Файл: Силяков В.А., Красюк В.Н. - Системы авиационной радиосвязи - 2004.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 20.10.2020
Просмотров: 5051
Скачиваний: 108
51
ной плотностью распределения вероятностей (АПВ)
( , )
( ( ) /
).
p t
p
t
=
t
0
λ
λ
ξ
Аналитическое выражение для
( , )
p t
λ
позволяет получить оценку по
любому критерию оптимальности, например, по минимуму среднего
квадрата ошибки, по максимуму апостериорной плотности вероятнос-
ти. Отыскание АПВ удобно провести сначала для случая, когда приня-
тое колебание
( )
t
ξ
и сообщение
( )
t
λ
заданы в дискретном времени и
далее применить полученные результаты к наблюдению в непрерывном
времени.
3.3. Апостериорная плотность распределения
вероятностей сообщения при наблюдении
в дискретном времени
Процесс
( )
t
ξ
поступает на вход приемного устройства непрерывно,
поэтому при замене
( )
t
ξ
на значения отчетов
( )
t
ν
ν
=
ξ
ξ
необходимо
учитывать интегральный эффект за время дискретизации
∆
. Коррект-
ное в физическом и математическом смыслах рассмотрение [14] требует
оперировать не с мгновенными отсчетами входящих в уравнение (3.17)
процессов, а с их интегральными преобразованиями за время
(
)
1
t
t
ν
ν
−
∆ =
−
:
1
1
1
1
1
1
( )
; ( ,
)
( , )
;
( )
.
t
t
t
t
t
t
t dt
t
t
dt
t dt
−
−
−
=
=
=
∆
∆
∆
∫
∫
∫
ξ
ξ
s
λ
s
λ
n
n
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
(3.25)
Переход от уравнения (3.18) к разностному уравнению наиболее про-
сто осуществляется в случае линейного стохастического уравнения [14].
При дискретном наблюдении аналогами уравнений (3.17) и (3.18)
будут разностные уравнения (размерности соответствующих векторных
величин будем считать такими же, как и в соотношениях (3.17) и (3.18)):
( ,
)
,
t
ν
ν
ν
ν
=
+
ξ
s
λ
n
(3.26)
1
λ
( ,
)
.
t
ν
ν
ν
ν
−
=
+
λ
g
λ
n
(3.27)
Здесь
( )
t
ν
ν
=
ξ
ξ
,
( )
t
ν
ν
=
λ
λ
,
( )
t
ν
ν
=
n
n
,
( )
λ
λ
t
ν
ν
=
n
n
;
ν
n
и
λ
ν
n
–
дискретные БГШ, представляющие собой последовательность незави-
52
симых гауссовых векторных случайных величин (СВ), имеющих нуле-
вые математические ожидания и матрицы корреляционных моментов
Т
1
N
M
ν
ν ν
=
n n
(размерности
(
)
M
M
×
и
Т
λ
1
λ
λ
N
M
ν
ν
ν
=
⋅
n
n
, (раз-
мерности
(
) )
P P
×
, соответственно.
Вначале рассмотрим случай, когда принятое колебание и сообщение
являются скалярными (при значениях
M
= 1,
P
= 1).
Для вывода АПВ воспользуемся формулой Байеса, учитывая, что из-
вестны априорные сведения о сообщении, заданные разностным урав-
нением (3.27) и значения
ξ
0
,
ξ
1
, ... полученного колебания. Обозначим
последовательность наблюдений
ξ
0
,
ξ
1
...
ξ
ν
=
ν
1
ξ
.
Допустим, что АПВ
(
)
ν–1
ν–1
1
λ
/ ξ
p
для момента времени
t
ν
–1
найдена
(в соответствии с принятым обозначением
ν–1
1
0
1
ν–1
ξ
ξ , ξ , ..., ξ
=
). Най-
дем апостериорную плотность вероятности
(
)
ν
ν
1
λ / ξ
p
для следующего
момента времени
t
ν
.
На основании правил умножения вероятностей для условной плот-
ности вероятности
(
)
ν–1
ν
ν
1
λ , ξ / ξ
p
можем записать выражение
ν 1
ν 1
ν 1
ν
1
ν
1
ν
1
ν
ν 1
ν 1
ν
1
ν
1
ν
(
λ , ξ / ξ )
(λ / ξ ) (ξ / ξ , λ )
(
ξ / ξ ) (λ / ξ , ξ ).
p
p
p
p
p
−
−
−
−
−
=
=
=
ν
(3.28)
В выражении (3.26) сигнал
(
)
ν
ν
,
λ
s t
, как предполагалось ранее, яв-
ляется детерминированной функцией своих аргументов, а
n
ν
(
ν
= 0, 1,
2, ...) – последовательность независимых случайных величин. Величина
ν
ξ
при фиксированном
ν
λ
зависит только от
n
ν
и не зависит от преды-
дущих значений дискретного шума. Поэтому справедливо соотношение
ν 1
ν
1
ν
ν
ν
(
ξ / ξ , λ )
(ξ / λ ).
p
p
−
=
(3.29)
Поскольку последовательность СВ
ν 1
ν
1
ν
1
{
ξ , ξ } ξ ,
−
=
то можно записать
ν 1
ν
ν
1
ν
ν
1
(
λ / ξ , ξ )
(λ / ξ )
p
p
−
=
.
(3.30)
53
Исходя из (3.28) и учитывая (3.29) и (3.30) получим следующее, ин-
тересующее нас выражение для формулы Байеса
ν 1
ν
ν
1
ν
ν
ν
1
ν 1
ν
1
(
λ / ξ ) (ξ / λ )
(
λ / ξ )
(
ξ / ξ ).
p
p
p
p
−
−
=
.
(3.31)
Плотность вероятности
1
ν
1
(
ξ /ξ )
p
ν
−
не зависит от сообщения
ν
λ
,
поэтому ее можно учесть в нормировочной постоянной и обозначив
1
ν 1
1
(
ξ / ξ )
,
c
p
ν
−
−
=
представить АПВ в виде
ν
1
ν
1
ν
1
ν
ν
(
λ / ξ )
(λ / ξ ) (ξ / λ )
p
c p
p
ν
−
=
.
(3.32)
Условную плотность вероятности
ν
ν
(
ξ / λ )
p
, входящую в (3.32), мож-
но найти из уравнения наблюдения (3.26), а условная плотность веро-
ятности
ν 1
ν
1
(
λ /
)
p
−
ξ
определяется формулой
ν 1
ν 1
ν
1
ν 1
1
ν 1
ν 1
(
λ / ξ )
(λ
/ ξ ) (λ / λ ) λ .
p
p
p
d
∞
−
−
−
−
−
−∞
=
∫
ν
(3.33)
Действительно, на основании условия согласованности плотностей
вероятностей и правила умножения вероятностей имеем
ν 1
ν 1
ν
1
ν 1
ν
1
ν 1
ν 1
ν 1
ν
1
ν
ν 1 1
ν 1
1
(
λ /ξ )
(λ , λ / ξ ) λ
(
λ
/ξ ) (λ / λ , ξ ) λ .
p
p
d
p
p
d
∞
−
−
−
−
−∞
∞
−
−
−
−
−
−∞
=
=
=
∫
∫
(3.34)
Учитывая, что при известном
ν–1
λ
значение
ν–1
1
ξ
не изменяет сведе-
ний о
ν
λ
, получим, что
ν 1
ν
ν 1 1
ν
ν 1
(
λ / λ , ξ )
(λ / λ ).
p
p
−
−
−
=
(3.35)
Входящая в правую часть равенства (3.33) апостериорная плотность
вероятности
ν 1
ν 1
1
(
λ
/ξ )
p
−
−
по предположению считалась известной, а
54
условная плотность
ν
ν 1
(
λ / λ )
p
−
может быть найдена из уравнения со-
общения (3.27). При известном априорном распределении
( )
0
λ
p
фор-
мулы (3.32) и (3.33) обеспечивают рекуррентное вычисление апостери-
орной плотности вероятности фильтруемого сообщения
λ
.
Вычисленное с использованием АПВ по формуле (3.10) условное
математическое ожидание определяет алгоритм формирования оценки
ˆ
λ( )
t
, оптимальной по критерию минимума среднеквадратической ошиб-
ки фильтрации сообщения, а апостериорная дисперсия (3.12) определя-
ет точность фильтрации в дискретном времени.
Рассмотренный подход позволяет легко обобщить результаты на слу-
чай векторных уравнений наблюдений и сообщений, описываемых со-
отношениями (3.26) и (3.27). При этом аналогами формул (3.32) и (3.33)
являются
ν
ν 1
ν
1
ν
1
ν
ν
(
/
)
(
/
) (
/
),
p
c p
p
−
= ⋅
λ
ξ
λ
ξ
ξ
λ
(3.36)
ν 1
ν 1
ν
1
ν 1
1
ν
ν 1
ν 1
(
/
)
(
/
) (
/
)
,
p
p
p
−
−
−
−
−
=
∫
λ
ξ
λ
ξ
λ
λ
d λ
(3.37)
которые используются совместно с (3.23) и (3.24) для вычисления век-
тора оценок
ˆ
λ
и корреляционной матрицы
λ λ
R
апостериорных ошибок
оценивания. Здесь обозначено
1
2
λ λ , ..., λ
P
d
d
d
=
d
λ
.
Приведенные соотношения в принципе полностью решают задачу как
линейной, так и нелинейной фильтрации в дискретном времени [14].
3.4. Апостериорная плотность распределения
вероятностей сообщения при наблюдении
в непрерывном времени
Рассмотрим общий алгоритм решения задачи фильтрации при на-
блюдении в непрерывном времени. Полагаем, что уравнение наблюде-
ния и уравнение сообщения определяются выражениями (3.17) и (3.18).
Случайный процесс
( )
t
λ
размерности (
P
1), описываемый урав-
нением (3.18), является диффузионным марковским процессом. Плот-
ность вероятности такого процесса определяется уравнением Фоккера–
Планка–Колмогорова [14,15], которое можно записать следующим
образом:
55
[
]
( , )
( , )
p t
L p t
t
∂
=
∂
λ
λ
,
(3.38)
где
L
[·] – означает оператор Фоккера–Планка–Колмогорова, соответству-
ющий уравнению сообщения (3.18), который при условии, что
( )
( )
λ
λ
N
,
N
t
t
=
λ
, имеет вид
[
]
1
2
λ
1
1
( , )
( , ) ( , )
λ
1
N
( , ) .
2
λ
λ
P
p
p
p
P
P
pq
p
q
p
q
L p t
g
t
p t
p t
=
=
=
∂
= −
+
∂
∂
+
∂
∂
∑
∑ ∑
λ
λ
λ
λ
(3.39)
Отметим, что если матрица
( )
( )
λ
λ
,
t
t
=
N
N
λ
зависит от
λλλλλ
, то в об-
щем случае в операторе Фоккера–Планка–Колмогорова
[
]
( , )
L p t
λ
вме-
сто вектора
( )
,
t
g
λ
из уравнения (3.18) используется коэффициент сно-
са
( )
,
t
a
λ
[Прил. 1].
Уравнение для АПВ можно получить, используя результаты, приве-
денные для фильтрации в дискретном времени, исходя из уравнений
(3.36) и (3.37). Перепишем формулу (3.36), вводя в явном виде зависи-
мость от времени [14]
ν
ν 1
ν 1
1
ν 1
1
ν
(
,
/
)
(
,
/
) (
/ )
p t
c p t
p
−
−
−
+ ∆
= ⋅
+ ∆
λ ξ
λ ξ
ξ
λ
.
(3.40)
Рассмотрим сомножители в правой части (3.40). Преобразуем выра-
жение для распределения
ν
(
ξ / )
p
λ
. Поскольку
ν
n
в (3.26) – нормально
распределенная M-мерная векторная случайная величина с нулевым
вектором средних и матрицей корреляционных моментов
N
/
∆
, то с уче-
том (3.26) и выражения для многомерной нормальной плотности имеем:
( )
[
]
[
]
{
}
ν
/ 2
1/ 2
T
1
ν
ν
1
ν
1
(
ξ / )
2
π
1
exp
( , )
( , )
2
exp
( , )
,
M
p
t
t
c
F t
−
ν
ν
=
⋅
∆
⋅
−
−
−
∆ =
= ⋅
∆
λ
N
ξ
s
λ
N ξ
s
λ
λ
(3.41)