Файл: Силяков В.А., Красюк В.Н. - Системы авиационной радиосвязи - 2004.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 20.10.2020
Просмотров: 5053
Скачиваний: 108
56
где для сокращения дальнейшей записи через «
c
1
» обозначен нормиру-
ющий множитель, а для квадратичной формы в показателе экспоненты
введено обозначение
[
]
[
]
T
1
ν
ν
ν
ν
1
( , )
ξ
( , )
ξ
( , ) .
2
F t
t
t
ν
−
= −
−
−
λ
s
λ
N
s
λ
(3.42)
Считая интервал временной дискретизации
∆
малой величиной и
используя приближенное равенство
exp ( )
(1
),
x
x
≈ +
справедливое для
малых «x», представим выражение для
ν
(
ξ / )
p
λ
в виде
[
]
ν
1
ν
(
ξ / )
1
( , )
p
c
F t
=
+
∆ +
λ
λ
…
.
(3.43)
Сомножитель
ν 1
ν 1
1
(
,
/
ξ )
p t
−
−
+ ∆
λ
в правой части (3.40) можно рас-
сматривать как экстраполированную плотность вероятности сообще-
ния
(
)
–1
t
ν
+ ∆
λ
при условии наблюдения
ν–1
1
ξ
до момента времени
–1
t
ν
.
Поскольку наблюдения на интервале [
–1
t
ν
,
t
ν
] отсутствуют, то все дос-
тупные сведения о характере изменения плотности вероятности на дан-
ном интервале заключены в априорном дифференциальном уравнении
сообщения (3.27). Следовательно,
(
)
ν–1
1
, /
ξ
p t
λ
на интервале
[
]
ν–1 ν
,
t
t
удовлетворяет априорному уравнению (3.38) с начальным условием
ν 1
ν–1
1
(
, /
)
p t
−
λ ξ
для начала этого интервала. Для малых значений
∆
мож-
но, следовательно, записать
(
)
ν 1
ν 1
ν 1
ν 1
1
ν 1
1
ν 1
1
1
(
,
/
)
(
,
/
)
(
,
/
)
p t
p t
L p t
−
−
−
−
−
−
+ ∆
−
≈
∆
λ ξ
λ ξ
λ ξ
,
откуда
ν 1
ν 1
ν 1
ν 1
1
ν 1
1
ν 1
1
(
,
/
)
(
,
/
)
(
,
/
)
.
p t
p t
L p t
−
−
−
−
−
−
+ ∆
≈
+
⋅ ∆
λ ξ
λ ξ
λ ξ
(3.44)
Подстановка выражений (3.43) и (3.44) в (3.40) и учет только членов
порядка
∆
позволяет записать выражение вида
{
}
ν
ν 1
ν 1
1
2
ν 1
1
1
ν 1
1
1
ν 1
1
ν
(
,
/
)
(
,
/
)
(
,
/
)
(
,
/
) ( ,
)
p t
c
p t
L p t
p t
F t
−
−
−
−
−
−
−
+ ∆
=
+
+
∆ +
⋅ ∆
λ ξ
λ ξ
λ ξ
λ ξ
λ
ν
ν
.
(3.45)
57
Для отыскания
с
2
проинтегрируем обе части (3.45) по всем возмож-
ным значениям
∈
λ Λ
. При интегрировании учтем условие нормиров-
ки для плотностей вероятностей, а также тождество, следующее из диф-
ференцирования по времени условия нормировки
(
)
( , )
,
0.
p t
L p t
t
Λ
Λ
∂
=
≡
∂
∫
∫
λ d λ
λ
d λ
В результате с точностью до членов порядка малости
∆
можно записать
1
1
2
ν
ν 1
1
1
( ,
) (
, /
)
c
F t
p t
d
−
−
−
Λ
= + ∆
≈
∫
λ
λ ξ
λ
ν
(
)
(
)
–1
1
1
,
, /
ξ
.
F t
p t
Λ
≈ − ∆
∫
λ
λ
dλ
ν
ν
ν
(3.46)
Подставим (3.46) в (3.45) и перегруппируем члены. Тогда получим
ν
ν 1
ν 1
ν 1
1
ν 1
1
ν 1
1
1
1
ν
ν
ν 1
1
1
1
(
, /
)
(
, /
)
(
, /
)
( , )
( , ) (
, /
)
(
, /
) .
p t
p t
L p t
F t
F t
p t
p t
ν
ν
ν
−
−
−
−
−
−
−
−
−
Λ
+ ∆
−
=
∆ +
+
−
∆
∫
λ ξ
λ ξ
λ ξ
λ
λ
λ ξ
d λ
λ ξ
(3.47)
Разделим обе части выражения на
∆
и перейдем к пределу при
0,
∆ →
тогда
[
] [
]
( )
( , )
( , )
( , )
( )
,
p t
L p t
F t
F t
p t
t
∂
=
+
−
∂
λ
λ
λ
λ
,
(3.48)
где
0
( , )
( , /
)
t
p t
p t
=
λ
λ ξ
;
[
]
( , )
L p t
λ
– оператор Фоккера–Планка–Кол-
могорова, а функции
( , )
F t
λ
и
F
(
t
) даются выражениями
[
]
[
]
( )
( )
T
1
1
( , )
( )
( , )
( )
( , ) ,
2
( , )
,
.
F t
t
t
t
t
F t
F t
p t
d
−
Λ
= −
−
−
=
∫
λ
ξ
s λ
N ξ
s λ
λ
λ
λ
(3.49)
Начальное и граничные условия для уравнения (3.48) рассмотрены в
Прил. 1.
Интегродифференциальное уравнение (3.48) является частным слу-
чаем уравнения Р. Л. Стратоновича [14]. Из уравнения (3.48) для АПВ
58
видно, что первое слагаемое в правой части учитывает априорные све-
дения об информационном сообщении, а второе слагаемое – результат
наблюдения реализации
0
ξ
t
. При этом первое слагаемое приводит к рас-
ширению АПВ вследствие увеличения неопределенности из-за априор-
но возможных изменений сообщения, а второе – к сужению АПВ, т. е. к
уменьшению неопределенности благодаря содержащейся в
0
ξ
t
инфор-
мации. Апостериорная плотность вероятностей учитывает всю инфор-
мацию о
( )
λ
t
, содержащуюся в наблюдении
( )
ξ
t
на интервале (0,
t
) и
априорных сведениях и позволяет найти оптимальную (в смысле выб-
ранного критерия) оценку сообщения
( )
ˆ t
λ
.
3.5. Уравнения нелинейной фильтрации
Уравнение (3.48) для многих задач решить аналитически не удается.
Исключением является случай линейной фильтрации, когда сообщение
представляет собой гауссовский марковский процесс и полезный сиг-
нал
( )
,
s t
λ
линейно зависит от
( )
t
λ
.
В большинстве случаев задача фильтрации является нелинейной, так
как дифференциальное уравнение, которым описывается сообщение,
может быть нелинейным, либо в уравнении наблюдения полезный сиг-
нал нелинейно зависит от сообщения
( )
t
λ
. Поэтому применяют раз-
личные приближенные способы решения уравнения (3.48) с целью по-
строения алгоритмов фильтрации (Прил. 2).
Наиболее распространенный способ построения квазиоптимальных
(квазилинейных) алгоритмов фильтрации основан на аппроксимации
АПВ нормальной плотностью вероятности
( )
{
}
Т
1
λ
/2
1/ 2
λ
1
1
ˆ
ˆ
( , )
exp
( )
( )
( )
( )
( ) .
2
2
π
( )
P
p t
t
t
t
t
t
t
−
=
−
−
−
λ
λ
λ
R
λ
λ
R
(3.50)
При гауссовском приближении оценка по минимуму СКО совпадает
с оценкой по максимуму апостериорной плотности вероятности
( )
,
p t
λ
.
При данной аппроксимации необходимо оценить вектор средних значе-
ний
ˆ ( )
t
λ
и матрицу
λ
( )
t
R
, которые полностью определяют АПВ. Ал-
59
горитмы, основанные на гауссовском приближении, являются асимпто-
тически оптимальными [14].
Получим уравнения для оценки
ˆ ( )
t
λ
и корреляционной матрицы
ошибок оценивания
R
(
t
), полагая, что сообщение описывается стохас-
тическим дифференциальным уравнением (3.18). Этого достаточно, что-
бы конкретизировать результаты для систем авиационной радиосвязи с
различными классами излучений и определить ошибки фильтрации ана-
логового сообщения.
3.5.1. Одномерные уравнения наблюдения и сообщения
Оценка
ˆ
λ( )
t
процесса
( )
λ
t
по критерию минимума среднего квад-
рата ошибки определяется с использованием
( , )
p t
λ
согласно (3.10) из
выражения
λ
ˆ
λ( )
λ (λ /ξ) λ.
t
p
d
=
∫
Рассмотрим случай, когда уравнения наблюдения и сообщения (3.17)
и (3.18) являются скалярными (
M
= 1,
P
= 1)
( )
( )
λ
λ
,
λ
,
d
g t
n
t
d t
=
+
( ) ( ) ( )
ξ
, λ
t
s t
n t
=
+
.
Уравнение для апостериорной плотности вероятности
0
( ,
λ)
( , λ / ξ )
t
p t
p t
=
,
следующее как частный случай из (3.48), имеет вид [14]
( )
( )
( )
( )
( )
2
λ
2
,
λ
( ,
λ)
1
,
λ ( , λ)
λ
4
λ
,
λ
( )
, λ ,
p t
p t
g t
p t
N
t
t
F t
F t
p t
∂
∂
∂
= −
+
+
∂
∂
∂
+
−
(3.51)
где
λ
∈Λ
, функции
( ,
λ)
F t
и
F
(
t
) определяются исходя из (3.49) выра-
жениями
[
]
[
]
Т
1
1
( ,
λ)
ξ( ) s( , λ) N ξ( ) s( , λ) ,
2
F t
t
t
t
t
−
= −
−
−
60
( )
( )
( ,
λ)
, λ
λ.
F t
F t
p t
d
Λ
=
∫
При построении уравнений фильтрации за исходную
( ,
λ)
p t
прини-
маем следующую из (3.50) одномерную нормальную плотность веро-
ятности
( )
(
)
( )
( )
2
1/ 2
ˆ
λ λ
1
( ,
λ)
exp
.
2
2
π
t
p t
R t
R t
−
=
−
где
( )
ˆ
λ
t
и
R
(
t
) =
R
λ
(
t
)
– математическое ожидание и дисперсия ошибки
оценивания, которые полностью определяют
( ,
λ)
p t
.
Уравнение оценивания.
Умножим обе части уравнения (3.51) на
λ
,
используя в нем в качестве
( ,
λ)
p t
нормальную плотность вероятности
и проинтегрируем по интервалу возможных значений
λ
∈Λ
. Выпол-
нив вычисления (Прил. 2), получим следующее выражение:
ˆ
λ( )
( , λ)
( ,
λ) ( , λ) λ
( , λ) λ,
λ
d
t
F t
g t
p t
d
R
p t
d
dt
Λ
Λ
∂
=
+
∂
∫
∫
(3.52)
где
F
(
t
,
λ
) определяется из (3.49) для скалярного наблюдения
ξ
(
t
).
Уравнение для апостериорной дисперсии
R
.
Уравнение для апос-
териорной дисперсии
R
можно получить исходя из тождества
( )
( )
2
2
( ,
λ)
( , λ)
ˆ
ˆ
λ λ
( , λ) λ
λ λ
λ.
λ
R t
p t
p t
d
d
t
t
Λ
Λ
∂
∂
∂
=
−
=
−
∂
∂
∂
∫
∫
Используя данное выражение и выполнив необходимые преобразо-
вания (Прил. 2) при принятой аппроксимации АПВ получим
2
2
2
ˆ
( ,
λ)
( , λ)
2
( ,
λ) λ
( , λ) λ.
2
λ
λ
g t
F t
dR
N
R
p t
d
R
p t
d
dt
Λ
Λ
∂
∂
=
+
+
∂
∂
∫
∫
(3.53)
Уравнения (3.52) и (3.53) описывают квазиоптимальный алгоритм
фильтрации сообщения и определяют структурную схему устройства