Файл: fiz_1_1_mekh_otnosit_vm_i_as_rab_var_1_09_12.doc

Перейдем к изучению особенностей движения этих двух тел с помощью второго закона Ньютона. Записав этот закон для каждой из материальных точек, получим следующую систему уравнений относительно интересующих нас радиусов-векторов r₁и г₂:

(6.1)

Прежде всего мы рассмотрим задачу об относительном движении двух тел. На языке математики относительное движение определяется зависимостью от времени радиуса-вектора r(t) =r₂-r₁, соединяющего две рассматриваемые материальные точки. Уравнение дляr(t) легко получить из нашей системы двух уравнений (6.1) следующим способом. Поделим обе части первого из уравнений на m₁, а обе части второго уравнения поделим наm₂. После этого вычтем из левой и правой частей второго уравнения левую и правую части первого, соответственно. В результате получаем

где мы учли, что

F₁₂ = -F₂₁.

Последнее уравнение можно окончательно записать в виде

где буквой μ мы обозначили величину, которая называется приведенной массой и которая равна

μ = m₁m₂/(m₁ + m₂).(6.3)

Уравнение (6.2) отражает замечательное свойство задачи о движении двух

взаимодействующих материальных точек: задача об относительном движении двух материальных точек в замкнутой системе сводится к задаче о движении одной материальной точки с приведенной массой под влиянием той же самой силы взаимодействия.

Одним из примеров замкнутой системы двух тел являетя система «Солнце-Земля», если пренебречь влиянием других тел солнечной системы, что в действительности можно сделать с хорошей точностью. Для вычисления траектории движения Земли относительно Солнца нет необходимости решать систему из двух уравнений (6.1), т. е. находить сначала r₁(t) и г₂(t)

(траектории Солнца и Земли в некоторой инерциальной системе координат)

и только после этого уже определять r(t) = r₂(t) - r₁(t) (траекторию относительного движения). Вместо этого можно сразу найти траекторию относительного движения, решая всего одно уравнение (6.2), что и сделал в свое время Ньютон, блестяще подтвердив расчетами знаменитые опытные законы Кеплера. Правда в этом случае в уравнение относительного движения войдет приведенная масса, которая для системы «Солнце-Земля» равна

μ = M_CM_з/(M_C+M₃) = M_з/(1 + Mз/M_C).

Масса Солнца примерно в двести тысяч раз больше массы Земли. Поэтому

во многих практически важных задачах отношением масс в знаменателе последней формулы можно с хорошей точностью пренебречь, и считать, что приведенная масса для системы «Солнце-Земля» совпадает с массой Земли.

Что касается задачи об относительном движении двух тел, соединенных

невесомой пружиной (рис. 6.1), то в этом случае на тела помимо упругой силы, играющей здесь роль силы F₁₂, действуют еще сила тяжести и реакция опоры. Эти силы, однако, уравновешивают друг друга и не оказывают влияния на движение тел. Поэтому в отсутствие сил трения движение тел по горизонтальной поверхности подчиняется законам движения замкнутой системы, и, следовательно, задача об их относительном движении сводится к рассмотренной в гл. 4 задаче о движении одного тела, но с приведенной

массой. Например, для случая колебаний двух тел с одинаковой массой mих приведенная масса μ, в соответствии с (6.3), равнаm/2. Тогда для вычисления, скажем, частоты относительных колебаний таких двух тел можно воспользоваться уже известной нам формулой (4.18) для частоты колебаний одного тела, соединенного пружиной со стенкой, а именно,

т. е. частота колебаний в рассматриваемом случае в √2 раз больше, чем в

случае колебаний одного тела.

6.2. Центр масс системы материальных точек

Если бы мы не вычитали, а складывали уравнения (6.1), у нас получился бы просто закон сохранения импульса

Его можно переписать чисто формально как закон постоянства во времени

некоторой скорости Vc:

(6.4)

Перейдем в систему отсчета, движущуюся со скоростью (6.4). Скорости

частиц 1 и 2 при этом преобразуются следующим образом:

(6.5)

т. е. в новой системе отсчета они выражаются через скорость относительного

движения. Свяжем скорость Vc с радиусом-вектором некоторой точки r_с:

Отметим, что определение (6.6) совпадает с известным из школьного курса

физики понятием центра тяжести. Для доказательства перенесем начало

координат в точку r_с. Тогда, совершенно аналогично (6.5), получим

Таким образом,

(центр тяжести определяется равенством произведений массы на «плечо»). Но определения (6.4) и (6.6) более корректны и более универсальны, поскольку без каких-либо проблем обобщаются на любое число материальных точек, а следовательно, и на

макроскопические тела. Точку С в механике — и вообще в физике — принято называть

центром масс или центром инерции системы материальных точек.

Пусть в некоторой инерциальной системе координат положения взаимодействующих материальных точек с массами m₁,m₂, ... m_Nзадаются в каждый момент времени t посредством радиусов-векторовr₁(t),r₂(t), ...r_N(t)

(см. рис. 6.3 а). Тогда центром масс рассматриваемой системы материальных точек называется такая точка, радиус-вектор которой Rc(t) выражается через радиусы-векторыr₁(t),r₂(t), ...r_N(t) материальных точек по

(6.7)

Подчеркнем, что в общем случае положение центра масс не совпадает с

положением какой-либо из материальных точек системы (см. рис. 6.3 б),

хотя иногда такое может и случиться.

Рис. 6.3 центром масс системы материальных точек называется такая точка, радиус-вектор которой Rc(t) выражается через радиусы-векторыr₁(t),r₂(t), ...r_N(t) материальных точек

Продифференцируем по времени левую и правую части равенства (6.7).

Производная радиуса-вектора по времени есть по определению скорость, так

что в результате мы получаем

(6.8)

где Vc — скорость центра масс, v₁,v₂,... v_N— скорости материальных точек. Величинаm₁v₁ в (6.8) — импульс первой материальной точки,m₂V₂— импульс второй точки и

т.д. Таким образом, в фигурных скобках выражения (6.8) стоит сумма импульсов рассматриваемой системы материальных точек, т. е. импульс Р всей системы. Следовательно, равенство (6.8) можно переписать в виде

Р = {m₁ + m₂ + …. + m_N}V_c. (6.9)

В системе отсчета, где центр масс покоится,

Р = 0.

Если нас не интересует относительное движение материальных точек, а интересует движение системы как целого, то тогда всю систему можно рассматривать как одну материальную точку, движущуюся со скоростью Vc и обладающую импульсом Р. Вспомним, что масса материальной точки есть, по определению, коэффициент пропорциональности между импульсом и скоростью. Поэтому стоящий в равенстве (6.9) коэффициент пропорциональности, заключенный в фигурные скобки, есть масса М рассматрваемой системы:

М = m₁ + m₂ + …. + m_N,(6.10)

т. е. масса системы материальных точек равняется сумме масс этих точек. Соотношение (6.10), согласно которому масса сложного тела равна сумме масс его частей, кажется нам привычным и очевидным. Однако, как мы еще убедимся, в релятивистской механике (т. е. в более общем случае) ситуация будет совершенно иной. В предельном случае ньютоновой механики равенство (6.10) представляет собой частный случай определенного

физического закона — закона сохранения массы.

В отсутствие внешних сил, т. е. для замкнутой системы, сумма импульсов всех тел системы не зависит от времени; тогда из (6.9) следует важное свойство движения центра масс замкнутой системы материальных точек:

V_c = const,

т. е. центр масс замкнутой системы материальных точек неподвижен или

движется равномерно и прямолинейно, хотя каждая из материальных точек может совершать сложное движение. Приведенное выше утверждение называют иногда теоремой о движении центра масс.

Мы сейчас докажем следующее важное свойство кинетической энергии:

кинетическая энергия Т системы материальных точек равна сумме кинетической энергии всей массы системы, мысленно сосредоточенной в ее центре масс и движущейся вместе с ним, и кинетической энергии Т' той же системы в ее относительном движении по отношению к системе отсчета, движущейся вместе с центром масс:

(6.11)

где М = m₁+ m₂+ … + m_N . Vc — скорость центра масс в исходной системе отсчета, v_i— скорость i-ой материальной точки относительно системы отсчета, движущейся вместе с точкой С. Такую систему обычно называют «системой центра масс», «системой центра инерции» или просто «ц-системой». (Систему отсчета, в которой поставлена задача, если эта система не совпадает с ц-системой, принято называть лабораторной системой отсчета или л-системой).

Для доказательства получим вначале более общее соотношение, связывающее кинетическую энергию в двух системах отсчета (см. рис. 6.4). Для координат и скоростей точек в старой системе R_i, V_iи в новой системе r_i, v_iзапишем преобразования Галилея:

где R — радиус-вектор перехода из старой системы в новую, а V —соответственно, скорость движения новой системы относительно старой.

Рис. 6.4 связь координат в двух системах отсчета

Тогда кинетическую энергию в старой системе отсчета можно представить в виде

(6.12)

Правую часть (6.12) можно представить в виде трех сумм:

(6.13)

где Р — полный импульс системы материальных точек в новой системе отсчета. Соотношение (6.13) принято называть теоремой Кенига . Если же новая система совпадает с ц-системой, то суммарный импульс в ней равен нулю, V = Vc, а значит, имеет место соотношение (6.11).

Смотрите также файлы

Билеты ответы на экзамен общей физики (Механика).docx

finansovy_otchet_1 - Катя.doc

finansoviy_menedzhment_voprosy_s_otvetami.pdf

FAQ по лекциям.doc

Failid.doc

Файл: fiz_1_1_mekh_otnosit_vm_i_as_rab_var_1_09_12.doc

6.2. Центр масс системы материальных точек

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно