ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.12.2020
Просмотров: 2165
Скачиваний: 53
100
Глава III. Удивительные функции и линии
сам термин «функция» возник лишь в 1694 году в работах немецкого
ученого Лейбница, делящего с Ньютоном заслугу создания мате-
матического анализа. Однако у Лейбница понятие функции имело
очень узкий смысл и касалось только некоторых отрезков, зави-
сящих от положения точки на кривой: ординаты, подкасательной
и поднормали, радиуса кривизны и т. д. Таким образом, и Лейб-
ниц оставался в круге геометрических представлений. Только ученик
Лейбница И. Бернулли дал в 1718 году определение функции, сво-
бодное от геометрических образов: «Функцией переменной величины
называется количество, образованное каким угодно способом из этой
переменной величины и постоянных».
Следующий шаг в развитии понятия функции связан с именем
гениального ученика И. Бернулли петербургского академика Лео-
нарда Эйлера. В своем «Дифференциальном исчислении» он опреде-
ляет функцию так: «Величины, зависящие от других так, что с из-
менением вторых меняются и первые, принято называть их функ-
циями».
Однако понятие функции у Эйлера и математиков его времени
было связано с возможностью выразить функцию формулой. С точ-
ки зрения математиков XVIII века запись
(
x,
если
x <
0
,
x
2
,
если
x
>
0
определяла не одну, а две функции.
Вскоре выяснилось, что дело обстоит значительно сложнее. Ре-
шая задачу о колебании струны, Д. Бернулли получил ответ в виде
так называемого
тригонометрического ряда
. Мы не будем сейчас го-
ворить, что это такое, а скажем лишь, что форма струны задавалась
единой формулой (хотя и содержавшей бесконечно много членов).
Ту же самую задачу о колебаниях струны решил французский
ученый Даламбер. Решение Даламбера имело совсем иной вид, чем
у Бернулли, и могло задаваться различными формулами для разных
значений аргумента.
Перед математикой XVIII века возникло казавшееся неразреши-
мым противоречие: для одной и той же задачи получилось два от-
вета, причем один выражался для всех значений аргумента одной
и той же формулой, а другой — несколькими формулами. Из-за это-
го решение Д. Бернулли было подвергнуто сомнению: думали, что
он нашел не все решения задачи, а лишь решения, выражающиеся
Как развивалось понятие функции
101
одной формулой. Возник ожесточенный спор, в котором приняли
участие все крупнейшие математики XVIII века — Эйлер, Далам-
бер и др.
По сути дела, спор шел о понятии функции, о связи между
функциональной зависимостью и возможностью выразить эту зави-
симость формулой. Окончательное решение вопроса было получено
в начале XIX века, когда французский ученый Ж. Фурье показал,
что сумма бесконечного ряда, состоящего из тригонометрических
функций, может на различных участках выражаться различными
формулами. После этого он дал новое определение функции, под-
черкнув в нем, что главным является задание значений функции,
а совершается ли это задание некоторой единой формулой или нет,
несущественно.
Результаты Фурье были уточнены немецким математиком Ди-
рихле, который показал, что графиком суммы тригонометрического
ряда может быть любая, произвольно проведенная линия. Требу-
ется лишь, чтобы число максимумов и минимумов на этой линии
было конечным, и линия не поднималась бесконечно высоко. Ди-
рихле же уточнил определение функции, данное Фурье, и придал
ему тот вид, которым пользуются и сейчас (близкое определение
несколько ранее Дирихле дали Лакруа, Лобачевский и некоторые
другие математики). Определение Дирихле: «Переменная величи-
на
y
называется функцией переменной величины
x
, если каждому
значению величины
x
соответствует единственное определенное зна-
чение величины
y
».
В дальнейшем к словам «каждому значению величины
x
» доба-
вили слова «принадлежащему некоторому множеству» (ведь функ-
ция не обязательно определена для всех значений
x
).
Это определение было чрезвычайно общим, в нем ни слова не го-
ворилось о том, что функция должна задаваться одной и той же
формулой на всем отрезке, где она определена. Более того, она мог-
ла совсем не задаваться какой-то формулой, а определяться словами.
Например, сам Дирихле рассмотрел такую функцию:
f
(
x
) =
(
0
,
если
x
— иррациональное число,
1
,
если
x
— рациональное число.
С точки зрения математиков XVIII века, это определение не за-
давало никакой функции, ведь не было дано формулы, по кото-
рой можно вычислить эту функцию. Тем не менее это определение
102
Глава III. Удивительные функции и линии
полностью задает функцию. (Теперь она называется
функцией Ди-
рихле
.) Из него совершенно ясно, что, например,
f
3
4
= 1
,
f
(
√
2) = 0
.
По сути дела, определение Дирихле (с указанным уточнением)
было окончательным для числовых функций числового аргумен-
та. Дальнейшее развитие состояло в том, что стали рассматривать
функции, заданные на произвольных множествах и принимающие
значения также на произвольных множествах. Именно, пусть даны
два множества
A
и
B
, и пусть каждому элементу
a
множества
A
поставлен в соответствие элемент
b
множества
B
. Тогда говорят,
что задана функция на множестве
A
со значениями в множестве
B
.
В столь общей формулировке понятие функции сливается с поняти-
ями
соответствия, отображения, преобразования
.
Например, с этой точки зрения площадь треугольника есть функ-
ция, заданная на множестве всех треугольников и принимающая зна-
чения в множестве положительных чисел. А вписанная в треуголь-
ник окружность есть функция, заданная на множестве всех тре-
угольников со значениями в множестве окружностей. Но мы не бу-
дем становиться здесь на столь общую точку зрения и ограничимся
функциями, заданными на числовых множествах и принимающими
числовые значения.
Джинн выходит из бутылки
Определение Дирихле позволило строить функции с самыми при-
чудливыми свойствами. Если раньше для построения функции с ка-
ким-нибудь необычным свойством надо было долго комбинировать
различные формулы, то теперь дело упростилось. Появилась воз-
можность строить и изучать различные функции, не думая о том,
существует ли единая формула, выражающая изучаемую функцию.
И за последние полтора столетия были построены функции, свой-
ства которых совершенно отличаются от свойств «добропорядоч-
ных» функций. Наверное, сам Дирихле не думал, что могут быть
такие «уроды».
Необычной является уже сама функция Дирихле, о которой
говорилось выше. Ведь на самом маленьком отрезке оси абсцисс
бесконечно много и рациональных чисел, и иррациональных чисел.
Но функция Дирихле для рациональных чисел равна единице, а для
Джинн выходит из бутылки
103
иррациональных — нулю. Поэтому, когда
x
пробегает ось абсцисс,
то значение функции все время прыгает от 0 к 1 и обратно. Постро-
ить график этой функции совершенно невозможно, потому что эта
функция во всех точках разрывна.
Но и среди непрерывных функций есть функции с неожиданны-
ми свойствами. Например, может ли непрерывная функция иметь
на конечном отрезке бесконечно много максимумов и минимумов?
На первый взгляд это совершенно невозможно. Ведь функция долж-
на успеть опуститься из точки максимума в точку минимума, потом
опять подняться в точку максимума и т. д. Как же ей сделать все это
на конечном отрезке? Тем не менее оказалось, что такие странные
функции существуют, причем построить их совсем нетрудно.
Построим такую функцию на отрезке
[0; 1]
. Для этого разде-
лим отрезок пополам и построим на левой половине равносторонний
треугольник. Теперь разделим оставшуюся правую половину снова
на две равные части и на части
h
1
2
;
3
4
i
построим второй равносторон-
ний треугольник. Выполним описанную операцию бесконечно много
раз. У нас получится горная цепь, состоящая из бесконечного числа
вершин, постепенно опускающаяся к точке 1 (рис. 35). Примем по-
лученную ломаную за график функции
f
(
x
)
. Тогда функция будет
определена в каждой точке отрезка
[0; 1]
, за исключением крайней
правой точки 1. В этой точке положим
f
(1) = 0
.
Рис. 35
Так как при приближении к точке 1 высоты вершин стремят-
ся к нулю, полученная нами функция непрерывна во всех точках
отрезка
[0; 1]
. А число максимумов и минимумов на этом отрезке
бесконечно велико!
Математику XVIII века, чтобы построить такую странную функ-
цию, понадобилось бы долго комбинировать различные функции,
104
Глава III. Удивительные функции и линии
прежде чем он догадался бы, что функция
f
(
x
) =
(
x
cos
π
x
,
если
x
6
= 0
,
0
,
если
x
= 0
имеет бесконечно много максимумов и минимумов на отрезке
[0; 1]
(рис. 36).
Рис. 36
Но функции с бесконечным числом максимумов и минимумов бы-
ли лишь началом неприятностей, ожидавших математиков. Джинн
только начал выходить из бутылки.
Мокрые точки
У функции, которую мы построили в предыдущем пункте, есть
лишь одна точка, около которой бесконечно много максимумов и ми-
нимумов, а именно точка 1. Сейчас мы построим другую функцию,
у которой таких точек будет куда больше.
Предположим, что на отрезок
[0; 1]
оси абсцисс падает сверху
дождь. Для защиты от дождя поступим следующим образом. Раз-
делим отрезок
[0; 1]
на три равные части и возведем над средней
частью палатку в форме равностороннего треугольника. Она защи-
тит от дождя все точки средней части (кроме точек
1
3
и
2
3
— концов
этой части). Теперь каждую из оставшихся двух частей снова разде-
лим на три равные части и защитим средние части палатками той же