Файл: Силяков В.А., Красюк В.Н. - Системы авиационной радиосвязи - 2004.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 20.10.2020
Просмотров: 5042
Скачиваний: 108
46
вые замирания, эффект Доплера и др.) и на вход приемного устройства
поступает вместе с помехой
n
(
t
). Под помехой можно понимать соб-
ственный шум приемного устройства и сигналы от мешающих источ-
ников.
В достаточно общем виде задачу фильтрации можно сформулиро-
вать следующим образом [14]. Пусть наблюдению доступен случайный
процесс
( )
ξ
t
, являющийся детерминированной функцией от полезно-
го сигнала
s
(
t
,
λλλλλ
(
t
)) и помехи
n
(
t
)
[
]
ξ( )
( , ( )); ( ) .
t
F s t
t
n t
=
λ
(3.6)
Наблюдаемый случайный процесс
( )
ξ
t
трактуется как принимаемое
колебание, случайный процесс
λλλλλ
(
t
) (изменяющиеся во времени "пара-
метры") – как полезное (информационное) сообщение и сопутствую-
щие параметры.
Предполагается, что известны следующие априорные сведения от-
носительно
( )
ξ
t
: вид функции
F
(·); вероятностные характеристики слу-
чайного процесса
λλλλλ
(
t
) и помехи
n
(
t
). Используя априорные сведения и
располагая доступной непосредственному наблюдению реализацией
случайного процесса
( )
ξ
t
, необходимо для каждого значения
λλλλλ
(
t
) сформи-
ровать оценку
λλλλλ
∗
(
t
), наилучшую в смысле выбранного критерия, напри-
мер, оценку по максимуму апостериорной плотности вероятности (АПВ),
оценку, оптимальную по минимуму среднего квадрата ошибки и др.
Предположим сначала, что
λ
λ
λ
λ
λ
(
t
) – одномерный случай процесс. Вве-
дем обозначение
0
ξ
t
для реализации
( )
ξ
t
, заданной на интервале [0,
t
].
Пусть
λ
∗
(
t
) некоторая оценка сообщения
λ
(
t
), построенная для момента
времени
t
.
Оценка является случайной величиной в силу случайного характера
самого сообщения и наличия в принимаемой смеси
( )
ξ
t
помехи
n
(
t
).
При рассмотрении в качестве критерия точности используем критерий
минимума средней квадратической ошибки
( )
{
}
{
}
*
2
2
*
1
min
λ
ε ( )
λ( ) λ ( )
,
t
t
M
t
t
=
−
(3.7)
47
где
M
1
( )
⋅
– оператор математического ожидания.
Вероятностное осреднение здесь нужно производить по совместно-
му распределению
0
λ
t
и
0
ξ
t
, Выражение (3.7) можно переписать в виде
{
}
(
)
*
2
2
*
min
λ
ξ λ
ε ( )
λ λ
(λ, ξ) λ ξ,
t
p
d
d
=
−
∫ ∫
(3.8)
где
( )
λ, ξ
p
– совместная плотность вероятности
λ
(
t
) и
0
ξ
t
. Поскольку
( )
λ, ξ
p
=
(
)
λ,/ ξ
p
·
( )
ξ
p
, то можно записать
{
}
(
)
*
2
2
*
min
λ
ξ λ
ε ( )
λ λ
(λ / ξ) λ
(ξ) ξ.
t
p
d
p
d
=
−
∫ ∫
(3.9)
Для обеспечения минимального значения среднего квадрата ошибки
при каждом наблюдении необходимо минимизировать внутренний ин-
теграл
(
)
( )
2
*
λ
λ λ
λ /ξ
λ.
J
p
d
=
−
∫
Из условия минимума
d J
/
d
λ
*
= 0 имеем
*
1
λ
λ ( )
λ (λ /ξ) λ
(λ /ξ).
t
p
d
M
=
=
∫
(3.10)
Таким образом, оценкой, оптимальной по критерию минимума
среднего квадрата ошибки, является условное (апостериорное) мате-
матическое ожидание
( )
1
λ/ξ
M
. В дальнейшем эту оценку будем обо-
значать
ˆ
λ( )
t
.
Значение минимума среднего квадрата ошибки равно
2
ξ
ε ( )
(ξ) ξ,
t
R p
d
=
∫
(3.11)
где
{ }
( )
2
ˆ
min
λ
λ
ˆ
λ λ
(λ /ξ) λ,
R
J
p
d
=
=
−
∫
(3.12)
48
– дисперсия апостериорной плотности вероятности, характеризую-
щая ошибку оценивания сообщения
λ
(
t
).
Априорные сведения о вероятностных характеристиках сообщения
λ
(
t
) и помехи
n
(
t
) могут задаваться в разной форме (Прил. 1): в виде
многомерных плотностей вероятностей или в виде стохастических диф-
ференциальных уравнений с заданными начальными условиями, напри-
мер, уравнениями вида [6, 14, 15]
λ
0
λ( )
( ,
λ)
( ), λ( 0) λ ,
d
t
g t
n t
t
dt
=
+
= =
(3.13)
где
g
(
t
,
λ
) – детерминированная функция аргументов,
n
λ
(
t
) – белый гаус-
совский шум (БГШ), из которого формируется сообщение (формирую-
щий шум сообщения) с характеристиками
( )
1
λ
0
M
n
t
=
,
[
]
(
)
λ
1
λ 1
λ 2
1
2
( )
( )
δ
2
N
M n t
n t
t
t
=
−
,
(3.14)
где
N
λ
– односторонняя спектральная плотность белого шума;
( )
δ
x
–
дельта-функция Дирака.
Случайные процессы, описываемые стохастическими уравнениями
такого вида, являются марковскими (Прил. 1). Априорные плотности
вероятности
( ,
λ)
p t
этих процессов определяются известными уравне-
ниями в частных производных [13–15]
[
]
( ,
λ)
( ,
λ) ,
p t
L p t
t
∂
=
∂
0
(0,
λ)
(λ )
p
p
=
,
(3.15)
где
L
[·] – оператор Фоккера–Планка–Колмогорова, который для скаляр-
ного уравнения сообщения (3.13) имеет вид
[
]
[
]
[
]
2
2
λ
(t,
λ) (t, λ)
( , λ)
1
( ,
λ)
.
4
λ
g
p
p t
L p t
N
∂
∂
= −
+
∂
∂
λ
(3.16)
Уравнения (3.13) и (3.15) по существу являются эквивалентны-
ми способами описания априорных вероятностных сведений о не-
прерывных информационных параметрах
λ
(
t
). Априорные сведе-
ния о сопутствующих параметрах могут быть заданы в виде
аналогичных уравнений.
49
В общем случае априорные сведения о наблюдениях и сообщениях
задаются векторными уравнениями. Пусть внутриприемные шумы и
полезные сигналы образуют аддитивную смесь. Тогда уравнение на-
блюдения и априорные сведения о вероятностных характеристиках со-
общения можно задать в следующем виде:
( )
( ,
( ))
( ),
t
t
t
t
=
+
ξ
s
λ
n
(3.17)
λ
( )
( , )
( )
d
t
t
t
dt
=
+
λ
g
λ n
.
(3.18)
Здесь
( )
t
ξ
– вектор-столбец наблюдений размерности
(
)
( )
(
)
М 1 ;
,
t
t
×
s
λ
–
сигнал, являющийся векторной функцией – столбцом размерности
(
)
М 1
×
,
непрерывный по всем аргументам;
n
(
t
) – вектор-столбец гауссовых бе-
лых шумов размерности
(
)
М 1
×
с нулевым вектором математических
ожиданий и матрицей ковариационных функций
{
}
т
1
1
2
1
2
( )
( )
δ(
).
M
t
t
t
t
⋅
=
−
n
n
N
(3.19)
Матрица
{
}
2
mn
N
=
N
,
(
)
,
1...
m n
M
=
, является симметрической, ее
элементами являются деленные на два односторонние спектральные ин-
тенсивности компонент, включая и взаимные спектральные интенсив-
ности;
( , ( ))
t
t
g
λ
– векторная функция-столбец размерности
(
)
1
P
×
, не-
прерывная по своим аргументам;
λ
( )
t
n
– вектор-столбец белых гауссовых
шумов с нулевыми средними и матрицей корреляционных функций
{
}
т
1
λ 1
λ 2
λ
1
2
( )
( )
δ(
).
M
t
t
t
t
⋅
=
−
n
n
N
(3.20)
Вектор-столбец гауссовых белых шумов
λ
( )
t
n
, из которых формиру-
ется вектор-столбец сообщений
( )
t
λ
, как и в случае (3.13) принято
называть формирующим шумом, а устройства, описываемые уравнени-
ями (3.13) и (3.18), – формирующими фильтрами сообщения.
При
P
-компонентном сообщении
( )
t
λ
оптимальная оценка
( )
ˆ t
λ
(апостериорное математическое ожидание) доставляет минимум сред-
50
нему квадрату ошибки каждой из компонент, т. е. обеспечивает мини-
мум выражения
(
) (
)
Т
2
ˆ
1
min
ˆ
ˆ
ε ( )
( )
( )
( )
( )
,
t
M
t
t
t
t
=
−
−
λ
λ
λ
С
λ
λ
(3.21)
где
С
= diag[c
1
, c
2
, …, c
р
, ..., c
Р
] – диагональная матрица коэффициен-
тов, причем
const
0
p
c
=
>
, (
p
= 1, 2, ...,
P
). Выражение (3.21) принято
называть обобщенной дисперсией. В данном случае вместо (3.9) можно
записать
( ) ( )
1
Т
2
ˆ
min
ξ
λ
λ
ˆ
ˆ
ε ( )
( / )
( ) .
P
t
p
p
=
−
−
∫ ∫ ∫
λ
λ λ
С
λ λ
λ ξ d λ
ξ dξ
…
(3.22)
где
( )
( ) ( )
,
p
p
p
=
λ ξ
λ ξ
ξ
,
1
2
λ λ ... λ
P
d
d
d
=
d
λ
,
1
2
ξ
ξ ... ξ
M
d
d
d
=
d
ξ
.
Из условия минимума (3.22) отыскиваются оптимальные оценки, кото-
рые выражаются формулой
1
1
λ
λ
ˆ
( / )
( / ),
P
p
M
=
=
∫ ∫
λ
λ
λ ξ d λ
λ ξ
…
(3.23)
где
λ
и
ˆ
λ
имеют размерность
(
)
1
P
×
.
Корреляционная матрица апостериорных ошибок определяется со-
отношением
( )( )
т
λ λ
λ
ˆ
ˆ
( / )
,
p
=
−
−
∫
R
λ λ λ λ
λ ξ d λ
(3.24)
частным случаем из нее следует (3.12).
Таким образом, располагая априорными сведениями и доступной
непосредственному наблюдению реализацией принятого случайного
колебания
( )
t
ξ
на интервале [0,
T
] нужно для любого значения
t
из это-
го интервала получить оптимальную (в смысле выбранного критерия)
текущую оценку сообщения
( )
ˆ t
λ
.
Исчерпывающее вероятностное описание информационного парамет-
ра
( )
t
λ
для любого фиксированного
[ ]
0,
t
T
∈
дается его апостериор-