ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2020
Просмотров: 990
Скачиваний: 8
21
Теория пределов функции одной переменной.
Предел числовой последовательности.
Определение.
Если каждому натуральному числу
n
поставлено в соответствие число
n
x
, то говорят, что задана
последовательность
n
x
,
,
,
,
2
1
n
n
x
x
x
x
Общий элемент
последовательности является функцией от
n
.
n
n
x
f
x
Таким образом, последовательность может рассматриваться как функция. Задать
последовательность можно различными способами – главное, чтобы был указан способ
получения любого члена последовательности.
Пример.
,
1
,
1
,
1
,
1
1
n
n
x
0
,
1
,
0
,
1
,
0
,
1
,
0
,
1
2
sin
n
x
n
Для последовательностей можно определить следующие
операции
:
1)
Умножение последовательности на число
m
:
,
,
2
1
mx
mx
mx
x
m
n
n
2)
Сложение (вычитание) последовательностей:
n
n
n
n
y
x
y
x
.
3)
Произведение последовательностей:
n
n
n
n
y
x
y
x
.
4)
Частное последовательностей:
n
n
n
n
y
x
y
x
при
n
y
n
0
.
Ограниченные и неограниченные последовательности.
Определение.
Последовательность
n
x
называется
ограниченной
, если существует
такое число
0
M
, что для любого
n
верно неравенство:
M
x
n
т.е. все члены последовательности принадлежат промежутку
M
M
,
.
Определение.
Последовательность
n
x
называется
ограниченной сверху
, если для
любого n существует такое число
M
, что
M
x
n
.
Определение.
Последовательность
n
x
называется
ограниченной снизу
, если для
любого
n
существует такое число
M
, что
M
x
n
Пример.
n
x
n
– ограничена снизу {1, 2, 3, … }.
Определение.
Число
a
называется
пределом
последовательности
n
x
,
a
x
N
n
N
n
:
0
Это записывается:
a
x
n
n
lim
.
В этом случае говорят, что последовательность
n
x
сходится
к
a
при
n
.
Свойство:
Если отбросить какое-либо число членов последовательности, то
получаются новые последовательности, при этом если сходится одна из них, то сходится и
другая.
Пример.
Доказать, что предел последовательности lim
0
)
1
(
n
n
.
22
Пусть при
N
n
верно
n
n
)
1
(
0
, т.е.
n
1
. Это верно при
1
n
, таким
образом, если за
N
взять целую часть от
1
, то утверждение, приведенное выше,
выполняется.
Пример.
Показать, что при
n
последовательность 3,
n
1
2
,...,
4
1
2
,
3
1
2
,
2
1
2
имеет
пределом число 2.
Итого:
2
1
1
2
n
n
x
n
n
x
Очевидно, что существует такое число n, что
n
x
n
1
2
, т.е.
2
lim
n
n
x
.
Теорема.
Последовательность не может иметь более одного предела.
Доказательство.
Предположим, что последовательность
n
x
имеет два предела a и b,
не равные друг другу.
a
x
n
;
b
x
n
;
b
a
.
Тогда по определению существует такое число
>0, что
2
,
2
n
n
x
b
x
a
Запишем выражение:
2
2
)
(
)
(
b
x
x
a
b
x
x
a
b
a
n
n
n
n
А т.к.
-
любое
число, то
0
b
a
, т.е.
b
a
. Теорема доказана.
Следствие. (Достаточное условие расходимости последовательности)
Если из
последовательности можно выделить две подпоследовательности с разными пределами,
то эта последовательность расходится.
Пример.
n
n
x
1
. Имеем
1
lim
1
1
lim
1
2
1
2
2
2
k
k
k
k
k
k
x
x
x
x
Таким образом, данная последовательность расходится.
Теорема.
Если
a
x
n
, то
a
x
n
.
Доказательство.
Из
a
x
n
следует, что
a
x
n
. В то же время:
a
x
a
x
n
n
, т.е.
a
x
n
, т.е.
a
x
n
. Теорема доказана.
Теорема.
Если
a
x
n
, то последовательность
n
x
ограничена.
Замечание.
Следует отметить, что обратное утверждение неверно, т.е. из
ограниченности последовательности не следует ее сходимость.
Например, последовательность
n
нечетном
при
n
n
четном
при
n
x
n
,
1
2
,
1
1
не имеет предела, хотя
.
2
n
x
Монотонные последовательности.
Определение.
1) Если
n
n
x
x
1
для всех
n
, то последовательность возрастающая.
2)Если
n
n
x
x
1
для всех n, то последовательность неубывающая.
23
3)Если
n
n
x
x
1
для всех n, то последовательность убывающая.
4)Если
n
n
x
x
1
для всех n, то последовательность невозрастающая
Все эти последовательности называются
монотонными.
Возрастающие и убывающие
последовательности называются
строго монотонными
.
Пример.
n
x
n
1
– убывающая и ограниченная
n
x
n
– возрастающая и неограниченная.
Пример.
Доказать, что последовательность
1
2
n
n
x
n
монотонная возрастающая.
Найдем член последовательности
3
2
1
1
2
2
1
1
n
n
n
n
x
n
Найдем знак разности:
0
)
3
2
)(
1
2
(
1
)
3
2
)(
1
2
(
1
2
2
3
2
3
2
1
1
2
2
2
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
x
n
n
т.к.
N
n
, то знаменатель положительный при любом n. Таким образом,
n
n
x
x
1
.
Последовательность возрастающая, что и следовало доказать.
Пример.
Выяснить является возрастающей или убывающей последовательность
n
n
n
x
5
.
Найдем
1
1
5
1
n
n
n
x
. Найдем разность
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
x
5
5
5
1
5
5
5
1
1
n
n
5
5
4
1
, т.к.
N
n
, то 1 – 4n <0, т.е.
n
n
x
x
1
. Последовательность монотонно убывает.
Следует отметить, что монотонные последовательности ограничены по крайней мере
с одной стороны.
Теорема Вейрштрасса.
Монотонная ограниченная последовательность имеет
предел.
Доказательство.
Рассмотрим монотонную неубывающую последовательность
1
2
1
n
n
x
x
x
x
Эта последовательность ограничена сверху:
M
x
n
, где
M
– некоторое число.
Т.к. любое, ограниченное сверху, числовое множество имеет четкую верхнюю грань,
то
a
x
N
N
:
0
, где
a
– некоторая верхняя грань множества.
Т.к.
n
x
- неубывающая последовательность, то при
n
N
x
x
a
n
N
, т.е.
a
x
n
Отсюда
a
x
a
n
или
.
n
x
a
, т.е.
a
x
n
n
lim
Для остальных монотонных последовательностей доказательство аналогично.
Теорема доказана.
Число е.
Рассмотрим последовательность
n
x
:
n
n
n
x
1
1
.
Если последовательность
n
x
монотонная и ограниченная, то она имеет конечный
предел. По формуле бинома Ньютона:
24
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
1
3
2
1
)]
1
(
)...[
2
)(
1
(
...
1
3
2
1
)
2
)(
1
(
1
2
1
)
1
(
1
1
1
1
1
3
2
и
ли, что то же самое
n
n
n
n
n
n
k
n
n
k
n
x
n
1
1
...
2
1
1
1
!
1
...
1
1
...
2
1
1
1
!
1
...
1
1
!
2
1
1
1
Покажем, что последовательность
n
x
– возрастающая. Действительно, запишем
выражение
1
n
x
и сравним его с выражением
n
x
:
.
1
1
...
1
1
1
)!
1
(
1
1
1
1
...
...
1
2
1
1
1
1
!
1
...
1
1
1
...
1
2
1
1
1
1
!
1
...
1
1
1
!
2
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
k
n
n
k
n
x
n
Каждое слагаемое в выражении
1
n
x
больше соответствующего значения
n
x
, и, кроме
того, у члена
1
n
x
добавляется еще одно положительное слагаемое. Таким образом,
последовательность
n
x
возрастающая.
Докажем теперь, что при любом n ее члены не превосходят трех:
3
n
x
.
3
2
1
1
1
1
2
1
1
2
1
1
1
2
1
...
2
1
2
1
1
1
!
1
...
!
3
1
!
2
1
1
1
1
2
n
n
n
n
x
Итак, последовательность
n
n
1
1
- монотонно возрастающая и ограниченная
сверху, т.е. имеет конечный предел. Этот предел принято обозначать буквой
e
.
e
n
n
n
1
1
lim
Из неравенства
3
1
1
n
n
следует, что
3
e
. Отбрасывая в равенстве для
n
x
все
члены, начиная с четвертого, имеем:
n
n
n
1
1
2
1
2
1
1
переходя к пределу, получаем
5
,
2
2
1
2
e
Таким образом, число е заключено между числами 2,5 и 3. Если взять большее
количество членов ряда, то можно получить более точную оценку значения числа
e
.
Можно показать, что число е иррациональное и его значение равно 2,718281828459045…
25
Предел функции в точке.
Пусть функция
x
f
определена в некоторой проколотой окрестности точки
a
x
(т.е. в самой точке
a
x
функция может быть и не определена)
Определение. (предел функции по Коши)
Число А называется
пределом
функции
x
f
при
a
x
, если для любого
>0 существует такое число
0
, что для всех
x
таких,
что
a
x
0
верно неравенство
A
x
f
, т.е.
A
x
f
a
x
из
:
0
(1)
То же определение может быть записано в другом виде:
Если
a
x
a
x
a
,
, то верно неравенство
A
x
f
A
.
Запись предела функции в точке:
A
x
f
a
x
)
(
lim
Определение.
Если
1
A
x
f
при
a
x
только при
a
x
, то
1
0
)
(
lim
A
x
f
a
x
-
называется
пределом
функции
x
f
в точке
a
x
слева
, а если
2
A
x
f
при
a
x
только при
a
x
, то
2
0
)
(
lim
A
x
f
a
x
называется
пределом
функции
x
f
в точке
a
x
справа
.
Запишем сказанное на языке
:
a
f
x
f
x
a
из
A
x
f
a
x
0
:
0
)
(
lim
1
0
Приведенное выше определение относится к случаю, когда функция
x
f
не
определена в самой точке
a
x
, но определена в некоторой сколь угодно малой окрестности
этой точки.