Файл: Математические модели принятия решений - УЧЕБНЫЕ МАТ-2018.docx
Добавлен: 29.10.2018
Просмотров: 2951
Скачиваний: 29
СОДЕРЖАНИЕ
Тема 1.1. Классификация и принципы. Моделирование процессов и решений.
1.1.1. Основные понятия теории принятия решений. Историческая справка.
1.1.2. Технология решения прикладных задач поддержки принятия решений.
1.1.3. Место исследования операций в математическом моделировании.
1.1.5. Понятие математической модели принятия решений
1.1.6. Моделирование процессов
1.2.1. Производственные функции
1.2.2. Задача оптимального среднесрочного плана развития производства
Тема 1.3. Математические модели поддержки принятия решений в условиях риска и неопределенности.
1.3.1. Принципы обоснования решений в условиях риска и неопределенности.
1.3.2. Портфельный анализ: модель Марковица.
1.3.3. Инструментальные средства портфельного анализа
2.1.1. Модель контроля с одним ЛПР
2.1.2. Модель выборочного контроля с одним ЛПР
2.1.3. Модель контроля с двумя ЛПР
2.1.4. Игра «Государство-Предприниматели»
2.2.1. Минимаксные стратегии: игра двух лиц
2.2.2. Ситуации равновесия по Нэшу и Штакельбергу: игра двух лиц
2.3.1. Поле игры. Гипотезы поведения игроков
Раздел 3. Прикладные модели принятия решений: примеры
Тема 3.1. Оптимизация бонуса менеджеров производственной и финансовой компаний.
3.1.1. Модель поведения работника на рабочем месте
3.1.2. Модель оптимизации бонуса менеджеров производственных и финансовых компаний
3.2.1. Математическая модель планирования объединения предприятий.
3.2.2. Имитационная модель планирования объединения промышленных предприятий
1.1.6. Моделирование процессов
Структурно модели процессов представляют в виде «черного ящика» (рисунок 1.3).
Задача математического моделирования процессов при условии достаточно точных наблюдений за входными переменными и выходной переменной формулируется следующим образом:
Найти функцию и доверительный интервал для значений . (1.3)
Тогда на практике можно знать ожидаемые значения выходной переменной при известных значениях вектора : .
Рис. 1.3. Модель процесса в виде «черного ящика».
Обозначения: – истинные значения вектора входных переменных; – значения детерминированной и случайной составляющих выходной переменной моделируемого процесса; – ненаблюдаемые внутренние аддитивные «шумы»; А – вектор параметров.
Математическая модель (1.3) называется эмпирической (ЭМП), если основная информация для ее построения – результаты наблюдений моделируемого процесса или наблюдений за процессами – аналогами моделируемого, и теоретической (ТМП), если существенно используются знания соответствующей теории.
Задание. Рассмотреть примеры построения эмпирических моделей процессов методом наименьших квадратов (МНК) (Задачи приведены в задании к вопросу экзамена 1-3-2 в МОДУЛ).
Справочно: Смотри глоссарий (Приложение 2) пп. 1.2, 1.15, 1.26, 1.27, 1.28.
Тема 1.2. Комплекс моделей годового и стратегического планирования фирмы на основе производственных функций
1.2.1. Производственные функции
Производственная функция (также функция производства) – экономико-математическая количественная зависимость между величинами выпуска (количество продукции) и факторами производства, такими как затраты ресурсов, уровень технологий12.
Производственная функция является примером моделей процессов (часто это теоретическая модель процесса производства товаров и/или услуг). Рассматривается годовое количество произведенной фирмой продукции в стоимостной или натуральной форме. Факторами производства выступают объемы потребленных фирмой ресурсов (в стоимостном или в натуральном измерении). Главными ресурсами выступают потребленные за год количества труда и капитала13.
Определение. Функция называется производственной, если выполнены следующие ее свойства:
1. Нулевой выпуск в отсутствии одного или нескольких ресурсов.
2. Неотрицательная производительность факторов .
3. Убывающая эффективность факторов .
4. Линейная однородность или постоянная отдача от масштаба .
Примеры производственных функций:
1. Классическая производственная функция Кобба-Дугласа ( – амортизация капитала фирмы, – фонд заработной платы за рассматриваемый период времени):
, (1.4)
где – параметры функции, индивидуальные для фирмы ( ).
2. Обобщенная функция Кобба-Дугласа:
. (1.5)
3. Линейная производственная функция:
. (1.6)
4. Производственная функция с нулевой эластичностью замещения ресурсов:
. (1.7)
Задание 1 к вопросу 1.2.1. В записанных функциях (1.4) – (1.7) укажите аргументы и параметры, поясните их экономический смысл и размерности.
Задание 2 к вопросу 1.2.1. Покажите, что функции (1.4) – (1.7) удовлетворяют определению производственных функций.
Справочно: Смотри глоссарий (Приложение 2) пп. 1.9, 1.16, 1.19, 1.24.
1.2.2. Задача оптимального среднесрочного плана развития производства
С использованием производственной функции рассмотрим задачу выбора оптимального соотношения запасов ресурсов. Эту задачу можно интерпретировать как задачу среднесрочного планирования развития фирмы.
Пусть для некоторой фирмы известна производственная функция, ее товарная, ресурсная и технологическая политика стабильна, а спрос на продукцию неограничен. Пусть также в среднесрочной перспективе заданы границы интервалов возможного изменения каждого из существенных производственных ресурсов: . Тогда можно найти оптимальные значения ресурсного обеспечения производства решение следующей задачи. Найти из условий:
; (1.8)
. (1.9)
В задаче (1.8) – (1.9) – оптимальная годовая прибыль производственной деятельности фирмы с учетом налога, равного 6% от выручки; – цена ресурса i (для ресурсов производства, учитываемых в стоимостном измерении, их цена принимается равной единице).
Можно показать (с учетом свойств производственной функции), что задача (1.8) – (1.9) относится к классу задач выпуклого программирования и ее решение можно получить в среде Excel.
1.2.3. Методы исполнения решений на различных этапах цикла принятия решений на примере задачи распределения ресурсов
На практике Центры принятия и реализации решений не являются идеально организованными и хорошо информированными. Тогда ожидаемые результаты не совпадают с реальными, особенно в ситуациях при больших по времени периодов реализации решений. Возникает необходимость совершенствования методических, математических и инструментальных методов принятия и реализации решений.
Выделим следующие этапы цикла принятия и реализации решений:
1. Сбор исходных данных и анализ экономической проблемы.
2. Обоснование оптимального решения и его принятие.
3. Реализация решения.
4. Оценка полученного результата и при необходимости внесение изменений в регламентные процедуры.
Характерным примером для данной темы является проблема распределения ограниченного ресурса. Она возникает в бюджетной сфере государственного и муниципального управления, производственных системах (корпорациях), при организации коллективных действий в социологии и политике и др.
Пусть Центр располагает ограниченным ресурсом в объеме и ставит задачу его распределения по исполнителям так, чтобы суммарная эффективность использования ресурса была максимальной. Обозначим объем ресурса, выделяемого исполнителю i (i=1,…,n). Будем считать, что вклад исполнителя i в суммарную эффективность зависит от объема выделенного ресурса и определяется выражением: , где – коэффициент, истинное значение которого Центр оценивает с погрешностью.
В предположении, что Центр идеально информирован, найдем оптимальное распределение решением следующей задачи:
; (1.10)
. (1.11)
Упражнение. Доказать, что в рассматриваемой формализации задачи при оптимальном решении Центр распределяет весь объем наличного ресурса и балансное ограничение (1.11) выполняется как равенство:
Решение задачи (1.10) – (1.11) найдем с использованием метода множителей Лагранжа (см. ссылку: https://ru.wikipedia.org/wiki/Метод_множителей_Лагранжа). Ограничение пока не рассматриваем. Запишем функцию Лагранжа:
. (1.12)
Составим систему из (n+1) уравнений, приравняв к нулю частные производные функции Лагранжа по и по : .
Найдем решение первых n уравнений записанной системы в зависимости от :
. (1.13)
Рассматриваем последнее уравнение системы с учетом выражения (2.13):
. (1.14)
Из выражений (1.13) и (1.14) имеем:
. (1.15)
В рассматриваемом случае найденное решение системы (n+1) уравнений удовлетворяет ограничению и является оптимальным распределением ресурсов в задаче (1.10) – (1.11), поскольку она относится к классу задач выпуклого программирования.
Рассмотрим порядок использования полученных расчетов на практике контроля процессов принятия и реализации решений, которое можно провести только после завершения цикла (после полной или частичной реализации решения). Для этого предлагается использовать расчетные и фактические значения эффективностей распределения и использования ресурсов. Профессиональное расследование эффективностей проводится с использованием методов экономической безопасности.
Оптимальное распределение ресурса согласно (1.15) зависит от коэффициента : . Если при распределении ресурсов (не важна причина) использовались оценки (в общем случае ) то рассчитанные с использованием выражения (1.15), уровни эффективности отличаются от истинных значений (которые аналитику следует восстановить). Согласно этапу п.4 цикла принятия и реализации решений необходимо внести изменения в соответствующие регламенты, учитывая возможные причины отклонений: либо искажение информации, либо ошибки формализации проблемной ситуации, либо погрешности вычислений, либо объективное изменение условий принятия и реализации решений.
Справочно: Смотри глоссарий (Приложение 2) п. 1.29.
Тема 1.3. Математические модели поддержки принятия решений в условиях риска и неопределенности.
1.3.1. Принципы обоснования решений в условиях риска и неопределенности.
Рассматриваем методы обоснования оптимальных решений с использованием математической модели (1.2). Если относительно значений параметра w информация ЛПР будет полной к моменту реализации решений (но не к моменту обоснования оптимального решения задачи), то ЛПР может найти решающую функцию :
. (1.16)
Рассмотрим случай, когда к моменту реализации решений ЛПР не знает вектор параметров w. В литературе рассматриваются два основных подхода к постановке математических задач поиска оптимального решения для модели ЛПР в форме (1.2):
-
принципы принятия решений при неопределенности, например, принцип гарантированного результата;
-
принцип осреднения.
Принцип гарантированного результата (критерии Вальда) предполагает выбор решением следующей задачи:
. (1.17)
В данном случае ЛПР отыскивает наилучшее решение для наихудших для себя значений w. Заметим, что справедлива оценка
, где .
Другие подходы к обоснованию оптимальных решений в условиях неопределенности представлены в методических материалах индивидуальных заданий.
Рассмотрим принцип осреднения, т.е. обоснование решений при риске. Предположим, что в (1.2) w подчиняется распределению с известной плотностью , тогда принцип осреднения предлагает выбор с использованием следующей целевой функции:
, (1.18)
где Mw – оператор математического ожидания.
Далее задача нахождения сводится к (1.1) с целевой функцией (1.18).
Упражнение. Рассмотреть принципы обоснования решений Байеса-Лапласа, Сэвиджа, Гурвица для непрерывной модели и записать математические задачи поиска оптимальных решений, аналогичные задаче (1.17).
Справочно: Смотри глоссарий (Приложение 2) п. 2.4.
1.3.2. Портфельный анализ: модель Марковица.
Портфельная теория Марковица (англ. mean-variance analysis) – подход, основанный на анализе ожидаемых средних значений и вариаций случайных величин) – разработанная Гарри Марковицем методика формирования инвестиционного портфеля, направленная на оптимальный выбор совокупности активов, исходя из требуемого соотношения доходность/риск. Сформулированные им в 1950-х годах идеи составляют основу современной портфельной теории14.
Можно рассмотреть два различных подхода к формированию портфеля.
Первый связан с выбором активов, доходность которых стабильна, но существует не нулевая вероятность потери активов. Тогда цель портфельного анализа состоит в определении оптимального набора активов, при котором риски потерь являются минимальными. Данная стратегия портфельного анализа выражена рекомендацией: «не храните яйца (деньги) в одной корзине (в одном банке, одном активе)».
Второй подход, для которого применима теория Марковица, состоит в выборе совокупности компенсационных активов. Считается, что доходность активов является случайной величиной, но вероятности их полных потерь нулевые. Тогда цель портфельного анализа состоит в выборе совокупности активов, которая обеспечит высокую среднюю доходность (критерий 1) и минимальное отклонение уровня дохода от этого среднего (критерий 2 – риск должен быть минимальным). Снижение риска достигается использованием компенсационных активов, коэффициент корреляции доходностей которых является отрицательным. Модель Марковица позволяет выбрать оптимальный набор компенсационных активов с высокой средней доходностью.
При записи модели используются свойства математического ожидания и формула математического ожидания суммы случайных величин. Пусть для формирования оптимального портфеля выбраны n активов, доходность которых на период инвестирования – случайные величины с математическими ожиданиями и дисперсиями . Пусть – доли использования каждого актива в формируемом портфеле, которые удовлетворяют условиям:
. (1.19)
Тогда доходность портфеля на периоде инвестирования – случайная величина, которая зависит от доходности активов и определяется по следующей формуле:
. (1.20)
Найдем математическое ожидание (среднее значение) доходности :
.
Формулу для средней доходности портфеля можно записать в более наглядном виде:
. (1.21)
Из формулы (1.21) следует, что средняя доходность формируемого портфеля определяется средними доходностями активов и долями их включения в портфель.
Найдем выражение для дисперсии доходности портфеля :
.
Откуда получаем формулу для дисперсии портфеля в матричной записи:
. (1.22)
Здесь вектор – доли активов размерностью (1 × n); – вектор столбец долей активов размерностью (n × 1); – ковариационная матрица активов, которая отражает взаимозависимость доходностей выбранных активов, размерностью (n × n).