Файл: Учебнометодический комплекс дисциплины математический анализ1.docx

Лекция 12. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование иррациональных функций
12.1 Интегрирование правильной дробно-рациональной функции

Сразу пример и типовой алгоритм решения интеграла от дробно-рациональной функции.

Пример 1

Найти неопределенный интеграл.


Шаг 1. Первое, что мы ВСЕГДА делаем при решении интеграла от дробно-рациональной функции – это выясняем следующий вопрос: является ли дробь правильной? Данный шаг выполняется устно, и сейчас я объясню как:

Сначала смотрим на числитель и выясняем старшую степень многочлена:

Старшая степень числителя равна двум.

Теперь смотрим на знаменатель и выясняем  старшую степень знаменателя. Напрашивающийся путь – это раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, но можно поступить проще, в каждой скобке находим старшую степень

и мысленно умножаем:   – таким образом, старшая степень знаменателя равна трём. Совершенно очевидно, что если реально раскрыть скобки, то мы не получим степени, больше трёх.

Вывод: Старшая степень числителя  СТРОГО меньше старшей степени знаменателя, значит, дробь является правильной.

Если бы в данном примере в числителе находился многочлен 3, 4, 5 и т.д. степени, то дробь была бы неправильной.

Сейчас мы будем рассматривать только правильные дробно-рациональные функции. Случай, когда степень числителя больше либо равна степени знаменателя, разберём в конце урока.

Шаг 2. Разложим знаменатель на множители. Смотрим на наш знаменатель:

Вообще говоря, здесь уже произведение множителей, но, тем не менее, задаемся вопросом: нельзя ли что-нибудь разложить еще? Объектом пыток, несомненно, выступит квадратный трехчлен. Решаем квадратное уравнение:


Дискриминант больше нуля, значит, трехчлен действительно раскладывается на множители:

Общее правило: ВСЁ, что в знаменателе МОЖНО разложить на множители – раскладываем на множители

Начинаем оформлять решение:

Шаг 3. Методом неопределенных коэффициентов раскладываем подынтегральную функцию в сумму простых (элементарных) дробей. Сейчас будет понятнее.

---

Смотрим на нашу подынтегральную функцию:


И, знаете, как-то проскакивает интуитивная мысль, что неплохо бы нашу большую дробь превратить в несколько маленьких. Например, вот так:


Возникает вопрос, а можно ли вообще так сделать? Вздохнем с облегчением, соответствующая теорема математического анализа утверждает – МОЖНО. Такое разложение существует и единственно.

Только есть одна загвоздочка, коэффициенты   мы пока не знаем, отсюда и название – метод неопределенных коэффициентов.

В левой части приводим выражение к общему знаменателю:


Теперь избавляемся от знаменателей (т.к. они одинаковы):


В левой части раскрываем скобки, неизвестные коэффициенты   при этом пока не трогаем:

Заодно повторяем школьное правило умножение многочленов: Для того чтобы умножить многочлен на многочлен нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена.

С точки зрения понятного объяснения коэффициенты   лучше внести в скобки  (хотя лично я никогда этого не делаю в целях экономии времени):


Составляем систему линейных уравнений.
Сначала разыскиваем старшие степени:

И записываем соответствующие коэффициенты в первое уравнение системы:

Хорошо запомните следующий нюанс. Что было бы, если б в правой части вообще не было  ? Скажем, красовалось бы просто    без всякого квадрата? В этом случае в уравнении системы нужно было бы поставить справа ноль:  . Почему ноль? А потому что в правой части всегда можно приписать этот самый квадрат с нулём:  Если в правой части отсутствуют какие-нибудь переменные или (и) свободный член, то в правых частях соответствующих уравнений системы ставим нули.

Далее процесс идет по снижающейся траектории, от водки к пиву, отмечаем все «иксы»:


Записываем соответствующие коэффициенты во второе уравнение системы:


И, наконец, подбираем свободные члены.

Система готова:

Решаем систему:


(1) Из первого уравнения выражаем   и подставляем его во 2-е и 3-е уравнения системы. На самом деле можно было выразить   (или другую букву) из другого уравнения, но в данном случае выгодно выразить именно из 1-го уравнения, поскольку там 

---

самые маленькие коэффициенты. 

(2) Приводим подобные слагаемые во 2-м и 3-м уравнениях.

(3) Почленно складываем 2-е и 3-е уравнение, при этом, получая равенство  , из которого следует, что 

(4) Подставляем   во второе (или третье) уравнение, откуда находим, что 

(5) Подставляем   и   в первое уравнение, получая  .

После решения системы всегда полезно сделать проверку – подставить найденные значения   в каждое уравнение системы, в результате всё должно «сойтись».

Коэффициенты   найдены, при этом:


Чистовое оформление задание должно выглядеть примерно так:

Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:
Как видите, основная трудность задания состояла в том, чтобы составить и решить систему линейных уравнений. А на завершающем этапе всё не так сложно: используем свойства линейности неопределенного интеграла и интегрируем методом замены переменной в неопределенном интеграле.

Проверка: Дифференцируем ответ:

Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно.
В ходе проверки пришлось приводить выражение к общему знаменателю, и это не случайно. Метод неопределенных коэффициентов и приведение выражения к общему знаменателю – это взаимно обратные действия.

Лекция 13. Определенный интеграл. Верхняя и нижняя суммы ограниченной функции. Необходимые и достаточные условия интегрирования функции
В основе определения понятия определенный интеграл лежит понятие интегрльная сумма.

Определение: Определенным интегралом от f(x) на отрезке [a, b] называется предел интегральных сумм , если при любых разбиениях отрезка [a, b] таких, что λ=maxx_i 0 и произвольном выборе точек ξ_i для данного разбиения интегральная сумма стремится к пределу I. Обозначение определенного интеграла: I =

а – нижний предел, b – верхний предел, х – переменная интегрирования, [a, b] – отрезок или промежуток интегрирования.

Свойства определенного интеграла.

1 .

2. - - перестановка пределов интегрирования приводит к изменению знака :

---

3.

4.

5. Если f(x) (x) на отрезке [a, b] a < b, то .

6. Оценки определенного интеграла : если m < M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a, b], то:

7. 
   Теорема 3 (о среднем значении функции на отрезк). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то на этом отрезке существует точка x=c, a<c<b, такая, что
   

8) Для заданного промежутка интегрирования [a, b] и и произвольной точки c справедливо равенство:

Теорема: (Теорема-формула Ньютона – Лейбница)

Если функция F(x) – какая- либо первообразная непрерывной функции f(x) на[a, b], то

это выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница.

Замена переменной интегрирования в определенном интеграле .

Пусть задан интеграл , где f(x) – непрерывная функция на отрезке [a, b].

Введем новую переменную в соответствии с формулой x = (t).

Тогда если:

1) (t)- дифференцируемая и (t) непрерывна на отрезке [, ];

2) отрезок [a, b] отображается на [, ];

3) () = а, () = b , то справедлива формула

Тогда

Интегрирование по частям.

Если функции u = (x) и v = (x) непрерывны и дифференцируемы на отрезке

[a, b], то справедлива формула интегрирования по частям:

---

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение определенного интеграла.

2.Основные свойства определенного интеграла.

3. Приложения определенного интеграла.

4.Замена переменной в определенном интеграле

5.Формула интегрирования по частям


Лекция 14. Нахождение площади плоских фигур по декартовым и полярным координатам. Объем тел вращения. Расчет длины дуги.
Переходим к рассмотрению приложений интегрального исчисления. На этой лекции мы разберем типовую и наиболее распространенную задачу – как с помощью определенного интеграла вычислить площадь плоской фигуры.

Для успешного освоения материала, необходимо:

1) Разбираться в неопределенном интеграле хотя бы на среднем уровне. Таким образом, нужно знать Неопределенный интеграл и решения.

2) Уметь применять формулу Ньютона-Лейбница и вычислять определенный интеграл.

 Задание «вычислить площадь с помощью определенного интеграла» всегда предполагает построение чертежа, поэтому нужно уметь знания и навыки построения чертежей, уметь строить графики основных элементарных функций, т.е. уметь строить прямую, параболу и гиперболу..

Начнем с криволинейной трапеции.

Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная осью  , прямыми  ,   и графиком непрерывной на отрезке   функции  , которая не меняет знак на этом промежутке. Пусть данная фигура расположена не ниже оси абсцисс:

Тогда площадь криволинейной трапеции численно равна определенному интегралу  . У любого определенного интеграла (который существует) есть очень хороший геометрический смысл. Определенный интеграл – это число. А сейчас пришла пора констатировать еще один полезный факт, что с точки зрения геометрии определенный интеграл – это ПЛОЩАДЬ. 

То есть, определенному интегралу (если он существует) геометрически соответствует площадь некоторой фигуры.

Например, рассмотрим определенный интеграл  . Подынтегральная функция   задает на плоскости кривую, располагающуюся выше оси   (желающие могут выполнить чертёж), а сам определенный интеграл   численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции.

---