ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.12.2020
Просмотров: 2162
Скачиваний: 53
110
Глава III. Удивительные функции и линии
удалось построить такую линию, более того, функцию, график кото-
рой был такой колючей изгородью. Первым сделал это чешский уче-
ный Больцано. Но его работа осталась неопубликованной, и впервые
такой пример опубликовал немецкий математик К. Вейерштрасс.
Однако пример Вейерштрасса очень трудно изложить — он основан
на теории тригонометрических рядов. Пример же Больцано совсем
простой и очень напоминает линии, которые мы строили раньше.
Мы расскажем сейчас пример Больцано с небольшими изменени-
ями. Разделим отрезок
[0; 1]
на четыре равные части и над двумя
средними частями построим равнобедренный прямоугольный тре-
угольник (рис. 40
а
). Получившаяся линия является графиком неко-
торой функции, которую обозначим через
y
=
f
1
(
x
)
.
Рис. 40
Разделим теперь каждую из четырех частей еще на четыре рав-
ные части и в соответствии с этим построим еще четыре равнобедрен-
ных прямоугольных треугольника (рис. 40
б
). Мы получим график
второй функции
y
=
f
2
(
x
)
. Если сложить эти две функции, то график
суммы
y
=
f
1
(
x
) +
f
2
(
x
)
будет иметь вид, изображенный на рис. 40
в
.
Видно, что получившаяся линия имеет уже больше изломов и эти
изломы гуще расположены. На следующем шаге мы снова разделим
каждую часть еще на четыре части, построим 16 равнобедренных
прямоугольных треугольников и прибавим соответствующую функ-
цию
y
=
f
3
(
x
)
к функции
y
=
f
1
(
x
) +
f
2
(
x
)
.
Продолжая этот процесс, мы будем получать все более и более
изломанные линии. В пределе получится линия, у которой излом
в каждой точке, и ни в одной точке к ней нельзя провести каса-
тельную.
Колючая линия
111
Похожий пример линии, нигде не имеющей касательной, постро-
ил голландский ученый Ван-дер-Варден. Он взял равносторонний
треугольник, разделил каждую его сторону на три равные части
и на средних частях построил новые равносторонние треугольни-
ки, смотрящие наружу. У него получилась шестиугольная звезда
(рис. 41
а
). Теперь каждую из двенадцати сторон этой звезды он
разделил еще на три части и снова на каждой из средних частей
построил правильный треугольник. Получилась еще более колючая
линия, изображенная на рис. 41
б
. После бесконечного числа делений
Рис. 41
и построений правильных треугольников получилась линия, в каж-
дой точке которой есть излом, колючка
1
.
Математики построили много непрерывных функций, графики
которых не имели касательной ни в одной точке, и начали изучать
их свойства. Эти свойства совсем не походили на свойства «добро-
порядочных» гладких функций, с которыми они до тех пор имели
дело. Поэтому математики, воспитанные в классических традициях,
с изумлением смотрели на новые функции. Более того, виднейший
представитель классического математического анализа Шарль Эр-
мит так писал своему другу, голландскому математику Стильтьесу:
«Я с ужасом отворачиваюсь от этой достойной сожаления язвы
непрерывных функций, не имеющих производной ни в одной точке»
(то есть, как мы их называли, всюду колючих линий).
Известный французский ученый А. Пуанкаре писал:
1
Сейчас такую «колючую звезду» называют «снежинкой фон Коха». —
Прим.
ред.
112
Глава III. Удивительные функции и линии
«Некогда при нахождении новых функций имелась в виду какая-
нибудь практическая цель. Теперь функции изобретаются специаль-
но для того, чтобы обнаружить недостаточность рассуждений наших
отцов; никакого иного вывода, кроме этого, из них нельзя извлечь».
Но дальнейшее развитие науки показало, что Пуанкаре был
неправ. В физике встречаются линии, очень напоминающие всю-
ду колючие линии Ван-дер-Вардена и других. Это — траектории
Рис. 42
частиц, совершающих под удара-
ми молекул броуновское дви-
жение.
Французский
ученый
Ф. Перрен сделал зарисовки дви-
жения таких частиц. Он на-
блюдал
их
положения
через
каждые полминуты и соединял
полученные точки прямолиней-
ными отрезками. В результате
у него получились запутанные
ломаные, вроде изображенных
на рис. 42. Но не следует думать,
что в действительности между
отдельными наблюдениями ча-
стица двигалась по прямой. Если
бы Перрен наблюдал ее не через
полминуты, а через полсекун-
ды, то каждый прямолинейный
отрезок пришлось бы заменить
ломаной, столь же сложной, как
и ломаные на рис. 42. И чем
меньше были бы промежутки между наблюдениями, тем сложнее
и «колючее» становилась бы ломаная. Американский математик
Н. Винер показал, что движение броуновской частицы, настолько
малой, что ее инерцией можно пренебречь, совершается по линии,
нигде не имеющей касательной.
Замкнутая линия бесконечной длины
С линиями бесконечной длины мы встречаемся часто — беско-
нечную длину имеет прямая линия, парабола, гипербола и т. д. Все
эти линии уходят в бесконечность, а потому и неудивительно, что их
длина бесконечна. Впрочем, нетрудно построить и линию, целиком
Замкнутая линия бесконечной длины
113
лежащую в конечной части плоскости, но имеющую бесконечную
длину. Для этого надо взять окружность и намотать на нее спираль
с бесконечным числом оборотов вблизи окружности (рис. 43). Так
как число оборотов бесконечно, а длина каждого витка больше дли-
ны окружности, то длина всей спирали бесконечна.
Но может ли существовать замкнутая линия бесконечной дли-
ны? Обычные замкнутые линии: окружность, эллипс, кардиоида
(рис. 44) — имеют конечную длину. Но длина колючей линии Ван-
дер-Вардена бесконечна.
Рис. 43
Рис. 44
В самом деле, периметр исходного треугольника был равен 3.
После первого шага получилась звезда, периметр которой, как лег-
ко подсчитать, равен 4. А на следующем шаге получилась линия,
состоящая из 64 отрезков длины
1
9
. Значит, ее периметр равен
64
9
.
Потом получается линия длины
256
27
и т. д. Вообще, после
n
-го шага
получается линия с периметром
3
·
4
3
n
. Но при возрастании
n
это
выражение стремится к бесконечности. Таким образом, длина линии
Ван-дер-Вардена бесконечна.
Существуют и другие линии бесконечной длины. Например,
построим линию так. Разделим отрезок
[0; 1]
пополам и на левой
половине построим равнобедренный треугольник высоты 1. Потом
разделим пополам отрезок
h
1
2
; 1
i
и на его левой половине
h
1
2
;
3
4
i
построим равнобедренный треугольник высоты
1
2
. Следующий рав-
нобедренный треугольник строится на отрезке
h
3
4
;
7
8
i
и тоже имеет
114
Глава III. Удивительные функции и линии
высоту
1
2
; следующие четыре треугольника возьмем с высотой
1
4
и т. д. (рис. 45).
У нас снова получается понижающаяся горная цепь, как и на
с. 103. Но теперь она понижается очень медленно. Ясно, что длины
Рис. 45
боковых сторон первого треугольни-
ка больше 1, второго и третьего —
больше
1
2
, четвертого, пятого, шесто-
го, седьмого — больше
1
4
и т. д. (дли-
на боковой стороны всегда больше
высоты). Поэтому длина всей лома-
ной не меньше, чем сумма бесконеч-
ного ряда
2 +
2
2
+
2
2
+
2
4
+
2
4
+
2
4
+
2
4
+
. . .
Но сумма чисел в каждой скобке рав-
на 2, а число скобок бесконечно. По-
этому сумма ряда равна бесконечности. Значит, и длина нашей
линии бесконечна.
Математический ковер
Рассказывают, что однажды Екатерина Вторая спросила како-
го-то генерала, в чем разница между мортирой и гаубицей. Рас-
терявшийся генерал ответил: «А видишь ли, государыня-матушка,
мортира-то она особь статья, а гаубица — особь статья». Пример-
но столь же содержательный ответ можно получить, если спросить
далекого от математики человека, в чем разница между линией, по-
верхностью и телом. Более того, он удивится, как можно спрашивать
о столь очевидных вещах. Ведь всякому ясно, что линия, поверх-
ность и тело — совсем разные вещи, и никто не назовет окружность
поверхностью или сферу линией.
Но еще один остроумный шахматный гроссмейстер сказал, что
разница между мастером и начинающим шахматистом состоит
в том, что начинающему все ясно в позиции, где для мастера все
полно тайны. Так же обстоит дело и с нашим вопросом. Конечно,
относительно таких геометрических фигур, как квадрат или окруж-
ность, ни у кого не возникает сомнений, линии они или поверхности.