Файл: Учебнометодический комплекс дисциплины математический анализ1.docx

Рассмотрим дифференцируемую на некотором интервале функцию  . Тогда:

– если производная   на интервале, то функция   возрастает на данном интервале;

– если производная   на интервале, то функция   убывает на данном интервале.

Примечание: справедливы и обратные утверждения.

Пусть точка   принадлежит области определения функции  . Данная точка называется критической, если в ней производная равна нулю:   либо значения   не существует. Критическая точка может быть точкой экстремума. А может и не быть.

Функция   непрерывна в точке   справа, если она определена в данной точке и её правосторонний предел совпадает со значением функции в данной точке:  . Она же непрерывна в точке   слева, если определена в данной точке и её левосторонний предел равен значению в этой точке: 

Таким образом, непрерывная на отрезке функция ограничена на нём. Согласно второй теореме Вейерштрасса, непрерывная на отрезке   функция достигает своей точной верхней грани   и своей точной нижней грани.

Число   также называют максимальным значением функции на отрезке и обозначают через  , а число   – минимальным значением функции на отрезке с пометкой  .

Число   также называют максимальным значением функции на отрезке и обозначают через  , а число   – минимальным значением функции на отрезке с пометкой  .

В нашем случае:

Алгоритм нахождения точек экстремума на отрезке:

1) Находим значения функции в критических точках, которые принадлежат данному отрезку.

Демонстрационная функция достигает максимума   и это же число является наибольшим значением функции на отрезке  . Но, понятно, такое совпадение имеет место далеко не всегда.

Итак, на первом шаге быстрее и проще вычислить значения функции в критических точках, принадлежащих отрезку, не заморачиваясь есть в них экстремумы или нет.

2) Вычисляем значения функции на концах отрезка.

3) Среди найденных в 1-м и 2-м пунктах значений функции выбираем самое маленькое и самое большое число, записываем ответ.
Лекция 10. Первообразная и неопределенный интеграл. Основные методы интегрирования (непосредственное интегрирование, замена переменной, интегрирование по частям)
Определение. Первообразной для функции , определенной в интервале , называется такая функция , производная которой совпадает с в интервале , т.е. .

---

Другими словами, нахождение первообразной для данной функции есть задача обратная к задаче нахождения ее производной.

Теорема 1. Если и две первообразные для функции на , то найдется такое число С, что .

Определение. Множество всех первообразных для функции на интервале называется неопределенным интегралом этой функции.

Он обозначается символами , где знак интеграла, - дифференциал переменной . Если какая либо первообразная функции , то

, .

В дальнейшем для краткости мы не будем упоминать интервал определения первообразной.

Неопределенные интегралы являются основным инструментом для нахождения определенных интегралов, имеющих широкие применения практически во всех приложениях математики. Рассмотрим методы нахождения различных неопределенных интегралов. Сразу следует заметить, что в отличие от производных, нет алгоритма нахождения любого неопределенного интеграла, а некоторые интегралы вообще нельзя выразить с помощью элементарных функций.

Свойства неопределенных интегралов

Мы будем предполагать, что все записанные интегралы существуют.

1) ; .

2) ; .

Эти свойства непосредственно следуют из определения неопределенного интеграла.

3) Если - число, то .

4)

Для доказательства этих утверждений продифференцируйте левую и правую части каждого равенства.

5) Если , , - числа, то .

Для практического интегрирования прежде всего необходимо знать наизусть следующую таблицу.
Таблица основных неопределенных интегралов

1. . 2. . 3. . В частности, . 4. . 5. . 6. . 7. . 8. . 9. . 10. .

11. . 12. . 13. . 14. . 15. . 16. . 17. . 18. . 19. .

Проверка любого интеграла из этой таблицы состоит в нахождении производной правой части.

Например , т.к. .
Методы интегрирования.

1. Замена переменной в неопределенном интеграле.

Теорема 1. Если функция непрерывна, функция непрерывно дифференцируема, то . (1)

Это равенство можно также записать в виде интеграла ,

---

2. Метод подведения под знак дифференциала

Этот метод является наиболее часто используемым видом замены переменной, при котором один из сомножителей подынтегральной функции заносится под знак и объявляется новой переменной. Напомним, что подвести функцию под знак дифференциала - это значит записать после знака первообразную функции, т.е. .

Следствие. Пусть функции и непрерывны, тогда
(2)

Эта формула фактически повторяет формулу (1), переписанную справа налево и в других обозначениях.

3. Метод интегрирования по частям

Теорема 2. Пусть функции и непрерывно дифференцируемы, тогда

. (3)

Последнюю формулу часто записывают в сокращенном виде ,

где сомножители и внесены под знаки дифференциала.

Контрольные вопросы:

1. 
   Что такое первообразная?
   
2. 
   Дайте определение неопределенного интеграла.
   
3. 
   Теорема о первообразных для одной функций.
   
4. 
   Таблица неопределенных интегралов.
   
5. 
   Замена переменной в неопределенном интеграле.
   
6. 
   Формула интегрирования по частям.
   

Лекция 11. Интегрирование дифференциальных биномов. Замены Эйлера. Интегрирование трансцендентных функций

11.1 Интегрирование дифференциального бинома

Дифференциальным биномом называют выражение вида

где a и b — любые константы, а показатели степеней m, n и p — рациональные числа. Изучим вопрос об интегрируемости в элементарных функциях дифференциальных биномов.
Рассмотрим три случая , когда интеграл от дифференциального бинома допускает рационализирующую подстановку.
1. Первый случай соответствует целому p. Дифференциальный бином представляет собой дробно-линейную иррациональность вида  , где r — наименьшее общее кратное знаменателей рациональных чисел m и n. Стало быть, интеграл от дифференциального бинома в этом случае рационализируется подстановкой  .
2.Второму случаю соответствует целое число  . Сделаем подстановку
 и положим для краткости  , получим

Подынтегральная функция в правой части является дробно-линейной иррациональностью следующего вида вида  , где s — знаменатель рационального числа p.

---

Таким образом, для второго случая дифференциальный бином рационализируется подстановкой

3. Третьему случаю соответствует целому число  . Подынтегральная функция в правой части является дробно-линиейной иррациональностью вида , так что интеграл от дифференциального бинома рационализируется подстановкой вида

В середине 19-го века П.Л.Чебышев доказал, что указанными выше тремя случаями исчерпываются все случаи, когда дифференциальный бином интегрируется в элементарных функциях. (Мемуар 1853 года «Об интегрировании иррациональных дифференциалов»).

Примеры

1)Вычислить интеграл  . Здесь  .  Так как p — целое, значит используем подстановку из первого случая

подставим:

2) Вычислить интеграл  . Здесь  . Так как   — целое (второй случай).

    

подставим:

,

3) Вычислить интеграл  . Графиком подынтегральной функции будет:

В данном случае  , так что   (второй случай). Сделав подстановку

   

будем иметь

 

4) Вычислить интеграл  . Здесь  , так что   (третий случай) Сделав подстановку

   

будем иметь

11.2 Интегрирование некоторых трансцендентных функций

     1. - многочлен.

     Интеграл можно вычислять интегрированием по частям или методом неопределенных коэффициентов, отыскивая результат в виде

где Q(x) - многочлен той же степени, что и P(x).

     Имеет место результат


     2. - многочлен.

     Кроме интегрирования по частям, можно пользоваться формулами:

Интегралы 

В случае когда m и n - рациональные числа, интеграл подстановкой u = sin x или v = cos x сводится к интегралу от иррациональной функции, а именно к интегралу от дифференциального бинома (п. 21.3*).
    В самом деле, если, например, u = sin x, то

и, следовательно,

= ,

т. е. действительно получился интеграл от дифференциального бинома и, таким образом, выражается ли он через элементарные функции, зависит от того, какие при этом получились показатели степеней (см. п. 21.3*).
     В случае когда m и n - целые числа, интеграл относится к типу интегралов, рассмотренных в предыдущем пункте, и для его вычисления целесообразно использовать подстановки (22.2).

---

Например,

    Если m = 2k + 1 и n = 2l + 1 - нечетные числа, то полезна подстановка t = cos 2x:

т. е. получился интеграл от рациональной дроби (k и l могут быть отрицательными).
    Если m и n - четные числа, то полезна подстановка u = tg x - см. пример 2 в п. 22.1.
    Если оба показателя m и n неотрицательные и четные, то, применив формулы sin² x = (1 - cos 2x)/2,   cos² x = (1 + cos 2x)/2, олучим интеграл того же типа, но с меньшими показателями, например,

    Отметим, что методами, аналогичными методам, описанным в этом пункте, берутся интегралы вида
sh^m x chⁿ x dx.

Интегралы , ,

Интегралы , , вычисляются, если их подынтегральные выражения преобразовать по формулам

sin xcos x = ¹/₂[sin( + )x + sin( - )x],
sin xsin x = ¹/₂[cos( - )x - cos( + )x],
cos xcos x = ¹/₂[cos( + )x + cos( - )x].

Например,

sin x cos 2x dx = ¹/₂ sin 3x dx - ¹/₂ sin x dx = ¹/₆cos 3x + ¹/₂cos x + C.

Интегралы от трансцендентных функций, вычисляющиеся с помощью интегрирования по частям

К интегралам от трансцендентных функций, вычисляющимся с помощью интегрирования по частям, относится много разнообразных интегралов, например,

, , , , ,
, , , , .

Здесь везде n - целое неотрицательное число. Для вычисления интегралов и следует их дважды проинтегрировать по частям, в результате для каждого из них получится линейное уравнение, из которого они сразу находятся. Например,

отсюда
    В интегралах , , после однократного интегрирования по частям получаются интегралы тех же типов, но с меньшими показателями степени.
    Рассмотрим пример:

xsin x dx = - x dcos x = -x cos x + cos x dx = -x cos x + sin x + C.

  В интегралах  , , , , в результате однократного интегрирования по частям пропадает трансцендентная функция, причем в первых двух получаются интегралы от иррациональных функций, выражающиеся через элементарные функции, а в трех последних - интегралы от рациональных функций и, следовательно, также выражающиеся через элементарные функции. Например,

    В заключение подчеркнем, что далеко не всякий интеграл от элементарной функции выражается через элементарные функции. Среди таких интегралов встречаются интегралы, которые находят большое применение в различных разделах математики. К числу их относятся, например, вероятностный интеграл , интегральный логарифм , интегральный синус .

---