Файл: fiz_1_1_mekh_otnosit_vm_i_as_rab_var_1_09_12.doc

нерелятивистскому пределу. Для наблюдения нетривиальных эффектов необходимо исследовать объекты с V ~ с.

Примерами могут служить явления, наблюдаемые при изучении элементарных частиц. Одним из наиболее наглядных опытов, подтверждающих соотношение (10.11), является наблюдение в составе космических лучей одного из видов элементарных частиц, именуемых мюонами. Эти частицы нестабильны — они самопроизвольно распадаются на другие элементарные частицы. Время жизни мюонов, измеренное в условиях, когда они

неподвижны (или движутся с малой скоростью), равно примерно 2 • 10^-6с. Казалось

бы, даже двигаясь почти со скоростью света, мюоны могут пройти от момента своего рождения до момента распада лишь путь, равный примерно 3 • 10⁸м/с) (2 • 10^-6с) = 600 м. Однако наблюдения показывают, что мюоны, образуясь в космических лучах в верхних слоях атмосферы на высоте 20-30 км, успевают, тем не менее, в большом количестве достигнуть земной поверхности. Это объясняется тем, что 2*10^-6с — собственное время жизни мюона, то есть время, измеренное по часам, которые бы «двигались вместе с

ним». Время, отсчитанное по часам экспериментатора, связанного с поверхностью Земли, оказывается гораздо большим из-за того, что скорость мюонов близка к скорости света. Поэтому не удивительно, что экспериментатор наблюдает пробег мюона, значительно превышающий 600 м. Интересно рассмотреть этот эффект с точки зрения наблюдателя, «движущегося вместе с мюоном». Для него расстояние, пролетаемое до поверхности Земли, сокращается до 600 м в соответствии с формулой (10.10), так что мюон успевает

пролететь его за 2 • 10^-6с, т. е. за «собственное время жизни».

Наиболее впечатляющее следствие преобразований Лоренца —относительность одновременности разнесенных в пространстве событий. Если два события А и В произошли одновременно в одной точке пространства, то в любой системе координат t_A=t_B. Конкретные значения, например, t_Aи t'_Aмогут быть различными, но в каждой системе останется справедливым равенство t'_A= t'_B. Если же при t_A = t_Bокажется, что

х_А≠ х_в, то в любой другой системе, как это с очевидностью следует из преобразований Лоренца, t_A≠t_B.

Почему это обстоятельство до Эйнштейна оставалось незамеченным? До Эйнштейна явно или неявно сохранялось представление о существовании абсолютного пространства и абсолютного времени. Но если нет абсолютной системы отсчета, нет и абсолютной одновременности. Исчезает не только абсолютное пространство, исчезает и абсолютное время, которое, по Ньютону, течет «всегда одинаково, безотносительно к чему-либо внешнему». Время СТО зависит от системы отсчета. Зависит от системы отсчета и промежуток времени между двумя событиями, и расстояние между двумя точками. В механике Галилея-Ньютона координаты точек зависят от системы отсчета, но расстояние между точками А и В

(х_А - x_B)² + (у_А - у_в)² + (z_A - z_B)²= l²

от системы не зависит. В механике СТО эта величина перестает быть инвариантом. Независимым от системы отсчета становится интервал между событиями, определяемый соотношением

s²_AB = c²(t_A - t_B)² - (х_А - x_B)² + (у_А - у_в)² + (z_A - z_B)².

Время становится в один ряд с пространственными координатами или, как сказал Г. Минковский, «пространство само по себе и время само по себе погружаются в реку забвения, а остается жить лишь своеобразный их союз». Это проявляется особенно наглядно, если, следуя Минковскому, в качестве четвертой координаты выбрать не t, как таковое, a ict. Тогда интервал запишется в симметричной форме:

He следует, однако, воспринимать четырехмерное пространство Минковского как простой аналог нашего трехмерного мира. Все же четвертая координата сохраняет важнейшее отличие от трех остальных — однонаправленность, которой, в частности, обусловлены

причинно-следственные связи. Путешествие вспять во времени как было, так и остается невозможным.

Ввиду того, что по Лоренцу, в отличие от Галилея, преобразуется, кроме координат, и время, заметно меняется закон сложения скоростей. Если в системе К тело движется со скоростью v, имеющей составляющие по осям координат v_xv_yv_z а система К' движется со скоростью V вдоль осиx, для составляющих скорости тела в системе К' получаем

С учетом того, что

(10.12)-(10.14)

Хотя координаты у' и z' равны соответственно у и z, составляющие скорости

по этим осям в разных системах различны, так как различаются темпы течения времени.

Не представляется неожиданным факт, что если v_x по модулю равна скорости света — с, то эта величина не изменится при переходе в любую другую систему отсчета. Ведь именно инвариантность скорости света является критерием справедливости преобразований Лоренца.

10.3. Импульс и энергия в релятивистской механике

Закон сохранения импульса — один из основных законов природы; он отражает однородность пространства. В мире Минковского однородность пространства сохраняется. Видимо, должен быть по-прежнему справедлив закон сохранения импульса в замкнутой системе. Однако это требует определенной корректировки выражения для импульса тела.

Рассмотрим частный случай. Два одинаковых тела (масса каждого равна m) движутся навстречу друг другу, имея, с точки зрения некоторой системы отсчета К, равные скорости. Следовательно,

v_xA = -v_xB, и v_yA = -v_yB.

Пусть при столкновении тела объединяются в единое целое («слипаются»).

В соответствии с законом сохранения импульса образовавшееся тело должно покоиться. В частности, его координата у теперь должна быть неизменной. В любой другой системе К' события в которой связаны с событиями в системе К преобразованиями (10.9), координата у' тоже должна стать постоянной.

Рассмотрим ситуацию до столкновения в системе К'. Согласно формулам

преобразования скоростей (10.13), получаем

,

Модули у-составляющих скоростей теперь оказываются различными, и если сохранить классическое выражение для импульса, в частности,

р_у = mv_y,

суммарная у-составляющая импульса двух частиц не равна нулю.

Тогда после «слипания» образовавшееся тело должно иметь отличную от нуля составляющую скорости по оси у. Видимо, надо изменять выражение для импульса тела.

Для того, чтобы догадаться, как именно надо менять это выражение, рассмотрим следующую процедуру. Установим на каждом из тел часы. Они будут показывать собственное время данного тела. Теперь будем фиксировать координату тела у в различных системах и отмечать собственное время t₀, которое соответствует этому значению у. Запишем «гибридную» скорость

v_y* = dy/dt₀.

Так как координата у не преобразуется при переходе от системы к системе, а время мы фиксируем по собственным часам тела, во всех системах мы должны получить одно и то же значение v_y*. Мы знаем, что промежутки времени по часам системы, в которой тело движется (dt), и промежутки, отсчитанные по собственным часам (dt₀), связаны соотношением (10.11). Применительно к нашему случаю —

dt₀ = dt/γ.

Следовательно, во всех системах величина

γ dy/dt = dy/dt₀

будет иметь одно и то же значение. Ясно, что равенство не нарушится, если обе его части умножить на одну и ту же величину m. Применительно к нашей задаче (о «слипании» двух тел) это означает, что комбинации

γmv

у двух частиц будут равными по модулю в любой системе отсчета.

Естественно именно эту величину принять за у-составляющую импульса.

Обобщая, определим релятивистский импульс выражением

(10.15)

где v— скорость тела в системе, в которой мы вычисляем импульс.

Опыт показывает, что определенный таким образом импульс обладает основными свойствами, присущими величине mv в механике Ньютона: он сохраняется в замкнутых системах тел, а скорость его изменения равна силе, действующей на тело. Силу при этом следует определять в соответствии с (5.25):

F = -U.

При v/c << 1 выражение (10.15) переходит в обычное нерелятивистское определение импульса. Тем самым соблюдается принцип соответствия, за выполнением которого следует внимательно следить при любом расширении физических понятий. (Мы уже касались этого вопроса в связи с законом сохранения энергии).

Для работы силы, то есть для изменения кинетической энергии тела, сохраняется выражение

δA = dT = Fδr = Fvdt, где F = р'=dp/dt.

Ограничиваясь случаем действия силы вдоль направления скорости, с учетом (10.15)

получаем

dT = m γ³ vа dt = mγ ³v dv.

Тогда для кинетической энергии имеем

(10.16)

Выражение (10.16) трактуется так: энергия тела

Е = γmc²

слагается из кинетической энергии и энергии покоя

E₀ = mc².

Закон сохранения энергии справедлив именно для величины Е. Это верно как в случае упругих, так и неупругих взаимодействий, когда потери кинетической энергии компенсируются ростом энергии покоя взаимодействующих частиц или энергией частиц, излучаемых при взаимодействии, например, фотонов. В более общем случае, при рождении в процессе взаимодействия массивных частиц, необходимо, конечно, учитывать и кинетическую энергию и энергию покоя всех частиц как до взаимодействия, так и после него.

Такие понятия, как потенциальная энергия или энергия связи, в релятивистском представлении включаются в энергию покоя.

Для энергии с помощью формулы (10.15) можно получить соотношение

Е² = (рс)² + (mc²)² .(10.17)

Связь импульса с энергией принимает вид

р = Еv/с² . (10.18)

Введя обозначения

М = mс², Р = рс, β = v/c,

мы можем записать соотношения между массой, импульсом и энергией в несколько более компактной

форме:

М² + Р² = Е²;

Р = Еβ;

Р = mγc²β = Mγβ.

Фактически эта форма соответствует неявному введению системы единиц, в которой

с = 1,

а масса, импульс и энергия измеряются в одинаковых единицах; например, в ядерной физике в качестве такой универсальной единицы измерения массы, импульса и энергии обычно используется электронвольт:

1 эВ = 1,6 • 10^-19Дж = 1,6 • 10^-12эрг.

Комбинация

Е² - Р² = М²

очевидным образом является инвариантом, т. е. не зависит от системы отсчета для отдельно взятой частицы. Менее очевидно, что такая комбинация —инвариант и для совокупности частиц.

Доказательство этого утверждения не представляет особых трудностей, но достаточно громоздко. Между тем, обратим внимание на тот факт, что «тела» состоят из движущихся друг относительно друга (хотя бы в процессе колебаний) атомов, атомы — из ядра и электронов, и даже протоны или пионы — из кварков и антикварков. А в отношении этих, строго говоря, систем или совокупностей частиц мы без малейшего сомнения уверены в инвариантности величины Е²- Р². Использование этого обстоятельства помогает

упростить решение многих задач.

Поскольку определение (10.15) и соотношения (10.16)—(10.18) оказываются в хорошем согласии с экспериментом, мы можем сделать еще один важный вывод: из вещественности физических величин р и Е следует, что скорость любого физического тела не может превышать скорости света.

Если же частица (фотон, нейтрино) движется именно со скоростью с, из (10.15), (10.16) вытекает, что масса такой частицы (более строго, энергия покоя) должна быть равна нулю, а двигаться она может исключительно со скоростью света. Релятивистская динамика по мере развития дает дополнительные аргументы в пользу таких заключений, но уже сейчас можно сказать, что все они подтверждены прямыми экспериментами.

Принцип относительности Галилея касается только механики. Опыт показывает, что этот принцип можно обобщить на все природные явления.

Для математического описания какого-либо явления необходимо выбрать некоторую систему отсчета. Затем, используя определенные в выбранной системе отсчета координаты и время, необходимо записать уравнения, выражающие физический закон, которому подчиняется рассматриваемое явление. Наиболее простой вид эти уравнения имеют в инерциальной системе отсчета. Согласно обобщенному принципу относительностивид уравнений, выражающий законы природы одинаков во всех системах отсчета, то есть не меняются их уравнения, которые описывают эти законы.