Файл: Математические модели принятия решений - УЧЕБНЫЕ МАТ-2018.docx

ВУЗ: Алтайский Государственный Университет

Категория: Учебное пособие

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.10.2018

Просмотров: 2951

Скачиваний: 29

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

СОДЕРЖАНИЕ

Оглавление

Раздел 1. Теоретические основы моделирования процессов принятия решений в условиях риска и неопределенности

Тема 1.1. Классификация и принципы. Моделирование процессов и решений.

1.1.1. Основные понятия теории принятия решений. Историческая справка.

1.1.2. Технология решения прикладных задач поддержки принятия решений.

1.1.3. Место исследования операций в математическом моделировании.

1.1.4. Классификация математических моделей по типу математических задач и по свойствам предметной области

1.1.5. Понятие математической модели принятия решений

1.1.6. Моделирование процессов

Тема 1.2. Комплекс моделей годового и стратегического планирования фирмы на основе производственных функций

1.2.1. Производственные функции

1.2.2. Задача оптимального среднесрочного плана развития производства

1.2.3. Методы исполнения решений на различных этапах цикла принятия решений на примере задачи распределения ресурсов

Тема 1.3. Математические модели поддержки принятия решений в условиях риска и неопределенности.

1.3.1. Принципы обоснования решений в условиях риска и неопределенности.

1.3.2. Портфельный анализ: модель Марковица.

1.3.3. Инструментальные средства портфельного анализа

Раздел 2. Теоретико-игровые математические модели принятия решений в условиях риска и неопределенности

Тема 2.1. Примеры математических моделей. Модель контроля с двумя ЛПР. Игра «Государство-Предприниматели».

2.1.1. Модель контроля с одним ЛПР

2.1.2. Модель выборочного контроля с одним ЛПР

2.1.3. Модель контроля с двумя ЛПР

2.1.4. Игра «Государство-Предприниматели»

Тема 2.2. Принципы выбора оптимальных стратегий в бескоалиционных играх (минимаксные стратегии, ситуации равновесия, устойчивые парето-оптимальные стратегии).

2.2.1. Минимаксные стратегии: игра двух лиц

2.2.2. Ситуации равновесия по Нэшу и Штакельбергу: игра двух лиц

Тема 2.3. Поле игры. Гипотезы поведения игроков. Построение поля игры на примерах игры «Государство-Предприниматели» и модели контроля с двумя ЛПР.

2.3.1. Поле игры. Гипотезы поведения игроков

2.3.2. Построение поля игры на примерах игры «Государство-Предприниматели» и модели контроля с двумя ЛПР.

Раздел 3. Прикладные модели принятия решений: примеры

Тема 3.1. Оптимизация бонуса менеджеров производственной и финансовой компаний.

3.1.1. Модель поведения работника на рабочем месте

3.1.2. Модель оптимизации бонуса менеджеров производственных и финансовых компаний

Тема 3.2. Математические модели планирования производства на основе математического программирования.

3.2.1. Математическая модель планирования объединения предприятий.

3.2.2. Имитационная модель планирования объединения промышленных предприятий

Приложение 1. Вопросы к экзамену.

Приложение 2. Основные понятия по дисциплине (глоссарий)

1.1.6. Моделирование процессов

Структурно модели процессов представляют в виде «черного ящика» (рисунок 1.3).

Задача математического моделирования процессов при условии достаточно точных наблюдений за входными переменными и выходной переменной формулируется следующим образом:

Найти функцию и доверительный интервал для значений . (1.3)

Тогда на практике можно знать ожидаемые значения выходной переменной при известных значениях вектора : .

Рис. 1.3. Модель процесса в виде «черного ящика».

Обозначения: – истинные значения вектора входных переменных; – значения детерминированной и случайной составляющих выходной переменной моделируемого процесса; – ненаблюдаемые внутренние аддитивные «шумы»; А – вектор параметров.


Математическая модель (1.3) называется эмпирической (ЭМП), если основная информация для ее построения – результаты наблюдений моделируемого процесса или наблюдений за процессами – аналогами моделируемого, и теоретической (ТМП), если существенно используются знания соответствующей теории.

Задание. Рассмотреть примеры построения эмпирических моделей процессов методом наименьших квадратов (МНК) (Задачи приведены в задании к вопросу экзамена 1-3-2 в МОДУЛ).

Справочно: Смотри глоссарий (Приложение 2) пп. 1.2, 1.15, 1.26, 1.27, 1.28.


Тема 1.2. Комплекс моделей годового и стратегического планирования фирмы на основе производственных функций

1.2.1. Производственные функции

Производственная функция (также функция производства) – экономико-математическая количественная зависимость между величинами выпуска (количество продукции) и факторами производства, такими как затраты ресурсов, уровень технологий12.

Производственная функция является примером моделей процессов (часто это теоретическая модель процесса производства товаров и/или услуг). Рассматривается годовое количество произведенной фирмой продукции в стоимостной или натуральной форме. Факторами производства выступают объемы потребленных фирмой ресурсов (в стоимостном или в натуральном измерении). Главными ресурсами выступают потребленные за год количества труда и капитала13.

Определение. Функция называется производственной, если выполнены следующие ее свойства:

1. Нулевой выпуск в отсутствии одного или нескольких ресурсов.

2. Неотрицательная производительность факторов .

3. Убывающая эффективность факторов .

4. Линейная однородность или постоянная отдача от масштаба .

Примеры производственных функций:

1. Классическая производственная функция Кобба-Дугласа ( – амортизация капитала фирмы, – фонд заработной платы за рассматриваемый период времени):

, (1.4)

где – параметры функции, индивидуальные для фирмы ( ).

2. Обобщенная функция Кобба-Дугласа:

. (1.5)

3. Линейная производственная функция:

. (1.6)

4. Производственная функция с нулевой эластичностью замещения ресурсов:


. (1.7)

Задание 1 к вопросу 1.2.1. В записанных функциях (1.4) – (1.7) укажите аргументы и параметры, поясните их экономический смысл и размерности.

Задание 2 к вопросу 1.2.1. Покажите, что функции (1.4) – (1.7) удовлетворяют определению производственных функций.

Справочно: Смотри глоссарий (Приложение 2) пп. 1.9, 1.16, 1.19, 1.24.

1.2.2. Задача оптимального среднесрочного плана развития производства

С использованием производственной функции рассмотрим задачу выбора оптимального соотношения запасов ресурсов. Эту задачу можно интерпретировать как задачу среднесрочного планирования развития фирмы.

Пусть для некоторой фирмы известна производственная функция, ее товарная, ресурсная и технологическая политика стабильна, а спрос на продукцию неограничен. Пусть также в среднесрочной перспективе заданы границы интервалов возможного изменения каждого из существенных производственных ресурсов: . Тогда можно найти оптимальные значения ресурсного обеспечения производства решение следующей задачи. Найти из условий:

; (1.8)

. (1.9)

В задаче (1.8) – (1.9) – оптимальная годовая прибыль производственной деятельности фирмы с учетом налога, равного 6% от выручки; – цена ресурса i (для ресурсов производства, учитываемых в стоимостном измерении, их цена принимается равной единице).

Можно показать (с учетом свойств производственной функции), что задача (1.8) – (1.9) относится к классу задач выпуклого программирования и ее решение можно получить в среде Excel.

1.2.3. Методы исполнения решений на различных этапах цикла принятия решений на примере задачи распределения ресурсов

На практике Центры принятия и реализации решений не являются идеально организованными и хорошо информированными. Тогда ожидаемые результаты не совпадают с реальными, особенно в ситуациях при больших по времени периодов реализации решений. Возникает необходимость совершенствования методических, математических и инструментальных методов принятия и реализации решений.

Выделим следующие этапы цикла принятия и реализации решений:

1. Сбор исходных данных и анализ экономической проблемы.

2. Обоснование оптимального решения и его принятие.

3. Реализация решения.

4. Оценка полученного результата и при необходимости внесение изменений в регламентные процедуры.

Характерным примером для данной темы является проблема распределения ограниченного ресурса. Она возникает в бюджетной сфере государственного и муниципального управления, производственных системах (корпорациях), при организации коллективных действий в социологии и политике и др.

Пусть Центр располагает ограниченным ресурсом в объеме и ставит задачу его распределения по исполнителям так, чтобы суммарная эффективность использования ресурса была максимальной. Обозначим объем ресурса, выделяемого исполнителю i (i=1,…,n). Будем считать, что вклад исполнителя i в суммарную эффективность зависит от объема выделенного ресурса и определяется выражением: , где – коэффициент, истинное значение которого Центр оценивает с погрешностью.


В предположении, что Центр идеально информирован, найдем оптимальное распределение решением следующей задачи:

; (1.10)

. (1.11)

Упражнение. Доказать, что в рассматриваемой формализации задачи при оптимальном решении Центр распределяет весь объем наличного ресурса и балансное ограничение (1.11) выполняется как равенство:

Решение задачи (1.10) – (1.11) найдем с использованием метода множителей Лагранжа (см. ссылку: https://ru.wikipedia.org/wiki/Метод_множителей_Лагранжа). Ограничение пока не рассматриваем. Запишем функцию Лагранжа:

. (1.12)

Составим систему из (n+1) уравнений, приравняв к нулю частные производные функции Лагранжа по и по : .

Найдем решение первых n уравнений записанной системы в зависимости от :

. (1.13)

Рассматриваем последнее уравнение системы с учетом выражения (2.13):

. (1.14)

Из выражений (1.13) и (1.14) имеем:

. (1.15)

В рассматриваемом случае найденное решение системы (n+1) уравнений удовлетворяет ограничению и является оптимальным распределением ресурсов в задаче (1.10) – (1.11), поскольку она относится к классу задач выпуклого программирования.

Рассмотрим порядок использования полученных расчетов на практике контроля процессов принятия и реализации решений, которое можно провести только после завершения цикла (после полной или частичной реализации решения). Для этого предлагается использовать расчетные и фактические значения эффективностей распределения и использования ресурсов. Профессиональное расследование эффективностей проводится с использованием методов экономической безопасности.

Оптимальное распределение ресурса согласно (1.15) зависит от коэффициента : . Если при распределении ресурсов (не важна причина) использовались оценки (в общем случае ) то рассчитанные с использованием выражения (1.15), уровни эффективности отличаются от истинных значений (которые аналитику следует восстановить). Согласно этапу п.4 цикла принятия и реализации решений необходимо внести изменения в соответствующие регламенты, учитывая возможные причины отклонений: либо искажение информации, либо ошибки формализации проблемной ситуации, либо погрешности вычислений, либо объективное изменение условий принятия и реализации решений.

Справочно: Смотри глоссарий (Приложение 2) п. 1.29.


Тема 1.3. Математические модели поддержки принятия решений в условиях риска и неопределенности.

1.3.1. Принципы обоснования решений в условиях риска и неопределенности.

Рассматриваем методы обоснования оптимальных решений с использованием математической модели (1.2). Если относительно значений параметра w информация ЛПР будет полной к моменту реализации решений (но не к моменту обоснования оптимального решения задачи), то ЛПР может найти решающую функцию :

. (1.16)

Рассмотрим случай, когда к моменту реализации решений ЛПР не знает вектор параметров w. В литературе рассматриваются два основных подхода к постановке математических задач поиска оптимального решения для модели ЛПР в форме (1.2):

  • принципы принятия решений при неопределенности, например, принцип гарантированного результата;

  • принцип осреднения.

Принцип гарантированного результата (критерии Вальда) предполагает выбор решением следующей задачи:

. (1.17)

В данном случае ЛПР отыскивает наилучшее решение для наихудших для себя значений w. Заметим, что справедлива оценка

, где .

Другие подходы к обоснованию оптимальных решений в условиях неопределенности представлены в методических материалах индивидуальных заданий.

Рассмотрим принцип осреднения, т.е. обоснование решений при риске. Предположим, что в (1.2) w подчиняется распределению с известной плотностью , тогда принцип осреднения предлагает выбор с использованием следующей целевой функции:

, (1.18)

где Mw – оператор математического ожидания.

Далее задача нахождения сводится к (1.1) с целевой функцией (1.18).

Упражнение. Рассмотреть принципы обоснования решений Байеса-Лапласа, Сэвиджа, Гурвица для непрерывной модели и записать математические задачи поиска оптимальных решений, аналогичные задаче (1.17).

Справочно: Смотри глоссарий (Приложение 2) п. 2.4.



1.3.2. Портфельный анализ: модель Марковица.

Портфельная теория Марковица (англ. mean-variance analysis) – подход, основанный на анализе ожидаемых средних значений и вариаций случайных величин) – разработанная Гарри Марковицем методика формирования инвестиционного портфеля, направленная на оптимальный выбор совокупности активов, исходя из требуемого соотношения доходность/риск. Сформулированные им в 1950-х годах идеи составляют основу современной портфельной теории14.

Можно рассмотреть два различных подхода к формированию портфеля.

Первый связан с выбором активов, доходность которых стабильна, но существует не нулевая вероятность потери активов. Тогда цель портфельного анализа состоит в определении оптимального набора активов, при котором риски потерь являются минимальными. Данная стратегия портфельного анализа выражена рекомендацией: «не храните яйца (деньги) в одной корзине (в одном банке, одном активе)».

Второй подход, для которого применима теория Марковица, состоит в выборе совокупности компенсационных активов. Считается, что доходность активов является случайной величиной, но вероятности их полных потерь нулевые. Тогда цель портфельного анализа состоит в выборе совокупности активов, которая обеспечит высокую среднюю доходность (критерий 1) и минимальное отклонение уровня дохода от этого среднего (критерий 2 – риск должен быть минимальным). Снижение риска достигается использованием компенсационных активов, коэффициент корреляции доходностей которых является отрицательным. Модель Марковица позволяет выбрать оптимальный набор компенсационных активов с высокой средней доходностью.

При записи модели используются свойства математического ожидания и формула математического ожидания суммы случайных величин. Пусть для формирования оптимального портфеля выбраны n активов, доходность которых на период инвестирования – случайные величины с математическими ожиданиями и дисперсиями . Пусть – доли использования каждого актива в формируемом портфеле, которые удовлетворяют условиям:

. (1.19)

Тогда доходность портфеля на периоде инвестирования – случайная величина, которая зависит от доходности активов и определяется по следующей формуле:

. (1.20)

Найдем математическое ожидание (среднее значение) доходности :

.

Формулу для средней доходности портфеля можно записать в более наглядном виде:

. (1.21)

Из формулы (1.21) следует, что средняя доходность формируемого портфеля определяется средними доходностями активов и долями их включения в портфель.

Найдем выражение для дисперсии доходности портфеля :

.

Откуда получаем формулу для дисперсии портфеля в матричной записи:

. (1.22)

Здесь вектор – доли активов размерностью (1 × n); – вектор столбец долей активов размерностью (n × 1); – ковариационная матрица активов, которая отражает взаимозависимость доходностей выбранных активов, размерностью (n × n).