Файл: Учебнометодический комплекс дисциплины математический анализ1.docx

Пример 1

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями  ,  ,  ,  .

Построение чертежа производится по следующему порядку: сначала лучше построить все прямые (если они есть) и только потом – параболы, гиперболы, графики других функций. Графики функций выгоднее строить поточечно.

Выполним чертеж (обратите внимание, что уравнение   задает ось  ):

Решение:

На отрезке    график функции   расположен над осью  , поэтому:

Ответ:


Лекция 15. Приложения определённого интеграла к вычислению площадей, объёмов, длины дуги кривой. Приложения определённого интеграла в экономике

На занятиях Вычисление площади с помощью определённого интеграла и Объем тела вращения мы рассмотрели два самых важных приложения определённого интеграла, в которых демонстрационная криволинейная трапеция ограничена осью абсцисс, отрезками прямых  и графиком функции , которая непрерывна и не меняет знак на отрезке «а-бэ». Но в некоторых практических заданиях функция может быть задана в параметрическом виде , и наша сегодняшняя задача – научиться считать площадь и объем, если вышла такая незадача =) Понятие параметрической формы я достаточно подробно раскрыл в статье о производной параметрически заданной функции, и в курсе аналитической геометрии на уроках об уравнении прямой на плоскости и уравнениях прямой в пространстве.

Рассмотрим график:

Рассмотрим график функции , и, её площадь криволинейной трапеции рассчитывается с помощью определённого интеграла по элементарной формуле  или, если короче: .

Рассмотрим ситуацию, когда эта же функция задана в параметрическом виде .

Как найти площадь в этом случае?

При некотором вполне конкретном значении параметра  параметрические уравнения будут определять координаты точки , а при другом вполне конкретном значении  – координаты точки . Когда «тэ» изменяется от  до  включительно, параметрические уравнения как раз и «прорисовывают» кривую . Думаю, на счёт пределов интегрирования стало всё понятно. Теперь в интеграл  

---

вместо «икса» и «игрека» подставляем функции  и раскрываем дифференциал:

Примечание: подразумевается, что функции  непрерывны на промежутке интегрирования и, кроме того, функция  монотонна на нём.

Формула объёма тела вращения получается так же просто:

Объём тела, получаемого вращением криволинейной трапеции вокруг оси , рассчитывается по формуле  или: . Подставляем в неё параметрические функции , а также пределы интегрирования :

Пожалуйста, занесите обе рабочие формулы в свой справочник.

По моим наблюдениям, задачи на нахождение объёма встречаются довольно редко, и поэтому значительная часть примеров данного урока будет посвящена нахождению площади. Не откладываем дело в долгий ящик:

Пример 1

Вычислить площадь криволинейной трапеции , если

Решение: используем формулу .

Сначала найдём производную. Дифференцирование осуществляется, само собой, по переменной «тэ», для краткости записи я не буду рисовать подстрочный индекс:
.

Таким образом:


Ответ:

ЗАДАНИЯ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ
Теоретические вопросы

1. 
   Понятие производной. Производная функции
   
2. 
   Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к графику функции.
   
3. 
   Понятие дифференцируемости функции и дифференциала. Условие дифференцируемости. Связь дифференциала с производной.
   
4. 
   Геометрический смысл дифференциала.
   
5. 
   Непрерывность дифференцируемой функции.
   
6. 
   Дифференцирование постоянной и суммы, произведения и частного.
   
7. 
   Производная сложной функции.
   
8. 
   Инвариантность формы дифференциала.
   
9. 
   Производная обратной функции.
   
10. 
    Производные обратных тригонометрических функций. 11.Гиперболические функции, их производные.
    

12. 
    Производные высших порядков, формула Лейбница.
    
13. 
    Дифференциалы высших порядков. Неинвариантность дифференциалов порядка выше первого.
    
14. 
    Дифференцирование функций, заданных параметрически.
    

Найти пределы

№183. №184.

№185. №186. №187.

№189. №191 №192.

№193. №195 №196.

№197 №199 №200.

---

Найти пределы (второй замечательный предел)

4) ; 5) ;

6) ; 7)

8) 9)
10) 11)

Найти производные

1. 
   f(х) = cos(5 - 3x)
   
2. 
   
   
3. 
   f(х) = 3х² + 10
   
4. 
   
   
5. 
   f(x) =
   
6. 
   
   
7. 
   
   
8. 
   f(x) =
   
9. 
   f(x) = e^4-7x.
   

Основная литература

1. 
   Жәутіков О.А. Математикалық анализ курсы, Алматы:Экономика, 2014
   
2. 
   Ибрашев Х.И. Математикалық анализ курсы, Алматы:Экономика, 2014
   
3. 
   Кенжебаев К.К. Сборник задач по математическому анализу, Киев, Кий, 2001
   
4. 
   Қасымов Е.Ә.Жоғары математика курсы, Алматы:Экономика, 2014
   
5. 
   Ильин В.А. Высшая математика, Москва : «Проспект», 2008
   
6. 
   Крофт Э., Дэвисон Р. Математика негіздері- Алматы: ЖОО қауымдастығы, 2013
   
7. 
   Хьюз-Халлетт, Глисон, Мак Каллум. Математикалық анализ. Бір айнымалы Алматы: ЖШС РПБК "Дәуір", 2017
   

Дополнительная литература:

1. 
   Байарыстанов А.О. Жоғары математика, Алматы: «Нұр-Принт», 2015.
   
2. 
   Ералиев С.Е. Математика. Есептер жинағы, Минск: «Тетрасистемс», 2006.
   
3. 
   Отаров Х.Т.Математикалық анализ..- Алматы: Экономика, 2012.
   
4. 
   Б.Е. Турбаев, А.Е. Фазылова, Қ.Қ. Айтымбетова Математикалық индукция әдісін пайдаланып шешілетін есептер.- Қызылорда: Ақмешіт Баспа үйі", 2014
   

---