционально определенной линейной комбинации токов на обоих провод- никах. Поэтому напряжениям u
1
и u
2
, согласно телеграфным уравнениям
(2.3), можно сопоставить некие сопряженные токи j
1
и j
2
, которые связа- ны с токами на проводниках i
1
и i
2
, унитарным преобразованием
)
(
1
/
]
)
/
(
[
,
)
(
1
/
]
)
/
(
[
2 1
2 2
1 2
2 2
1 2
2 1
1 1
L
L
L
j
j
L
L
i
L
L
L
j
L
L
j
i
m
m
m
m
−
+
−
=
−
−
=
(7.75)
Выражение (7.74) после подстановки в него формул (7.75) принимает вид
∫
∫
∫
−
+
=
dz
j
j
L
dz
j
L
dz
j
L
W
m
L
)
(
Re
2
*
1 2
1 2
2 2
4 1
2 1
1 4
1
. (7.76)
Напряжения и токи на проводниках, в силу линейности задачи о воз- буждении колебаний в связанных резонаторах, можно представить в виде
)
(
)
(
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
2 22 1
21 2
2 22 1
21 2
2 12 1
11 1
2 12 1
11 1
U
z
j
U
z
j
j
U
z
u
U
z
u
u
U
z
j
U
z
j
j
U
z
u
U
z
u
u
+
=
+
=
+
=
+
=
(7.77)
Из (7.72) следует, что
1
)
(
,
0
)
(
,
0
)
(
,
1
)
(
2 22 2
21 1
12 1
11
=
=
=
=
z
u
z
u
z
u
z
u
. (7.78)
162
Подставляя (7.77) в (7.73) и (7.76), получаем
W
—
C
= W
—
11C
+ W
—
22C
+ W
—
12C
,
W
—
L
= W
—
11L
+ W
—
22L
+ W
—
12L
, где искомые энергии
(
)
,
)
(
)
(
)
(
Re
,
2
)
(
)
(
Re
,
2
)
(
)
(
Re
]
[
]
[
]
[
12
*
21 22
*
11 22
*
21 2
12
*
11 1
2
*
1 2
1 12 22
*
12 2
12 1
2 22 2
2 2
4 1
22 21
*
11 2
21 2
2 11 1
2 1
4 1
11
∫
∫
∫
+
−
+
+
+
=
−
+
+
+
=
−
+
+
+
=
dz
u
u
u
u
C
u
u
C
C
u
u
C
C
U
U
W
dz
u
u
C
u
C
C
u
C
C
U
W
dz
u
u
C
u
C
C
u
C
C
U
W
m
m
m
C
m
m
m
C
m
m
m
C
(7.79)
(
)
)
(
Re
,
2
Re
,
2
Re
]
[
]
[
]
[
12
*
21 22
*
11 22
*
21 2
12
*
11 1
2
*
1 2
1 12 22
*
12 2
22 2
2 12 1
2 2
4 1
22 21
*
11 2
21 2
2 11 1
2 1
4 1
11
∫
∫
∫
+
−
+
=
−
+
=
−
+
=
dz
j
j
j
j
L
j
j
L
j
j
L
U
U
W
dz
j
j
L
j
L
j
L
U
W
dz
j
j
L
j
L
j
L
U
W
m
L
m
L
m
L
(7.80)
Усредненным энергиям W
—
12 C
, W
—
12 L
соответствуют колеблющиеся энергии
(
)
∫
+
−
+
+
+
=
dz
u
u
u
u
C
u
u
C
C
u
u
C
C
U
U
W
m
m
m
C
]
[
)
(
)
(
)
(
Re
12 21 22 11 22 21 2
12 11 1
2 1
2 1
12
, (7.81)
(
)
∫
+
−
+
=
dz
j
j
j
j
L
j
j
L
j
j
L
U
U
W
m
L
]
[
)
(
Re
12 21 22 11 22 21 2
12 11 1
2 1
2 1
12
. (7.82)
Для нахождения функций u
ij
(z) и j
i j
(z) воспользуемся линейными свой- ствами связанных колебаний резонаторов. Согласно (7.77) имеем
)
(
)
(
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
1
,
0 2
22 1
,
0 2
22 0
,
1 2
21 0
,
1 2
21 1
,
0 1
12 1
,
0 1
12 0
,
1 1
11 0
,
1 1
11 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
z
j
z
j
z
u
z
u
z
j
z
j
z
u
z
u
z
j
z
j
z
u
z
u
z
j
z
j
z
u
z
u
(7.83)
Таким образом, вычислив распределение токов и напряжений на про- водниках связанных резонаторов для двух способов их возбуждения (U
1
= 1,
U
2
= 0 и U
1
= 0, U
2
= 1), можно по формулам (7.79)
−(7.83) рассчитать все энер- гии, а затем по формулам (7.68)
−(7.69) вычислить коэффициенты связи.
163
1 ... 14 15 16 17 18 19 20 21 22
7.54
)
Выделяя амплитуды токов |I
1
|, |I
2
| и их начальные фазы
ψ
1
,
ψ
2
, запишем вы- ражение (7.54) в виде
)
(
)
(
t
W
W
t
W
L
L
L
+
=
,
157
где
)
(
cos
2 1
2 1
2 1
2 2
2 4
1 2
1 1
4 1
ψ
−
ψ
+
+
=
I
I
L
I
L
I
L
W
m
L
(7.55)
− усредненная энергия магнитного поля;
)
2
(
cos
)
(
2
cos
)
(
2
cos
)
(
2 1
2 1
2 1
2 2
2 2
4 1
1 2
1 1
4 1
ψ
−
ψ
−
ω
+
+
ψ
−
ω
+
ψ
−
ω
=
t
I
I
L
t
I
L
t
I
L
t
W
m
L
(7.56)
− колеблющаяся энергия магнитного поля.
В формулах (7.55)–(7.56), в отличие от формул (7.48) и (7.49), ни одно из слагаемых нельзя отождествлять с энергией, запасаемой каким-либо опре- деленным контуром, так как ток в одном из контуров может быть связан с колебанием в другом контуре. Последнее утверждение становится очевид- ным, если рассматривать колебания на частоте
ω = ω
р
, когда U
2
= 0 при U
1
≠ 0.
Действительно, в этом случае колебания во втором контуре отсутствуют
(U
2
= 0), а ток I
2
, согласно (7.41), отличен от нуля. Это означает, что колеба- ния в первом контуре простираются лишь на один из элементов второго кон- тура (L
2
), а не на весь второй контур в целом.
Таким образом, ток I
2
во втором контуре может быть связан как с коле- банием во втором контуре, так и с колебанием в первом контуре. Аналогич- ная неопределенность имеет место и для тока I
1
Эту неопределенность можно устранить, если учитывать реальную взаи- мосвязь между токами и напряжениями, выражаемую общими формулами
,
2 22 1
21 2
2 12 1
11 1
U
i
U
i
I
U
i
U
i
I
+
=
+
=
(7.57)
Подставляя (7.57) в (7.55), получаем
L
L
L
L
W
W
W
W
12 22 11
+
+
=
, где
2 2
22
*
12 2
22 2
2 12 1
4 1
22 2
1 21
*
11 2
21 2
2 11 1
4 1
11
]
[
]
[
)
(
Re
2
,
)
(
Re
2
U
i
i
L
i
L
i
L
W
U
i
i
L
i
L
i
L
W
m
L
m
L
+
+
=
+
+
=
(7.58)
− усредненные энергии магнитного поля, запасаемые первым и вторым кон- туром в отдельности;
158
(
)
2
*
1 12
*
21 22
*
11 22
*
21 2
12
*
11 1
2 1
12
]
[
)
(
Re
U
U
i
i
i
i
L
i
i
L
i
i
L
W
m
L
+
+
+
=
(7.59)
− усредненная энергия магнитного поля, запасаемая первым и вторым конту- ром совместно.
Теперь подставим (7.57) в (7.56). Получаем
)
(
)
(
)
(
)
(
12 22 11
t
W
t
W
t
W
t
W
L
L
L
L
+
+
=
, где
(
)
(
2 2
22 12 2
22 2
2 12 1
4 1
22 2
1 21 11 2
21 2
2 11 1
4 1
11
]
[
]
[
2
Re
)
(
,
2
Re
)
(
U
i
i
L
i
L
i
L
t
W
U
i
i
L
i
L
i
L
t
W
m
L
m
L
+
+
=
+
+
=
)
(7.60)
− колеблющиеся энергии магнитного поля, запасаемые первым и вторым контуром в отдельности;
(
)
2 1
21 12 22 11 22 21 2
12 11 1
2 1
12
]
[
)
(
Re
)
(
U
U
i
i
i
i
L
i
i
L
i
i
L
t
W
m
L
+
+
+
=
(7.61)
− колеблющаяся энергия магнитного поля, запасаемая первым и вторым кон- туром совместно.
Из уравнений (7.39)–(7.40) находим коэффициенты
,
,
,
2 2
1 1
22 2
2 1
21 2
2 1
12 2
2 1
2 11
m
m
m
m
m
m
L
L
L
L
i
i
L
L
L
L
i
i
L
L
L
L
i
i
L
L
L
L
i
i
−
ω
=
−
ω
−
=
−
ω
−
=
−
ω
=
(7.62)
Подставляя (7.62) в (7.61), получаем
)
(
Re
)
(
2
)
(
2 1
2 2
1 2
12
U
U
L
L
L
L
t
W
m
m
L
−
ω
=
. (7.63)
Учитывая, что
)
2
(
cos
)
(
Re
2 1
2 1
2 1
ϕ
−
ϕ
−
ω
=
t
U
U
U
U
, из формул (7.53) и (7.63) находим амплитуды
∗
колеблющихся энергий электрического и магнитного поля, запасаемых контурами совместно:
∗ Амплитуды обеих колеблющихся энергий допускают совместное изменение их знаков, так как амплитудой синусоиды Re(U
1
U
2
) можно считать как |U
1
U
2
|, так и –|U
1
U
2
|.
159 2
1 2
2 1
2 12 2
1 2
1 12
)
(
2
,
U
U
L
L
L
L
W
U
U
C
W
m
m
L
m
C
−
ω
=
−
=
. (7.64)
Теперь подставим (7.62) в (7.58). Получаем
2 2
2 2
1 2
1 22 2
1 2
2 1
2 2
11
)
(
4
,
)
(
4
U
L
L
L
L
W
U
L
L
L
L
W
m
L
m
L
−
ω
=
−
ω
=
. (7.65)
Очевидно, что усредненная энергия электрического поля W
—
12 C
, запа- саемая контурами совместно, есть энергия емкостной связи контуров, а ус- редненная энергия магнитного поля W
—
12 L
есть энергия индуктивной связи контуров.
Можно предположить, что коэффициенты связи k
C
и k
L
пропорцио- нальны энергиям W
—
12 C
и W
—
12 L
. Подобное предположение уже делалось при выводе формул (7.37), где оно достаточно хорошо оправдалось. Однако это не вполне верно. Действительно, если бы коэффициенты k
C
и k
L
были про- порциональны усредненным энергиям W
―
12 C
и W
―
12 L
, то на резонансной часто- те
ω = ω
2
эти коэффициенты, согласно формулам (7.53), (7.63), (7.45) и
(7.39)
−(7.40), обращались бы в нуль, а не принимали значения, выражаемые формулами (7.22) и (7.23). Поэтому будем искать взаимосвязь коэффициен- тов k
C
и k
L
не с усредненными энергиями W
―
12 C
и W
―
12 L
, а с амплитудами W
ֹ
12 C
и W
ֹ
12 L
колеблющихся энергий, которые не обнуляются на резонансной частоте.
Используя формулы (7.50), (7.64), (7.65), приходим к равенствам
,
)
1
)(
1
(
2
)
(
)
(
2 2
2 2
2 1
2 1
22 22 11 11 12
)
)(
(
−
−
ω
ω
+
ω
ω
+
×
×
+
+
−
=
+
+
m
m
m
C
L
C
L
C
C
C
C
C
C
W
W
W
W
W
(7.66)
)
1
(
)
1
(
2
)
(
)
(
2 2
2 2
2 1
2 1
22 22 11 11 12
ω
ω
+
ω
ω
+
=
+
+
−
−
L
L
L
W
W
W
W
W
m
C
L
C
L
L
. (7.67)
Видно, что при выполнении условий двойного резонанса
ω = ω
1
= ω
2
правые стороны равенств (7.66) и (7.67) совпадают соответственно с правыми сторо- нами формул (7.22) и (7.23). Поэтому коэффициенты индуктивной и емкостной связи любых резонаторов СВЧ и контуров определяем форму- лами
160
k
L
)
(
)
(
22 22 11 11 12
C
L
C
L
L
W
W
W
W
W
+
+
=
, (
7.68
)
k
C
)
(
)
(
22 22 11 11 12
C
L
C
L
C
W
W
W
W
W
+
+
=
. (
7.69
)
Из этих определений, в частности, следует, что коэффициенты k
L
и k
C
для контуров с внутренней индуктивной и внешней емкостной связью могут быть вычислены на произвольной частоте
ω по формулам
,
)
1
(
)
1
(
2 2
2 2
2 1
2 2
1
−
−
ω
ω
+
ω
ω
+
=
L
L
L
k
m
L
(7.70)
)
1
(
)
1
(
2
)
(
)
(
2 2
2 2
2 1
2 1
−
−
ω
ω
+
ω
ω
+
+
+
−
=
m
m
m
C
C
C
C
C
C
k
(7.71)
Видно, что при L
m
> 0 коэффициент k
L
всегда положителен. Он убывает с ростом частоты
ω. Напротив, коэффициент k
С
всегда отрицателен и возрас- тает по модулю с ростом частоты. Поэтому всегда существует частота взаим- ной компенсации индуктивной и емкостной связи
ω
z
, на которой сумма
k
L
+ k
C
обращается в нуль, а вместе с ней, согласно (7.24), обращается в нуль и коэффициент k. Не трудно проверить, что частота
ω
z
строго совпадает с частотой нуля коэффициента передачи напряжения
ω
p
, значение которой за- дается формулой (7.43). В зависимости от величины отношения L
m
/
C
m
часто- та
ω
z
может быть как выше, так и ниже частот
ω
1
и
ω
2
Таким образом, согласно формулам (7.68)–(7.69) коэффициенты индук- тивной связи k
L
и емкостной связи k
C
есть отношения амплитуд колеблю- щейся части соответственно магнитной и электрической энергии, запасаемой резонаторами совместно, к среднегеометрической величине усредненных по времени полных энергий, запасаемых каждым резонатором в отдельности.
Зная коэффициенты k
L
и k
C
, по формуле сложения (7.24) можно вычислить коэффициент связи k.
7.7. Энергия связанных МПР
Рассмотрим два параллельных микрополосковых резонатора. Ось ко- ординат z направим параллельно резонаторам. В общем случае погонные емкости и индуктивности проводников будут функциями от z. Пусть вход
161
первого резонатора расположен в точке z
1
, а вход второго – в точке z
2
. Будем полагать, что напряжения на проводниках в этих точках принимают значения
u
1
(z
1
) = U
1
,
u
2
(z
2
) = U
2
. (7.72)
Запишем усредненную электрическую и магнитную энергию поля СВЧ связанных резонаторов
∫
∫
∫
−
+
+
+
=
,
)
(
Re
)
(
)
(
2
*
1 2
1 2
2 2
4 1
2 1
1 4
1
dz
u
u
C
dz
u
C
C
dz
u
C
C
W
m
m
m
C
(7.73)
,
)
(
Re
2
*
1 2
1 2
2 2
4 1
2 1
1 4
1
∫
∫
∫
+
+
=
dz
i
i
L
dz
i
L
dz
i
L
W
m
L
(7.74) где интегрирование производится по области существования токов и напря- жений.
Прежде чем выделять в выражениях (7.73) и (7.74) энергии, запасаемые каждым резонатором в отдельности, и энергии, запасаемые резонаторами со- вместно, преобразуем формулу (7.74) исходя из следующего. В режиме бе- гущей волны напряжение на любом из проводников связанных линий про- порционально определенной линейной комбинации токов на обоих провод- никах. Поэтому напряжениям u
1
и u
2
, согласно телеграфным уравнениям
(2.3), можно сопоставить некие сопряженные токи j
1
и j
2
, которые связа- ны с токами на проводниках i
1
и i
2
, унитарным преобразованием
)
(
1
/
]
)
/
(
[
,
)
(
1
/
]
)
/
(
[
2 1
2 2
1 2
2 2
1 2
2 1
1 1
L
L
L
j
j
L
L
i
L
L
L
j
L
L
j
i
m
m
m
m
−
+
−
=
−
−
=
(7.75)
Выражение (7.74) после подстановки в него формул (7.75) принимает вид
∫
∫
∫
−
+
=
dz
j
j
L
dz
j
L
dz
j
L
W
m
L
)
(
Re
2
*
1 2
1 2
2 2
4 1
2 1
1 4
1
. (7.76)
Напряжения и токи на проводниках, в силу линейности задачи о воз- буждении колебаний в связанных резонаторах, можно представить в виде
)
(
)
(
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
2 22 1
21 2
2 22 1
21 2
2 12 1
11 1
2 12 1
11 1
U
z
j
U
z
j
j
U
z
u
U
z
u
u
U
z
j
U
z
j
j
U
z
u
U
z
u
u
+
=
+
=
+
=
+
=
(7.77)
Из (7.72) следует, что
1
)
(
,
0
)
(
,
0
)
(
,
1
)
(
2 22 2
21 1
12 1
11
=
=
=
=
z
u
z
u
z
u
z
u
. (7.78)
162
Подставляя (7.77) в (7.73) и (7.76), получаем
W
—
C
= W
—
11C
+ W
—
22C
+ W
—
12C
,
W
—
L
= W
—
11L
+ W
—
22L
+ W
—
12L
, где искомые энергии
(
)
,
)
(
)
(
)
(
Re
,
2
)
(
)
(
Re
,
2
)
(
)
(
Re
]
[
]
[
]
[
12
*
21 22
*
11 22
*
21 2
12
*
11 1
2
*
1 2
1 12 22
*
12 2
12 1
2 22 2
2 2
4 1
22 21
*
11 2
21 2
2 11 1
2 1
4 1
11
∫
∫
∫
+
−
+
+
+
=
−
+
+
+
=
−
+
+
+
=
dz
u
u
u
u
C
u
u
C
C
u
u
C
C
U
U
W
dz
u
u
C
u
C
C
u
C
C
U
W
dz
u
u
C
u
C
C
u
C
C
U
W
m
m
m
C
m
m
m
C
m
m
m
C
(7.79)
(
)
)
(
Re
,
2
Re
,
2
Re
]
[
]
[
]
[
12
*
21 22
*
11 22
*
21 2
12
*
11 1
2
*
1 2
1 12 22
*
12 2
22 2
2 12 1
2 2
4 1
22 21
*
11 2
21 2
2 11 1
2 1
4 1
11
∫
∫
∫
+
−
+
=
−
+
=
−
+
=
dz
j
j
j
j
L
j
j
L
j
j
L
U
U
W
dz
j
j
L
j
L
j
L
U
W
dz
j
j
L
j
L
j
L
U
W
m
L
m
L
m
L
(7.80)
Усредненным энергиям W
—
12 C
, W
—
12 L
соответствуют колеблющиеся энергии
(
)
∫
+
−
+
+
+
=
dz
u
u
u
u
C
u
u
C
C
u
u
C
C
U
U
W
m
m
m
C
]
[
)
(
)
(
)
(
Re
12 21 22 11 22 21 2
12 11 1
2 1
2 1
12
, (7.81)
(
)
∫
+
−
+
=
dz
j
j
j
j
L
j
j
L
j
j
L
U
U
W
m
L
]
[
)
(
Re
12 21 22 11 22 21 2
12 11 1
2 1
2 1
12
. (7.82)
Для нахождения функций u
ij
(z) и j
i j
(z) воспользуемся линейными свой- ствами связанных колебаний резонаторов. Согласно (7.77) имеем
)
(
)
(
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
1
,
0 2
22 1
,
0 2
22 0
,
1 2
21 0
,
1 2
21 1
,
0 1
12 1
,
0 1
12 0
,
1 1
11 0
,
1 1
11 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
z
j
z
j
z
u
z
u
z
j
z
j
z
u
z
u
z
j
z
j
z
u
z
u
z
j
z
j
z
u
z
u
(7.83)
Таким образом, вычислив распределение токов и напряжений на про- водниках связанных резонаторов для двух способов их возбуждения (U
1
= 1,
U
2
= 0 и U
1
= 0, U
2
= 1), можно по формулам (7.79)
−(7.83) рассчитать все энер- гии, а затем по формулам (7.68)
−(7.69) вычислить коэффициенты связи.
163
1 ... 14 15 16 17 18 19 20 21 22
)
Выделяя амплитуды токов |I
1
|, |I
2
| и их начальные фазы
ψ
1
,
ψ
2
, запишем вы- ражение (7.54) в виде
)
(
157
где
)
(
cos
2 1
2 1
2 1
2 2
2 4
1 2
1 1
4 1
ψ
−
ψ
+
+
=
I
I
L
I
L
I
L
W
m
L
(7.55)
− усредненная энергия магнитного поля;
)
2
(
cos
)
(
2
cos
)
(
2
cos
)
(
2 1
2 1
2 1
2 2
2 2
4 1
1 2
1 1
4 1
ψ
−
ψ
−
ω
+
+
ψ
−
ω
+
ψ
−
ω
=
t
I
I
L
t
I
L
t
I
L
t
W
m
L
(7.56)
− колеблющаяся энергия магнитного поля.
В формулах (7.55)–(7.56), в отличие от формул (7.48) и (7.49), ни одно из слагаемых нельзя отождествлять с энергией, запасаемой каким-либо опре- деленным контуром, так как ток в одном из контуров может быть связан с колебанием в другом контуре. Последнее утверждение становится очевид- ным, если рассматривать колебания на частоте
ω = ω
р
, когда U
2
= 0 при U
1
≠ 0.
Действительно, в этом случае колебания во втором контуре отсутствуют
(U
2
= 0), а ток I
2
, согласно (7.41), отличен от нуля. Это означает, что колеба- ния в первом контуре простираются лишь на один из элементов второго кон- тура (L
2
), а не на весь второй контур в целом.
Таким образом, ток I
2
во втором контуре может быть связан как с коле- банием во втором контуре, так и с колебанием в первом контуре. Аналогич- ная неопределенность имеет место и для тока I
1
Эту неопределенность можно устранить, если учитывать реальную взаи- мосвязь между токами и напряжениями, выражаемую общими формулами
,
2 22 1
21 2
2 12 1
11 1
U
i
U
i
I
U
i
U
i
I
+
=
+
=
(7.57)
Подставляя (7.57) в (7.55), получаем
L
L
L
L
W
W
W
W
12 22 11
+
+
=
, где
2 2
22
*
12 2
22 2
2 12 1
4 1
22 2
1 21
*
11 2
21 2
2 11 1
4 1
11
]
[
]
[
)
(
Re
2
,
)
(
Re
2
U
i
i
L
i
L
i
L
W
U
i
i
L
i
L
i
L
W
m
L
m
L
+
+
=
+
+
=
(7.58)
− усредненные энергии магнитного поля, запасаемые первым и вторым кон- туром в отдельности;
158
(
)
2
*
1 12
*
21 22
*
11 22
*
21 2
12
*
11 1
2 1
12
]
[
)
(
Re
U
U
i
i
i
i
L
i
i
L
i
i
L
W
m
L
+
+
+
=
(7.59)
− усредненная энергия магнитного поля, запасаемая первым и вторым конту- ром совместно.
Теперь подставим (7.57) в (7.56). Получаем
)
(
)
(
)
(
)
(
12 22 11
t
W
t
W
t
W
t
W
L
L
L
L
+
+
=
, где
(
)
(
2 2
22 12 2
22 2
2 12 1
4 1
22 2
1 21 11 2
21 2
2 11 1
4 1
11
]
[
]
[
2
Re
)
(
,
2
Re
)
(
U
i
i
L
i
L
i
L
t
W
U
i
i
L
i
L
i
L
t
W
m
L
m
L
+
+
=
+
+
=
)
(7.60)
− колеблющиеся энергии магнитного поля, запасаемые первым и вторым контуром в отдельности;
(
)
2 1
21 12 22 11 22 21 2
12 11 1
2 1
12
]
[
)
(
Re
)
(
U
U
i
i
i
i
L
i
i
L
i
i
L
t
W
m
L
+
+
+
=
(7.61)
− колеблющаяся энергия магнитного поля, запасаемая первым и вторым кон- туром совместно.
Из уравнений (7.39)–(7.40) находим коэффициенты
,
,
,
2 2
1 1
22 2
2 1
21 2
2 1
12 2
2 1
2 11
m
m
m
m
m
m
L
L
L
L
i
i
L
L
L
L
i
i
L
L
L
L
i
i
L
L
L
L
i
i
−
ω
=
−
ω
−
=
−
ω
−
=
−
ω
=
(7.62)
Подставляя (7.62) в (7.61), получаем
)
(
Re
)
(
2
)
(
2 1
2 2
1 2
12
U
U
L
L
L
L
t
W
m
m
L
−
ω
=
. (7.63)
Учитывая, что
)
2
(
cos
)
(
Re
2 1
2 1
2 1
ϕ
−
ϕ
−
ω
=
t
U
U
U
U
, из формул (7.53) и (7.63) находим амплитуды
∗
колеблющихся энергий электрического и магнитного поля, запасаемых контурами совместно:
∗ Амплитуды обеих колеблющихся энергий допускают совместное изменение их знаков, так как амплитудой синусоиды Re(U
1
U
2
) можно считать как |U
1
U
2
|, так и –|U
1
U
2
|.
159 2
1 2
2 1
2 12 2
1 2
1 12
)
(
2
,
U
U
L
L
L
L
W
U
U
C
W
m
m
L
m
C
−
ω
=
−
=
. (7.64)
Теперь подставим (7.62) в (7.58). Получаем
2 2
2 2
1 2
1 22 2
1 2
2 1
2 2
11
)
(
4
,
)
(
4
U
L
L
L
L
W
U
L
L
L
L
W
m
L
m
L
−
ω
=
−
ω
=
. (7.65)
Очевидно, что усредненная энергия электрического поля W
—
12 C
, запа- саемая контурами совместно, есть энергия емкостной связи контуров, а ус- редненная энергия магнитного поля W
—
12 L
есть энергия индуктивной связи контуров.
Можно предположить, что коэффициенты связи k
C
и k
L
пропорцио- нальны энергиям W
—
12 C
и W
—
12 L
. Подобное предположение уже делалось при выводе формул (7.37), где оно достаточно хорошо оправдалось. Однако это не вполне верно. Действительно, если бы коэффициенты k
C
и k
L
были про- порциональны усредненным энергиям W
―
12 C
и W
―
12 L
, то на резонансной часто- те
ω = ω
2
эти коэффициенты, согласно формулам (7.53), (7.63), (7.45) и
(7.39)
−(7.40), обращались бы в нуль, а не принимали значения, выражаемые формулами (7.22) и (7.23). Поэтому будем искать взаимосвязь коэффициен- тов k
C
и k
L
не с усредненными энергиями W
―
12 C
и W
―
12 L
, а с амплитудами W
ֹ
12 C
и W
ֹ
12 L
колеблющихся энергий, которые не обнуляются на резонансной частоте.
Используя формулы (7.50), (7.64), (7.65), приходим к равенствам
,
)
1
)(
1
(
2
)
(
)
(
2 2
2 2
2 1
2 1
22 22 11 11 12
)
)(
(
−
−
ω
ω
+
ω
ω
+
×
×
+
+
−
=
+
+
m
m
m
C
L
C
L
C
C
C
C
C
C
W
W
W
W
W
(7.66)
)
1
(
)
1
(
2
)
(
)
(
2 2
2 2
2 1
2 1
22 22 11 11 12
ω
ω
+
ω
ω
+
=
+
+
−
−
L
L
L
W
W
W
W
W
m
C
L
C
L
L
. (7.67)
Видно, что при выполнении условий двойного резонанса
ω = ω
1
= ω
2
правые стороны равенств (7.66) и (7.67) совпадают соответственно с правыми сторо- нами формул (7.22) и (7.23). Поэтому коэффициенты индуктивной и емкостной связи любых резонаторов СВЧ и контуров определяем форму- лами
160
k
L
)
(
)
(
22 22 11 11 12
C
L
C
L
L
W
W
W
W
W
+
+
=
, (
7.68
)
k
C
)
(
)
(
22 22 11 11 12
C
L
C
L
C
W
W
W
W
W
+
+
=
. (
7.69
)
Из этих определений, в частности, следует, что коэффициенты k
L
и k
C
для контуров с внутренней индуктивной и внешней емкостной связью могут быть вычислены на произвольной частоте
ω по формулам
,
)
1
(
)
1
(
2 2
2 2
2 1
2 2
1
−
−
ω
ω
+
ω
ω
+
=
L
L
L
k
m
L
(7.70)
)
1
(
)
1
(
2
)
(
)
(
2 2
2 2
2 1
2 1
−
−
ω
ω
+
ω
ω
+
+
+
−
=
m
m
m
C
C
C
C
C
C
k
(7.71)
Видно, что при L
m
> 0 коэффициент k
L
всегда положителен. Он убывает с ростом частоты
ω. Напротив, коэффициент k
С
всегда отрицателен и возрас- тает по модулю с ростом частоты. Поэтому всегда существует частота взаим- ной компенсации индуктивной и емкостной связи
ω
z
, на которой сумма
k
L
+ k
C
обращается в нуль, а вместе с ней, согласно (7.24), обращается в нуль и коэффициент k. Не трудно проверить, что частота
ω
z
строго совпадает с частотой нуля коэффициента передачи напряжения
ω
p
, значение которой за- дается формулой (7.43). В зависимости от величины отношения L
m
/
C
m
часто- та
ω
z
может быть как выше, так и ниже частот
ω
1
и
ω
2
Таким образом, согласно формулам (7.68)–(7.69) коэффициенты индук- тивной связи k
L
и емкостной связи k
C
есть отношения амплитуд колеблю- щейся части соответственно магнитной и электрической энергии, запасаемой резонаторами совместно, к среднегеометрической величине усредненных по времени полных энергий, запасаемых каждым резонатором в отдельности.
Зная коэффициенты k
L
и k
C
, по формуле сложения (7.24) можно вычислить коэффициент связи k.
7.7. Энергия связанных МПР
Рассмотрим два параллельных микрополосковых резонатора. Ось ко- ординат z направим параллельно резонаторам. В общем случае погонные емкости и индуктивности проводников будут функциями от z. Пусть вход
161
первого резонатора расположен в точке z
1
, а вход второго – в точке z
2
. Будем полагать, что напряжения на проводниках в этих точках принимают значения
u
1
(z
1
) = U
1
,
u
2
(z
2
) = U
2
. (7.72)
Запишем усредненную электрическую и магнитную энергию поля СВЧ связанных резонаторов
∫
∫
∫
−
+
+
+
=
,
)
(
Re
)
(
)
(
2
*
1 2
1 2
2 2
4 1
2 1
1 4
1
dz
u
u
C
dz
u
C
C
dz
u
C
C
W
m
m
m
C
(7.73)
,
)
(
Re
2
*
1 2
1 2
2 2
4 1
2 1
1 4
1
∫
∫
∫
+
+
=
dz
i
i
L
dz
i
L
dz
i
L
W
m
L
(7.74) где интегрирование производится по области существования токов и напря- жений.
Прежде чем выделять в выражениях (7.73) и (7.74) энергии, запасаемые каждым резонатором в отдельности, и энергии, запасаемые резонаторами со- вместно, преобразуем формулу (7.74) исходя из следующего. В режиме бе- гущей волны напряжение на любом из проводников связанных линий про- порционально определенной линейной комбинации токов на обоих провод- никах. Поэтому напряжениям u
1
и u
2
, согласно телеграфным уравнениям
(2.3), можно сопоставить некие сопряженные токи j
1
и j
2
, которые связа- ны с токами на проводниках i
1
и i
2
, унитарным преобразованием
)
(
1
/
]
)
/
(
[
,
)
(
1
/
]
)
/
(
[
2 1
2 2
1 2
2 2
1 2
2 1
1 1
L
L
L
j
j
L
L
i
L
L
L
j
L
L
j
i
m
m
m
m
−
+
−
=
−
−
=
(7.75)
Выражение (7.74) после подстановки в него формул (7.75) принимает вид
∫
∫
∫
−
+
=
dz
j
j
L
dz
j
L
dz
j
L
W
m
L
)
(
Re
2
*
1 2
1 2
2 2
4 1
2 1
1 4
1
. (7.76)
Напряжения и токи на проводниках, в силу линейности задачи о воз- буждении колебаний в связанных резонаторах, можно представить в виде
)
(
)
(
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
2 22 1
21 2
2 22 1
21 2
2 12 1
11 1
2 12 1
11 1
U
z
j
U
z
j
j
U
z
u
U
z
u
u
U
z
j
U
z
j
j
U
z
u
U
z
u
u
+
=
+
=
+
=
+
=
(7.77)
Из (7.72) следует, что
1
)
(
,
0
)
(
,
0
)
(
,
1
)
(
2 22 2
21 1
12 1
11
=
=
=
=
z
u
z
u
z
u
z
u
. (7.78)
162
Подставляя (7.77) в (7.73) и (7.76), получаем
W
—
C
= W
—
11C
+ W
—
22C
+ W
—
12C
,
W
—
L
= W
—
11L
+ W
—
22L
+ W
—
12L
, где искомые энергии
(
)
,
)
(
)
(
)
(
Re
,
2
)
(
)
(
Re
,
2
)
(
)
(
Re
]
[
]
[
]
[
12
*
21 22
*
11 22
*
21 2
12
*
11 1
2
*
1 2
1 12 22
*
12 2
12 1
2 22 2
2 2
4 1
22 21
*
11 2
21 2
2 11 1
2 1
4 1
11
∫
∫
∫
+
−
+
+
+
=
−
+
+
+
=
−
+
+
+
=
dz
u
u
u
u
C
u
u
C
C
u
u
C
C
U
U
W
dz
u
u
C
u
C
C
u
C
C
U
W
dz
u
u
C
u
C
C
u
C
C
U
W
m
m
m
C
m
m
m
C
m
m
m
C
(7.79)
(
)
)
(
Re
,
2
Re
,
2
Re
]
[
]
[
]
[
12
*
21 22
*
11 22
*
21 2
12
*
11 1
2
*
1 2
1 12 22
*
12 2
22 2
2 12 1
2 2
4 1
22 21
*
11 2
21 2
2 11 1
2 1
4 1
11
∫
∫
∫
+
−
+
=
−
+
=
−
+
=
dz
j
j
j
j
L
j
j
L
j
j
L
U
U
W
dz
j
j
L
j
L
j
L
U
W
dz
j
j
L
j
L
j
L
U
W
m
L
m
L
m
L
(7.80)
Усредненным энергиям W
—
12 C
, W
—
12 L
соответствуют колеблющиеся энергии
(
)
∫
+
−
+
+
+
=
dz
u
u
u
u
C
u
u
C
C
u
u
C
C
U
U
W
m
m
m
C
]
[
)
(
)
(
)
(
Re
12 21 22 11 22 21 2
12 11 1
2 1
2 1
12
, (7.81)
(
)
∫
+
−
+
=
dz
j
j
j
j
L
j
j
L
j
j
L
U
U
W
m
L
]
[
)
(
Re
12 21 22 11 22 21 2
12 11 1
2 1
2 1
12
. (7.82)
Для нахождения функций u
ij
(z) и j
i j
(z) воспользуемся линейными свой- ствами связанных колебаний резонаторов. Согласно (7.77) имеем
)
(
)
(
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
1
,
0 2
22 1
,
0 2
22 0
,
1 2
21 0
,
1 2
21 1
,
0 1
12 1
,
0 1
12 0
,
1 1
11 0
,
1 1
11 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
z
j
z
j
z
u
z
u
z
j
z
j
z
u
z
u
z
j
z
j
z
u
z
u
z
j
z
j
z
u
z
u
(7.83)
Таким образом, вычислив распределение токов и напряжений на про- водниках связанных резонаторов для двух способов их возбуждения (U
1
= 1,
U
2
= 0 и U
1
= 0, U
2
= 1), можно по формулам (7.79)
−(7.83) рассчитать все энер- гии, а затем по формулам (7.68)
−(7.69) вычислить коэффициенты связи.
163
1 ... 14 15 16 17 18 19 20 21 22