Файл: Виленкин Рассказы о множествах.pdf

Математический ковер

115

Но в ходе развития науки после открытий Кантора появилось много
самых причудливых геометрических фигур, относительно которых
не только школьник, но и умудренный знаниями профессор ма-
тематики не сразу ответит, что это такое — линия, поверхность
или тело.

Вот некоторые из этих фигур. Возьмем отрезок

[0; 1]

, разделим

его пополам и восставим в середине отрезка перпендикуляр длины

1
2

.

Рис. 46

Теперь

каждую

из

поло-

вин разделим снова пополам
и в каждой новой точке деле-
ния проведем перпендикуляр,

но

теперь

уже

длины

1
4

.

Дальше снова разделим по-
лучившиеся отрезки пополам
и проведем в точках деления

перпендикуляры длины

1
8

. По-

сле пятого шага получим фигуру, изображенную на рис. 46. Но мы
не ограничимся пятью шагами, а повторим нашу операцию беско-
нечно много раз. В результате получится некоторая геометрическая
фигура. Так вот, чем же она является, линией или поверхностью?
Ведь мы провели бесконечно много перпендикуляров. Не сольют-
ся ли они и не заполнят ли маленький кусок поверхности около
отрезка

[0; 1]

? Ответ на этот вопрос не слишком легок.

А вот другой пример. Возьмем квадрат со стороной 1, разделим

его на 9 равных частей и выкинем среднюю часть (оставив сто-
роны выбрасываемого квадратика). После этого разделим каждый
из оставшихся квадратов снова на девять равных квадратиков еще
меньшего размера и снова выкинем центральные квадратики. Еще
один шаг приведет к фигуре, изображенной на рис. 47 (здесь за-
штрихованы выброшенные квадратики). Ясно, что фигура на рис. 47
является еще поверхностью. Но мы не остановимся на третьем шаге
и будем бесконечно много раз делить квадратики на девять равных
частей, после чего выбрасывать среднюю часть. В конце концов у нас
получится некоторая геометрическая фигура, которую называют

ковром Серпинского

по имени придумавшего ее польского ученого.

Эта фигура похожа на ткань, сотканную сумасшедшим ткачом.

Вдоль и поперек идут нити основы и утка, сплетаясь в очень сим-
метричные и красивые узоры. Но сама получившаяся ткань весьма

116

Глава III. Удивительные функции и линии

Рис. 47

Рис. 48

Евклид отказывает в помощи

117

дырява — ни одного целого куска в ней нет, каждый самый малень-
кий квадратик подвергался вырезанию центральной части. И совсем
неясно, чем является этот ковер — линией или поверхностью? Ведь,
с одной стороны, он не содержит ни одной целой части, а потому
вряд ли является поверхностью, а с другой — образующие его ни-
ти сплелись в настолько сложный узор, что вряд ли кто-нибудь без
колебаний назовет ковер Серпинского линией. Во всяком случае, на-
рисовать эту «линию» было бы невозможно.

А ковер Серпинского — не самая сложная из геометрических

фигур. Вместо квадрата мы могли бы взять куб, разделить его на 27
равных кубиков и выбросить центральный кубик вместе с шестью
прилегающими к нему кубиками. После этого разделим каждый
оставшийся кубик еще на 27 частей и продолжим операцию вы-
брасывания (на рис. 48 изображено тело, остающееся после двух
выбрасываний). Проделаем эту операцию бесконечно много раз.
Чем является оставшаяся после всех выбрасываний геометрическая
фигура — линией, поверхностью или телом?

Евклид отказывает в помощи

Когда перед математиками прежних времен вставал сложный

геометрический вопрос, они в первую очередь отправлялись смот-
реть, что написано об этом у Евклида. Ведь на протяжении почти
двух тысячелетий Евклид был эталоном математической строгости
и энциклопедией геометрической мудрости. Не зря даже философы,
стремясь обезопасить себя от упреков в нестрогости рассуждений,
прибегали к языку Евклида и формулировали свои утверждения как
аксиомы, леммы и теоремы.

Но как раз по интересующему нас вопросу у Евклида написано

нечто совсем невнятное. Первые строки книги Евклида «Начала»
гласят следующее.

1. Точка есть то, что не имеет частей.
2. Линия же длина без ширины.
3. Оконечность же линии — точка.
4. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.
5. Оконечность же поверхности — линия.
6. Граница есть то, что является оконечностью чего-либо.
7. Фигура есть то, что содержится внутри какой-нибудь или ка-

ких-нибудь границ.

118

Глава III. Удивительные функции и линии

Нет, как хотите, а это — что угодно, но не строгие математические

определения. Человек, не знающий, что такое точка, линия, поверх-
ность, вряд ли почерпнет полезные для себя сведения из этих «опре-
делений», напоминающих ответ растерявшегося генерала («Линия —
это особь статья, а поверхность — особь статья»). И уж во всяком
случае из этих определений не удастся узнать, что такое ковер Сер-
пинского — линия или поверхность, есть ли у него только длина без
ширины или и длина, и ширина.

Но во времена Евклида таких сложных фигур, как ковер Серпин-

ского, не знали, а для простых фигур определения были не слишком
нужны: всякий и так мог увидеть, где на чертеже линия, а где —
поверхность. Впрочем, и сам Евклид, по-видимому, чувствовал, что
с определениями основных понятий у него не все ладно. Во вся-
ком случае, приведя эти определения в начале книги, он потом
начисто о них забыл и ни разу на протяжении всего труда ими
не воспользовался.

Нужны ли строгие определения?

На протяжении двух тысячелетий авторитет Евклида стоял со-

вершенно незыблемо. Усомниться в каком-нибудь его положении
означало окончательно и бесповоротно подорвать свою математиче-
скую репутацию. Один из величайших математиков XIX века Карл
Фридрих Гаусс, еще до Лобачевского пришедший к идеям неев-
клидовой геометрии, не решился опубликовать свои исследования,
опасаясь, как он писал одному другу, крика беотийцев

1

. И только

научный подвиг великого русского геометра Николая Ивановича
Лобачевского, который опубликовал свои открытия, невзирая на на-
смешки не понимавших его ученых, сделал неевклидову геометрию
всеобщим достоянием.

После появления трудов Н. И. Лобачевского стало ясно, что су-

ществуют две геометрии, одинаково безупречные логически, но ино-
гда приводящие к совершенно различным теоремам. Но если это
так, то всякие ссылки на «геометрическую очевидность» полностью
потеряли цену. Каждое геометрическое утверждение надо было осно-
вывать на строгих определениях, безупречных логических утвержде-
ниях. И уж во всяком случае основным геометрическим понятиям —

1

Беотийцы — греческое племя, которое считалось весьма экономно наделен-

ным умственными способностями.

Нужны ли строгие определения?

119

линии, фигуре, телу — надо было дать точные определения, ничем
не напоминающие определения типа «это — особь статья, а то —
особь статья».

Стремление к строгим определениям характеризовало не только

геометрию, но и математический анализ XIX века. С помощью диф-
ференциального и интегрального исчислений, созданных трудами
Ньютона, Лейбница, Эйлера, Лагранжа и других великих матема-
тиков XVII и XVIII веков, удалось решить самые разнообразные
задачи, от расчета траектории артиллерийского снаряда до пред-
сказания движений планет и комет. Но основные понятия, с по-
мощью которых достигались эти замечательные результаты, были
определены крайне нестрого. Основа тогдашнего математического
анализа — понятие бесконечно малой величины — казалось чем-то
стоящим на грани бытия и небытия, чем-то вроде нуля, но не со-
всем нуля. И математики XVIII века были вынуждены ободрять
своих сомневающихся учеников словами: «Работайте, и вера к вам
придет».

Но ведь математика — не религия, строить ее на вере нельзя.

А самое главное — методы, дававшие столь замечательные резуль-
таты в руках великих мастеров, стали приводить к ошибкам и па-
радоксам, когда ими стали пользоваться менее талантливые уче-
ники. Мастеров оберегала от ошибок их абсолютная математиче-
ская интуиция, то подсознательное чувство, которое часто приводит
к правильному ответу скорее, чем длинные логические рассужде-
ния. Ученики же такой интуицией не обладали, и конец XVIII века
ознаменовался неслыханным скандалом в математике — наплывом
формул, стоивших меньше, чем бумага, на которой они были напеча-
таны, и сомнительных теорем, область приложимости которых была
совершенно неясна.

И, подобно детям, ломающим красивую игрушку, чтобы посмо-

треть, как она устроена, математики XIX века подвергли жестокой
критике все применявшиеся до того понятия, стали перестраивать
математику на базе строгих определений. Ссылки на наглядность
отвергались, вместо нее требовали строжайшей логики

1

. Но требо-

ваниям логики не удовлетворяли самые простые фразы из курса
математического анализа, например, такие, как: «Рассмотрим об-
ласть

G

, ограниченную замкнутой линией Г».

1

Правда, при этом они иногда выплескивали из ванны вместе с водой и ре-

бенка, и в XX веке многое из выброшенного было возвращено в науку.