Файл: Shpory_po_geometrii_4_semestr.doc

Замечание. Проективное преобразование точек прямой определяется аналогично, т.е. с помощью двух реперов R ={A₁,A₂,E}, R={A₁, A₂,E} на этой прямой и состоит в том, что точка M(x₁:x₂)_R переходит в M( x₁:x₂)_R_. Формулы преобразования имеют вид (3.2.1), где i,k=1,2.

Формулы проективных преобразований записываются в матричном виде: X= CX. И каждому проективному преобразованию соответствует своя невырожденная матрица C.

33 Основное свойство проективных преобразований.

Теор3.3.1.При проективном преобразовании плоск-и прям переходит в прямую.

Пусть преобразование задано реперами R и R , а прямая a; ¯ имеет уравнение относительно R : u₁x₁+u₂x₂+ u₃x₃= 0. Образ этой прямой будет удовлетворять такому же уравнению относительно R , а значит, это тоже будет прямая.

Опр. 3.4.1. Гомологией называется нетождественное проективное преобразование плоскости, имеющее точечно неподвижную (инвариант-ную) прямую, называемую осью гомологии.

Свойства гомологии.

1. Прямая, проходящая через две несовпадающие соответственные точки,

преобразуется в себя (является неподвижной).

2. Прямые, проходящие через несовпадающие соответственные точки (не

принадлежащие одной прямой), проходят через одну неподвижную

(инвариантную) точку, называемую центром гомологии.

3. Прямая, не проходящая через центр гомологии, и ее образ Перес-ся

на оси гомологии.

Опр. 3.4.1. Гомология, центр которой не принадлежит оси, наз. гиперболической. Гомология, центр которой принадлежит оси, наз. параболической.

Гомология задается осью s, центром S и парой соответственных точек, лежащих на прям, проходящей через центр. Обозн.такую гомологию(S,s;A,A).

Соответственные при гомологии фигуры называются гомологичными. Примерами таких фигур являются трехвершинники изтеоремы Дезарга. Фактически, теоремой Дезарга доказывается существование гомологии. Pисунок, 2.1, сопровождающий эту теорему, демонстрирует пример построения соответственных точек при гомологии (S,s;A,A), когда S – собственная точка.

Построение соответственных точек (фигур).

Пусть (S,s;A,A) – гомология, M – произвольная не двойная точка.

Найдем ее образ M=(M). Для этого последовательно проводим прямые 1) SM; 2) AM, AMs=P (=P); 3) PA  M=AMPA.

На рис. 3.1 – гиперболическая, на рис. 3.2  – параболическая.

На расширенной плоскости выделяются частные виды гомологии.

1. Перспективно-аффиное (родственное) преобразование. Это гомология с несобственным центром. Среди них имеются а) отражения со сжатием (или растяжением) к оси; б) отражения – осевые симметрии (косая симметрия, симметрия); в) сжатия к оси (либо растяжения); г) параллельные переносы – ( S_,s_,A, A); д) сдвиги (перекосы) – ( S_,s,(S_s),A, A).2. Гомотетия – ( S,s_,A, A); в частности это может быть центральная симметрия

34 Проективная группа плоскости.

Опр. 3.4.1. Группой преобразований некоторого множества X называется совокупность преобразований этого множества (не обязательно всех), которое образует группу относительно операции _* – «композиция».

Теорема 3.4.1. Множество всех проективных преобразований плоскости (; ¯ образует группу преобразований, которая называется проективной группой плоскости.

Пусть G – множество всех проективных преобразований плоскости (; ¯, fG , gG. Пусть f задается реперами R и R , g задается реперами R и R. Тогда g_*f переводит M(x₁,x₂, x₃)_R в M(x₁,x₂, x₃)_R_ , а значит, g_*f – проективное преобразование. Роль единичного (нейтрального) элемента выполняет тождественное преобразование, которое, очевидно, является проективным. Обратное преобразование f ^–1действует по правилу:

M(x₁,x₂, x₃)_R_  M(x₁,x₂, x₃)_R , а значит, тоже является проективным. Так же легко показать, что операция _* в G является ассоциативной.

Замечание. При выбранном репере каждому проективному преобразованию соответствует матрица. Поэтому алгебраически группа проективных преобразований сводится к группе невырожденных матриц, соответствующих этим преобразованиям. Композиции преобразований соответствует произведение их матриц, обратному преобразованию – обратная матрица.

Принцип Клейна. Любой группе преобразований соответствует своя геометрия, которая изучает те свойства фигур и те понятия, которые сохраняются при всех преобразованиях группы.

Геометрией, которая соответствует проективной группе преобразований, является проективная геометрия. Она изучает те свойства фигур, и те понятия, которые сохраняются при всех проективных преобразованиях плоскости. Такие свойства и понятия называются проективными. Напри-мер, «прямая» является проективным понятием, а «несобственная точка», «параллельность прямых» не являются проективными понятиями

35 Определения и свойства.

Опр. 4.1.1. Пусть точки A, B, C лежат на одной прямой. Число  называется простым отношением трех точек A, B, C, если AC;\s\up10( –(=CB;\s\up10( –(. Это

равносильно тому, что точка C делит отрезок AB в отношении >0, если C лежит между A и B. Если же C лежит за пределами отрезка AB , то будет <0. Пишем = (AB,C) или = (ABC). Хотя не существует операции деления одного вектора на другой, мы будем писать = AC;\s\up10( –(/CB;\s\up10( –(, если AC;\s\up10( –(CB;\s\up10( –(.

Простое отношение трех точек сохраняется при параллельном проецировании. Но легко показать, что оно не сохраняется при центральном проецировании, т.е. оно не является проективным понятием. Поэтому в проективной геометрии вводится сложное отношение 4 точек.

Опр. 4.1.2. Сложным отношением четырех собственных точек A, B, C, D, лежащих на одной прямой, называется число

(ABCD)= ⁼ : ⁼ .

Будем также использовать такое обозначение сложного отношения: (AB,CD).

Из 4-х букв можно образовать 24 перестановки. Однако различных значений сложных отношений 4 заданных точек одной прямой может быть только шесть.

Теор 4.При перестановке пар A,B и C,D значение сложного отношения сохран-ся.

По определению (CD,AB)⁼ ⁼ ⁼(AB,CD).

Свойства сложных отношений. Пусть

1. (AB,CD) = . Тогда 2. (AB,DC) = 1/ ; 3. (AC,BD) = 1– ;