Файл: ПОСОБИЕ_НОВИКОВ.doc

и заменяем разложением в ряд Тейлора в окрестности значений аргументаипо степеням малых отклонений, а полные переменныепредставим как сумму из номинальных значений и приращений:

В результате имеем:

(3.36)

Пренебрегая членами, содержащими малые отклонения в степени, выше первой, а также произведениями малых отклонений (эти члены являются бесконечно малыми второго и более высоких порядков) и принимая во внимание (3.34) и (3.35) последнее уравнение после введения обозначений

можно записать в виде

Обычно

Отсюда .

Тогда, введя дополнительное обозначение , уравнение электродвигателя для малых отклонений можно записать в следующем виде:

(3.37)

Получили линейное уравнение с постоянными коэффициентами.

Опуская знак приращения, после элементарных преобразований приходим к уравнению:

что представляет собой уравнение апериодического звена, весьма часто встречающегося в системах управления.

3.6. Математические модели системы управления. Понятие об оптимальном управлении

Реальные физические процессы, да и не только физические (экономические, социальные, медицинские и т.д.) являются управляемыми.

Типовая схема, отражающая информационное взаимодействие ее составляющих, может быть изображена следующей схемой (рис. 3.17).

Дадим характеристики основных элементов постановки задачи оптимальной динамической системы.

1. Модель управляемого объекта описывается с помощью, например, обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений с частными производными и т.д.

Состояние модели может задаваться, например, вектором, объединяющим характерные изменяющиеся параметры объекта или функцией, описывающей поведение модели в пространстве и времени

2. Краевые (начальные и конечные) условия могут описываться множествами возможных значений.

3. Внешние воздействия. Как правило, описываются статистическими характеристиками или множеством возможных значений.

4. Интервал времени функционирования может быть задан конечным или полубесконечным, случайным, подлежащим наилучшему выбору и т.д.

5. Ограничения на состояние и управление. Они обычно задаются с помощью описания множества их допустимых значений.

6. Модель измерительной системы описывается функциями или операторами состояния. Входом модели является состояние, выходом – значения измерений.

7. Погрешности измерений описываются статистическими характеристиками или множествами возможных значений.

8. Алгоритм управления (определение характера использования информации об изменениях, способа выработки и приложения управляющих воздействий). Алгоритм управления вырабатывает управляющее воздействие по получаемой информации об измерениях. Таким образом, при построении систем управления предполагается принцип обратной связи.

9. Цель управления.

Она сводится к проблеме поиска наилучшего по некоторому критерию управления, называемого оптимальным.

Например, достижение поставленной цели за наименьшее время с минимальными энергетическими затратами с наилучшей точностью.

Математически описывается некоторым критерием качества и отражает требования, предъявляемые проектировщиком к системе (оптимальной, т.е. наилучшей с точки зрения выбранного критерия).

Схема, изображенная на рисунке, отражает процесс управления объектом при неполной информации, т.к. управление строится на основе информации об изменениях при наличии погрешностей.

В общем случае управляющее воздействие формируется на основе всей накапливаемой информации об изменениях.

Частным случаем таких систем являются системы без накопления информации, где при выработке управляющего воздействия используются только текущие (мгновенные) значения измерений, а информация о предыдущих измерениях не учитывается.

Наиболее простым является случай, когда информация о векторе состояния отсутствует. При этом система управления будет разомкнутой и ищется так называемое программное управление.

4. Экспериментальное определение динамических характеристик объектов моделирования

4.1. Понятие о динамических характеристиках объектов

Все системы автоматического управления являются динамическими, т.е. развивающимися или проявляющими те или иные свойства с течением времени.

Естественно, что поведение во времени представляет интерес, как при решении задач анализа, так и при решении задач синтеза.

В частности, возможность занятия желаемого положения или возможность нахождения в требуемом состоянии заданное время составляют предмет теории устойчивости.

Еще более важно знать каким образом САУ переходит из одного состояния (положения) в другое. Например, сколь быстро это происходит? Или, например, насколько много отклоняется управляемая величина от заданного в процессе управления значения. Процесс перехода из одного состояния в другое принято называть переходным процессом.

Хотя на практике большинство САУ функционирует фактически в непрерывном переходном процессе, принято идеализировать соответствующую картину поведения системы во времени. Идеализация заключается в разбиении динамики на сам переходный процесс и на поведение САУ в так называемом установившемся режиме.

Процесс перехода системы из одного состояния в другое называется переходным процессом.

Характеристики, которыми обладают САУ в переходном процессе, принято называть динамическими.

В случае наличия установившегося режима важное значение приобретает проблема исследования точности воспроизведения заданного программного значения управляемых величин.

Среди динамических характеристик особенно важны временные.

Данные характеристики (параметры) элементов САУ можно определить на основании экспериментально полученных переходных и частотных характеристик.

4.2. Определение динамических характеристик элементов систем по временным характеристикам

Для исследования процессов в реальных системах пользуются идеализированными схемами, которые точно описываются математически и приближенно характеристики реальных объектов.

Независимо от назначения объектов, физических принципов действия и т.д. можно выделить ряд типовых звеньев, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями первого или второго порядков:

- простейшие (пропорциональные, интегрирующие и дифференцирующие);

- звенья первого порядка (инерционные, инерционно-дифференцирующие, форсирующие и инерционно-форсирующие);

- колебательные звенья второго порядка.

Введение типовых звеньев удобно для представления сложного звена с передаточной функцией

(4.1)

параллельным или последовательным соединением типовых звеньев.

Передаточные функции типовых звеньев представляют собой рациональную дробь вида (4.1), причем нули и полюса функции , соответствующие уравнениям

, (4.2)

лежат в левой полуплоскости s или на ее границе, совпадающей с мнимой осью.

Зависимость изменения выходных координат от изменения входных может быть описана математической моделью [3], в которые входят:

- уравнения статики;

- уравнения динамики.

4.2.1. Определение статических характеристик

Уравнения статики описывают установившееся состояние координат объекта, когда

(4.3)

Уравнения статики представляют собой алгебраические зависимости.

Статической характеристикой объекта называется зависимость

или

между входной и выходной координатами на отрезке времени, когда все производные входа и выхода равны нулю: .

На практике чаще всего определяютстатические характеристики отдельно каждой координаты выхода от каждой отдельной входной координаты при постоянных значениях остальных входныхвида.