Файл: Силяков В.А., Красюк В.Н. - Системы авиационной радиосвязи - 2004.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 20.10.2020
Просмотров: 5041
Скачиваний: 108
61
фильтрации, так как
ˆ
λ ( )
t
и
R
λ
(
t
) исчерпывающе задают одномерную
нормальную АПВ.
Асимптотические свойства рассмотренного алгоритма фильтрации
отмечены в Прил. 2.
Упрощенные алгоритмы фильтрации
. Алгоритмы (3.52) и (3.53)
можно упростить, если учесть, что гауссовская аппроксимация АПВ
справедлива при большом отношении сигнал/шум в канале [14], кото-
рое обеспечивает малое значение дисперсии
R
λ
(
t
) оценки
ˆ
λ ( )
t
. Разло-
жим функцию
F
(
t
,
λ
) в малой окрестности точки
ˆ
λ ( )
t
в ряд Тейлора и
ограничимся учетом первых трех членов разложения:
2
2
2
ˆ
ˆ
( ,
λ)
( , λ)
1
ˆ
ˆ
ˆ
( ,
λ)
( , λ)
λ ( ) λ( )
λ( ) λ( ) .
ˆ
ˆ
2
λ
λ
F t
F t
F t
F t
t
t
t
t
∂
∂
=
+
−
+
−
∂
∂
(3.54)
Подставим данное разложение в (3.52) и (3.53). Тогда
λ
ˆ
ˆ
λ
( , λ)
( ,
λ) ( , λ) λ
ˆ
λ
d
F t
g t
p t
d
R
dt
Λ
∂
=
+
∂
∫
;
(3.55)
2
2
λ
λ
λ
λ
2
ˆ
( ,
λ)
( , λ)
2
( ,
λ) λ
.
ˆ
2
λ
λ
d R
N
g t
F
t
R
p t
d
R
dt
Λ
∂
∂
=
+
+
∂
∂
∫
(3.56)
При рассмотрении стационарного режима работы приемного устрой-
ства в дифференциальных уравнениях (3.55) и (3.56) следует положить
значение
λ
0
d R
d t
=
. Тогда выражение для дисперсии фильтрации оп-
ределяется алгебраическим уравнением. Если уравнение сообщения яв-
ляется линейным
λ
λ
α λ
( ),
d
n t
d t
= −
+
(3.57)
то выражения (3.55) и (3.56) приводятся к виду
λ
ˆ
ˆ
λ
( , λ)
ˆ
α λ
;
ˆ
λ
d
F t
R
dt
∂
= −
+
∂
(3.58)
62
2
2
λ
λ
λ
2
ˆ
( ,
λ)
2
λ
0.
ˆ
2
λ
N
F t
R
R
∂
−
+
=
∂
(3.59)
Для отыскания алгоритмов фильтрации при некоторых законах мо-
дуляции сигналов, используемых в авиационных системах передачи ре-
чевых сообщений, рассмотренные результаты необходимо обобщить на
случай многомерных уравнений наблюдений и сообщений.
3.5.2. Многомерные уравнения наблюдения и сообщения
Обобщение уравнений (3.52), (3.53) и (3.55), (3.56) на случай много-
мерных наблюдений и сообщений, описываемых соотношениями (3.17)
и (3.18), можно выполнить по методике, аналогичной использованной
в Прил. 2. Применение такого подхода при аппроксимации АПВ выра-
жением (3.50) приводит к алгоритму фильтрации, определяемому сис-
темой уравнений [14]
( )
{
}
( )
1
p
1
1
λ
,
,
λ
λ
P
p
p q
q
q
d
F t
M
a
t
R
M
dt
=
∂
=
+
∂
∑
λ
,
( )
( )
( )
( )
p
1
1
µ
1
µ
µ
µ
µ 1
2
µ
ν
1
µ
ν
µ 1
1
,
,
,
2
λ
λ
,
;
,
1... ,
λ
λ
P
p q
pq
q
p
q
P
P
p
q
dR
N
t
a t
a
t
M
M
R
M
R
dt
F t
R R M
p q
P
=
=
=
∂
∂
=
+
+
+
∂
∂
∂
+
=
∂
∂
∑
∑ ∑
λ
λ
λ
λ
ν
где
{ }
1
M
•
– оператор осреднения с апостериорной плотностью вероят-
ностей (3.50).
Для дальнего рассмотрения нам потребуется вытекающий из приве-
денных соотношений частный случай, а именно, когда принимаемая
смесь
ξ
(
t
) описывается скалярным уравнением, а сообщение
λλλλλ
(
t
) явля-
ется векторным многокомпонентным
[
]
Т
1
2
( )
( ),
( ),
,
( )
P
t
t
t
t
=
λ
λ
λ
λ
…
и
задано системой линейных стохастических дифференциальных уравне-
ний. В матричных обозначениях такую систему можно представить в
виде
63
λ
( )
( ) ( )
( ),
d
t
t
t
t
dt
=
+
λ
A
λ
n
где
1
T
λ
λ
λ
( )
( ), ...,
( )
P
t
n
t
n
t
=
n
– вектор-столбец независимых БГШ, ха-
рактеризуемых матрицей односторонних спектральных плотностей
{
}
(
)
T
λ
1
1
λ
2
1
2
λ
( ) ( )
δ
2
N
M
t
t
t
t
=
−
n
n
;
A
(
t
) – матрица размерности (
р
×
р
),
имеющая вид
11
1
1
α α
( )
.
α α
P
P
PP
t
=
A
В рассматриваемом случае квазиоптимальный алгоритм фильтрации
определяется системой уравнений (частным случаем которой является
уравнение (3.55) для оценок компонент (
p
= 1, ...,
P
)
1
1
ˆ
ˆ
λ
( ,
)
ˆ
( )
λ
( )
,
ˆ
λ
i
P
P
p
i
pq
q
pq
q
q
q
d
F t
t
R
t
dt
=
=
∂
=
+
∂
∑
∑
λ
α
(3.60)
и системой уравнений (частным случаем которой является уравнение
(3.56)) для корреляций ошибок оценок
µ
µ
µ 1
1
( )
δ
α ( )
( )
α ( )
( )
2
P
P
pq
p
pq
p
q
q
p
R
t
N
t R
t
t R
t
t
=
=
∂
=
+
+
+
∂
∑
∑
ν
ν
ν
2
µ
ν
µ
ν
µ 1
1
ˆ
( , )
( )
( )
.
ˆ
ˆ
λ
λ
P
P
p
q
F t
R
t R
t
= =
∂
+
∂ ∂
∑∑
λ
ν
(3.61)
Здесь
{ }
λ λ
( )
, ( ,
1, ..., )
pq
R
t
R
p q
P
=
=
– матрица взаимных корреля-
ций ошибок оценок компонент
ˆ
ˆ
и
λ ; δ
1, δ
0,
p
q
pp
pq
λ
=
=
при
p
≠
q
.
Упрощенные алгоритмы фильтрации
. Моделирование уравнения
(3.61) для большинства используемых в системах связи типов радио-
сигналов оказывается затруднительным и схема устройства, реализую-
щего уравнения (3.60) и (3.61), оказывается весьма сложной. Поэтому
64
для построения подоптимальных алгоритмов используют ряд упроще-
ний [14]. Рассматривают стационарный режим работы, полагая
0
pq
R
t
∂
∂ =
. Вместо вторых производных
2
ˆ
ˆ
ˆ
( ,
λ) λ
λ
i
j
F t
∂
∂
∂
, входящих
в (3.61), используют их значения, осредненные по времени. Отбрасыва-
ют члены с удвоенными частотами, так как последние сильно ослабля-
ются сглаживающими цепями. При указанных упрощениях получим
систему уравнений фильтрации [6,14]
p
1
1
ˆ
ˆ
λ
( ,
)
ˆ
α ( )λ
( )
,
ˆ
λ
P
P
i
pq
q
pq
q
q
q
d
F t
t
R
t
dt
=
=
∂
=
+
∂
∑
∑
λ
(3.62)
( )
µ
µ
µ
ν
ν
1
ν 1
2
µ
ν
µ
ν
µ 1 ν 1
δ
( )
( )
α ( )
( )
2
ˆ
,
( )
( )
0,
ˆ
ˆ
p
P
P
pq
p
q
p
p
i
P
P
p
q
N
t R
t
t R
t
F t
R
t R
t
=
=
=
=
+
+
+
∂
+
=
∂ ∂
∑
∑
∑ ∑
λ
λ
λ
α
(3.63)
где
( )
2
µ
ν
ˆ
ˆ
ˆ
,
F t
∂
∂
∂
λ
λ
λ
– означает осреднение по времени.
Приведенные соотношения (3.62) и (3.63) являются исходными для
рассмотрения квазиоптимальных алгоритмов приема сигналов с исполь-
зуемыми на практике законами модуляции и сравнения помехоустойчи-
вости различных видов модуляции между собой. В качестве модели ре-
чевого сообщения далее используем модель аналогового процесса,
определяемую стохастическим дифференциальным уравнением вида
(3.57).
3.6. Фазовая модуляция
При использовании в канале связи сигналов с фазовой модуляцией
уравнения наблюдения и сообщения можно записать в следующем виде:
( )
(
)
( )
0
0
ф
ξ
cos ω
λ
,
t
A
t
M
n t
=
+
+
(3.64)
( )
( )
( )
λ
λ
αλ
d
t
t
n
t
dt
= −
+
,
(3.65)
65
где
А
0
,
ω
0
– значения амплитуды и частоты радиосигнала, которые счи-
таются известными;
λ
(
t
) – передаваемое аналоговое сообщение;
M
ф
=
=
σ
ф
/
σ
λ
– известная крутизна характеристики фазового модулятора;
σ
ф
= (
D
ф
)
0,5
– среднее квадратическое отклонение фазы, обусловленное
модуляцией;
σ
λ
= (
D
λ
)0,5 – среднее квадратическое значение сообще-
ния
λ
(t).
Уравнения нелинейной фильтрации (3.62) и (3.63) с учетом приня-
тых в них обозначений для модели полезного радиосигнала, входящего
в (3.64), преобразуются к виду [6]
λ λ λ
ˆ
λ( )
ˆ
α λ
,
d
t
R F
dt
= −
+
(3.66)
2
λ
λ λ
λ λ λ λ
4
α
2
0,
N
R
R
F
−
+
=
(3.67)
где для упрощения записи обозначено:
( ) ( )
11
11
ˆ
ˆ
ˆ
α
–α, λ
λ
λ.
t
t
=
=
=
Учитывая, что информационный параметр неэнергетический, имеем
(
)
1
λ
0
ф
0
ф
ˆ
( ,
λ)
ˆ
2
ξ( )sin ω
λ
ˆ
λ
F t
F
N
A M
t
t
M
−
∂
=
= −
+
∂
(3.68)
2
1
2
2
λ λ
0
ф
2
ˆ
( ,
λ)
.
ˆ
λ
F t
F
N
A M
−
∂
=
=
∂
(3.69)
Подставив выражение для
λ
F
из (3.68) в (3.66), получим
1
λ λ
ф
0
0
ф
ˆ
λ
ˆ
ˆ
α λ 2
ξ( ) sin(ω
λ),
d
R M N
t A
t
M
dt
−
= −
−
+
(3.70)
или в операторной форме
0
0
ф
λ
ˆ
ˆ
λ
ξ( ) sin(ω
λ),
1
K
t A
t
M
T D
= −
+
+
(3.71)
где
/
D
t
= ∂ ∂
– оператор дифференцирования;
λ
1
α
T
=
; произведение
α
N
определяет мощность аддитивного белого шума
n
(
t
) в полосе
α
f
∆ =
частот сообщения
λ
(
t
) [6,14]. Величину