Файл: fiz_1_1_mekh_otnosit_vm_i_as_rab_var_1_09_12.doc

Если «старая» ось проходила через центр инерции, то R_c= 0, a I₀= I_c. Теорема доказана. Ее обычно называюттеоремой Штейнераили Гюйгенса-Штейнера. Отметим, что в ней отнюдь не предполагается какая-либо особая симметрия тела. В соответствии с названной теоремой, момент инерции диска относительно оси, перпендикулярной поверхности диска и проходящей через его край, равен найденному нами моменту инерции (7.19) относительно оси, проходящей через центр диска, плюсmR²(расстояние между осями

равно радиусу диска R):

В отличие от второго закона Ньютона, в правую часть уравнения вращательного движения входит не сила, а момент силы относительно оси. При этом он играет роль, аналогичную той, которую играет сила для поступательного движения.

В реальных задачах непосредственно сам момент силы обычно не задан, а заданы модули и направления внешних сил и точки приложения этих сил к телу, как, например, было в

нашей задаче о вращении тонкого диска (см. рис. 7.8).

Рис. 7.9. К выводу теоремы Штейнера

Поэтому для определения М_осив конкретных задачах необходимо воспользваться тем, чтоМ_осиявляется, по определению, проекцией момента силыМотносительно

некоторого центра на ось вращения. Если ось вращения направлена вдоль

координатной оси Oz, то

М_оси = М_z = [rF]_z.

Покажем, как выражается M_0Cliчерез условия задачи о вращении тонкого диска

(рис. 7.10). Будем полагать, что центр О, относительно которого определен момент силы F, расположен в произвольной точке на оси вращения.

Разложим вектор силы F на три взаимно перпендикулярные составляющие, две из которых, F_||и F_h, параллельная и перпендикулярная оси вращения, лежат в плоскости, проходящей через ось вращения и точку приложения внешней силы, а третья F_┴— перпендикулярна к этой плоскости (эта составляющая обозначена на рисунке кружком с крестиком). Если в плоскости диска представить себе окружность радиуса h с центром на оси Oz, то составляющая F_┴будет направлена по касательной к этой окружности. Момент силы F относительно центра О равен сумме моментов составляющих:

М = М_|| + M_h + M_┴,

где

М_|| = [rF_||] , М_h = [rF_h], М_┴ = [rF_┴].

Рис. 7.10

Векторное произведение направлено перпендикулярно плоскости, в которой лежат образующие его векторы. Поэтому векторы М_||и М_hперпендикулярны оси Oz, и следовательно, их проекции на эту ось равны нулю.

Момент М_┴имеет модуль, равный rF_┴. Если составляющая F_┴на рис. 7.10

направлена «от нас», то ее момент М_┴по правилу винта направлен так, как

изображено на рисунке, т. е. образует с осью Oz угол а, косинус которого

равен h/r. Следовательно, в этом случае проекция на ось Oz вектора М_┴

положительна и имеет величину

М_┴cos(a) = hF_┴.

Если вектор F_┴направлен на рисунке «на нас», тоМ_┴следут направить на рисунке в противоположную сторону, и тогда проекция этого вектора на ось будет иметь величину

М_┴ cos (π + а) = -hF_┴.

Другие компоненты М (М_||иM_hпроекций на ось

Oz, как уже отмечалось, не имеют. Следовательно,

M_z = M_┴,_Z = ±hF_┴.

Таким образом, получаем для момента силы относительно оси вращения:

М_оси =M_Z = ±hF_┴. (7.21)

Подчеркнем еще раз, что по правилу винта знак «плюс» соответствует случаю, когда внешняя сила приводит к вращению вокруг направления оси Oz

против часовой стрелки, а знак «минус» соответствует вращению тела в

противоположном направлении.

Динамика твердого тела.

Рассмотрим абсолютно твердое тело, которое может совершать только вращательное движение вокруг неподвижной оси. Для описания движения удобно использовать зависимость угла поворота от времени. Закон изменения угла поворота от времени и характеризует вращательное движение твердого тела.

В прямоугольной системе координат когда ось z совпадает с осью вращения тела представим тело как систему материальных точек и найдем проекцию на ось вращения вектора момента импульса.

По определению момент импульса системы равен сумме моментов элементарных масс

;

Проекция на ось вращения, аналогично

- момент импульса.

Используя зависимость для каждой элементарной массы

;

И скорости в этой точке

Угловая скорость по определению



Угловое ускорение

^^

Записывая векторное произведение в матричной форме с учетом того, что вектор угловой скорости направлен по оси вращения z получим

Проекции вектора момента импульса одной из частей тела можно найти по формуле

;

Проекция этого вектора на ось вращения будет

;

Или

L = mr^;

где ,

L_z= m R²

L_iz= m_i R²_i

L = L_iz = ∑m_i R²_i

I – момент инерции ( относительно оси Z )

;

I – момент инерции

Интегральна формула для центра инерции

Выражение для момента импульса можно записать в форме

L = I;

Момент силы для точки

;

Известно

dL / d =  M_i

d

; - основное уравнение вращательного движения твердого тела

Для производной момента импульса справедливо выражение

L^/= M ;

Для проекции на ось вращения

L_z^/= M_z

Основное уравнение вращательного движения можно записать

I^M_z

( для вращательного движения)

Аналогия с законом Ньютона

mx^//= F

( закон Ньютона )

Эквивалент инерционных свойств при вращении обеспечивает момент инерции.

Запишем выражение для кинетической энергии вращательного движения при вращении тела вокруг оси, проходящей через центр масс

=mv²/2 = m(ωr)²/2 =mr²ω²/2 =I ω²/2

Кинетическая энергия движущегося и вращающегося относительно центра масс тела равна сумме кинетических энергий движения и вращения

;

Работа тела при вращении определяется по формуле

A = M Fl Fr

Теорема Штейнера.

В случае когда ось, относительно которой вычисляется момент инерции не совпадает с центром симметрии для облегчения расчетов используют теорему Штейнера.

Теорема Штейнера или теорема о параллельных осях. Момент инерции тела относительно некоторой оси равен моменту инерции этого тела относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела, плюс произвеление массы тела на квадрат расстояния между осями

I = I_c+ mr_c² – теорема Штейнера.

Построим ось z' , которая проходит через центр масс тела С параллельно оси z, и введем перпендикулярный к этим осям вектор r_c, соединяющий точку вращения и центр масс. Модуль этого вектора –расстояние между осями.

R_i^/ -вектор, соединяющий цент масс с частицей, для которой вычисляется момент инерции.

z z'

R_iR_i'

О С