Файл: konspect_2010.pdf

25 

Якщо є 

d

 експертів, то кожен експерт пропонує  своє  ранжирування, 

якому  відповідає  матриця  парних  порівнянь,  отже, 

кількість  матриць 

парних порівнянь дорівнює кількості експертів. 

Для 

розрахунку 

різниці 

між 

побудованими 

матрицями 

застосовується наступна формула (метрика): 

d

,

1

j

,

s

де

,

y

y

y

m

1

k

j

ik

s
ik

sj











. 

     (32) 

Формула  (35)  означає,  що  відмінність  між  матрицями  виражена 

кількістю  розрядних  розбіжностей  всіх  елементів  матриці  й  дозволяє 
визначити узагальнене ранжирування як матрицю попарних порівнянь. 

Поняття  найкращого  узгодження  на  практиці  називають 

медіаною 

(формула 33) – це така матриця парних порівнянь, в якої сума відстаней до 
всіх матриць є мінімальною. 











d

S

m

k

ik

S

ik

ik

y

y

y

1

1

*

min

. 

        (33) 

Принцип побудови матриці 

1 

0

1

чи

y

y

ik

s

ik





 - модуль різниці змінних дорівнює 0 або 1. 

2 Позначимо  

,

1







d

s

ik

s

ik

a

y

     (34) 

де 

a

ik

  –  це  кількість  голосів,  наданих  експертом  за  перевагу 

i

-го 

об'єкта в порівнянні з 

k

-м об'єктом.  

2

У результаті математичних перетворень маємо: 































d

S

m

k

i

ik

ik

m

k

ik

s

ik

d

a

y

y

y

1

1

,

1

2

max

min

.    

     (35) 

4  Максимум  за  змінними 

y

ik

,  які  набувають  значення  0  або  1, 

досягається за умови  



















2

d

a

якщо

,

0

2

d

a

якщо

,

1

y

ik

ik

s
ik

,   

     (36) 

де 

d

 – кількість експертів. 

26 

Так як 

a

ik

 – це кількість голосів, відданих експертами за перевагу 

i-го

об'єкта  в  порівнянні  з 

k-м

  об'єктом,  то  в  узагальненій  матриці  парних 

порівнянь 

y

ik

-му

  елементу  варто  поставити  1,  якщо  більше  половини 

експертів  висловилися  за  цю  перевагу.  Таким  чином,  усі  елементи 
узагальненої  матриці  парних  порівнянь  визначаються  за  правилом 
більшості голосів.  

Визначення залежності між судженнями 

Під  час  рішення  цього  завдання  визначається  компетентність 

експертів  і  проводиться  узагальнене  ранжирування.  Для  обліку 
компетентності вводиться коефіцієнт компетентності: 



















2

1

b

якщо

,

0

2

1

b

якщо

,

1

Y

ik

ik

*

ik

,   

     (37) 

m

k

i

y

k

b

d

s

ik

s

ik

,

1

,

,

1











,   

     (38) 

де 

y

ik  

– елемент матриці. 

     ½ показує, що 

i

-й об'єкт можна вважати краще 

k-го

. 

Якщо  відомі  ймовірності 

p

1

,p

2

,...,p

n

виникнення  кожної  ситуації 

(кількість  ситуацій),  то  можна  побудувати  узагальнене  ранжирування, 
усереднене за всіма ситуаціями: 













n

j

d

S

m

K

j

ik

s

ik

j

s

ik

y

y

p

K

y

1

1

1

*

min

. 

(39) 

Після перетворень одержуємо: 



















2

d

b

якщо

,

0

2

d

b

якщо

,

1

Y

ik

ik

*

ik

. 

     (40) 

Приклад  5.

  У  результаті  проведення  ранжирування  чотирьох 

об'єктів  п'ятьма  експертами  були  впорядковані  об'єкти  (табл.  6).  На 
підставі цієї таблиці необхідно побудувати матрицю парних порівнянь для 
кожного експерта й узагальнену матрицю. 

27 

Таблиця 6 - Вихідні дані 

Експерти 

Об'єкти 

О

1

О

2

О

3

О

4

Е

1

2 

1 

4 

3 

Е

2

3 

2 

4 

1 

Е

3

1 

2 

3 

4 

Е

4

3 

1 

2 

4 

Е

5

1 

2 

4 

3 

Розв’язання

: 

1

Будуємо матрицю парних порівнянь для кожного експерта. 

Для першого експерта: 

Таблиця 7 

i 

Об'єкти (експерт 1), k 

О

1

О

2

О

3

О

4

O

1 

1 

0 

0 

0 

O

2 

0 

1 

0 

0 

O

3 

1 

1 

1 

1 

O

4 

1 

1 

0 

1 

Для другого експерта: 

Таблиця 8 

i 

Об'єкти (експерт 2), k 

О

1

О

2

О

3

О

4

O

1 

1 

1 

0 

1 

O

2 

0 

1 

0 

1 

O

3 

1 

1 

1 

1 

O

4 

0 

0 

0 

1 

Для третього експерта: 

Таблиця 9 

i 

Об'єкти (експерт 3), k 

О

1

О

2

О

3

О

4

O

1 

1 

0 

0 

0 

O

2 

1 

1 

0 

0 

O

3 

1 

1 

1 

0 

O

4 

1 

1 

1 

1 

28 

Для четвертого експерта 

Таблиця 10 

i 

Об'єкти (експерт 4), k 

О

1

О

2

О

3

О

4

O

1 

1 

1 

1 

0 

O

2 

0 

1 

0 

0 

O

3 

0 

1 

1 

0 

O

4 

1 

1 

1 

1 

Для п'ятого експерта 

Таблиця 11 

i 

Об'єкти (експерт 5), k 

О

1

О

2

О

3

О

4

O

1 

1 

0 

0 

0 

O

2 

1 

1 

0 

0 

O

3 

1 

1 

1 

1 

O

4 

1 

1 

0 

1 

Сумарна матриця 

Таблиця 12 

i 

Об'єкти (експерт 5), k 

О

1

О

2

О

3

О

4

O

1 

5 

3 

1 

1 

O

2 

2 

5 

0 

1 

O

3 

4 

5 

5 

3 

O

4 

4 

4 

2 

5 

Узагальнена матриця має вигляд: 

Таблиця 13 

i 

Об'єкти (експерт 5), k 

О

1

О

2

О

3

О

4

O

1 

1 

1 

0 

0 

O

2 

0 

1 

0 

0 

O

3 

1 

1 

1 

1 

O

4 

1 

1 

0 

1 

29 

У загальній матриці кожен елемент сумарної матриці визначається з 

відношення d/2=5/2=2,5. Якщо елементи матриці більше або рівні 2,5, то їм 
привласнюється значення 1, якщо менше – то 0. 

Висновок: О

3

>O

4

>O

2

>O

1

, де «>» означає «краще». 

Вагові  коефіцієнти  показників  можна  знайти  експертним  шляхом. 

Якщо 

q

hs

 –  коефіцієнт  ваги

  h-го

 показника,  привласненого 

s-м

  експертом, 

то  середній  коефіцієнт  ваги 

h-го

  показника  за  всіма  експертами 

визначається за формулою  











d

s

s

hs

h

I

h

k

q

q

1

,

,

1

. 

      (41) 

Коефіцієнт  компетентності  експертів  можна  обчислити  за 

апостеріорними  даними,  тобто  за  результатами  оцінювання  об'єктів. 
Основною  ідеєю  цього  обчислення  є  наступна  гіпотеза:  компетентність 
експертів  оцінюється  за  ступенем  погодженості  їхніх  оцінок  із  груповою 
оцінкою об'єктів. 

Алгоритм обчислення коефіцієнта компетентності експертів у вигляді 

рекурентної процедури 

Запишемо три формули середніх оцінок першого наближення: 

,...;

2

,

1

,

,

1

,

1

1













t

m

i

k

x

x

d

s

t

s

is

t

i

(42) 











m

i

d

s

t

i

is

t

t

x

x

1

1

,...;

2

,

1

,



(43) 

,...

2

,

1

;

,

1

,

1









t

d

s

x

x

k

t

i

is

t

t

s



(44) 

Обчислення починаються з 

t=1

. 

,...

2

,

1

;

,

1

,

1

1











t

d

s

x

x

k

t

i

m

i

is

t

t

s



(45) 

У  формулі  початкові  значення  коефіцієнтів  компетентності  беруть 

однаковими й такими, які рівні 

d

k

s

1

0



. 

Тоді  групові  оцінки  першого  наближення  дорівнюють  середнім 

арифметичним значенням оцінок експертів:







d

s

is

i

x

d

x

1

1

1

 . 

Потім обчислюють 

1



 за формулою