Файл: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.1.2003.pdf

5.

(Ð) Ïàðàìåòðû èçîáðàæåííûõ íà ðèñ. Â4.21 ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ïðè ÷àñòî-

òå

w = w

0

íàïðÿæåíèÿ íà âõîäå òàêîâû, ÷òî

r

@

x

L

@

x

C

. Ñîñòàâüòå ñõåìû çàìåùåíèÿ

ýòèõ öåïåé ïðè

w

>>

w

0

;

w

<<

w

0

.

6.

Ïðèâåäèòå ïðèìåðû öåïåé, ñõåìû çàìåùåíèÿ êîòîðûõ ñëåäóåò èçìåíÿòü ïðè

èçìåíåíèè ÷àñòîòû íàïðÿæåíèÿ íà âõîäå.

ÇÀÄÀ×È

1.

(Ð) Íà ðèñ. Â4.22 èçîáðàæåíû äâå ýëåêòðè÷åñêèå öåïè. Óêàæèòå äèàïàçîí èç-

ìåíåíèÿ ÷àñòîòû

w

òîêà, ïðè êîòîðîì ýòè öåïè ìîãóò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê ïî-

ñëåäîâàòåëüíûå

rL

-öåïè.

2.

Èçâåñòíû ðåàêòèâíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ïðèëîæåííî-

ãî ê öåïè íàïðÿæåíèÿ

U

ð

, ðåàêòèâíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ

òîêà öåïè

I

ð

, àêòèâíàÿ ìîùíîñòü

Ð

, ïîòðåáëÿåìàÿ

öåïüþ. Ïîëó÷èòå âûðàæåíèÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñëå-

äóþùèõ âåëè÷èí: cos

j

,

r

,

x

,

z

, à òàêæå àêòèâíûõ

ñîñòàâëÿþùèõ òîêà è íàïðÿæåíèÿ.

3.

(Ð) Öåïü ñîñòîèò èç ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûõ èñòî÷íèêà ñèíóñîèäàëü-

íîé ÝÄÑ, äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå êîòîðîé ðàâíî

Å

, è äâóõïîëþñíèêà, ýêâèâà-

ëåíòíûå àêòèâíîå è ðåàêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèÿ êîòîðîãî ðàâíû, ñîîòâåòñòâåí-

íî,

r

ý

è

x

ý

. Îïðåäåëèòå àêòèâíóþ

I

à

è ðåàêòèâíóþ

I

ð

ñîñòàâëÿþùèå òîêà äâóõïî-

ëþñíèêà.

Âîïðîñû, óïðàæíåíèÿ, çàäà÷è ê ãëàâàì 3 è 4

223

Ðèñ. Â4.21

Ðèñ. Â4.22

Ãëàâà ïÿòàÿ

Ìåòîäû ðàñ÷åòà ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

ïðè óñòàíîâèâøèõñÿ ñèíóñîèäàëüíîì

è ïîñòîÿííîì òîêàõ

5.1. Êîìïëåêñíûé ìåòîä

 íàñòîÿùåé ãëàâå ðàññìîòðèì ìåòîäû ðàñ÷åòà óñòàíîâèâøèõñÿ ðåæèìîâ â ëè-

íåéíîé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, êîãäà ÝÄÑ, òîêè è íàïðÿæåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ñèíóñî-

èäàëüíûìè ôóíêöèÿìè âðåìåíè. Êàê áûëî îòìå÷åíî ðàíåå, îïðåäåëåíèå òîêîâ è

íàïðÿæåíèé â òàêèõ öåïÿõ ñâÿçàíî ñ íàõîæäåíèåì ÷àñòíûõ ðåøåíèé íåîäíîðîä-

íûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, çàïèñàííûõ íà îñíîâå çàêîíîâ Êèðõãîôà.

Âû÷èñëåíèå íåïîñðåäñòâåííî ïî ïåðâîìó çàêîíó Êèðõãîôà íåêîòîðîãî òîêà

ïî äðóãèì óæå íàéäåííûì òîêàì, ñõîäÿùèìñÿ ê äàííîìó óçëó öåïè, èëè âû÷èñ-

ëåíèå ïî âòîðîìó çàêîíó Êèðõãîôà ïàäåíèÿ íàïðÿæåíèÿ íà íåêîòîðîì ó÷àñòêå

êîíòóðà öåïè ïî óæå íàéäåííûì ïàäåíèÿì íàïðÿæåíèÿ íà äðóãèõ ó÷àñòêàõ êîí-

òóðà è ÝÄÑ, âõîäÿùèì â äàííûé êîíòóð öåïè, òðåáóþò ñóììèðîâàíèÿ ñèíóñîè-

äàëüíûõ òîêîâ èëè íàïðÿæåíèé è ÝÄÑ. Îäíàêî ýòà îïåðàöèÿ ñâÿçàíà ñ ãðîìîçä-

êèìè è òðóäîåìêèìè âû÷èñëåíèÿìè.

Ãðîìîçäêîñòü ïîäîáíûõ âû÷èñëåíèé ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì òîãî, ÷òî ñèíóñîè-

äàëüíàÿ âåëè÷èíà — òîê, íàïðÿæåíèå, ÝÄÑ — ïðè çàäàííîé ÷àñòîòå

w

îïðåäåëÿ-

åòñÿ

äâóìÿ

âåëè÷èíàìè — à ì ï ë è ò ó ä î é è í à ÷ à ë ü í î é ô à ç î é.

Ñóùåñòâåííîå óïðîùåíèå äîñòèãàåòñÿ èçîáðàæåíèåì ñèíóñîèäàëüíûõ ôóíê-

öèé âðåìåíè êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè

&

A

, òàê êàê êàæäîå êîìïëåêñíîå ÷èñëî ñî-

äåðæèò â ñåáå

äâå

âåëè÷èíû — ì î ä ó ë ü

A

è à ð ã ó ì å í ò

y

A

ïðè ïîêàçàòåëüíîé

ôîðìå çàïèñè

&

A Ae

j

A

=

y

èëè â å ù å ñ ò â å í í ó þ

a

1

=

A

cos

y

A

è ì í è ì ó þ

ja

2

=

jA

sin

y

A

ñîñòàâëÿþùèå

ïðè àëãåáðàè÷åñêîé è òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìàõ çàïèñè

&

cos

sin

,

A a

ja

A

jA

A

A

=

+

=

+

1

2

y

y

ãäå

j

= -

1 è

e

— îñíîâàíèå íàòóðàëüíûõ ëîãàðèôìîâ.

Ìåòîä, îñíîâàííûé íà ñèìâîëè÷åñêîì èçîáðàæåíèè äåéñòâèòåëüíûõ ñèíó-

ñîèäàëüíûõ ôóíêöèé âðåìåíè êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè, ââåäåííûé â òåîðèþ

ïåðåìåííûõ òîêîâ Øòåéíìåöîì, à çàòåì â øèðîêîå óïîòðåáëåíèå â Ðîññèè àêà-

äåìèêîì Â. Ô. Ìèòêåâè÷åì, áóäåì íàçûâàòü ê î ì ï ë å ê ñ í û ì ì å ò î ä î ì. Åãî

íàçûâàþò òàêæå ñ è ì â î ë è ÷ å ñ ê è ì ì å ò î ä î ì, òàê êàê îí îñíîâàí íà ñèìâî-

ëè÷åñêîì èçîáðàæåíèè äåéñòâèòåëüíûõ ñèíóñîèäàëüíûõ ôóíêöèé âðåìåíè

êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè.

Äëÿ âåùåñòâåííîé è ìíèìîé ÷àñòåé êîìïëåêñíîãî ÷èñëà óïîòðåáëÿþò òàêæå

îáîçíà÷åíèÿ

a

1

=

Re (

&

A

),

a

2

=

Im (

&

A

).

Ñóùåñòâóþò ñëåäóþùèå î÷åâèäíûå ñâÿçè:

a

A

A

a

A

A

A

a

a

A

A

A

1

2

1

2

2

2

=

=

=

=

=

+

=

Re(

&

)

cos

;

Im (

&

)

sin

;

;

y

y

y

arctg

a

a

2

1

.

Çàìåòèì òàêæå, ÷òî

j e

j

j e

j

j

j

=

= - =

= -

-

p

p

2

2

2

1

1

;

;

.

Äâå êîìïëåêñíûå âåëè÷èíû, èìåþùèå ðàâíûå ìîäóëè è ðàâíûå, íî ïðîòèâî-

ïîëîæíûå ïî çíàêó àðãóìåíòû, íàçûâàþò ñ î ï ð ÿ æ å í í û ì è. Åñëè èìååì êîì-

ïëåêñíîå ÷èñëî

&

A Ae

j

A

=

y

=

a

1

+

ja

2

, òî ñîïðÿæåííîå åìó êîìïëåêñíîå ÷èñëî çàïè-

øåòñÿ â ôîðìå

A

Ae

j

A

*

-

=

y

=

a

1

–

ja

2

. Âàæíî îòìåòèòü ñëåäóþùèå ñâîéñòâà

ñîïðÿæåííûõ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë:

&

;

Re (

&

)

(

&

);

Im (

&

)

(

&

AA

Ae Ae

A

A

A A

A

j

A

j

j

A

A

*

-

*

=

=

=

+

=

y

y

2

1

2

1

2

-

*

A

).

Ïóñòü èìååòñÿ ñèíóñîèäàëüíî èçìåíÿþùèéñÿ òîê

i

=

I

m

sin (

w

t

+

y

i

). Åãî ìîæ-

íî ïðåäñòàâèòü â ôîðìå

(

)

(

)

i I

t

j

I e

I e

I

m

i

m

j t

m

j t

i

z

z

i

=

+

=

-

é
ëê

ù
ûú

=

+

-

+

sin(

)

Im

w y

w y

w y

1

2

(

)

m

j t

e

i

w y

+

é
ëê

ù
ûú

,

÷òî âèäíî òàêæå èç ñîîòíîøåíèÿ

(

)

I e

I

t

jI

t

m

j t

m

i

m

i

i

w y

w y

w y

+

=

+

+

+

cos(

)

sin(

).

Êîìïëåêñíîå ÷èñëî

(

)

I e

I e e

I e

m

j t

m

j

j t

m

j t

i

i

w y

y

w

w

+

=

=

&

è áóäåì ðàññìàòðèâàòü êàê ñèìâîëè÷åñêîå èçîáðàæåíèå äåéñòâèòåëüíîãî ñèíó-

ñîèäàëüíîãî òîêà

i

=

I

m

sin (

w

t

+

y

i

); îíî, òàê æå êàê è âåëè÷èíà

i

, îïðåäåëÿåòñÿ

ïðè çàäàííîé ÷àñòîòå

w

äâóìÿ

âåëè÷èíàìè — àìïëèòóäîé

I

m

è íà÷àëüíîé ôà -

çîé

y

i

. Êîìïëåêñíîå ÷èñëî

I e

m

j

i

y

íàçûâàþò ê î ì ï ë å ê ñ í î é à ì ï ë è ò ó ä î é

òîêà. Ââîäÿ çíàê èçîáðàæåíèÿ

Þ

, áóäåì ïèñàòü

(

)

i I

t

I e

I e

m

i

m

j t

m

j t

i

=

+

Þ

=

+

sin (

)

&

.

w y

w y

w

Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ïåðåõîäà îò äåéñòâèòåëüíîé ñèíóñîèäàëüíîé ôóíêöèè,

íàçîâåì åå îðèãèíàëîì, ê åå èçîáðàæàþùåé êîìïëåêñíîé âåëè÷èíå íåîáõîäèìî

ìîäóëü ïîñëåäíåé âçÿòü ðàâíûì àìïëèòóäå ñèíóñîèäàëüíîé ôóíêöèè è àðãó-

ìåíò âçÿòü ðàâíûì àðãóìåíòó ñèíóñîèäàëüíîé ôóíêöèè.

Äëÿ îáðàòíîãî ïåðåõîäà îò êîìïëåêñíîãî ÷èñëà, èçîáðàæàþùåãî äåéñòâèòåëü-

íóþ ôóíêöèþ, ê ñàìîé äåéñòâèòåëüíîé ôóíêöèè, ò. å. ê îðèãèíàëó, íåîáõîäèìî

âçÿòü êîýôôèöèåíò ïðè

j

ìíèìîé ÷àñòè êîìïëåêñíîãî ÷èñëà.

Ðàññìîòðèì òåïåðü âûðàæåíèå äëÿ ïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè îò ñèíóñîèäàëü-

íîãî òîêà

di

dt

I

t

I

t

m

i

m

i

=

+

=

+

+

æ
è

ç

ö
ø

÷

w

w y

w

w y

p

cos (

)

sin

.

2

Èç òîëüêî ÷òî ñêàçàííîãî âûòåêàåò, ÷òî åå èçîáðàæåíèå áóäåò èìåòü âèä

Ãëàâà 5. Ðàñ÷åò öåïåé ïðè ñèíóñîèäàëüíîì è ïîñòîÿííîì òîêàõ

225

(

)

(

)

w

w

w

w y p

p

w y

w y

I e

I e e

j I e

j

m

j t

m

j

j t

m

j t

i

i

i

+ +

æ
è

çç

ö
ø

÷÷

+

+

=

=

=

2

2

w

w

&

.

I e

m

j t

Òàêèì îáðàçîì,

di

dt

j I e

m

j t

Þ w

w

&

,

ò. å. îïåðàöèÿ âçÿòèÿ ïðîèçâîäíîé îò äåéñòâèòåëüíîé ôóíêöèè çàìåíÿåòñÿ óìíî-

æåíèåì íà

j

w

åå êîìïëåêñíîãî èçîáðàæåíèÿ. Ñîîòâåòñòâåííî, äëÿ ïðîèçâîäíîé

n

-ãî ïîðÿäêà èìååì

d i
dt

j

I e

n

n

n

m

j t

Þ

(

&

.

w)

w

Ðàññìîòðèì âûðàæåíèå äëÿ çàðÿäà, ðàâíîãî èíòåãðàëó îò ñèíóñîèäàëüíîãî

òîêà:

q t

i dt q

I

t

I

q

t

m

i

m

i

( )

( )

cos(

)

cos

( )

=

= -

+

+

+

é
ëê

ù
û

ò

0

0

0

+

w

w y

w

y

ú

.

Òàê êàê ìû ðàññìàòðèâàåì òîëüêî ñëó÷àè, êîãäà ïðèëîæåííîå ê çàæèìàì

öåïè íàïðÿæåíèå è ÝÄÑ, äåéñòâóþùèå â öåïè, ñèíóñîèäàëüíû è íå ñîäåðæàò ïî-

ñòîÿííûõ ñîñòàâëÿþùèõ, òî, êàê óæå áûëî ïîëó÷åíî â § 4.4, íàïðÿæåíèÿ íà êîí-

äåíñàòîðàõ, à ñëåäîâàòåëüíî, è çàðÿäû íà êîíäåíñàòîðàõ òàêæå íå ñîäåðæàò ïî-

ñòîÿííûõ ñîñòàâëÿþùèõ è, ñîîòâåòñòâåííî,

I

q

m

i

w

y

cos

( )

.

+

é
ëê

ù
ûú

=

0

0

Òàêèì îáðàçîì,

i dt q

I

t

I

t

t

m

i

m

i

0

0

2

ò

= -

+

=

+

-

æ
è

ç

ö
ø

÷

+

w

w y

w

w y

p

( )

cos(

)

sin

.

Èñêîìîå èçîáðàæåíèå áóäåò èìåòü âèä

(

)

i dt q

I e

I e e

t

m

j t

m

j

j t

i

i

0

2

2

0

ò

Þ

=

=

+ -

æ
è

çç

ö
ø

÷÷

-

+

+

w

w

w y p

p

w y

( )

I

j

e e

I

j

e

m

j

j t

m

j t

i

w

w

y

w

w

=

&

,

ò. å. îïåðàöèÿ èíòåãðèðîâàíèÿ äåéñòâèòåëüíîé ôóíêöèè çàìåíÿåòñÿ äåëåíèåì íà

j

w

åå êîìïëåêñíîãî èçîáðàæåíèÿ.

Òàêèì îáðàçîì, êîìïëåêñíûé ìåòîä ÿâëÿåòñÿ

ìåòîäîì àëãåáðàèçàöèè

äèôôå-

ðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Ñóùíîñòü åãî çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ñíà÷àëà âñå çà-

äàííûå ôóíêöèè âðåìåíè çàìåíÿåì èõ êîìïëåêñíûìè èçîáðàæåíèÿìè è âñå

äèôôåðåíöèàëüíûå è àëãåáðàè÷åñêèå óðàâíåíèÿ, ñîñòàâëåííûå ïî çàêîíàì

Êèðõãîôà, çàìåíÿåì àëãåáðàè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè â êîìïëåêñíîé ôîðìå, ñî-

äåðæàùèìè êîìïëåêñíûå âåëè÷èíû çàäàííûõ è èñêîìûõ ôóíêöèé è èõ ïðîèç-

âîäíûõ è èíòåãðàëîâ. Ðåøàÿ ýòè àëãåáðàè÷åñêèå óðàâíåíèÿ, íàõîäèì êîìïëåêñ-

íûå âûðàæåíèÿ èñêîìûõ ôóíêöèé è îò íèõ ïåðåõîäèì ê îðèãèíàëàì ýòèõ

ôóíêöèé.

226

×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

 âèäå ïðèìåðà ðàññìîòðèì óðàâíåíèå Êèðõãîôà äëÿ öåïè ñ ïîñëåäîâàòåëüíî

ñîåäèíåííûìè ó÷àñòêàìè

r

,

L

è

C

, ê çàæèìàì êîòîðîé ïðèëîæåíî íàïðÿæåíèå

u

=

U

m

sin (

w

t

+

y

u

). Îíî èìååò âèä

ri L di

dt C

i dt q

u

t

+

+

é

ë

ê

ê

ù

û

ú

ú

=

ò

1

0

0

+

( )

.

Èçîáðàçèâ íàïðÿæåíèå

u

, òîê

i

, åãî ïðîèçâîäíóþ

di

/

dt

è èíòåãðàë

i dt

t

0

ò

+

q

(0)

èõ êîìïëåêñíûìè âûðàæåíèÿìè

&

,

&

,

&

&

,

U e

I e

j I e

I

j

e

m

j t

m

j t

m

j t

m

j t

w

w

w

w

w

w

è

ãäå

&

U

U e

m

m

j

u

=

y

è

&

I

I e

m

m

j

i

=

y

, ïîëó÷èì àëãåáðàè÷åñêîå óðàâíåíèå â êîìïëåêñíîé

ôîðìå

rI e

j LI e

j C

I e

U e

m

j t

m

j t

m

j t

m

j t

&

&

&

&

.

w

w

w

w

w

w

+

+

=

1

Ñîêðàòèâ åãî íà

e

j

w

t

, íàéäåì

&

&

I r j L

j C

U

m

m

+

+

æ
è

çç

ö
ø

÷÷ =

w

w

1

èëè

&

&

(

)

.

I

U

r j L

j C

m

m

=

+

+

w

w

1

Èç ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ ëåãêî îïðåäåëÿåòñÿ êîìïëåêñíàÿ àìïëèòóäà òîêà

&

I

I e

m

m

j

i

=

y

, íàéäÿ êîòîðóþ, ñðàçó ìîæíî íàïèñàòü ðàçûñêèâàåìîå ÷àñòíîå ðåøå-

íèå, ò. å. âûðàæåíèå äëÿ ìãíîâåííîãî òîêà óñòàíîâèâøåãîñÿ ðåæèìà, à èìåííî

i

I e

I

t

m

j t

m

i

=

=

+

Im (

&

)

(sin

).

w

w y

Íàñ îáû÷íî èíòåðåñóþò äåéñòâóþùèå òîêè è íàïðÿæåíèÿ. Òàê êàê äåéñòâóþ-

ùèå ñèíóñîèäàëüíûå òîêè è íàïðÿæåíèÿ ìåíüøå èõ àìïëèòóä â 2 ðàç, òî îáû÷-

íî âìåñòî êîìïëåêñíûõ àìïëèòóä ðàññìàòðèâàþò ê î ì ï ë å ê ñ í û å ä å é ñ ò -

â ó þ ù è å â å ë è ÷ è í û:

&

&

;

&

&

.

I

I

Ie

U U

Ue

m

j

m

j

i

u

=

=

=

=

2

2

y

y

 äàëüíåéøåì êîìïëåêñíûå äåéñòâóþùèå òîê, íàïðÿæåíèå èëè ÝÄÑ áóäåì

äëÿ êðàòêîñòè èìåíîâàòü ê î ì ï ë å ê ñ í û ì è ò î ê î ì , í à ï ð ÿ æ å í è å ì èëè

ÝÄÑ.

Èíòåðåñóÿñü òîëüêî äåéñòâóþùèìè òîêàìè è íàïðÿæåíèÿìè è èõ íà÷àëüíû-

ìè ôàçàìè, à ñîîòâåòñòâåííî, è ñäâèãàìè ôàç, áóäåì îïóñêàòü ìíîæèòåëü

e

j

w

t

.

Óñòàíîâèì ñîîòâåòñòâèå èçîáðàæåíèé ñèíóñîèäàëüíûõ òîêîâ, íàïðÿæåíèé

è ÝÄÑ êîìïëåêñíûìè äåéñòâóþùèìè çíà÷åíèÿìè ñ èõ èçîáðàæåíèÿìè ñ ïî-

ìîùüþ âåêòîðîâ.

Ãëàâà 5. Ðàñ÷åò öåïåé ïðè ñèíóñîèäàëüíîì è ïîñòîÿííîì òîêàõ

227