Файл: Виленкин Рассказы о множествах.pdf

Мокрые точки

105

Дождь идет

формы (но втрое меньшего размера). У нас получится линия, изоб-
раженная на рис. 37. На третьем шаге процесса мы построим еще
четыре палатки, потом еще восемь и т. д.

Рис. 37

Возникает вопрос: все ли точки отрезка защищены получившейся

пилообразной линией или остались точки, которые дождь намочит?
Некоторые из таких «мокрых» точек указать легко — ими являют-

ся концы защищаемых отрезков (то есть такие точки, как

1
3

,

2
3

,

1
9

,

2
9

,

7
9

,

8
9

и т. д.). Все эти точки остаются без защиты при возведении

соответствующей палатки, а последующие палатки их тоже не защи-
щают. Легко видеть, что таких концов будет бесконечное, но лишь
счетное множество.

Но оказывается, что кроме этого счетного множества «мокрых»

точек найдется еще целый континуум таких точек. Чтобы описать
их, удобно прибегнуть к троичной системе счисления. Как извест-
но, эта система строится так же, как и десятичная, только единица
высшего разряда равна не десяти, а лишь трем единицам низшего

106

Глава III. Удивительные функции и линии

разряда. Поэтому в троичной системе счисления для записи чисел
вместо десяти цифр применяются лишь три цифры: 0, 1 и 2.

Легко научиться переводить числа из троичной системы счис-

ления в десятичную. Например, число, записываемое в троичной
системе так:

0

,

02020202

. . .

, в десятичной системе счисления изобра-

жается бесконечной геометрической прогрессией

2

3

2

+

2

3

4

+

2

3

6

+

. . .

Сумма этой прогрессии равна

1
4

. Поэтому

1
4

= 0

,

020202

. . .

Теперь мы уже можем точно сказать, какие точки останутся мок-

рыми после того, как все защитные палатки будут построены. Пер-

вая палатка защищает точки, лежащие между

1
3

и

2
3

. Но это те самые

точки, которые в троичной системе имеют запись вида

0

,

1

. . . ,

где точками обозначена любая последовательность цифр 0, 1 и 2
(точно так же, как в десятичной системе счисления между точками

1

10

и

2

10

лежат все точки, десятичная запись которых начинается

с цифры 1, то есть имеет вид

0

,

1

. . .

).

После первого шага мокрыми останутся точки, троичная запись

которых имеет вид

0

,

0

. . .

или вид

0

,

2

. . .

Точно так же доказывается, что после возведения двух пала-

ток на втором шаге мокрыми остаются лишь точки, троичная за-
пись которых начинается с одной из следующих четырех комбина-
ций:

0

,

00

. . .

,

0

,

02

. . .

,

0

,

20

. . .

,

0

,

22

. . .

. Итак, шаг за шагом защищаются

от дождя точки, в троичную запись которых входят единицы. В кон-
це концов останутся мокрыми лишь точки, которые можно записать
в троичной системе счисления, не используя 1. Например, останется
мокрой точка

1
4

= 0

,

020202

. . . ,

точка

3
4

= 0

,

20202

. . .

и т. д.

Чертова лестница

107

А теперь уже ясно, почему множество «мокрых» точек име-

ет мощность континуума. Ведь это множество можно поставить
во взаимно однозначное соответствие с множеством бесконечных
телеграмм (см. с. 78). Для этого нужно лишь каждой точке вида

0

,

20220200

. . .

поставить в соответствие бесконечную телеграмму, заменив 0 на точ-
ку, а 2 на тире. При этом разным числам будут соответствовать
разные телеграммы. Мы знаем, что множество бесконечных теле-
грамм имеет мощность континуума. Поэтому и множество мокрых
точек имеет ту же мощность.

Множество точек, которые мы назвали мокрыми, впервые по-

строил Кантор, и его называют

канторовым множеством

. Из по-

строения палаток видно, что около каждой точки канторова множе-
ства есть бесконечно много максимумов и минимумов пилообразной
линии.

Чертова лестница

С тем же самым канторовым множеством связана еще одна инте-

ресная функция. Она строится следующим образом. Снова разделим
отрезок

[0; 1]

на три равные части и положим, что во всех точках

средней части наша функция равна

1
2

. Потом левую и правую тре-

ти снова разделим на три равные части и положим, что от

1
9

до

2
9

функция равна

1
4

, а от

7
9

до

8
9

она равна

3
4

.

Теперь у нас остались четыре отрезка, на которых функция

еще не определена:

h

0;

1
9

i

,

h

2
9

;

1
3

i

,

h

2
3

;

7
9

i

,

h

8
9

; 1

i

. Разделим каждый

из них на три равные части и на каждой из средних частей положим

функцию равной соответственно

1
8

,

3
8

,

5
8

,

7
8

.

Продолжая этот процесс, мы получим функцию, которая опре-

делена во всех «сухих» точках, то есть во всех точках, не принадле-
жащих канторову множеству. Ее легко определить и в точках этого
множества так, чтобы она стала после этого непрерывной и неубы-
вающей. График получившейся функции приближенно изображен
на рис. 38. Он имеет вид лестницы с бесконечным числом ступенек
(на графике изображены не все ступени).

108

Глава III. Удивительные функции и линии

Рис. 38

Впрочем, после того как мы познакомились с линиями, имею-

щими бесконечно много максимумов и минимумов, лестницей с бес-
конечным числом ступенек вряд ли кого удивишь. Но удивительно
другое. Подсчитаем общую длину всех ступенек нашей лестницы.

Первая ступень имеет длину

1
3

, две вторые — по

1
9

, следующие четы-

ре ступени — по

1

27

и т. д. Таким образом, сумма длин всех ступеней

выражается бесконечной геометрической прогрессией

1
3

+

2
9

+

4

27

+

. . .

Сумма этой прогрессии равна

1
3

1

−

2
3

= 1

.

Таким образом, общая длина всех ступеней равна 1. Но на этих

ступеньках функция совсем не поднимается вверх, весь ее подъем

Колючая линия

109

сосредоточен в точках канторова множества. А на долю этого мно-
жества осталось очень «мало» точек — хотя его мощность и равна
континууму, но длина равна нулю! Ведь длина всего отрезка

[0; 1]

равна 1, и общая длина ступенек тоже равна 1, так что на долю
канторова множества остается лишь нулевая длина. Таким образом,
наша функция умудряется подняться вверх на 1, хотя растет только
на множестве нулевой длины и не делает нигде скачков! Не прав-
да ли, удивительно?

Колючая линия

На протяжении многих столетий математики имели дело лишь

с линиями, почти в каждой точке которых можно было провести ка-
сательную. Если и встречались исключения, то только в нескольких
точках. В этих точках линия как бы ломалась, и потому их называли
точками излома. Линия, изображенная на рис. 39

а

, имеет две точки

излома, а линия, изображенная на рис. 39

б

, — десять точек излома.

Рис. 39

Но линии, которые мы только что построили, имеют уже беско-

нечно много точек излома: линия на рис. 35 — счетное множество
таких точек, а линия на рис. 37 — целый континуум точек излома.
Она ломается во всех точках канторова множества, а кроме того,
в вершинах всех треугольников. Однако даже линия на рис. 37 име-
ет изломы на сравнительно «маленьком» множестве точек, длина
которого равна нулю.

В течение долгого времени никто из математиков не верил, что

может существовать непрерывная линия, целиком состоящая из зуб-
цов, изломов и колючек. Велико было изумление математиков, когда