Файл: ПОСОБИЕ_НОВИКОВ.doc

Размерность производных единиц принимается на основе физических законов, устанавливающих связь между этими единицами. Эта связь может быть представлена в виде формулы, называемой формулой размерности.

Таблица. Символы единиц измерения и формулы размерности

Единицы измерения	Формулы размерности (символы и выражения)	Примечания
Длина	L	Основные единицы
Масса	M
Время	T
Площадь	S = L²	Производные
Скорость	V = L/T
Сила	F = ML/T²

Для обозначения размерности какой-либо величины а используется символ [а].

Например, для размерности силы F в физической системе обозначают:

[F] = ML/T².

Теория размерности основана на двух положениях:

1). Отношение двух численных значений какой-нибудь производной величины не зависит от выбора масштабов для основных единиц измерения. (Например, отношение двух площадей не зависит от того, в каких единицах будут измеряться площади).

2). Всякое соотношение между размерными величинами можно сформулировать как соотношение между безразмерными величинами (это положение в теории размерности называют П-теоремой).

Из первого положения следует, что формулы размерности должны иметь вид степенных одночленов, т.е.

где ,,- размерности основных единиц.

Пример.

Установить зависимость коэффициента лобового сопротивления тела, обтекаемого газовым потоком (воздухом) с_x от основных показателей, входящего в выражение

Допустим, что с_x зависит от размерных величин:

- плотности газа;

- вязкости газа;

- скорости полета;

- линейного размера тела.

Тогда справедливо:

Пользуясь формулой размерности, можно найти безразмерные комбинации указанных физических величин, представив их размерности степенным одночленом

Для нахождения показателей a, d, c, n подставим в эту формулу значения размерностей физических величин, например, в системе СИ.

Тогда

Подставив эти величины в степенной одночлен, получим

Отсюда относительно основных единиц измерения имеем три следующих уравнения:

Решим эти уравнения, считая один из показателей, например, n, известным. Получим

Следовательно, коэффициент с_xпри малых скоростях зависит от числа Re. Показатель степени Re можно найти из эксперимента или каких-либо дополнительных данных о механизме сопротивления тела.

По теории подобия в подобных газовых потоках одинаковы аэродинамические коэффициенты. В частности, для полной аэродинамической силы R при полном подобии имеет место

Проведя эксперимент, в подобных условиях, результаты моделирования можно переносить на натуру. Поскольку полное подобие практически неосуществимо, то аэродинамические характеристики, определенные в лабораторных условиях, лишь приближенно равны соответствующим характеристикам объекта.

Очевидно, что наиболее достоверные результаты могут дать лишь натурные испытания.

В большинстве случаев моделирование основано на рассмотрении физически подобных явлений.

Механическое или вообще физическое подобие можно рассматривать как обобщение геометрического подобия.

Как известно еще из курса школьной программы по математике, две геометрические фигуры подобны, если отношения всех соответствующих длин одинаковы.

При этом если известен коэффициент подобия (масштаб), то простым умножением на масштаб размеров одной геометрической фигуры получаются размеры другой, ей подобной геометрической фигуры.

Существуют различные способы определения механического или физического подобия.

Два явления подобны, если по заданным характеристикам одного можно получить характеристики другого простым пересчетом, который аналогичен переходу от одной системы к другой.

При этом для осуществления пересчета необходимо знать всего лишь переходные масштабы.

Числовые характеристики для двух различных, но подобных явлений можно рассматривать как числовые характеристики одного и того же явления, выраженные в различной системе единиц измерения.

Для всякой совокупности подобных явлений все безразмерные характеристики (безразмерные комбинации из размерных величин) имеют одинаковые числовые значения. Эти комбинации называются критериями подобия.

Обратное заключение также справедливо: если все безразмерные характеристики для двух движений (явлений) одинаковы, то движения (явления) подобны.

Таким образом, необходимым и достаточным условием подобия двух явлений будет постоянство числовых значений безразмерных комбинаций, образующих базу, т.е. систему безразмерных величин, которые определяют собой все остальные величины.

2.3.3. Примеры подобия

1. Задача об установившемся поступательном плоскопараллельном движении тела в несжимаемой вязкой жидкости.

Все безразмерные величины для такого случая определяются двумя параметрами: углом атаки α и числом Рейнольдса Re.

При этом условие физического подобия – критерии подобия - представляются соотношениями

. (2.1)

При моделировании этого явления результаты опытов с моделью можно переносить на натуру только для одинаковых и.

Первое условие на практике всегда легко осуществить.

Труднее удовлетворить условие второе:, особенно в тех случаях, когда обтекаемое тело имеет большие размеры.

Если модель меньше натуры (), то для сохранениянеобходимо:

- либо увеличить скорость , что на практике неосуществимо;

- либо существенно изменить плотность (увеличить) и вязкость (уменьшить).

На практике для обеспечения условия сталкиваются с большими трудностями, что выражается в необходимости построения:

- гигантских аэродинамических труб, в которых можно производить продувки самолетов в натуру;

- а также труб закрытого типа, в которых циркулирует с большой скоростью сжатый, т.е. более плотный воздух (с большой ).

2. Задача исследования механического сооружения из однородного материала, например, мостовой фермы.

Рассмотрим геометрически подобные конструкции – натуру и модель. Составим таблицу определяющих параметров для описания такой конструкции.

Такими являются следующие параметры.

1). Характерный размер конструкции B [м].

2). Если вес конструкции существен, то удельный вес

3). Внешние нагрузки , действующие на конструкцию.

4). Модуль Юнга .

Он используется для определения деформации тела в направлении действия силы и входит в соответствующее выражение

, (2.2)

в котором - сила, а- площадь поперечного сечения. Поскольку деформация, как следует из соотношения, является безразмерной величиной, то из приведенного выражения (2) вытекает размерность.

5). Безразмерный коэффициент Пуассона , используемый для определения деформации в направлении, перпендикулярном направлению действия силы

. (2.3)

Таким образом, количество определяющих параметров равно 5.

Для этих 5 параметров для механически подобных состояний упругого равновесия существуют 3 параметра - безразмерные комбинации – база. Такую базу в данном случае составляют:

, ,. (2.4)