Тема 2.2. Принципы выбора оптимальных стратегий в бескоалиционных играх (минимаксные стратегии, ситуации равновесия, устойчивые парето-оптимальные стратегии).

2.2.1. Минимаксные стратегии: игра двух лиц

Пусть – множества стратегий игроков, а – их функции выигрышей соответственно. Математическая модель выбора оптимальных стратегий запишется так:

. (2.10)

. (2.11)

Минимаксную стратегию игрока 1 находим из следующей математической задачи¹⁶:

(2.12)

Здесь – гарантированный выигрыш первого игрока; – оценка стратегии (реакции) партнера в зависимости от выбора стратегии . Эта функция в теории игр имеет смысл функции наказания (наступления). Минимаксную стратегию называют защитной стратегией.

Минимаксную стратегию игрока 2 находим аналогично:

(2.13)

Описание переменных выражения (2.13) аналогично описанию (2.12).

Если каждый из игроков выбирает минимаксную стратегию, то действительная ситуация в игре и оценки выигрышей игроков отличаются от ожидаемых (расчетных) значений.

Упражнение. Покажите справедливость неравенств: .

2.2.2. Ситуации равновесия по Нэшу и Штакельбергу: игра двух лиц

Минимаксные стратегии игроков в современной теории игр рекомендуются игрокам в качестве защитного поведения и в качестве оценок гарантированных результатов. Ситуации равновесия (если они существуют) предпочтительнее для игроков. Они могут реализоваться в игре при следующих условиях: игроки согласны на обмен информацией по их поиску (согласны на переговоры); игроки согласны их реализовать (выполняют условие обязующего соглашения).

Ситуация в игре (2.10), (2.11) называется ситуацией равновесия по Нэшу, если:

. (2.14)

. (2.15)

Упражнение. Докажите неравенства: .

Для игр (2.10), (2.11) находят ситуации равновесия по Штакельбергу в предположении, что один из игроков наделен правом первого хода. Это право может быть институциональным (как в игре «Государство-Предприниматели») или по условиям рыночной ситуации, например, в отношениях работника и работодателя.

Предположим, что ведущим является игрок 1 и что он знает реакцию второго игрока на свои решения¹⁷. Ситуация в игре (2.10), (2.11) называется ситуацией равновесия по Штакельбергу, если она найдена решением следующих задач:

. (2.16)

Упражнение. Поясните схему поиска ситуации на примере игры «Государство-Предприниматели» (рис. 2.1 и 2.2).

Тема 2.3. Поле игры. Гипотезы поведения игроков. Построение поля игры на примерах игры «Государство-Предприниматели» и модели контроля с двумя ЛПР.

2.3.1. Поле игры. Гипотезы поведения игроков

Понятие «Поле игры» отражает игровое содержание множества совместных выигрышей игроков. Для игры (2.10), (2.11) это множество (обозначим его ) определим так:

. (2.17)

Для игроков, которые минимизируют свои выигрыши (например, в игре «Система контроля») их Поле игры определяется выражением, аналогичным (2.17), в котором неравенства с гарантированными результатами заменены на противоположные.

Гипотезы поведения игроков в игре (2.10), (2.11) включает два условия:

1. Оптимальные выигрыши игроков лежат на «верхней» границе множества . Множество в теории игр носит название множество парето-оптимальных выигрышей. Содержательно, это множество таких выигрышей игроков, что увеличение выигрыша одного игрока возможно только при уменьшении (строгом) выигрыша другого игрока.

2. Игроки вправе в процессе переговоров выбрать оптимальные стратегии (называют парето-оптимальные стратегии), соответствующие выигрыши игроков при которых принадлежат множеству (называют парето-оптимальные выигрыши). Этот выбор является решением игры, если выполнено условие обязующего соглашения.

2.3.2. Построение поля игры на примерах игры «Государство-Предприниматели» и модели контроля с двумя ЛПР.

Построение поля игры «Государство-Предприниматели» состоит в вычислении параметров выражения (2.17) используя задание игры (2.7), (2.8). Непосредственными вычислениями находим: . Найдем максимальный выигрыш Предпринимателей :

. (2.18)

Для любого найдем максимальное значение выигрыша первого игрока:

. (2.19)

Упражнение. Покажите, что – решение задачи (2.19).

Окончательно получим Поле игры «Государство-Предприниматели» в следующем виде:

. (2.20)

Запишем множество парето-оптимальных выигрышей рассматриваемой игры:

. (2.21)

Упражнение. Графически представьте множества и .

Задание к вопросу экзамена 2.3.2. Найти множества и игры «Система контроля» (2.5), (2.6) и исследовать их свойства. Описать содержательно интересы игроков, множества их стратегий. С использованием компьютерных программ в среде Excel провести исследование оптимальных стратегий игроков (минимакс, ситуации равновесия по Нэшу, по Штакельбергу и Парето-оптимум). Индивидуальное задание в МОДУЛ.

Раздел 3. Прикладные модели принятия решений: примеры

Модель поведения работника на рабочем месте. Модель оптимизации бонуса менеджеров производственных и финансовых компаний. Математическая модель планирования объединения промышленных предприятий. Имитационная модель планирования объединения промышленных предприятий.

Тема 3.1. Оптимизация бонуса менеджеров производственной и финансовой компаний.

3.1.1. Модель поведения работника на рабочем месте

Приведем основные определения¹⁸. Справедливой (рыночно равновесной) будем считать сделку, при которой согласованная заработная плата равна произведению количества продаваемого труда на его цену (сдельная система оплаты труда).

В качестве меры труда (единицы измерения объема работы) выберем часовую норму труда (ЧНТ) – объем работы, который реально выполняет среднерыночный (для сегмента локального рынка) работник в течение одного рабочего часа. Эта характеристика для среднерыночного работника может быть оценена как часовая норма выработки. Такой работник за 8-часовой рабочий день выполнит объем работы 8 ЧНТ. При оплате труда в 100 руб. за ЧНТ его месячная заработная плата (20 рабочих дней) равна 16 000 руб.

Потенциал трудовой активности (ПТА) работника определим, как объем работы в ЧНТ, который он способен выполнить в среднем за рабочий день. Мы также используем понятие фактическая трудовая активность (ФТА) работника.

Приведем пример аналитического выражения для ФТА:

(3.1)

Здесь – параметры, значения которых определяются состоянием локального рынка труда по заданной профессии работника и его трудовыми характеристиками.

Справочно: Смотри глоссарий (Приложение 2) пп. 1, 4, 29, 33, 41, 44.

3.1.2. Модель оптимизации бонуса менеджеров производственных и финансовых компаний

Эффективным механизмом стимулирования менеджеров является выделение доли , дополнительной прибыли, полученной этим менеджером, в качестве бонуса (премиального вознаграждения). Тогда оптимальное значение должно обеспечивать максимальные результаты для собственника рассматриваемой экономической системы.

Рассмотрим задачу оптимизации бонуса менеджеру, зависимость среднедневного объема работ которого от ставки оплаты труда задана выражением (3.1).

Обозначим через

, (3.2)

зависимость среднедневной валовой прибыли фирмы, полученной за счет активности стимулируемых менеджеров. Функцию (3.2) дополнительной прибыли от трудового вклада менеджера можно получить на основе функции Кобба-Дугласа при постоянной величине капитала фирмы.

Дополнительная валовая прибыль разделяется на чистую прибыль собственника и оплату труда менеджеров :

(3.3)

С учетом выражения (3.3) задачу выбора оптимального значения запишем в следующем виде. Найти , при котором доход собственника является максимальным:

. (3.4)

Можно показать, что при фиксированной величине и заданной активности оплата единицы активности и уровень активности определятся из следующего уравнения:

, (3.5)

решение которого необходимо учитывать как дополнительное условие задачи (3.4).

В описании к лабораторной работе 4 представлена методика идентификации функции (4.5) и программное обеспечение в среде Excel для решения задачи (4.7) в случае, когда в (4.1) параметр n равен единице.

Задание по теме 3.1.2. Выполнить расчетную работу по оптимизации бонуса менеджера для индивидуальных исходных данных, представленных в МОДУЛ.

Справочно: Смотри глоссарий (Приложение 2) пп. 3.2, 3.12, 1.24.

Тема 3.2. Математические модели планирования производства на основе математического программирования.

3.2.1. Математическая модель планирования объединения предприятий.

В сложных системах (с двумя и более центрами принятия решений) кроме основных функций управления возникают дополнительные, такие как согласование и координация решений. Координация решения – это согласование деятельности, целей, зон ответственности, распределение общих ресурсов, совместного дохода.

Типичным примером сложной системы в экономике является система корпоративного управления – организационная модель, с помощью которой корпорация представляет и защищает интересы своих инвесторов. Тип применяемой модели зависит от структуры корпорации, существующей в рамках рыночной экономики, и отражает факт разделения функций владения и управления корпорацией. В общем случае, корпорация – объединение n юридических лиц плюс одна управляющая компания, которую далее называем Центром.

Исследование проводится на примере задачи квадратичного программирования, которая рассматривается как математическая модель планирования объединения Т промышленных предприятий в следующем виде¹⁹:

, (3.6)

где – потенциальная прибыль, а – допустимое множество планов предприятия в составе корпорации: .

Матрицы в приведенных выражениях имеют следующие размерности:

Экономический смысл модели планирования состоит в оптимизации планов производства объединения, при котором потенциальные возможности предприятий по прибыли максимально реализуются при ограниченных ресурсах объединения.

Справочно: глоссарий (Приложение 2) пп. 3.4 – 3.6.

3.2.2. Имитационная модель планирования объединения промышленных предприятий

Имитационная модель разработана в среде Excel для исследования проблемы планирования объединения промышленных предприятий. Для генерации матриц в условиях задачи (3.6) задаются их размерности, а значения элементов матриц заполняются равномерно распределенными псевдо случайными числами в заданных интервалах. Значения параметров для каждого предприятия определяются решением задач линейного программирования при условии выделения предприятию всего объема имеющихся ресурсов объединения. Индивидуальные варианты исходных данных задаются своим списком 5 предприятий для объединения.

Таким образом, в процессе исследования задачи планирования решаются 5 задач линейного программирования и одна задача квадратичного программирования (3.6).

Задание по теме 3.2.2. Провести исследование задачи планирования объединения предприятий для индивидуальных исходных данных, приведенных в МОДУЛ.