Файл: Diskretnaya_matematika.doc

2.2.2. Совершенные дизъюнктивная и конъюнктивная нормальные формы

Рассмотрим возможность представления произвольной функции в виде булевой формулы, содержащей только операции дизъюнкции, конъюнкции и отрицания.

Теоремы 1 и 2 доказывают возможность такого представления. Введем некоторые понятия.

Элементарной конъюнкцией (ЭК) называется выражение где все – различны, аr–ранг конъюнкции. Функция-константа единица (U_i= 1) считается конъюнкцией нулевого ран­га.

Элементарной дизъюнкцией (ЭД) называется выражение где все – различны, а r – ранг дизъюнкции. Функция-константа единица (U_i = 0) считается дизъюнкцией нулевого ран­га.

Дизъюнктивной нормальной формой(ДНФ) называется дизъюнкция N =U₁ U₂ ...U_kэлементарных конъюнкцийU₁,U₂, ...,U_k. Совершенная ДНФ – частный случай ДНФ, элементарные конъюнкции которой содержат все переменные и ранг их равенn.

Конъюнктивной нормальной формой (КНФ) называется конъюнкция N = U₁  U₂  ... U_k элементарных дизъюнкций U₁, U₂, ..., U_k. Совершенная КНФ – частный случай КНФ, элементарные дизъюнкции которой содержат все переменные и ранг их равен n.

Теорема 1. Произвольную логическую функцию f(х₁, х₂, ..., х_n) можно представить в виде

(2)

где σ_i  {0, 1}, x_i⁰ =х_i, x_i¹ = x_i, σ = (σ₁, …, σ_n) и дизъюнкция берётся по всем n-мерным наборам из нулей и единиц.

Доказательство. Покажем, что левая и правая части соотно­шения (2) совпадают. Подставим в (2) произвольный набор α = (α₁, …, α_n), где каждое α_i  {0,1}. В левой части по­лучим f(α₁, α₂, …, α_n), а в правой части:

Равенства в правой части вытекают из свойств конъюнкции, дизъ­юнкции и из того, что: х^σ = 1  х = σ.

Если f(х₁, х₂,..., х_n)≢0, то соотношение (2) можно перепи­сать в форме:

(3)

Эта формула (3) называется совершенной дизъюнктивной нормаль­ной формой (СДНФ) функции f(x₁, х₂,..., x_n).

Следствие. Для произвольной логической функции существует взаимнооднозначное соответствие между ее СДНФ и таблицей истинности:

а) СДНФ содержит ровно столько элементарных конъюнкций, сколько единичных наборов у функции;

б) каждому единичному набору σ = (σ₁, …, σ_n) соответствует элементарная конъюнкция всех переменных функции, в которой для σ_i= 0 переменная х_i берется с отрицанием и для σ_i= 1 – без отрицания.

Рассмотрим построение СДНФ по таблице истинности функ­ции f(x₁, х₂, ...,x_n). Для каждого набора σ = (σ₁, …, σ_n) из единичного множества [1] (такого, чтоf(σ₁, …, σ_n) = 1), составляется выражение ЭК: . Затем эти конъюнкции соединяются знаком дизъ­юнкции.

Пример 1. Построим СДНФ для функции неэкви­ва­лентности f₇(x₁, х₂)=(х₁  х₂). Исходя из единичного мно­жест­ва этой функции [1] = {(0, 1), (1, 0)} формула СДНФ будет иметь вид: F_СДНФ = х₁ • х₂  х₁•х₂.

Теорема 2. Произвольную логическую функцию f (х₁, х₂,..., х_n) можно представить в виде:

(4)

где σ_i  {0, 1}, х_i⁰ = х_i, x_i¹ = x_i, σ = (σ₁, …, σ_n)

и конъюнкция берётся по всем n-мерным наборам из нулей и единиц.

Доказательство. Из свойства булевой функции имеем f (х₁, х₂,..., х_n) = (х₁, х₂, ..., х_n). Для функции f(х₁, х₂,..., х_n) по теореме 1 существует представление в виде

тогда имеем:

что следует из закона де Моргана.

Заметим также, что . Следовательно,

Если f(х₁, х₂, ..., х_n) ≢ 1, то соотношение (4) можно переписать в форме

(5)

Эта форма называется совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ).

Следствие. Для произвольной логической функции также существует взаимнооднозначное соответствие между ее СКНФ и таблицей истинности:

а) СКНФ содержит ровно столько элементарных дизъюнкций, сколько нулевых наборов у функции;

б) каждому нулевому набору σ = (σ₁, …, σ_n) соот­вет­ствует элементарная дизъюнкция всех переменных функции, в которой для σ_i = 1 переменная х_i берется с отрицанием и для σ_i = 0 – без отрицания.

Рассмотрим построение СКНФ по таблице истинности функ­ции f(x₁, х₂,..., x_n). Для каждого набора σ = (σ₁, …, σ_n) из нулевого множества [0] (такого, что f(σ₁, …, σ_n) = 0), составляется выражение ЭД: . Затем эти дизъюнкции соединяются знаком конъ­юнкции.

Пример 2. Построим СКНФ для функции неэкви­ва­лентности f₇(x₁, х₂) = (х₁  х₂). Исходя из нулевого мно­жества этой функции [0] = {(0, 0), (1, 1)} формула СКНФ будет иметь вид: F_СКНФ = (х₁  х₂) • (х₁  х₂).

2.3. Полные системы логических функций

Система функций  = {f₁(x₁₁,...,x_1p1), ..., f_s(x_s1, ...,x_sps),…} на­зываетсяполной, если любую логическую функциюf(x₁, ...,x_n) мож­но представить в виде супер­позиции функций {f₁, ...,f_s, ...} и переменных х₁, ..., х_n.

Функции, входящие в полную систему, называются базисными, а сама полная система функций –базисом.

Примеры полных систем функций (базисов)

1. Булевый базис ₀= {х₁• х₂,x₁х₂,х}.

Полнота булева базиса следует из того, что для любой логической функ­ции можно построить СДНФ или СКНФ.

2. Конъюнктивный булевый базис₁= {х₁• х₂,х}. Полнота этого базиса следует из п. 1 и представления дизъюнкции в виде:

x₁ х₂=х₁•х_2.

3. Дизъюнктивный булевый базис ₂= {x₁ х₂,х }.

Полнота этого базиса следует из п. 1 и представления конъюнкции в виде:

х₁ • х₂ =х₁ х₂.

4. Базис Жегалкина ₃ = {х₁ • х₂, х₁  х₂, 1}.

Полнота этого базиса следует из п. 2 и представления отрицания в виде:х = х  1.

Теорема 3. Любую логическую функциюf(x₁, ...,x_n) можно предста­вить в виде полинома Жегалкина:

f(x₁, ...,x_n) = а₀а₁x₁а₂x₂…а₂ⁿ_-1x₁…x_n, (6)

где а_i  {0,1}, i = 0, 1, ..., 2ⁿ - 1.

Доказательство.Система функций= {х₁• х₂, х₁х₂, 1, 0} полна. Из формулы СДНФ (3), пользуясь свойствами:

xx= 0,x•x=x,x0 =x,

x• 0 = 0,x• 1 =x,x₁•x₂=x₂•x₁,

x₁  x₂ = x₂  x₁, (x₁  x₂) • x₃ = (x₁ • x₃)  (x₂ • x₃),

получим представление функции в виде полинома (6).

Следствие. Для любой логической функции, наряду с СДНФ и СКНФ в случае булева базиса, существует единственный полином Жегалкина вида (6).

Далее в теореме 4 формулируется критерий полноты системы логических функций, на основе которого можно проверить полноту данной системы функций, а также построить другие базисы.

Теорема 4 (о полноте). Для того чтобы система функ­ций {f₁(x_l1 ..., х_1р1), ...,f_s(x_s1, ...,x_sps), ...} была полна, необ­хо­димо и достаточно, чтобы она содер­жала функцию, не сохраняющую 0; функцию, не сохраняющую 1; несамо­двой­ственную функцию; немо­нотонную функцию; нелинейную функцию.

Класс функций, сохраняющих ноль

Функция f(х₁, ..., х_n) называется сохраняющей ноль, если она на нулевом наборе принимает значение 0, то естьf(0, ..., 0) = 0.

Пример.f(х) = 0,f(х) = х,f(х₁, х₂) = х₁• х₂,f(х₁, х₂) = х₁Úх₂ сохраняют ноль;f(х) = 1,f(х) =х,f(х₁, х₂) = х₁® х₂ не сохраняют ноль.

Лемма 1. Из функций, сохраняющих ноль, супер­позицией можно получить только функции, сохраняющие ноль.

Доказательство. Функции, равные переменным, сох­ра­няют ноль. Поэтому достаточно показать, что функция

Ф(х₁, ..., х_n) = f(f₁(х₁, ..., х_n), ..., f_m(х₁, ..., х_n))

сохраняет ноль, если функции f, f_l, …, f_m сохраняют ноль. Последнее следует из

f(f₁(0, ..., 0), ... f_m(0, ..., 0)) = f(0, ..., 0) = 0.

Следствие. Полная система функций должна содер­жать хотя бы одну функцию, не сохраняющую ноль.

Класс функций, сохраняющих единицу

Функция f(х₁, ..., х_n) называется сохраняющей едини­цу, если она на единичном наборе принимает значение 1, то естьf(1, ..., 1) = 1.

Пример.Функцииf(х) = 1,f(х) = х – сохраняют единицу; функцииf(х) = 0,f(х) =х,f(х₁, х₂) =х₁ Å х₂ – не сохраняют единицу.

Лемма 2. Из функций, сохраняющих единицу, суперпози­цией можно получить только функции, сохраняющие единицу. Доказательство очевидно.

Следствие. Полная система функций должна содер­жать хотя бы одну функцию, не сохраняющую единицу.