ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 03.12.2020
Просмотров: 1171
Скачиваний: 2
20
де
i
k
– кількість груп рівних рангів, уведених
i
-м експертом;
ij
t
– кількість дрібних рангів в
j
-й групі, уведених
i
-м експертом.
Статистичну значущість ранжирування перевіряють, вибираючи
ймовірність помилки
пом
P
. Вважають, що величина
W
n
N
)
1
(
має
2
-
розподіл з
)
1
(
n
степенем вільності. За
пом
P
за спеціальними таблицями
знаходять табличне значення
W
. Якщо коефіцієнт
W
, отриманий при
реалізації експертизи, більше чи дорівнює
W
, то отримане ранжирування
вважають статистично значущим.
Приклад 3.
Визначимо статистичну значущість прикладу 2. Нехай
необхідно, щоб ймовірність помилки, тобто ймовірність того, що отримане
ранжирування являється випадковим,
01
,
0
пом
P
. Визначимо величину
5
,
34
69
,
0
5
10
)
1
(
W
n
N
. З таблиць розподілу
2
для числа ступеня
вільності, що дорівнює 5, знаходимо
086
,
15
)
5
(
2
01
,
0
, що відповідає
табличному значенню величини
W
n
N
)
1
(
. Знайдене значення, яке
дорівнює 34,5, більше табличного, тобто отримане ранжирування
статистично значуще.
Вище малося на увазі, що експерти мають рівну компетентність.
Однак, якщо компетентність експертів різна та може бути оцінена деяким
числом, то формули (19)-(23) вимагають уточнення.
Нехай компетентність
j
-го
експерта оцінюється додатною
величиною
i
(вага експерта). Будемо вважати ці величини нормованими
N
j
j
1
1
. Суму рангів
i
r
об’єктів будемо розраховувати за формулою
N
j
j
ij
i
r
r
1
. Коефіцієнт конкордації з врахуванням компетентності
експертів визначається за формулою (23). Перевірку статистичної
значущості здійснюють аналогічно (перевіряють значущість погодженості
думок експертів).
Метод парних порівнянь для нежорсткого ранжирування.
Експериментально встановлено, що велику складність для експерта являє
побудова ранжирування на основі одночасного обліку декількох різних
ознак, за якими оцінюються об’єкти. У цих випадках експерти вирішують
задачі попарного порівняння.
Визначимо
експертизу Е6
для рішення задачі нежорсткого
ранжирування:
– множина всіх перестанов;
e
– множина всіх матриць
)
(
ij
a
A
,
де
)
n
,
1
j
i
(
0
a
),
j
i
(
1
a
a
,
1
,
0
a
ij
ji
ij
ij
;
(24)
L
– експерти ізольовані;
Q
– зворотній зв’язок відсутній.
21
Відображення
задається наступним чином: визначають матрицю
N
j
j
qt
A
a
A
1
)
(
, де
)
(
j
qt
j
a
A
– оцінка
j
-го експерта. Знаходять величини
n
i
is
s
n
s
a
a
1
)
,
1
(
. Об’єкти впорядковують у відповідності до величини
s
a
.
Об’єкти з мінімальним
s
a
отримують ранг 1 та так інше.
У методі парних порівнянь кожний з експертів здійснює
2
n
C
порівнянь, тобто порівнює кожний об’єкт з кожним. Результат порівняння
j
-го експерта представляється матрицею розміру
n
n
, де
1
j
ik
a
, коли на
думку
j
-го експерта
i
-му об’єкту надається перевага у порівнянні з
k
-м.
Для будь-якої пари об’єктів
q
p
,
чи надається перевага
p
у порівнянні з
q
, чи навпаки. Це й відображається умовами (24)
0
j
ii
a
за визначенням.
Матриця
j
A
, подана
j
-м експертом
N
j
,
1
, являється матрицею
деякого бінарного відношення, яке називається
відношенням наданих
переваг експерта
.
Коефіцієнтом сумісності думок експертів
називається величина
;
),
4
/(
24
1
,
),
/(
24
1
3
3
непарне
n
якщо
n
n
d
парне
n
якщо
n
n
d
v
(25)
де
d
– кількість циклів довжини 3. Величину
v
можна
використовувати в якості оцінки компетентності експерта при експертизах
типу Е6.
Рангова кореляція
Нехай
n
n
j
j
i
i
...,
,
,
...,
,
1
1
– два нежорстких ранжирування.
Припустимо
;
,
1
,
,
1
,
,
0
t
s
t
s
t
s
st
i
i
якщо
i
i
якщо
i
i
якщо
a
(26)
аналогічно визначимо величини
st
b
для 2-го ранжирування.
Коефіцієнтом
рангової кореляції Кендалла
називається величина
2
/
)
1
(
1
1
n
n
b
a
n
s
n
t
st
st
.
(27)
Розрахувавши коефіцієнт
, оцінимо значущість зв’язку між
ранжируваннями. Для цього позначимо чисельник (27) через
S
. Якщо
зафіксувати одне ранжирування та розглядати усі
!
n
інших жорстких
ранжирувань, можна знайти частоту всіх можливих значень
S
. При
10
n
розподіл
S
наближується до нормального з середньоквадратичним
22
відхиленням
18
/
)
5
2
)(
1
(
n
n
n
. При
10
n
розподіл
S
можна знайти у
спеціальних таблицях.
У загальному випадку, якщо величина
S
набуває значення
0
S
чи
більш маловірогідне, то гіпотеза про незалежність ранжирування
відвертається. Якщо
0
0
Pr
p
S
S
, то отриманий коефіцієнт
вважається значущим. Величину
0
p
задають як рівень значущості;
порівнюють розраховане значення
S
з табличним для даного рівня
значущості
0
p
.
Приклад 4.
Складено таблицю результатів ранжирування 6 об'єктів
(О
1
,…,О
6
) п'ятьма експертами (Е
1
,…,Е
5
) (табл. 4). Необхідно обчислити
коефіцієнт узгодження експертів (коефіцієнт конкордації) і оцінити його
значущість.
Таблиця 4 - Вихідні дані
Об'єкт
Експерт
Е
1
Е
2
Е
3
Е
4
Е
5
О
1
1
2
1,5
1
2
О
2
2,5
2
1,5
2,5
1
О
3
2,5
2
3
2,5
3
О
4
4
5
4,5
4,5
4
О
5
5
4
4,5
4,5
5,5
О
6
6
6
6
5,0
5,5
1
Розрахуємо середні значення рангів
m
i
d
j
ij
r
m
r
1
1
33
,
17
)
5
.
5
5
.
5
...
2
1
(
6
1
1
.
2
Розрахуємо варіацію
361
)
33
,
17
(
2
6
1
5
1
i
j
j
r
V
.
Так як у матриці є зв'язані ранги, то розраховуємо коефіцієнт
погодженості. Для цього розрахуємо T
j.
Для експерта 1: Е
1
: H
1
=1; h
1
=2; T
1
=2
3
–2=6.
Для експерта 2: Е
2
: H
2
=1; h
1
=3; T
2
=3
3
–3=24.
Для експерта 3: Е
3
: H
3
=2; h
1
=2;h
2
=2; T
3
=2
3
–2+2
3
–2=12.
Для експерта 4: Е
4
: H
4
=1; h
1
=2; h
2
=2; T
4
=2
3
–2+2
3
–2=12.
Для експерта 5: Е
5
: H
5
=1; h
1
=2; T
5
=2
3
–2=6.
60
6
12
12
24
6
j
T
.
Підставляємо значення
T
j
, V, m=6, d=5
.
23
874
,
0
60
5
)
6
6
(
5
361
12
3
2
W
.
Якщо W>1, то збільшується ступінь погодженості судження
експертів.
Розрахуємо
2
спостер
:
.
7
,
11
)
5
;
05
,
0
(
,
8
,
21
60
2
,
0
)
1
6
(
6
5
361
12
2
2
2
таблич
cпостер
Так як
2
спостер
>
2
таблич
.(21,8
11,7) гіпотеза H
0
приймається.
Якщо гіпотеза H
0
прийнята, то можна вважати, що індивідуальні
оцінки експертів утворять компактну групу й завданням обробки думок
експертів стає побудова узагальненого ранжирування за індивідуальним
ранжируванням експертів.
Ранжирування об'єктів на основі бальних оцінок
Нехай
d
експертів оцінюють
m
об'єктів за
i
показниками. Результати
оцінювання дані у вигляді величини
x
is
h
, де
i
– номер об'єкта,
s
– номер
експерта,
h
– номер показника (ознаки порівняння).
Потрібно знайти групову оцінку об'єктів. Обробка результатів
істотно залежить від методів виміру. Методи виміру можуть бути
наступними:
а) за ранжируванням,
x
is
h
– ранги;
б) метод безпосереднього оцінювання;
в) метод послідовного порівняння, тоді величини
x
is
h
числа або
бали.
Нехай у рамках даного завдання величини x
is
h
(
I
h
m
i
d
s
,
1
,
1
;
,
1
)
знайдені методом безпосереднього порівняння, тобто
x
is
h
визначено у
балах.
Алгоритм рішення
1
Знайдемо середнє значення оцінки для кожного об'єкта:
h
is
I
h
d
s
s
h
i
x
k
q
x
1
1
,
(28)
де
q
h
– коефіцієнти вагомості показників порівняння об'єктів;
k
s
– коефіцієнти компетентності експертів.
24
Дані величини є ранжируваними:
d
s
s
I
h
h
k
та
q
1
1
1
1
.
(29)
Сума
q
h
:
)
,
1
(
,
1
I
h
k
q
q
d
s
s
hs
h
,
(30)
де
q
hs
– коефіцієнт вагомості
h-го
показника, що задається
s-м
експертом.
Коефіцієнти компетентності експертів можуть бути обчислені за
апостеріорними даними, тобто за результатами оцінки об'єкта.
Якщо експерти вимірюють об'єкти у порядковій шкалі методом
ранжирування, тобто величини
x
is
h
– ранги, то завданням обробки думки
експертів є побудова узагальненого ранжирування за індивідуальним
ранжируванням експертів. Процедура проводиться за допомогою матриці
попарних порівнянь, тобто
kj
ij
kj
ij
ij
x
x
якщо
x
x
якщо
y
,
0
,
1
,
(31)
де
x
ij
, x
kj
– ранги, що привласнюються
j-м
експертом, відповідно,
i
-му
й
k-му
об'єктам. Зокрема, якщо експертами об'єкти ранжирувані у
наступному порядку: О
1
О
2
~О
3
О
4
О
5
,
то матриця попарних порівнянь
буде мати такий вигляд (табл. 5).
Таблиця 5 - Матриця парних порівнянь
i
k
О
1
О
2
О
3
О
4
О
5
О
1
1
1
1
1
1
О
2
0
1
1
1
1
О
3
0
1
1
1
1
О
4
0
0
0
1
1
О
5
0
0
0
0
1