Файл: Лекция для заочников.pdf

К о э ф ф и ц и е н т   к о р р е л я ц и и

Мерой линейной статистической связи двух случайных величин является коэффициент 

корреляции:

r

xy

=

n

⋅

∑

i

=

1

n

x

i

y

i

−

∑

i

=

1

n

x

i

⋅

∑

i

=

1

n

y

i

√

n

⋅

∑

i

=

1

n

x

i

2

−(

∑

i

=

1

n

x

i

)

2

√

n

⋅

∑

i

=

1

n

y

i

2

−(

∑

i

=

1

n

y

i

)

2

Свойства коэффициента корреляции:

−

1

⩽

r

x y

⩽

1

 или 

∣

r

x y

∣⩽

1

Если 

r

x y

→

1

, то между переменными 

x

 и 

у

 присутствует тесная прямая линейная связь

Если  

r

x y

→ −

1

, то между переменными  

x

  и  

у

  присутствует тесная обратная линейная 

связь

Если  

∣

r

x y

∣ →

0

,   о   между   переменными  

x

  и  

у

  отсутствует  

линейная

  связь   (вообще 

отсутствует связь или присутствует нелинейная связь)

К о р р е л я ц и о н н о е   о т н о ш е н и е .   К о э ф ф и ц и е н т   д е т е р м и н а ц и и .

В случае нелинейной зависимости тесноту связи между величинами оценивают по величине 

корреляционного отношения.

R

=

√

1

−

∑

i

=

1

n

(

y

i

− ̃

y

i

)

2

∑

i

=

1

n

(

y

i

−̄

y

)

2

, 

где 

y

i

­ 

наблюдаемые значения,  

̃

y

i

=

f

(

x

i

)

 ­ расчетное значение. 

Интервал изменения корреляционного отношения 

0

⩽

R

⩽

1



Величина 

R

2

, называемая 

коэффициентом детерминации,

 показывает, какая часть общей 

вариации 

Y 

обусловлена вариацией 

X

.

Коэффициент детерминации статистически значим, если 

F

=

R

2

(

n

−

p

−

1

)

(

1

−

R

2

)

p

>

F

таб

=

F

α

,k

1

,k

2

k

1

=

p

 ,  

k

2

=

n

−

p

−

1

­ числа степеней свободы;  

α

 ­  



уровень значимости.

П а р н а я   л и н е й н а я   р е г р е с с и я

y

=

β

0

+

β

1

⋅

x

+

ε

­ теоретическое уравнение парной линейной регрессии

β

0

;

β

1

 ­ параметры (коэффициенты) теоретического уравнения парной линейной 

регрессии

ε

­ теоретическая величина случайного отклонения

y

=

b

0

+

b

1

x

+

e

  ­ эмпирическое уравнение парной линейной регрессии

̃

y

=

b

0

+

b

1

x

 ­ расчетная часть уравнения регрессии

b

0

; b

1

­ эмпирические оценки теоретических параметров уравнения регрессии

e —

 эмпирическая оценка величины случайного отклонения

Эмпирические оценки параметров уравнения регрессии находятся по выборке с помощью 

метода наименьших квадратов (МНК)

М е т о д   н а и м е н ь ш и х   к в а д р а т о в   ( М Н К )

ε

2

≈

e

2

=

∑

i

=

1

n

(

y

i

− ̃

y

i

)

2

=

∑

i

=

1

n

(

y

i

−

b

0

−

b

1

⋅

x

i

)

2

=

S

(

b

0

; b

1

) →

min

Найдем минимум функции нескольких переменных:

{

∂

S

∂

b

0

=−

2

⋅

∑

i

=

1

n

(

y

i

−

b

0

−

b

1

⋅

x

i

)=

0

∂

S

∂

b

1

=−

2

⋅

∑

i

=

1

n

x

i

⋅(

y

i

−

b

0

−

b

1

⋅

x

i

)=

0

Решение системы:

b

1

= ̄

xy

−̄

x

̄

y

̄

x

2

−(̄

x

)

2

, 

b

0

=̄

y

−

b

1

̄

x

,

̄

x

=

∑

i

=

1

n

x

i

n

,  

̄

y

=

∑

i

=

1

n

y

i

n

,  

̄

xy

=

∑

i

=

1

n

x

i

y

i

n

,  

̄

x

2

=

∑

i

=

1

n

x

i

n

С т а т и с т и ч е с к а я   з н а ч и м о с т ь     у р а в н е н и я  

п а р н о й   л и н е й н о й   р е г р е с с и и

Оценка статистической значимости уравнения парной линейной регрессии осуществляется 

как оценка значимости коэффициента 

b

1

, с помощью критерия Стьюдента.

Если 

T

расч

=

∣

b

1

∣

S

b

1

>

T

таб

=

T

α

2

,k

, то коэффициент 

b

1

, а значит и уравнение регрессии 

статистически значимо.

S

b

1

=

√

S

2

∑

i

=

1

n

(

x

i

−̄

x

)

2

­ отклонение коэффициента 

b

1

S

2

=

∑

i

=

1

n

e

i

2

n

−

2

=

∑

i

=

1

n

(

y

i

− ̃

y

i

)

2

n

−

2

­ дисперсия случайного отклонения

k

=

n

−

2

­ число степеней свободы;  

α

 ­  



уровень значимости (

α

 = 0,05; 0,01)

