Файл: ПОСОБИЕ_НОВИКОВ.doc

Уравнение (8.16) записано в виде, удобном для решения методом прямой подстановки. Имея набор начальных условий (например, дляi=-1, -2, …, -M) и входную последовательность по формуле (8.16)т можно непосредственно вычислить выходную последовательностьдля.

Пример.

Дана последовательность

Разностное уравнение имеет вид

(8.17)

с начальными условиями.

Данное уравнение можно решить подстановкой, что дает:

8.2.3.2. Решение разностных уравнений в явном виде

Хотя решение разностного уравнения подстановкой и целесообразно в некоторых случаях, значительно полезнее получить решения в явном виде.

Основная идея сводится к получению двух решений разностного уравнения: однородного и частного.

Однородное уравнение получается путем подстановки нулей вместо всех членов, содержащих элементы входной последовательности и определение отклика при нулевой входной последовательности.

Частное решение получается из подбора вида последовательности навыходе при заданной входной последовательности . Для определения произвольных постоянных однородного решения используются начальные условия.

Пример.

Решить уравнение (8.17) этим методом.

Однородное уравнение имеет вид

(8.18)

Известно, что характеристическими решениями однородных уравнений, соответствующих линейным разностным уравнениям с постоянными коэффициентами, является решение вида . Поэтому, подставляя вместов (8.18),получим

Отсюда однородное решение имеет вид

. (8.19)

Частное решение, соответствующее входной последовательности , попробуем найти в виде

. (8.20)

Из уравнения (8.16) получаем

Поскольку коэффициенты при равных степенях в левой и правой частях уравнения должны совпадать, то из получаемой системы (трех уравнений) находим три искомых коэффициента:.

Таким образом, общее решение имеет вид:

, (8.21)

В этом выражении коэффициент находится из начального условия.

Тогда из (8.21) получим

(8.22)

Проверка решения (8.22) при показывает полное совпадение с приведенным выше прямым решением.

Преимущество решения (8.22) заключается в том, что оно позволяет весьма просто определить для любого конкретного.

8.2.3.3. Схемы реализации цифровых систем

Важное значение разностных уравнений состоит в том, что они непосредственно определяют способ построения цифровой системы.

Так, разностное уравнение первого порядка самого общего вида

(8.23)

можно реализовать с помощью схемы

Блок “задержки” осуществляет задержку сигнала на один отсчет.

Разностное уравнение второго порядка самого общего вида

(8.24)

может быть реализовано при помощи схемы, приведенной на рисунке 8.4.

Системы первого и второго порядка могут быть использованы при реализации систем более высокого поряджка, т.к. последние могут быть представлены в виде последовательного или параллельного соединения систем первого и второго порядка.

8.2.4. Z – преобразование

Одним из методов представления последовательностей является Z-преобразование.

Для последовательности , заданной при всех,Z-преобразование определяется следующим степенным рядом

. (8.25)

где - комплексная переменная.

8.2.4. 1. Последовательности конечной длины

Если отлична от нуля только в интервале, где-конечны, то сходится в- плоскости везде, за исключением, может быть, точкиили.

Линейную систему с постоянными параметрами, импульсная характеристика которой является последовательностью конечной длины, называют системой с конечной импульсной характеристикой, или, что то же самое, КИХ-фильтром.

Типичная импульсная характеристикаконечной длины изображена на рисунке 8.5.

Системой (фильтром) с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ) называется система (фильтр), длина импульсной характеристики которой не ограничена слева или справаили с обеих сторон.