Файл: ПОСОБИЕ_НОВИКОВ.doc

Теория графов является естественным математическим аппаратом описания сложных систем, поскольку каждой сложной системе ставится в соответствие граф (структурный), вершинами которого являются подсистемы, а дугами – имеющиеся между ними связи. Если связи направленные (т.е. наличие связи означает, что воздействиенане вызывает обратного воздействия или им можно пренебречь), то граф системы являетсяориентированным (направленным). К этому классу относятся, например, структурные схемы (графы-схемы) систем автоматического управления. У других систем влияние связанных подсистем обоюдно, и они описываются неориентированными графами (например, сложные электрические и электронные схемы).

3.2.3. Экспертные оценки

На начальных этапах алгоритмизации решаемой задачи исследователю, как правило, приходится иметь дело с неточной, неполной и субъективной информацией. Поэтому важно уметь пользоваться существующими методами ее сбора, согласования и обработки. Наиболее развитыми из подобных методов на сегодня являются методы экспертных оценок.

Экспертные оценки включают в себя специально разработанные приемы сбора, согласования и математическую обработку сведений, получаемых от экспертов или целенаправленно сформированной группы экспертов.

Использование таких оценок является одним из наиболее простых, доступных и достаточно надежных способов получения и дальнейшего использования априорной информации. Результаты, полученные с привлечением методов экспертных оценок, оказываются весьма полезными на различных стадиях разработки эскизного проекта и технического задания.

Экспертные оценки следует трактовать шире, чем просто сбор и усреднение произвольно собранных точек зрения, что действительно является некорректным. Результаты экспертизы следует рассматривать как способ получения дополнительной информации, позволяющей уменьшить неопределенность в решении задач.

Существует большое количество методов сбора и последующей обработки субъективной информации, которой располагают опытные специалисты, выбранные в качестве экспертов. Классификация методов получения экспертных оценок показана на рисунке 3.4.

Из анализа представленных на рисунке 3.4 методов достаточно ясно следует, что использование любого из них имеет свои преимущества и недостатки. И использование того или метода зависит от того, чем располагает исследователь при решении поставленной задачи.

3.3. Классификация математических моделей

Математическая модель или оператор системы (системный оператор) – это формальное (количественное) описание системы с помощью математических средств: дифференциальных, интегральных, разностных, алгебраических уравнений, - а также неравенств, множеств и т.д.

Пользуясь понятием системного оператора, можно на единой основе рассмотреть понятие математической модели.

Пусть U и X – множество входных и выходных сигналов системы. Если каждому элементу u  U ставится в соответствие определенный элемент x  X, то говорят, что задан системный оператор.

Связь между входом и выходом задается посредством системного оператора. A:

A x = u и x= A^-1 u (*)

Уравнение (*) с оператором A следует считать математической моделью, поскольку оно устанавливает количественную связь между входом u(t) и выходом x(t) системы.

В зависимости от того, какими классами дифференциальных уравнений описываются системы, их можно классифицировать так, как показано на рисунке 3.5.

Детерминированными называются модели, в которых все параметры являются детерминированными (неслучайными).

Вероятностными считаются модели, в которых все или часть параметров носит случайный характер.

Модели относятся к моделям с сосредоточенными параметрами, если поведение систем описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Модели относятся к моделям с распределенными параметрами, если поведение систем описывается дифференциальными уравнениями в частных производных.

Линейными называются математические модели, которые описывают поведение системы линейными операторными уравнениями, в противном случае модели – нелинейные.

Модель одномерна, если векторы входа и выхода одномерные, иначе – многомерна.

Односвязные модели содержат один оператор A (в моделях по входу-выходу) либо пару операторов F и G (в моделях в пространстве состояний).

Соответственно многосвязные модели содержат несколько операторов A и несколько пар операторов F и G.

Аналитическиемодели дают описание процессов, происходящих в системе в виде некоторых функциональных соотношений.

Численные модели дают результаты в виде частных численных решений характеристик системы.

Имитационные модели служат для воспроизведения процесса функционирования сложных систем. Основное преимущество имитационных моделей - это решение задач исключительной сложности. Имитационные модели дают решения частного характера, отвечающие фиксированным значениям параметров системы, входной информации и начальным условиям.

3.4. Методы формализованного описания системы

С учетом замены реальной системы математическим описанием, т.е. системой дифференциальных или разностных уравнений, возникает необходимость для описания поведения системы в любой момент времени.

3.4.1. Математическая модель по “входу-выходу”

Математическая модель считается по “входу-выходу”, если она описывает отображение входных воздействий в выходные и может быть в общем виде представлена уравнениями

Y = A(X, p),

где X, Y – векторы входных и выходных воздействий;

A – некоторый оператор модели, имеет различную природу (может быть оператор свертки, либо некоторая характеристика)

p – вектор параметров модели.

3.4.2. Математическая модель в пространстве состояний

Модели в пространстве состояний – это те, которые описывают не только отображение системой входного сигнала, но и ее внутреннюю структуру.

Для этого удобно использовать единую математическую характеристику – переменную состояния.

Начиная с 60-х годов XX столетия все более популярной становилась форма описания систем управления в пространстве состояний, когда исходные соотношения, описывающие объект управления, представлены в форме Коши, или, что то же самое, в виде системы дифференциальных или разностных уравнений первого порядка.

Состояние системы является основным исходным понятием.

В большинстве практических приложений объекты управления описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями или разностными уравнениями разных порядков, которые легко сводятся к системе дифференциальных или разностных уравнений первого порядка

(3.1)

Здесь вектор X характеризует состояние системы, а вектор U описывает внешние воздействия. Через t и n обозначены переменные непрерывного и дискретного времени соответственно. Компонентами вектора состояния X могут быть физические величины.

Вектор X(0) представляет собой минимальный набор величин (x₁(0), x₂(0),…, x_n(0))^Т однозначно характеризующий рассматриваемый объект в данный момент времени t₀ и позволяющий при известных входных воздействиях U(t), t[t₀, t_k] получить такой же набор X(t) для любого момента времени в интервале t[t₀, t_k].

При изменении времени конец вектора состояния описывает в пространстве состояний кривую, называемую траекторией вектора состояния.

Выходные координаты описываемого объекта Y(t), Y(n) могут отличаться от координат вектора состояния и связаны с последним некоторым отображением

(3.2)

Число выходных координат объекта обычно много меньше размерности вектора состояния. Поэтому описание в пространстве состояний называют внутренним описанием в отличие от внешнего описания в переменных “вход-выход”.

Смотрите также файлы

Лаб_№5.doc

Лаб_№4.doc

Лаб_№3.doc

Лаб_№2.doc

Лаб_№1.doc