ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.12.2020
Просмотров: 372
Скачиваний: 1
 êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå
∇
S
=
p
,
∇
S
m
=
v
⇒
A
2
∇
S
m
=
ρ
v
=
j
ïîòîê âåðîÿòíîñòè.
Îòñþäà
∂ ρ
∂ t
+
∇
j
= 0
â êëàññè÷åñêîì ïðèáëèæåíèè óðàâíåíèå íåïðåðûâíîñòè òàêæå
âûïîëíÿåòñÿ, ÷òî îïðàâäûâàåò ââåäåíèå ïëîòíîñòè ýòîãî ïîòîêà â 2.3.
Ïðåîáðàçóåì óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà-ßêîáè
∂ S
∂ t
+
1
2
m
(
∇
S
)
2
=
−
V
⇒
∂ S
∂ t
+
mv
2
2
=
−
V
⇒
∂
∂ t
+
v
∇
m
v
=
−∇
V,
ïîñêîëüêó
∇
mv
2
2
=
m
2
∇
(
v
,
v
) =
m
v
· ∇
v
.
Çàìåòèì, ÷òî
dv
x
dt
=
∂ v
x
∂ t
+
∂ v
x
∂
r
·
.
r
=
∂ v
x
∂ t
+
v
· ∇
v
x
,
dv
y
dt
=
∂ v
y
∂ t
+
v
∇
v
y
,
dv
z
dt
=
∂ v
z
∂ t
+
v
∇
v
z
⇒
⇒
d
v
dt
=
∂
v
∂ t
+
v
(
i
∇
v
x
+
j
∇
v
y
+
k
∇
v
z
) =
∂
v
∂ t
+
v
· ∇
v
.
Òàêèì îáðàçîì,
m
d
v
dt
=
−∇
V
=
F
âòîðîé çàêîí Íüþòîíà, êîòîðûé îêàçàëñÿ ïðÿìûì
ñëåäñòâèåì óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà.
Ïðîäåëàííûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîçâîëÿþò ïðèéòè ê âûâîäó: êëàññè÷åñêàÿ ìåõàíèêà ÿâ-
ëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì êâàíòîâîé; ïðè ýòîì, èñõîäÿ èç êëàññè÷åñêèõ ïðåäñòàâëåíèé, äëÿ
ðàññìîòðåíèÿ êâàíòîâûõ ÿâëåíèé ñëåäóåò çàìåíÿòü ÷àñòèöó íà íåïðåðûâíûé ïîòîê ÷àñòèö
ñ ïëîòíîñòüþ
|
ψ
|
2
.
2.7. Òåîðèÿ ïðåäñòàâëåíèé.
Ïóñòü G ïðîèçâîëüíûé ýðìèòîâ îïåðàòîð. Íàáîð ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ôóíêöèé
ϕ
n
ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé îïåðàòîðà G çàäà¼ò áàçèñ ôóíêöèîíàëüíîãî ïðîñòðàíñòâà. Ðàç-
ëîæåíèå ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè
ψ
=
P
n
C
n
ϕ
n
íàçûâàåòñÿ
g
-ïðåäñòàâëåíèåì
ψ.
 2.1-2.6
èñïîëüçîâàëèñü äâà ïðåäñòàâëåíèÿ êîîðäèíàòíîå è èìïóëüñíîå; ìåæäó òåì, ÷àñòî èñïîëü-
çóþòñÿ è ìíîãèå äðóãèå ïðåäñòàâëåíèÿ, îäíî èç êîòîðûõ áóäåò ââåäåíî íåñêîëüêî íèæå.
Äëÿ íà÷àëà æå íåîáõîäèìî ïðîñëåäèòü âçàèìîñâÿçü ìåæäó ðàçëè÷íûìè ïðåäñòàâëåíèÿìè.
Ïîñòóëàò: åñëè âîëíîâûå ôóíêöèè
ψ
è
ψ
0
îïèñûâàþò îäíî è òî æå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû,
òî îíè ñâÿçàíû ëèíåéíûì ïðåîáðàçîâàíèåì
ψ
0
=
S
ψ
(S ëèíåéíûé îïåðàòîð), à èõ êâàä-
ðàòû îäèíàêîâû ïî àáñîëþòíîìó çíà÷åíèþ
(
ψ, ψ
) = (
ψ
0
, ψ
0
)
(çàìåòèì, ÷òî â ñêàëÿðíûõ
ïðîèçâåäåíèÿõ èíòåãðèðîâàíèå ïðîâîäèòñÿ ïî ðàçíûì ïðîñòðàíñòâàì).
(
ψ
0
, ψ
0
) = (
S
ψ,
S
ψ
) = (
ψ,
S
+
S
ψ
) = (
ψ, ψ
)
⇒
S
+
S
= 1
,
òî åñòü îïåðàòîð S
,
ñâÿçûâàþùèé
ðàçëè÷íûå ïðåäñòàâëåíèÿ óíèòàðåí. Ïîëó÷èì òàêæå ñîîòíîøåíèå äëÿ îïåðàòîðîâ, çàïè-
ñàííûõ â ðàçëè÷íûõ ïðåäñòàâëåíèÿõ: ïóñòü
ψ
2
=
A
ψ
1
, ψ
0
2
=
A
0
ψ
0
1
⇒
S
ψ
2
=
A
0
S
ψ
2
⇒
ψ
2
=
S
+
A
0
S
ψ
1
=
A
ψ
1
⇒
A
0
=
S A S
+
îïåðàòîðû ñâÿçàíû ïðåîáðàçîâàíèåì óíèòàðíîãî
ïîäîáèÿ.  ÷àñòíîñòè, äëÿ C
=
A B
,
C
0
=
A
0
B
0
C
0
=
S A S
+
S B S
+
=
S A B S
+
=
S C S
+
,
òî
åñòü êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ ñîõðàíÿþòñÿ âî âñåõ ïðåäñòàâëåíèÿõ. Íàêîíåö,
F
0
=
(
ψ
0
,
F
0
ψ
0
) = (
S
ψ,
S F S
+
(
S
ψ
)) = (
ψ,
S
+
S F
ψ
) = (
ψ,
F
ψ
) =
F
ñðåäíåå çíà÷åíèå ôèçè÷åñêîé
âåëè÷èíû òàêæå íå çàâèñèò îò âûáîðà ïðåäñòàâëåíèÿ.
Ïðåäñòàâëåíèå Øðåäèíãåðà. Â ýòîì ïðåäñòàâëåíèè âðåìåííàÿ çàâèñèìîñòü ñóùå-
ñòâóåò òîëüêî ó âîëíîâûõ ôóíêöèé, òîãäà êàê âñå îïåðàòîðû ÿâíî îò âðåìåíè íå çàâèñÿò.
 ïðåäñòàâëåíèè Øðåäèíãåðà âûïîëíÿåòñÿ óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà, òî åñòü, â ÷àñòíîñòè,
êîîðäèíàòíîå ïðåäñòàâëåíèå ÿâëÿåòñÿ ïðåäñòàâëåíèåì Øðåäèíãåðà.
16
Ïóñòü çàäàíà âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè
ψ
(
x, t
0
)
, à H
6
=
H
(
t
)
;
òîãäà
ψ
(
x, t
) =
U
ψ
(
x, t
0
)
,
ãäå U îïåðàòîð ýâîëþöèè. Ââåä¼ì
U
(
t, t
0
) =
e
−
i
~
H
(
t
−
t
0
)
=
X
k
1
k
!
·
−
1
~
H
(
t
−
t
0
)
k
è ïîêàæåì, ÷òî òàêîé îïåðàòîð äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ îïåðàòîðîì ýâîëþöèè. Î÷åâèäíî,
U
(
t
0
, t
0
) = 1
,
U
+
U
= 1;
ïðîäèôôåðåíöèðóåì U ïî âðåìåíè:
∂
U
∂ t
=
−
i
~
H U
⇒
i
~
∂
U
∂ t
(
ψ
(
x, t
0
)) =
H U
(
ψ
(
x, t
0
))
⇒
i
~
·
∂
∂ t
(
U
ψ
(
x, t
0
)) =
H
(
U
ψ
(
x, t
0
))
óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà äëÿ ôóíêöèè U
ψ
(
x, t
0
)
,
êîòîðàÿ, î÷åâèäíî, è ÿâëÿåòñÿ âîëíîâîé
ôóíêèöåé ñèñòåìû â ïðîèçâîëüíûé ìîìåíò âðåìåíè
t
(
ψ
(
x, t
)
).
Ïðåäñòàâëåíèå Ãåéçåíáåðãà: ïî àíàëîãèè ñ ïðåäñòàâëåíèåì Øðåäèíãåðà ïîñòðîèì
ïðåäñòàâëåíèå, â êîòîðîì ÿâíî îò âðåìåíè çàâèñÿò íå âîëíîâûå ôóíêöèè, à îïåðàòîðû).
Âûáåðåì S
=
U
+
=
e
i
~
H
(
t
−
t
0
)
,
òîãäà
ψ
G
(
x, t
0
) =
S
ψ
S
(
x, t
);
äëÿ îïåðàòîðîâ
F
G
=
S F
S
S
+
⇒
∂
F
G
∂ t
= ˙
S F
S
S
+
+
S F
S
˙
S
+
= ˙
S S
+
S F
S
S
+
+
S F
S
S
+
S
˙
S
=
=
i
~
(
H F
G
−
F
G
H
) =
i
~
[
H
,
F
G
]
,
ïîñêîëüêó F
S
6
=
F
S
(
t
)
,
˙
S
=
−
i
~
H S
.
Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷åíî óðàâíåíèå íà F
G
, êîòîðîå
âìåñòå ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì F
G
(
t
0
) =
F
S
(â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè îïåðàòîðû â
ïðåäñòàâëåíèÿõ Ãåéçåíáåðãà è Øðåäèíãåðà ñîâïàäàþò) çàäà¼ò óðàâíåíèå äâèæåíèå Ãåé-
çåíáåðãà
∂
F
G
∂ t
=
i
~
[
H
,
F
G
]
F
G
(
t
0
) =
F
S
.
Çàìå÷àíèå: â äàííîì ñëó÷àå ïîä îïåðàòîðîì H ïîíèìàåòñÿ ãàìèëüòîíèàí, çàïèñàííûé
â ïðåäñòàâëåíèè Øðåäèíãåðà, òî åñòü H
=
H
S
.
[
H
,
H
S
] = 0
, ïîýòîìó (êîììóòàöèîííûå
ñîîòíîøåíèÿ ñîõðàíÿþòñÿ)
[
H
,
H
G
] = 0
⇒
d
H
G
dt
= 0
⇒
H
G
6
=
H
G
(
t
)
⇒
H
G
=
H
S
=
H.
Ïðèìåð: ðàññìîòðèì äâèæåíèå ÷àñòèöû â ïîòåíöèàëüíîì ïîëå ñ ïîìîùüþ ïðåäñòàâ-
ëåíèÿ Ãåéçåíáåðãà; H
=
ˆ
p
2
G
2
m
+
V
(ˆ
x
G
)
.
Óðàâíåíèÿ Ãåéçåíáåðãà äëÿ îïåðàòîðîâ
ˆ
p
G
è
ˆ
x
G
èìåþò
âèä:
∂
ˆ
p
G
∂ t
=
i
~
[
H
,
ˆ
p
G
]
∂
ˆ
x
G
∂ t
=
i
~
[
H
,
ˆ
x
G
]
⇔
∂
ˆ
p
G
∂ t
=
−
∂ V
∂ x
(ˆ
x
G
)
∂
ˆ
x
G
∂ t
=
1
m
ˆ
p
G
,
ïîñêîëüêó
[
H
,
ˆ
p
G
] = [
V
(ˆ
x
G
)
,
ˆ
p
G
] = [
V
(ˆ
x
S
)
,
ˆ
p
S
] = [
V
(
x
)
,
−
i
~
d
dx
] =
i
~
∂ V
∂ x
(ˆ
x
G
);
[
H
,
ˆ
x
G
] =
1
2
m
[ˆ
p
2
G
,
ˆ
x
G
] =
−
1
2
m
([ˆ
x
G
,
ˆ
p
G
]ˆ
p
G
+ ˆ
p
G
[ˆ
x
G
,
ˆ
p
G
]) =
−
i
~
m
ˆ
p
G
.
(ïðè âû÷èñëåíèè êîììóòàòîðîâ èñïîëüçîâàíà íåçàâèñèìîñòü êîììóòàöèîííûõ ñîîòíîøå-
íèé îò âûáîðà ïðåäñòàâëåíèÿ).
Ïîëó÷èì ïîëíîå ðåøåíèå çàäà÷è äëÿ äâóõ êîíêðåòíûõ ñëó÷àåâ ñâîáîäíîé ÷àñòèöû
17
è ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà. Äëÿ ñâîáîäíîé ÷àñòèöû
∂ V
∂ x
= 0
,
ïîýòîìó
ˆ
p
G
=
const
= ˆ
p
S
; ˆ
x
G
=
ˆ
p
S
m
t
+ ˆ
x
S
.
Äëÿ ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà
V
(
x
) =
mω
2
x
2
2
,
∂
ˆ
p
G
∂ t
=
−
mω
2
ˆ
x
G
∂
ˆ
x
G
∂ t
=
1
m
ˆ
p
G
⇒
∂
2
ˆ
x
G
∂ t
2
+
ω
2
ˆ
x
G
= 0
∂
ˆ
p
G
∂ t
=
m
∂
2
ˆ
x
G
∂ t
2
⇒
ˆ
x
G
= ˆ
x
S
cos
ωt
+
ˆ
p
S
mω
sin
ωt
ˆ
p
G
= ˆ
p
S
cos
ωt
−
mω
ˆ
x
S
sin
ωt.
18
3. Ïðèáëèæ¼ííûå ìåòîäû â êâàíòîâîé ìåõàíèêå.
3.1. Êâàçèêëàññè÷åñêîå ïðèáëèæåíèå.
Ïðîäîëæèì ðàáîòó ñ ïðåäñòàâëåíèåì
ψ
, ââåä¼ííûì â 2.5:
ψ
=
Ae
i
~
S
;
ïóñòü
A
=
e
T
,
òîãäà
ψ
=
e
i
~
S
+
T
=
e
i
~
W
.
Ïîäñòàâèì
ψ
â óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà
ψ
0
=
i
~
W
0
·
e
i
~
W
, ψ
00
=
e
i
~
W
i
~
W
00
−
1
~
2
(
W
0
)
2
,
ïîýòîìó
−
~
2
2
m
·
i
~
W
00
+
~
2
2
m
·
1
~
2
(
W
0
)
2
+ (
V
−
E
) = 0
⇒
i
~
2
m
W
00
−
1
2
m
(
W
0
)
2
+ (
E
−
V
) = 0
⇒
⇒
i
~
W
00
−
(
W
0
)
2
+ 2
m
(
E
−
V
) = 0
.
Ðàçëîæèì
W
â ðÿä Òåéëîðà ïî
~
i
:
W
=
W
0
+
W
1
~
i
+
W
2
~
i
2
+
. . .
 íóëåâîì ïðèáëèæåíèè
W
=
W
0
,
ïðåíåáðåãàåì â óðàâíåíèè Øðåäèíãåðà ÷ëåíîì,
ñîäåðæàùèì
~
;
òîãäà
1
2
m
(
W
0
0
)
2
=
E
−
V
⇒
W
0
=
±
Z
p
2
m
(
E
−
V
(
x
))
dx
;
â êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå
p
2
m
(
E
−
V
) =
p
ÿâëÿåòñÿ èìïóëüñîì ÷àñòèöû, ïîýòîìó
W
0
=
±
R
pdx
+
C
0
.
Óñëîâèåì äîïóñòèìîñòè ñäåëàííîãî ïðèáëèæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ìàëîñòü
÷ëåíà, ñîäåðæàùåãî
~
,
òî åñòü
~
W
00
0
(
W
0
0
)
2
1
⇒
d
dx
~
W
0
0
1
⇒
1
2
π
dλ
dx
1
,
ãäå
λ
=
2
π
~
p
äåáðîéëåâñêàÿ äëèíà âîëíû ÷àñòèöû. Èòàê, äëèíà âîëíû ÷àñòèöû äîëæíà
ìàëî èçìåíÿòüñÿ íà ðàññòîÿíèÿõ ïîðÿäêà å¼ ñàìîé. Òàêæå, èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèå
dp
dx
=
d
dx
p
2
m
(
E
−
V
) =
−
m
p
dV
dx
,
ìîæíî çàïèñàòü
1
2
π
dλ
dx
=
~
p
2
dp
dx
=
m
~
p
3
dV
dx
1
ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðèáëèæåíèå ïðèìåíèìî â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà èìïóëüñ ÷àñòèöû âåëèê,
à ïîòåíöèàë èçìåíÿåòñÿ äîñòàòî÷íî ïëàâíî.
 ïåðâîì ïðèáëèæåíèè
W
=
W
0
+
~
i
W
1
;
W
0
=
W
0
0
+
~
i
W
0
1
, W
00
=
W
00
0
+
~
i
W
00
1
;
ïîäñòàâëÿÿ
â óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà è ïðåíåáðåãàÿ ÷ëåíàìè ïîðÿäêà
~
2
,
ïîëó÷èì
i
~
W
00
0
−
(
W
0
0
)
2
−
2
~
i
W
0
0
W
0
1
+ 2
m
(
E
−
V
) = 0
.
Íî
2
m
(
E
−
V
) = (
W
0
0
)
2
,
ïîýòîìó
W
00
0
+ 2
W
0
0
W
0
1
= 0
⇒
W
0
1
=
−
W
00
0
2
W
0
0
=
−
p
0
2
p
⇒
W
1
=
−
1
2
ln
|
p
|
+
C
1
.
Òàêèì îáðàçîì,
ψ
≈
e
i
~
W
0
+
W
1
=
1
p
|
p
|
C
1
e
i
~
·
R
pdx
+
C
2
e
−
i
~
·
R
pdx
.
Ïîäîáíûé ïîäõîä ê ðåøåíèþ çàäà÷ êâàíòîâîé ìåõàíèêè íàçûâàåòñÿ êâàçèêëàññè÷åñêèì
ïðèáëèæåíèåì, ìåòîäîì ôàçîâûõ èíòåãðàëîâ èëè ïðèáëèæåíèåì Âåíòöåëÿ- Êðàìåðñà-
Áðèëëþýíà (ÂÊÁ).
19
3.2. Ñòàöèîíàðíàÿ òåîðèÿ âîçìóùåíèé.
Ïóñòü ãàìèëüòîíèàí ñèñòåìû ïðåäñòàâèì â âèäå H
=
H
0
+
H
0
,
ïðè÷¼ì âëèÿíèå H
0
äîñòàòî÷íî ìàëî, à ðåøåíèå çàäà÷è H
0
ψ
(0)
=
E
(0)
ψ
(0)
èçâåñòíî. Äëÿ óäîáñòâà çàïèøåì
H
=
H
0
+
λ
V
, λ
1
.
Áóäåì èñêàòü
k
-îå ñîñòîÿíèå, òî åñòü ðåøåíèå çàäà÷è H
ψ
k
=
E
k
ψ
k
,
ãäå
E
k
=
E
k
(
λ
)
, ψ
k
=
ψ
k
(
r
i
, λ
)
.
Ðàçëîæèì
ψ
k
è
E
k
â ñòåïåííîé ðÿä ïî
λ
:
ψ
k
=
ψ
(0)
k
+
λψ
(1)
k
+
λ
2
ψ
(2)
k
+
. . . , E
k
=
E
(0)
k
+
λE
(1)
k
+
λ
2
E
(2)
k
+
. . . .
Ôóíêöèè
ψ
(0)
1
, . . . ψ
(0)
n
îáðàçóþò ïîëíóþ îðòîíîðìèðîâàííóþ ñèñòåìó, ïîýòîìó
∀
i
≥
0
ψ
(
i
)
k
=
P
n
C
n
ψ
(0)
n
;
ïðè
i
= 0
C
n
=
δ
kn
.
Íà÷í¼ì ñ ðàññìîòðåíèÿ ñëó÷àÿ íåâûðîæäåííîãî ñïåêòðà; ïîäñòàâèì ðàçëîæåíèÿ äëÿ
ψ
k
, E
k
â óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà: H
ψ
k
=
E
k
ψ
k
⇒
⇒
(
H
0
+
λ
V
)(
ψ
(0)
k
+
λψ
(1)
k
+
λ
2
ψ
(2)
k
+
. . .
) = (
E
(0)
k
+
λE
(1)
k
+
λ
2
E
(2)
k
+
. . .
)(
ψ
(0)
k
+
λψ
(1)
k
+
λ
2
ψ
(2)
k
+
. . .
)
.
Ïðèðàâíÿåì ÷ëåíû ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ
λ,
òîãäà
(
H
0
−
E
(0)
k
)
ψ
(0)
k
= 0
,
(
H
0
−
E
(0)
k
)
ψ
(1)
k
+ (
V
−
E
(1)
k
)
ψ
(0)
k
= 0
,
(
H
0
−
E
(0)
k
)
ψ
(2)
k
+ (
V
−
E
(1)
k
)
ψ
(1)
k
−
E
(2)
k
ψ
(0)
k
= 0
, . . .
(
H
0
−
E
(0)
k
)
ψ
(
s
)
k
+ (
V
−
E
(1)
k
)
ψ
(
s
−
1)
k
−
E
(2)
k
ψ
(
s
−
2)
k
−
. . .
−
E
(
s
)
k
ψ
(0)
k
= 0
.
Äîìíîæèì âòîðîå óðàâíåíèå ñêàëÿðíî íà
ψ
(0)
k
ñëåâà:
(
ψ
(0)
k
,
(
H
0
−
E
(0)
k
)
ψ
(1)
k
) + (
ψ
(0)
k
,
(
V
−
E
(1)
k
)
ψ
(0)
k
) = 0
⇒
⇒
(
H
0
ψ
(0)
k
, ψ
(1)
k
)
−
E
(0)
k
(
ψ
(0)
k
, ψ
(1)
k
) + (
ψ
(0)
k
,
V
ψ
(0)
k
)
−
E
(1)
k
= 0
⇒
(
H
0
ψ
(0)
k
=
E
(0)
k
ψ
(0)
k
)
⇒
(
ψ
(0)
k
,
V
ψ
(0)
k
)
−
E
(1)
k
= 0
⇒
(
ψ
(0)
k
,
V
ψ
(0)
k
) =
E
(1)
k
.
Àíàëîãè÷íî
E
(2)
k
= (
ψ
(0)
k
,
V
ψ
(1)
k
)
, . . . E
(
s
)
k
= (
ψ
(0)
k
,
V
ψ
(
s
−
1)
k
)
.
Òåïåðü äîìíîæèì ýòî æå óðàâíåíèå íà
ψ
(0)
m
(
m
6
=
k
)
:
(
ψ
(0)
m
,
(
H
0
−
E
(0)
k
)
ψ
(1)
k
) + (
ψ
(0)
m
,
(
V
−
E
(1)
k
)
ψ
(0)
k
) = 0
⇒
⇒
E
(0)
m
(
ψ
(0)
m
, ψ
(1)
k
)
−
E
(0)
k
(
ψ
(0)
m
, ψ
(1)
k
) + (
ψ
(0)
m
,
V
ψ
(0)
k
) = 0
⇒
⇒
ψ
(1)
k
=
X
n
6
=
k
C
n
ψ
(0)
n
⇒
(
ψ
(0)
m
, ψ
(1)
k
) =
X
n
6
=
k
C
n
(
ψ
(0)
m
, ψ
(0)
n
=
X
n
6
=
k
C
n
δ
mn
=
C
n
!
⇒
⇒
C
m
=
−
(
ψ
(0)
m
,
V
ψ
(0)
k
)
E
(0)
m
−
E
(0)
k
⇒
ψ
(1)
k
=
−
X
m
6
=
k
(
ψ
(0)
m
,
V
ψ
(0)
k
)
E
(0)
m
−
E
(0)
k
·
ψ
(0)
m
, E
(2)
k
=
−
X
m
6
=
k
|
(
ψ
(0)
m
,
V
ψ
(0)
k
)
|
2
E
(0)
m
−
E
(0)
k
.
(ïðè ñóììèðîâàíèè îïóùåí ÷ëåí
C
k
, êîòîðûé äîëæåí áûòü ðàâåí íóëþ ñîãëàñíî óñëîâèþ
íîðìèðîâêè
ψ
k
=
ψ
(0)
k
+
λψ
(1)
k
â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè ïî
λ
:
1 = (
ψ
k
, ψ
k
) = (
ψ
(0)
k
, ψ
(0)
k
) +
λ
(
ψ
(0)
k
, ψ
(1)
k
) + (
ψ
(1)
k
, ψ
(0)
k
)
= 1 +
λ
(
ψ
(0)
k
, ψ
(1)
k
) + (
ψ
(1)
k
, ψ
(0)
k
)
⇒
⇒
C
k
= (
ψ
(1)
k
, ψ
(1)
k
) = 0
). Òàêèì ñïîñîáîì ìîæíî íàéòè âîëíîâóþ ôóíêöèþ è ýíåðãèþ
ëþáîãî ñîñòîÿíèÿ. Óñëîâèåì ïîäîáíîãî ïðèáëèæåíèÿ áóäåò, î÷åâèäíî, ñõîäèìîñòü ðÿäîâ
äëÿ ýíåðãèè, òî åñòü
|
(
ψ
(0)
m
,
V
ψ
(0)
k
)
|
2
|
E
(0)
m
−
E
(0)
k
|
.
20