Файл: Учебнометодический комплекс дисциплины математический анализ1.docx
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 12.12.2023
Просмотров: 165
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
. Основные свойства пределов числовой последовательности
Последовательностьюназываетсяперенумерованноемножествочисел.
Определение. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число хn, то говорят, что задана последовательность x1, х2, …, хn = {xn}.
Общий элемент последовательности является функцией от n. xn = f(n)
Таким образом последовательность может рассматриваться как функция порядкового номера элемента.Задать последовательность можно различными способами – главное, чтобы был указан способ получения любого члена последовательности.
Пример. {xn} = {(-1)n} или {xn} = -1; 1; -1; 1; …
{xn} = {sinn/2} или {xn} = 1; 0; 1; 0; …
Определение.. Числовая последовательность { xn }
называется
Замечание. Условие «a,bℝ такие, что a xn b» равносильно условию «M>0 такое, что | xn | M»
xn < xn+1 (xn xn+1), nℕ;
xn > xn+1 (xn xn+1), nℕ;
Замечание. Возрастающие, убывающие, невозрастающие, неубывающие последовательности называются монотонными.
Для последовательностей можно определить следующие операции:
Предел последовательности
Переменная величина х стремится к пределу a (a - постоянное число), если абсолютная величина разности между х и а становится в процессе изменения переменной величины сколь угодно малой..То же самое определение можно сказать и другими словами.
Определение. Число а называется пределом последовательности , если для любого числа найдётся число , что все числа , у которых , удовлетворяют неравенству .
Соответствующее обозначение . .
Последовательность, имеющую предел, называют сходящейся(сходящейсяк a).
Последовательность, не имеющую предела, называют расходящейся.
Теорема. Пусть заданы последовательности и . Если эти последовательности сходящиеся, т.е.
, ,
то для этих последовательностей :
1. ;
2. ;
3. Если , то .
Критерий Коши существования конечной последовательности
Теорема. Пусть задана последовательнось . При и чтобы эта последовательность была сходящейся необходимо и достаточно чтобы выполнялось неравенство
удовлетворяющую для номеров
Лекция 3. Функция. Предел функции. Непрерывность. Вычисление пределов функций на бесконечности и в конечной точке.
Функия
Определение. Функциейf с областью определения D и областью значений Е называется некоторое отображение из D в Е, т. е. соответствие, при котором каждому элементу сопоставляется единственный элемент .
Для того чтобы функция была определена, надо знать: а) область определения; б) закон соответствия. Обычно функция задается аналитически - какой-нибудь формулой. Иногда закон соответствия задается разными формулами на разных участках ее области определения.
Определение. Число А называется пределом функции при , если для каждого найдётся такое 0, что для всех выполняется неравенство , т. е.
. (Обозначается или
Предел функции по Гейне: число A называется пределом функции в точке , если для любой последовательности точек (принадлежащих X и отличных от ), которая сходится к точке , соответствующая последовательность значений функции сходится к A.
Окрестность точки
Рассмотрим некоторую точку и её произвольную -окрестность:
Значение «эпсилон» всегда положительно, и, более того, мы вправе выбрать его самостоятельно. Предположим, что в данной окрестности находится множество членов (не обязательно все) некоторой последовательности . Как записать тот факт, что, например десятый член попал в окрестность? Пусть он находится в правой её части. Тогда расстояние между точками и должно быть меньше «эпсилон»: . Однако если «икс десятое» расположено левее точки «а», то разность будет отрицательна, и поэтому к ней нужно добавить знак модуля: .
Предел функции по Коши: число называется пределом функции в точке , если для любой заранее выбранной окрестности (сколь угодно малой), существует -окрестность точки , ТАКАЯ, что: КАК ТОЛЬКО значения (принадлежащие ) входят в данную окрестность: – ТАК СРАЗУ соответствующие значения функции гарантированно зайдут в -окрестность: .
Основные теоремы о пределах
Пусть и - функции, для которых существуют пределы при (или при ): , . Сформулируем основные теоремы о пределах.
Функция не может иметь более одного предела.
Предел алгебраической суммы, то тогда существует и равен А В.
Если и существуют, то тогда существует и равен .
Если и и существуют, то тогда существует и равен .
Пример 1. Используя определение последовательности, доказать, что
Решение: докажем, что . Для этого рассмотрим произвольную -окрестность точки и проверим, найдётся ли натуральный номер – такой, что выполнено:
Преобразуем неравенство:
Для всех «эн»: , поэтому
:
Вывод: т.к. «эпсилон» выбиралось произвольно, то для любой сколько угодно малой -окрестности точки нашлось значение , такое, что выполнено . Таким образом, по определению. Что и требовалось доказать.
Рассмотрим следующий предел: .
Согласно нашему правилу нахождения пределов пробуем подставить ноль в функцию: в числителе у нас получается ноль (синус нуля равен нулю), в знаменателе, очевидно, тоже ноль. Таким образом, мы сталкиваемся с неопределенностью вида , которую, к счастью, раскрывать не нужно. В курсе математического анализа, доказывается, что:
Найти предел
Пробуем подставить ноль в числитель и знаменатель:
Получена неопределенность (косинус нуля, как мы помним, равен единице)
Используем тригонометрическую формулу . Возьмите на заметку! Пределы с применением этой формулы почему-то встречаются очень часто.
Постоянные множители вынесем за значок предела:
Организуем первый замечательный предел: Здесь у нас только один замечательный предел, который превращается в единицу и исчезает в произведении:
Избавимся от трехэтажности:
Предел фактически решен, указываем, что оставшийся синус стремится к нулю:
Здесь е 2,718282… – иррациональное число.
В теории математического анализа доказано, что:
Данный факт носит название второго замечательного предела.
Справка: – это иррациональное число.
В качестве параметра может выступать не только переменная , но и сложная функция. Важно лишь, чтобы она стремилась к бесконечности.
Прежде всего, перед решением любого предела, обязательно выполняем подстановку «икса» в функцию – неопределённости может и не быть! Однако сладостей много вредно, и на первых двух уроках мы сталкивались со следующими неопределённостями:
Кроме указанных видов, существует довольно распространённая неопределённость («бесконечность минус бесконечность»), которую мы подробно разберём в этой статье, и совсем редко встречаются неопределённости .
Для того чтобы устранить неопределённость, как вы знаете, необходимо использовать некоторые правила и методы решения пределов.
Теперь о том, ЧТО НЕ ЯВЛЯЕТСЯ неопределённостью.
Неопределённостью не является:
– Любая определённость =)
– Бесконечно малое число, делённое на ненулевую константу: . Сюда же можно отнести бесконечно малое число, делённое на бесконечно большое число:
– Ненулевая константа, делённая на бесконечно малое число, например: .
– Начинающие изучать математический анализ, часто пытаются устранить мифическую неопределённость . Но все попытки тщетны, поскольку это определённость:
представим «бесконечность делить на ноль» в виде произведения: , и, согласно предыдущему пункту: . Приведу живой пример:
Примечание: на практике значок часто записывают без «плюса»: , но, строго говоря, это две разные вещи. Для простоты я буду считать второе обозначение «плюс бесконечностью» и иногда в целях бОльшей чёткости изложения ставить знак «плюс».
– Число, не равное единице, в бесконечно большой степени не является неопределённостью. Например: . В частности: .
– Разность двух функций, каждая из которых стремится к нулю, например: . Таким образом, неопределённости «ноль минус ноль» тоже не существует – это определённость.
Лекция 5. Односторонние пределы, односторонняя непрепрерывность. Классификация точек разрыва. Асимптоты
Сначала вспомним односторонние пределы,. Рассмотрим:
Если приближаться по оси к точке слева (красная стрелка), то соответствующие значения «игреков» будут идти по оси к точке (малиновая стрелка). Математически данный факт фиксируется с помощью
Последовательностьюназываетсяперенумерованноемножествочисел.
Определение. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число хn, то говорят, что задана последовательность x1, х2, …, хn = {xn}.
Общий элемент последовательности является функцией от n. xn = f(n)
Таким образом последовательность может рассматриваться как функция порядкового номера элемента.Задать последовательность можно различными способами – главное, чтобы был указан способ получения любого члена последовательности.
Пример. {xn} = {(-1)n} или {xn} = -1; 1; -1; 1; …
{xn} = {sinn/2} или {xn} = 1; 0; 1; 0; …
Определение.. Числовая последовательность { xn }
называется
-
ограниченнойснизу, если aℝ такое, что a xn ,nℕ; -
ограниченнойсверху, если bℝ такое, что xn b, nℕ; -
ограниченной, если a,bℝ такие, что a xn b,nℕ; nℕ
Замечание. Условие «a,bℝ такие, что a xn b» равносильно условию «M>0 такое, что | xn | M»
-
возрастающей(неубывающей), если
xn < xn+1 (xn xn+1), nℕ;
-
убывающей(невозрастающей), если
xn > xn+1 (xn xn+1), nℕ;
Замечание. Возрастающие, убывающие, невозрастающие, неубывающие последовательности называются монотонными.
Для последовательностей можно определить следующие операции:
-
Умножение последовательности на число m: m{xn} = {mxn}, т.е. mx1, mx2, … -
Сложение (вычитание) последовательностей: {xn} {yn} = {xn yn}. -
Произведение последовательностей: {xn}{yn} = {xnyn}. -
Частное последовательностей: при {yn} 0.
Предел последовательности
Переменная величина х стремится к пределу a (a - постоянное число), если абсолютная величина разности между х и а становится в процессе изменения переменной величины сколь угодно малой..То же самое определение можно сказать и другими словами.
Определение. Число а называется пределом последовательности , если для любого числа найдётся число , что все числа , у которых , удовлетворяют неравенству .
Соответствующее обозначение . .
Последовательность, имеющую предел, называют сходящейся(сходящейсяк a).
Последовательность, не имеющую предела, называют расходящейся.
Теорема. Пусть заданы последовательности и . Если эти последовательности сходящиеся, т.е.
, ,
то для этих последовательностей :
1. ;
2. ;
3. Если , то .
Критерий Коши существования конечной последовательности
Теорема. Пусть задана последовательнось . При и чтобы эта последовательность была сходящейся необходимо и достаточно чтобы выполнялось неравенство
удовлетворяющую для номеров
Лекция 3. Функция. Предел функции. Непрерывность. Вычисление пределов функций на бесконечности и в конечной точке.
Функия
Определение. Функциейf с областью определения D и областью значений Е называется некоторое отображение из D в Е, т. е. соответствие, при котором каждому элементу сопоставляется единственный элемент .
Для того чтобы функция была определена, надо знать: а) область определения; б) закон соответствия. Обычно функция задается аналитически - какой-нибудь формулой. Иногда закон соответствия задается разными формулами на разных участках ее области определения.
Предел функции
Определение. Число А называется пределом функции при , если для каждого найдётся такое 0, что для всех выполняется неравенство , т. е.
. (Обозначается или
Предел функции по Гейне: число A называется пределом функции в точке , если для любой последовательности точек (принадлежащих X и отличных от ), которая сходится к точке , соответствующая последовательность значений функции сходится к A.
Окрестность точки
Рассмотрим некоторую точку и её произвольную -окрестность:
Значение «эпсилон» всегда положительно, и, более того, мы вправе выбрать его самостоятельно. Предположим, что в данной окрестности находится множество членов (не обязательно все) некоторой последовательности . Как записать тот факт, что, например десятый член попал в окрестность? Пусть он находится в правой её части. Тогда расстояние между точками и должно быть меньше «эпсилон»: . Однако если «икс десятое» расположено левее точки «а», то разность будет отрицательна, и поэтому к ней нужно добавить знак модуля: .
Предел функции по Коши: число называется пределом функции в точке , если для любой заранее выбранной окрестности (сколь угодно малой), существует -окрестность точки , ТАКАЯ, что: КАК ТОЛЬКО значения (принадлежащие ) входят в данную окрестность: – ТАК СРАЗУ соответствующие значения функции гарантированно зайдут в -окрестность: .
Основные теоремы о пределах
Пусть и - функции, для которых существуют пределы при (или при ): , . Сформулируем основные теоремы о пределах.
Функция не может иметь более одного предела.
Предел алгебраической суммы, то тогда существует и равен А В.
Если и существуют, то тогда существует и равен .
Если и и существуют, то тогда существует и равен .
Пример 1. Используя определение последовательности, доказать, что
Решение: докажем, что . Для этого рассмотрим произвольную -окрестность точки и проверим, найдётся ли натуральный номер – такой, что выполнено:
Преобразуем неравенство:
Для всех «эн»: , поэтому
:
Вывод: т.к. «эпсилон» выбиралось произвольно, то для любой сколько угодно малой -окрестности точки нашлось значение , такое, что выполнено . Таким образом, по определению. Что и требовалось доказать.
Лекция 4. Первый и второй замечательный пределы и их следствия. Сравнение бесконечно малых функций. Основные теоремы о непрерывных функциях
Первый замечательный предел
Рассмотрим следующий предел: .
Согласно нашему правилу нахождения пределов пробуем подставить ноль в функцию: в числителе у нас получается ноль (синус нуля равен нулю), в знаменателе, очевидно, тоже ноль. Таким образом, мы сталкиваемся с неопределенностью вида , которую, к счастью, раскрывать не нужно. В курсе математического анализа, доказывается, что:
Данный математический факт носит название Первого замечательного предела. Первый замечательный предел .
Рассмотрим пример вычисления.
Найти предел
Пробуем подставить ноль в числитель и знаменатель:
Получена неопределенность (косинус нуля, как мы помним, равен единице)
Используем тригонометрическую формулу . Возьмите на заметку! Пределы с применением этой формулы почему-то встречаются очень часто.
Постоянные множители вынесем за значок предела:
Организуем первый замечательный предел: Здесь у нас только один замечательный предел, который превращается в единицу и исчезает в произведении:
Избавимся от трехэтажности:
Предел фактически решен, указываем, что оставшийся синус стремится к нулю:
Второй замечательный предел .
Здесь е 2,718282… – иррациональное число.
В теории математического анализа доказано, что:
Данный факт носит название второго замечательного предела.
Справка: – это иррациональное число.
В качестве параметра может выступать не только переменная , но и сложная функция. Важно лишь, чтобы она стремилась к бесконечности.
Методы решения пределов. Неопределённости.
Прежде всего, перед решением любого предела, обязательно выполняем подстановку «икса» в функцию – неопределённости может и не быть! Однако сладостей много вредно, и на первых двух уроках мы сталкивались со следующими неопределённостями:
Кроме указанных видов, существует довольно распространённая неопределённость («бесконечность минус бесконечность»), которую мы подробно разберём в этой статье, и совсем редко встречаются неопределённости .
Для того чтобы устранить неопределённость, как вы знаете, необходимо использовать некоторые правила и методы решения пределов.
Теперь о том, ЧТО НЕ ЯВЛЯЕТСЯ неопределённостью.
Неопределённостью не является:
– Любая определённость =)
– Бесконечно малое число, делённое на ненулевую константу: . Сюда же можно отнести бесконечно малое число, делённое на бесконечно большое число:
– Ненулевая константа, делённая на бесконечно малое число, например: .
– Начинающие изучать математический анализ, часто пытаются устранить мифическую неопределённость . Но все попытки тщетны, поскольку это определённость:
представим «бесконечность делить на ноль» в виде произведения: , и, согласно предыдущему пункту: . Приведу живой пример:
Примечание: на практике значок часто записывают без «плюса»: , но, строго говоря, это две разные вещи. Для простоты я буду считать второе обозначение «плюс бесконечностью» и иногда в целях бОльшей чёткости изложения ставить знак «плюс».
– Число, не равное единице, в бесконечно большой степени не является неопределённостью. Например: . В частности: .
– Разность двух функций, каждая из которых стремится к нулю, например: . Таким образом, неопределённости «ноль минус ноль» тоже не существует – это определённость.
Лекция 5. Односторонние пределы, односторонняя непрепрерывность. Классификация точек разрыва. Асимптоты
Сначала вспомним односторонние пределы,. Рассмотрим:
Если приближаться по оси к точке слева (красная стрелка), то соответствующие значения «игреков» будут идти по оси к точке (малиновая стрелка). Математически данный факт фиксируется с помощью