ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 03.12.2020
Просмотров: 1176
Скачиваний: 2
30
m
i
d
s
i
is
x
x
1
1
1
1
.
(46)
Обчислюють значення коефіцієнтів компетентності першого
наближення:
d
s
x
x
k
m
i
i
is
s
,
1
,
1
1
1
1
1
.
(47)
Використовуючи коефіцієнти компетентності першого наближення,
можна повторити весь процес обчислення за формулами й одержати інші
наближення величин.
Приклад.
Три експерти (
d=3
) оцінювали значення двох варіантів
щодо рішення однієї проблеми (
i
=1
) і дали нормовані оцінки
x
1s
+x
2s
=1
(табл. 14).
Таблиця 14 - Вихідні дані
Заходу
Експерти
Разом
Е
1
Е
2
Е
3
З
1
0,3
0,5
0,2
1
З
2
0,7
0,5
0,8
2
Разом
1
1
1
-
Розрахувати групові оцінки заходів і коефіцієнти компетентності
експертів.
Розв’язання:
1
Розрахуємо середні оцінки об'єктів першого наближення,
прийнявши
t=1
:
.
667
,
0
)
8
,
0
5
,
0
7
,
0
(
3
/
1
;
333
,
0
)
2
,
0
5
,
0
3
,
0
(
3
/
1
,
1
1
2
1
1
1
1
x
x
x
d
x
d
s
is
i
2
Обчислимо величину λ
1
.
667
,
1
667
,
0
*
2
333
,
0
*
1
,
1
1
1
1
1
m
i
d
s
i
is
x
x
31
3
Коефіцієнти компетентності першого наближення:
.
36
,
0
)
667
,
0
*
8
,
0
333
,
0
*
2
,
0
(
667
,
1
/
1
;
30
,
0
)
667
,
0
*
5
,
0
333
,
0
*
5
,
0
(
667
,
1
/
1
;
28
,
0
)
667
,
0
*
7
,
0
333
,
0
*
3
,
0
(
667
,
1
/
1
1
3
1
2
1
1
K
K
K
Обчислюючи групові оцінки об'єктів другого наближення,
одержуємо
х
1
2
=0,324; х
2
2
=0,676; λ
2
=1,676
. Коефіцієнти компетентності
другого наближення рівні, відповідно,
0,341; 0,298; 0,361
.
Для третього наближення маємо
х
2
=(0,3235;0,6765); λ
3
=1,6765;
K
3
=(0,341; 0,298; 0,361)
.
За результатами третього наближення вектор коефіцієнтів
компетентності стабілізувався. Отже, подальші обчислення не дадуть
істотного уточнення.
У даному прикладі мала кількість об'єктів й експертів, отже, можна
обмежитися одним наближенням. Захід 1 краще заходу 2.
1.3
Застосування теорії корисності в теорії прийняття рішень
1.3.1
Основні визначення концепції корисності [6-7]
Корисність W
– певне число, яке приписується індивідом кожному
можливому результату. Корисність виражає ступінь задоволення, що
одержує суб'єкт у результаті споживання товару або послуги.
Функція корисності (функція Неймана-Моргенштерна) U/W
–
показує корисність, що приписує ОПР кожному можливому результату
залежно від відношення до ризику.
Очікувана корисність події
– сума добутків ймовірностей
виникнення даної події (
р
i
) на значення корисності (
W
i
) наслідків цих
подій:
n
i
i
i
p
1
W
W
.
(18)
Вибір ОПР (особи, що приймає рішення) в умовах ризику
формалізується за допомогою поняття втрати, при цьому ОПР проявляє
свої індивідуальні смаки й схильність до ризику. Рішення ОПР може бути
знайдене на основі наступного алгоритму:
-
привласнюються довільні значення корисності виграшу для
кращого й гіршого наслідків, причому гіршому з наслідків ставиться у
відповідність менше значення корисності;
32
-
гравцеві надається вибір: одержати певну гарантовану суму
W
,
що знаходиться в інтервалі між гіршим (
s
) і кращим (
S
) значеннями
виграшів
S
W
s
; взяти участь у грі (лотереї), тобто одержати з
імовірністю (
1-р
) найбільшу грошову суму
S
і з імовірністю
р
одержати
найменшу грошову суму
s
, при цьому ймовірність варто змінювати
(зменшувати або підвищувати) доти, поки ОПР не стане байдужним до
відношення вибору між гарантованою сумою й грою.
Функція корисності має вигляд
U(S)
)
p
-
(1
U(s)
p
W
,
(19)
де
р
– задана ймовірність.
Безумовний грошовий еквівалент (БГЕ)
– максимальна сума
грошей, що ОПР готовий заплатити за участь у грі (лотереї), або
мінімальна сума грошей, за якої він готовий відмовитися від гри.
Очікувана грошова оцінка (ОГО)
– середній виграш у грі.
Висновок.
Якщо БГЕ=ОГО
ОПР – об'єктивіст. Якщо БГЕ≠ОГО
ОПР – суб'єктивіст (якщо БГЕ>ОГО
ОПР – схильний до ризику; якщо
БГЕ<ОГО
ОПР – не схильний до ризику).
Детермінований еквівалент лотереї
L
– це гарантована сума
x
,
отримання якої еквівалентне участі в лотереї, тобто
L
x
. Отже
x
визначається з рівняння
)
(
)],
(
[
)
(
1
x
MU
u
x
чи
x
U
M
x
U
.
(20)
Особу, яка приймає рішення, називають несхильною до ризику,
якщо для неї більш пріоритетною є можливість отримати гарантовано
сподіваний виграш у лотереї, ніж приймати в ній участь.
Премія за ризик
– це сума, якою суб’єкт ризику згоден знехтувати з
середнього виграшу за те, щоб уникнути ризику, пов’язаного з лотереєю.
Страхова сума
– величина детермінованого еквіваленту із
протилежним знаком.
Приклад.
Гранична корисність зменшується з 15 одиниць, коли
доход зростає від 0 до 1000 грн., до 10 одиниць, коли доход збільшується
від 1000 грн. до 2000 грн., та до 5 одиниць, коли доход зростає з 2000 грн.
до 3000 грн. (рис. 3).
Припустимо, що людина з такою функцією корисності має доход
1500 грн. і оцінює нове місце роботи, що пов’язане з ризиком. Доход на
новому місці роботи може бути більшим у 2 рази, тобто 3000 грн, або
менше на 500 грн., кожна альтернатива має ймовірність
5
.
0
p
. Що
повинна вчинити людина? Яке місце роботи необхідно обрати?
З рис.3 знаходимо, що корисність на старому місці роботи складає 20
одиниць. Рівень корисності, що відповідає доходам у 1000 грн., складає 15
одиниць, а рівень корисності, що пов’язаний з доходами у 3000 грн.,
дорівнює 30 одиниць.
33
Рисунок 3 – Функція корисності особи, що несхильна до ризику
Використовуючи формулу для розрахунку сподіваної корисності,
маємо:
5
.
22
30
5
.
0
15
5
.
0
)
3000
(
5
.
0
)
1000
(
5
.
0
)
(
)
(
]
[
2
2
1
1
U
U
x
U
P
x
U
P
U
M
U
од.
Отже, нове місце роботи, що пов’язане з ризиком, є більш
пріоритетним, бо сподівана корисність
5
.
22
U
одиниць більша, ніж
корисність, що пов’язана з теперішнім місцем роботи, яка становить лише
20 одиниць.
Отже, цій особі слід прийняти рішення про перехід на нове місце
роботи, хоч воно і пов’язане з ризиком.
Підрахуємо також винагороду за ризик
)
(
x
. Ми вже підрахували,
що сподівана корисність у 22,5 одиниць досягається при переході на нове
місце роботи. Сподіваний доход
)]
(
[
x
M
при цьому складає 2000 грн. Але,
як видно з рис.3, рівень корисності в 22,5 одиниць може бути досягнутий,
якщо стабільний доход цієї особи, тобто детермінований еквівалент
x
буде
дорівнювати 1750 грн.
Премію за ризик визначають наступним чином:
x
x
M
x
)]
(
[
)
(
.
250
1750
2000
)
(
x
грн.
Таким чином, 250 грн. складає, власне, той розмір доходу, яким
особа готова знехтувати, вважаючи пріоритетнішою роботу з доходом у
1750 грн., аніж з ризикованим.
Приклад
. Особа, функція корисності якої зображена на рис.3, має
декілька альтернативних варіантів, обираючи місце роботи. Перше місце
роботи, пов’язане зі стабільним доходом у 2000 грн. друге місце роботи,
x
)
(
x
U
1000 2000 3000 4000 5000
15
25 30
35
34
пов’язане з ризиком, або мати доход у 3000 грн. з імовірністю
5
.
0
p
, або
доход у 1000 грн. Третє місце роботи теж пов’язане з ризиком: мати доход
5000 грн. з імовірністю
5
.
0
p
або не мати ніякого доходу. Яке місце
роботи обрати даній особі?
На першому місці роботи зі стабільним доходом у 2000 грн. особа
має корисність доходу 25 одиниць.
При обранні другого місця роботи середній доход складає:
2000
2
1000
3000
2
2
1
x
x
x
грн. і дорівнює доходові на першому
місці роботи.
Корисність при цьому дорівнює:
5
.
22
15
5
.
0
30
5
.
0
)
1000
(
5
.
0
)
3000
(
5
.
0
]
[
U
U
U
M
U
од.
При обранні третього місця роботи сподіваний доход складає 2500
грн.:
2500
2
0
5000
2
2
1
x
x
x
грн.
Корисність при цьому складає:
5
.
17
0
5
.
0
35
5
.
0
)
0
(
5
.
0
)
5000
(
5
.
0
]
[
U
U
U
M
U
од.
Обираємо максимальну корисність:
25
5
.
17
,
5
.
22
,
25
max
од.
Отже з трьох місць роботи слід обрати перше, де корисність
максимальна і стабільний доход.
1.3.2
Графік функції корисності [2, 5-6]
Позначимо
U(X)
– корисність грошової суми
x
з погляду
індивідуума, тоді принциповий вид функції корисності має вигляд,
вказаний на рис.4 [2, 5-6].
Головна властивість графіка – опуклість, тобто приріст корисності
грошей зменшується зі збільшенням їхньої кількості.
Принцип Неймана – Моргенштерна.
Індивідуум буде робити так,
щоб максимізувати очікуване значення корисності [6-7].
ОПР схильний до ризику тоді й тільки тоді, коли функція корисності
має вигляд
0
(x)
U
(рис. 5).