Файл: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.1.2003.pdf

×òîáû èçáàâèòüñÿ îò ìíèìîñòè â çíàìåíàòåëå, íåîáõîäèìî óìíîæèòü ÷èñëè-

òåëü è çíàìåíàòåëü íà ñîïðÿæåííóþ çíàìåíàòåëþ êîìïëåêñíóþ âåëè÷èíó. Íà-

ïðèìåð,

Y

r

jx

r

jx

r

jx

r

r

x

j x

r

x

g

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

=

-

+

-

=

+

-

+

=

-

(

)(

)

jb

2

.

Çäåñü èíòåðåñíî îòìåòèòü, ÷òî, ïîëüçóÿñü êîìïëåêñíûì ìåòîäîì, àâòîìàòè-

÷åñêè ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ýêâèâàëåíòíûìè ïðîâîäèìîñòÿìè

g

è

b

è

ñîïðîòèâëåíèÿìè

r

è

x

öåïè èëè åå ó÷àñòêà, âûâåäåííûå â § 4.8.

Ïåðâûé ó÷àñòîê ñîåäèíåí ïîñëåäîâàòåëüíî ñî âçÿòûìè âìåñòå âòîðûì è

òðåòüèì ó÷àñòêàìè. Ñëåäîâàòåëüíî, êîìïëåêñíîå ñîïðîòèâëåíèå âñåé öåïè

Z Z

Z

=

+

1

23

,

ãäå

Z

r

jx Z

Y

g

jb

g

g

b

j

b

g

1

1

1

23

23

23

23

23

23

2

23

2

23

23

2

1

1

= +

=

=

-

=

+

+

;

+

b

23

2

.

Êîìïëåêñíûé òîê â íåðàçâåòâëåííîé ÷àñòè öåïè

&

&

,

I

U

Z

1

=

ïðè÷åì

&

U

ìîæíî ïðèíÿòü âåùåñòâåííûì, ò. å.

&

U

=

U

. Ýòî çíà÷èò, ÷òî âåêòîð ïðè-

ëîæåííîãî íàïðÿæåíèÿ

U

íàïðàâëÿåì ïî îñè âåùåñòâåííûõ. Êîìïëåêñíîå íà-

ïðÿæåíèå íà âòîðîì è òðåòüåì ó÷àñòêàõ íàõîäèì èç ðàâåíñòâ

&

& &

&

&

,

U

U I Z

U

I Z

23

1 1

23

1 23

= -

=

èëè

ïîñëå ÷åãî ëåãêî îïðåäåëÿþòñÿ êîìïëåêñíûå òîêè â ýòèõ ó÷àñòêàõ:

&

&

;

&

&

.

I

U Y

I

U Y

2

23 2

3

23 3

=

=

Çíàÿ êîìïëåêñíîå ñîïðîòèâëåíèå

Z

=

r + jx

âñåé öåïè, îïðåäåëÿåì óãîë ñäâèãà

j

ìåæäó íàïðÿæåíèåì

U

è òîêîì

I

èç ñîîòíîøåíèÿ

j =

arctg

x

r

.

Ïîëüçóÿñü âûðàæåíèÿìè äëÿ àêòèâíîé è ðåàêòèâíîé ìîùíîñòåé ïðè ïîñëå-

äîâàòåëüíîì è ïàðàëëåëüíîì ñîåäèíåíèÿõ, íåòðóäíî óñìîòðåòü, ÷òî è â ñëó÷àå

ñìåøàííîãî ñîåäèíåíèÿ àêòèâíàÿ ìîùíîñòü âñåé öåïè ðàâíà ñóììå àêòèâíûõ

ìîùíîñòåé, ðàñõîäóåìûõ íà îòäåëüíûõ åå ó÷àñòêàõ, à ðåàêòèâíàÿ ìîùíîñòü âñåé

öåïè ðàâíà àëãåáðàè÷åñêîé ñóììå ñîîòâåòñòâóþùèõ ðåàêòèâíûõ ìîùíîñòåé.

5.8. Î ðàñ÷åòå ñëîæíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Ýëåêòðè÷åñêèå öåïè, ñõåìà êîòîðûõ íå ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì ñî÷åòàíèåì ïîñëåäî-

âàòåëüíîãî è ïàðàëëåëüíîãî ñîåäèíåíèé ó÷àñòêîâ öåïè, áóäåì íàçûâàòü ñ ë î æ -

í û ì è ö å ï ÿ ì è. Êàê óæå áûëî óêàçàíî, ìîæíî ïðîèçâåñòè ðàñ÷åò ëþáîé ñëîæ-

íîé öåïè, ñîñòàâèâ íà îñíîâå çàêîíîâ Êèðõãîôà ñèñòåìó óðàâíåíèé è ðåøèâ åå.

 îáùåì ñëó÷àå ïðèìåíåíèå çàêîíîâ Êèðõãîôà â ñî÷åòàíèè ñ çàäàííûìè çàâèñè-

ìîñòÿìè ìåæäó íàïðÿæåíèÿìè íà îòäåëüíûõ ýëåìåíòàõ è òîêàìè â íèõ ïðèâî-

äèò ê ñèñòåìå äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Ïðèìåíåíèå êîìïëåêñíîãî ìåòîäà

Ãëàâà 5. Ðàñ÷åò öåïåé ïðè ñèíóñîèäàëüíîì è ïîñòîÿííîì òîêàõ

233

ïîçâîëÿåò íàéòè ÷àñòíîå ðåøåíèå ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â óñ-

òàíîâèâøåìñÿ ðåæèìå ïðè ïðîòåêàíèè ñèíóñîèäàëüíûõ òîêîâ â ëèíåéíîé ýëåê-

òðè÷åñêîé öåïè. Ïðè ýòîì äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ äëÿ ìãíîâåííûõ èñêî-

ìûõ òîêîâ çàìåíÿþòñÿ àëãåáðàè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè äëÿ êîìïëåêñíûõ òîêîâ,

íàïðÿæåíèé è ÝÄÑ.

×èñëî íåçàâèñèìûõ óðàâíåíèé äîëæíî áûòü ðàâíî ÷èñëó íåèçâåñòíûõ. Åñëè

îòûñêèâàþòñÿ òîêè âî âñåõ âåòâÿõ, òî ÷èñëî óðàâíåíèé äîëæíî áûòü ðàâíî ÷èñ-

ëó âåòâåé â öåïè. Òàêîå ðàâåíñòâî èìååò ìåñòî â öåïè, â êîòîðîé îòñóòñòâóþò

èäåàëüíûå èñòî÷íèêè òîêà. Ïðè íàëè÷èè èäåàëüíûõ èñòî÷íèêîâ òîêà â

s

âåòâÿõ

÷èñëî óðàâíåíèé áóäåò ìåíüøå îáùåãî ÷èñëà âåòâåé íà ýòó âåëè÷èíó

s

, òàê êàê â

òàêèõ âåòâÿõ òîêè çàäàíû íåçàâèñèìî îò ðåæèìà â îñòàëüíîé öåïè.

Òàêèì îáðàçîì, â ñàìîì îáùåì ñëó÷àå ìàêñèìàëüíîå ÷èñëî óðàâíåíèé îïðå-

äåëÿåòñÿ ÷èñëîì âåòâåé

p

, íå ñîäåðæàùèõ òîëüêî èäåàëüíûå èñòî÷íèêè òîêà.

Èñòî÷íèêè òîêà, ñîäåðæàùèåñÿ â îáîáùåííûõ âåòâÿõ, íå âõîäÿò â ýòî ÷èñëî.

 § 3.17 áûëà ïîëó÷åíà ïîëíàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, â êî-

òîðóþ âõîäèëè

q –

1 óðàâíåíèé, ñîñòàâëåííûõ äëÿ òîêîâ (â óçëàõ èëè â ñå÷åíè-

ÿõ) ñîãëàñíî ïåðâîìó çàêîíó Êèðõãîôà, è

n

=

p – q

+ 1 óðàâíåíèé, ñîñòàâëåííûõ

äëÿ íàïðÿæåíèé (â êîíòóðàõ) ñîãëàñíî âòîðîìó çàêîíó Êèðõãîôà.

 ìàòðè÷íîé ôîðìå ñ ó÷åòîì ïåðåõîäà îò ìãíîâåííûõ òîêîâ è íàïðÿæåíèé ê

êîìïëåêñíûì òîêàì è íàïðÿæåíèÿì ìîæíî çàïèñàòü

q

– 1 óðàâíåíèé Êèðõãîôà

äëÿ óçëîâ

AI

A

= - ÁÁ

èëè äëÿ ñå÷åíèé

DI

D

= - ÁÁ

è

n

=

p – q

+ 1 óðàâíåíèé Êèðõãîôà äëÿ êîíòóðîâ

CU CE

=

,

ãäå

I

U

E

=

ÁÁ =

Á

Á

=

=

&

&

;

&

&

;

&

&

;

&

&

I

I

U

U

E

E

p

p

p

p

1

1

1

1

M

M

M

M

— ìàòðèöû-âåêòîðû (ìàòðèöû-ñòîëáöû) ïîðÿäêà

p

´

1;

A

— ìàòðèöà óçëîâûõ ñî-

åäèíåíèé ïîðÿäêà (

q

– 1)

´

p

;

D

— ìàòðèöà ñå÷åíèé ïîðÿäêà (

q

– 1)

´

p

;

C

— ìàò-

ðèöà êîíòóðîâ ïîðÿäêà

n

´

p

. Íàïîìíèì, ÷òî ïåðâîå ÷èñëî îïðåäåëÿåò ÷èñëî

ñòðîê ìàòðèöû, à âòîðîå — ÷èñëî ñòîëáöîâ. Âñå ìàòðèöû óïîðÿäî÷åíû, ò. å. ñíà-

÷àëà ïðîíóìåðîâàíû âåòâè äåðåâà (îò 1 äî

q

– 1), à çàòåì óæå ñâÿçè (îò

q

äî

p

).

Ïðèìåíåíèå êîìïëåêñíîãî ìåòîäà òðåáóåò çàïèñè â êîìïëåêñíîé ôîðìå âñåõ

çàäàííûõ ÝÄÑ, òîêîâ èñòî÷íèêîâ è çàâèñèìîñòåé ìåæäó òîêàìè è íàïðÿæåíèÿ-

ìè. Ó÷èòûâàÿ îñîáåííîñòè ëèíåéíûõ öåïåé è ïåðåõîäà îò äèôôåðåíöèàëüíûõ

óðàâíåíèé ê èõ àëãåáðàè÷åñêèì èçîáðàæåíèÿì, äëÿ ïàññèâíûõ ýëåìåíòîâ îáîá-

ùåííîé âåòâè ìîæåì çàïèñàòü

&

&

&

&

&

&

&

.

U

r I

j L I

j C

I

Z I

I

Y U

k

k k

k k

k

k

k k

k

k

k

=

+

+

=

=

w

w

1

èëè

Òàêèå óðàâíåíèÿ ìîãóò áûòü çàïèñàíû äëÿ

p

âåòâåé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè. Ââå-

äåì â ðàññìîòðåíèå ì à ò ð è ö ó ñ î ï ð î ò è â ë å í è é è ì à ò ð è ö ó ï ð î â î ä è -

234

×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

ì î ñ ò å é, ïðåäñòàâëÿþùèå ñîáîé êâàäðàòíûå ìàòðèöû ïîðÿäêà

p

´

p

, ñîñòîÿùèå

èç äèàãîíàëüíûõ íåíóëåâûõ ýëåìåíòîâ

Z

k

è

Y

k

ñîîòâåòñòâåííî:

1

1

1

0

0

1

2

.

. .

.

.

. .

.

.
.
.
.

. .

.

.

. .

.

.

.

.

. .

.

.

.

.

. .

.

.

.

.

. .

p

p

p

Z

Z

Z

=

Z

Z

p

Y

Y

p

p

-

=

1

1

2

0

0

1

0

0

.

.

. .

;

.
.
.
.

. .

.

.

. .

.

.

.

.

. .

.

.

.

.

. .

.

.

.

.

.

Y

.

.

.

. .

.

Y

Y

p

p

-

1

0

0

Èìåþò ìåñòî î÷åâèäíûå ðàâåíñòâà

Z Y

Y Z

=

=

–

–

1

1

è

.

Óðàâíåíèÿ, ñâÿçûâàþùèå òîêè è íàïðÿæåíèÿ ïàññèâíûõ ÷àñòåé âåòâåé, ïðåä-

ñòàâëÿþò ñîáîé çàêîíû Îìà â êîìïëåêñíîé ôîðìå. Â ìàòðè÷íîé ôîðìå çàêîí

Îìà áóäåò èìåòü âèä

U ZI

I Z U YU

=

=

=

èëè

–

1

.

Ñ ó÷åòîì ïîñëåäíèõ ðàâåíñòâ ìîæåì ñîñòàâèòü ñèñòåìó èç

p

óðàâíåíèé äëÿ

èñêîìûõ

p

íàïðÿæåíèé

AI AYU

A

=

= - ÁÁ

(èëè

DYU

D

= - ÁÁ

) è

CU CE

=

,

èëè ñîñòàâèòü ñèñòåìó èç

p

óðàâíåíèé äëÿ èñêîìûõ

p

òîêîâ

CU CZI CE

AI

A

=

=

= - ÁÁ

è

(èëè

DU

D

= - ÁÁ

).

 êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì öåïü, èçîáðàæåííóþ íà ðèñ. 5.5,

à

. Íà

ðèñ. 5.5,

á

ýòà öåïü ïðåäñòàâëåíà â âèäå äâóõïîëþñíèêîâ ñ êîìïëåêñíûìè ïàðà-

ìåòðàìè. Ãðàô ñõåìû (ðèñ. 5.5,

á

), èçîáðàæåííûé íà ðèñ. 5.5,

â

, ñîâïàäàåò ñ ãðà-

Ãëàâà 5. Ðàñ÷åò öåïåé ïðè ñèíóñîèäàëüíîì è ïîñòîÿííîì òîêàõ

235

Ðèñ. 5.5

ôîì ñõåìû (ðèñ. 5.5,

à

), äëÿ êîòîðîé â § 3.17 ìû çàïèñàëè ñèñòåìó äèôôåðåíöè-

àëüíûõ óðàâíåíèé. Ïóñòü çàäàíû ÝÄÑ è òîê èñòî÷íèêà òîêà:

e

E

t

e

E

t

e

E

t

m

m

m

1

1

1

3

3

3

5

5

5

=

+

=

+

=

+

(sin

);

(sin

);

(sin

)

w y

w y

w y

;

(sin

),

Á = Á

+

6

6

6

m

t

w y

à òàêæå ïàðàìåòðû

r

,

L

,

C

â âåòâÿõ öåïè.

Äëÿ ðàñ÷åòà ñ ïîìîùüþ êîìïëåêñíîãî ìåòîäà ìû äîëæíû çàïèñàòü èñõîäíûå

äàííûå öåïè (ðèñ. 5.5,

á

) â âèäå

&

;

&

;

&

E

E e

E e

E

E

e

E e

E

E

e

m

j

j

m

j

j

m

j

1

1

1

3

3

3

5

5

2

2

2

1

1

3

3

=

=

=

=

=

y

y

y

y

y

y

y

y

w

w

5

5

6

6

5

6

6

6

1

1

1

2

2

2

1

=

Á = Á

= Á

= +

=

E e

e

e

Z

r

j L

Z

j C

j

m

j

j

;

&

;

;

;

Z

r

r

j L

L

j C

Z

r

j L

3

3

3

3

3

3

4

4

4

1

= ¢ + ¢¢ +

¢ + ¢¢ +

=

+

(

)

(

)

;

;

w

w

w

Z

j L

Z

r

j C

5

5

6

6

6

1

=

=

+

w

w

;

.

Äëÿ ãðàôà ñõåìû (ðèñ. 5.5,

â

) ñîãëàñíî § 3.13 è 3.14 èìååì:

1

2

3

4

5

6

1

1

1

–1

A

=

2

–1

1

–1

;

3

–1

1

–1

1

2

3

4

5

6

4

–1

1

1

C

=

5

1

1

–1

1

=

F

1

.

6

1

1

1

Çàïèøåì â ìàòðè÷íîé ôîðìå âñå èñõîäíûå äàííûå:

I

U

E

=

=

=

´

´

&

&
&
&
&
&

;

&

&
&
&
&
&

;

I

I
I
I
I
I

U

U
U
U
U
U

1

2

3

4

5

6

6 1

1

2

3

4

5

6

6 1

&

&

&

;

&

;

E

E

E

1

3

5

6 1

6

6 1

0

0

0

0
0
0
0
0

´

´

Á

Á =

Á

236

×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Z

1

Z

2

Z

=

Z

3

=

diag (

Z

1

Z

2

Z

3

Z

4

Z

5

Z

6

).

Z

4

Z

5

Z

6

6

´

6

Ñèìâîë diag îçíà÷àåò, ÷òî ìàòðèöà

Z

— êâàäðàòíàÿ, äèàãîíàëüíàÿ è åå äèàãî-

íàëüíûìè ýëåìåíòàìè ÿâëÿþòñÿ çàïèñàííûå â ñêîáêàõ âåëè÷èíû.

Òîãäà ñèñòåìà óçëîâûõ óðàâíåíèé Êèðõãîôà äëÿ òîêîâ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâ-

ëåíà â ìàòðè÷íîé ôîðìå:

AI

=

- ´ ´ ´

[(

) ] (

)

q

p

p

1

1

1

&

&

&

I

I

I

1

3

6

+

-

&

Á

6

2

- +

-

&

&

&

I

I

I

1

2

4

=

0 ;

3

- +

-

&

&

&

I

I

I

3

4

5

0

(

q

–1)

´

1

Ïàäåíèÿ íàïðÿæåíèé â âåòâÿõ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå âåêòîðà

U ZI

=

, êî-

òîðûé ââèäó äèàãîíàëüíîñòè ìàòðèöû

Z

áóäåò èìåòü âèä

Z I

Z I

1 1

2 2

&

&

.

M

Ïàäåíèå íàïðÿæåíèé è ÝÄÑ â êîíòóðàõ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå

CU

è

CE

.

Òîãäà ñèñòåìà êîíòóðíûõ óðàâíåíèé ñîãëàñíî âòîðîìó çàêîíó Êèðõãîôà áóäåò

èìåòü âèä

4

-

+

+

Z I

Z I

Z I

1 1

3 3

4 4

&

&

&

-

+

&

&

E

E

1

3

CU

CZI

(

) (

)

(

) (

) (

)

n p

p

n p

p p

p

´ ´ ´

´ ´ ´ ´ ´

=

=

1

1

5

Z I

Z I

Z I

Z I

1 1

2 2

3 3

5 5

&

&

&

&

+

-

+

=

&

&

&

E

E

E

1

3

5

-

+

=

CE

.

6

Z I

Z I

Z I

1 1

2 2

6 6

&

&

&

+

+

&

E

1

(

n

´

1)

Èòàê, ïðîèçâåäåíèå äèàãîíàëüíîé ìàòðèöû

Z

íà ñòîëáöîâóþ ìàòðèöó

I

îïðå-

äåëÿåò òàêæå ñòîëáöîâóþ ìàòðèöó, ñòðîêàìè êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ ïðîèçâåäåíèÿ

äèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ (â äàííîì ñëó÷àå êîìïëåêñíûå ñîïðîòèâëåíèÿ âåòâåé)

Ãëàâà 5. Ðàñ÷åò öåïåé ïðè ñèíóñîèäàëüíîì è ïîñòîÿííîì òîêàõ

237