Файл: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.1.2003.pdf

íà òîêè ñîîòâåòñòâóþùèõ âåòâåé. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî îáëåã÷àåò âûïîëíåíèå òà-

êîãî ìàòðè÷íîãî ïåðåìíîæåíèÿ. Ïåðåìíîæåíèå ïðÿìîóãîëüíûõ ìàòðèö

A

è

C

íà ñòîëáöîâûå ìàòðèöû ñâîäèòñÿ ê ñóììèðîâàíèþ òåõ ýëåìåíòîâ ñòðîê ñòîëáöî-

âîé ìàòðèöû, íîìåðà êîòîðûõ ñîîòâåòñòâóþò íîìåðàì íåíóëåâûõ ýëåìåíòîâ

ñòîëáöîâ ïðÿìîóãîëüíûõ ìàòðèö. Ïî ýòîé ïðè÷èíå ìîæíî, ðàññìàòðèâàÿ òîëüêî

ìàòðèöó

A

, èëè

C

, èëè

D

, çàïèñàòü ñîîòâåòñòâóþùåå óðàâíåíèå äëÿ äàííîãî êîí-

òóðà, èëè óçëà, èëè ñå÷åíèÿ. Íàïðèìåð, â êîíòóðíîå óðàâíåíèå, çàïèñàííîå äëÿ

êîíòóðà

5

, îáðàçîâàííîãî ñâÿçüþ

5

(ñì. ñòðîêó 5 ìàòðèöû

C

), äîëæíû âõîäèòü

íàïðÿæåíèÿ (à ñëåäîâàòåëüíî, è

Z

&

I

) âåòâåé

1

,

2

,

5

ñî çíàêîì «ïëþñ» (â ñòðîêå 5

ýòè ñòîëáöû èìåþò ïîëîæèòåëüíûå íåíóëåâûå ýëåìåíòû) è âåòâè

3

ñî çíàêîì

«ìèíóñ (â ñòðîêå 5 ñòîëáåö 3 èìååò îòðèöàòåëüíûé íåíóëåâîé ýëåìåíò). Ñîîò-

âåòñòâåííî, äëÿ ýòîãî êîíòóðà èìååì

&

&

&

&

&

&

&

&

.

U

U

U

U

Z I

Z I

Z I

Z I

1

2

3

5

1 1

2 2

3 3

5 5

+

-

+

=

+

-

+

 êîíòóð

5

âõîäÿò ÝÄÑ èìåííî ýòèõ æå âåòâåé. Ïîñêîëüêó

&

E

2

=

0, òî

Z I

Z I

Z I

Z I

E

E

E

1 1

2 2

3 3

5 5

1

3

5

&

&

&

&

&

&

&

.

+

-

+

=

-

+

Åñëè ðàñïèñàòü âñþ ñèñòåìó óðàâíåíèé, ïîëó÷èì äëÿ óçëîâ

1

,

2

,

3

, ñîîòâåòñò-

âåííî,

&

&

&

&

;

&

&

&

;

&

&

&

I

I

I

I

I

I

I

I

I

1

3

6

6

1

2

4

3

4

5

0

0

+

-

= Á

-

+

-

=

-

+

-

=

è äëÿ êîíòóðîâ

4

,

5

è

6

, ñîîòâåòñòâåííî,

-

+

+

= -

+

+

-

+

Z I

Z I

Z I

E

E

Z I

Z I

Z I

Z I

1 1

3 3

4 4

1

3

1 1

2 2

3 3

5

&

&

&

&

&

;

&

&

&

&

5

1

3

5

1 1

2 2

6 6

1

=

=

-

+

+

+

=

&

&

&

;

&

&

&

&

.

E

E

E

Z I

Z I

Z I

E

Äëÿ ðàñ÷åòà äàííîé öåïè, ñëåäîâàòåëüíî, íåîáõîäèìî ðåøèòü ñèñòåìó èç øåñ-

òè óðàâíåíèé.

Òðóäíîñòü ðàñ÷åòà ñëîæíûõ ëèíåéíûõ öåïåé çàêëþ÷àåòñÿ â íåîáõîäèìîñòè

ðåøàòü ñîâìåñòíî

p

ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Â ñâÿçè ñ ýòèì ïðåä-

ñòàâëÿþò öåííîñòü ìåòîäû, ïîçâîëÿþùèå òåì èëè èíûì ïóòåì óïðîñòèòü çàäà÷ó.

Ýòè ìåòîäû äàþò âîçìîæíîñòü èëè ïðåîáðàçîâàòü öåïü òàê, ÷òî ðàñ÷åò óïðîùà-

åòñÿ, èëè óìåíüøèòü ÷èñëî óðàâíåíèé, èëè, íàêîíåö, ðàñ÷ëåíèòü ñëîæíóþ çàäà-

÷ó íà ðÿä áîëåå ïðîñòûõ. Â ñëåäóþùèõ ïàðàãðàôàõ áóäåò ðàññìîòðåí ðÿä îñíîâ-

íûõ òàêèõ ìåòîäîâ.

5.9. Ðàñ÷åò öåïè, îñíîâàííûé íà ïðåîáðàçîâàíèè

ñîåäèíåíèÿ òðåóãîëüíèêîì â ýêâèâàëåíòíîå ñîåäèíåíèå çâåçäîé

Äëÿ óïðîùåíèÿ ðàñ÷åòà ñëîæíîé öåïè â ðÿäå ñëó÷àåâ öåëåñîîáðàçíî îñóùåñò-

âèòü ïðåîáðàçîâàíèå íåêîòîðîé ÷àñòè öåïè. Ýòà ÷àñòü öåïè äî åå ïðåîáðàçîâà-

íèÿ äîëæíà áûòü ýêâèâàëåíòíà ýòîé æå ÷àñòè öåïè ïîñëå åå ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðè

óñëîâèè, ÷òî ðåæèì â îñòàëüíîé, íå ïðåîáðàçîâàííîé ÷àñòè îñòàåòñÿ íåèçìåí-

íûì.

Ê ÷èñëó òàêèõ ïðåîáðàçîâàíèé îòíîñèòñÿ, íàïðèìåð, ïðåîáðàçîâàíèå ñîåäè-

íåíèÿ òðåóãîëüíèêîì â ýêâèâàëåíòíîå ñîåäèíåíèå çâåçäîé, êîòîðîå ðàññìîòðèì

â íàñòîÿùåì ïàðàãðàôå, à òàêæå ïðåîáðàçîâàíèå íåñêîëüêèõ ïàðàëëåëüíî ñîåäè-

238

×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

íåííûõ âåòâåé ñ èñòî÷íèêàìè ÝÄÑ â îäíó ýêâèâàëåíòíóþ èì âåòâü ñ îäíèì èñ-

òî÷íèêîì ÝÄÑ, ÷òî áóäåò ðàññìîòðåíî â ñëåäóþùåì ïàðàãðàôå.

Íà ðèñ. 5.6,

à

ìåæäó òî÷êàìè

1

,

2

è

3

íåêîòîðîé ñëîæíîé öåïè âêëþ÷åíû òðè

ó÷àñòêà ñ ñîïðîòèâëåíèÿìè

Z

1

,

Z

2

è

Z

3

, ñîåäèíåííûå çâåçäîé. Íà ðèñ. 5.6,

á

ìåæäó

ýòèìè æå òî÷êàìè âêëþ÷åíû òðè ó÷àñòêà

Z

12

,

Z

23

è

Z

31

, ñîåäèíåííûå òðåóãîëüíèêîì.

Îñòàëüíàÿ, íå ïîäâåðãàþùàÿñÿ ïðåîáðà-

çîâàíèþ, ÷àñòü ñëîæíîé öåïè íà ðèñóíêå

íå ïîêàçàíà.

Ñîåäèíåíèÿ çâåçäîé è òðåóãîëüíèêîì

ýêâèâàëåíòíû äðóã äðóãó ïðè óñëîâèè,

÷òî ïðè îäèíàêîâûõ â îáîèõ ñëó÷àÿõ íà-

ïðÿæåíèÿõ

&

U

12

,

&

U

23

è

&

U

31

ìåæäó òî÷êàìè

1

,

2

è

3

è òîêè

&

I

1

,

&

I

2

è

&

I

3

, ïîäõîäÿùèå ê ýòèì

òî÷êàì îò îñòàëüíîé ÷àñòè öåïè, îäèíàêîâû â îáîèõ ñëó÷àÿõ. Ñîñòàâèì óðàâíå-

íèÿ äëÿ ñîåäèíåíèÿ ç â å ç ä î é:

&

&

&

;

&

&

&

&

(

&

&

)

&

I

I

I

U

I Z

I Z

I Z

I

I Z

1

2

3

12

1 1

2

2

1 1

1

3

2

0

+

+

=

=

-

=

+

+

=

I Z

Z

I Z

U

I Z

I Z

I

I Z

I Z

1

1

2

3

2

23

2

2

3

3

1

3

2

3

(

)

&

;

&

&

&

(

&

&

)

&

+

+

=

-

= -

+

-

3

1 2

3

2

3

= -

-

+

&

&

(

).

I Z

I Z

Z

Ðåøàÿ ýòè óðàâíåíèÿ îòíîñèòåëüíî òîêîâ

&

I

1

è

&

I

3

, ïîëó÷èì

&

&

&

;

&

&

&

,

I

U Z

Z

D

U Z

D

I

U Z

D

U Z

Z

D

1

12

2

3

23

2

3

12

2

23

1

2

=

+

+

= -

-

+

ãäå

D Z Z

Z Z

Z Z

=

+

+

1 2

2

3

3 1

.

Äëÿ ñîåäèíåíèÿ ò ð å ó ã î ë ü í è ê î ì èìååì óðàâíåíèÿ

&

&

&

;

&

&

&

&

&

&

U

U

U

I

I

I

U

Z

U

Z

12

23

31

1

12

31

12

12

31

31

0

1

1

+

+

=

=

-

=

-

=

U

Z

Z

U

Z

I

I

I

U

Z

12

12

31

23

31

3

31

23

31

1

1

1

1

+

æ
è

çç

ö
ø

÷÷ +

=

-

=

&

;

&

&

&

&

31

23

23

12

31

23

31

23

1

1

1

1

-

= -

-

+

æ
è

çç

ö
ø

÷÷

&

&

&

.

U

Z

U

Z

U

Z

Z

Òîêè

&

I

1

è

&

I

3

, à ñëåäîâàòåëüíî, è òîê

&

&

&

I

I

I

2

1

3

= - -

äîëæíû áûòü îäèíàêîâûìè

â îáåèõ ñõåìàõ ïðè îäèíàêîâûõ â îáîèõ ñëó÷àÿõ íàïðÿæåíèÿõ

&

U

12

è

&

U

23

, ïðè÷åì

ýòî äîëæíî áûòü ñïðàâåäëèâî ïðè ëþáûõ ñîîòíîøåíèÿõ ìåæäó

&

U

12

è

&

U

23

. Ñëåäî-

âàòåëüíî, êîýôôèöèåíòû â âûðàæåíèÿõ äëÿ òîêîâ

&

I

1

è

&

I

3

äîëæíû áûòü îäèíàêî-

âûìè â ñëó÷àÿõ ñîåäèíåíèÿ çâåçäîé è òðåóãîëüíèêîì. Ïîëó÷àåì

Z

Z

D

Z

Z

Z

D

Z

Z

Z

D

Z

Z

2

3

12

31

2

31

1

2

31

23

1

1

1

1

1

+

=

+

=

+

=

+

;

;

.

Èç ýòèõ óðàâíåíèé îïðåäåëÿþòñÿ ñîïðîòèâëåíèÿ èñêîìîãî ýêâèâàëåíòíîãî

òðåóãîëüíèêà ÷åðåç çàäàííûå ñîïðîòèâëåíèÿ çâåçäû:

Z

D Z

Z

D Z

Z

D Z

12

3

23

1

31

2

=

=

=

;

;

,

Ãëàâà 5. Ðàñ÷åò öåïåé ïðè ñèíóñîèäàëüíîì è ïîñòîÿííîì òîêàõ

239

Ðèñ. 5.6

ãäå

D Z Z

Z Z

Z Z

=

+

+

1 2

2

3

3 1

.

Åñëè çàäàíû ñîïðîòèâëåíèÿ òðåóãîëüíèêà è îòûñêèâàþòñÿ ñîïðîòèâëåíèÿ

ýêâèâàëåíòíîé åìó çâåçäû, òî ñëåäóåò ïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëàìè

Z

Z Z

Z

Z

Z

Z

Z Z

Z

Z

Z

Z

Z Z

1

12

31

12

23

31

2

23 12

12

23

31

3

31 2

=

+

+

=

+

+

=

;

;

3

12

23

31

Z

Z

Z

+

+

.

Íàïðèìåð, ôîðìóëà äëÿ

Z

1

ëåãêî ïîëó÷àåòñÿ, åñëè çàìåòèòü, ÷òî

Z Z

D

Z Z

Z

Z

Z

D

Z Z Z

12

31

2

2

3

12

23

31

2

1 2

3

=

+

+

=

è

.

Ïðè ýêâèâàëåíòíîì ïðåîáðàçîâàíèè òðåóãîëüíèêà â çâåçäó è íàîáîðîò âîç-

ìîæíû ñëó÷àè, êîãäà ýòî ïðåîáðàçîâàíèå òåðÿåò ñìûñë, ÷òî èìååò ìåñòî ïðè

ðàâåíñòâå íóëþ ñóìì ñîïðîòèâëåíèé

èëè ïðîâîäèìîñòåé. Âîçìîæíû è ñëó÷àè,

êîãäà ýêâèâàëåíòíîå ïðåîáðàçîâàíèå

ïðèâîäèò ê ïîÿâëåíèþ îòðèöàòåëüíûõ

àêòèâíûõ ñîïðîòèâëåíèé â îòäåëüíûõ

ëó÷àõ çâåçäû èëè ñòîðîíàõ òðåóãîëüíè-

êà, îçíà÷àþùåìó íåâîçìîæíîñòü ðåàëè-

çàöèè òàêèõ ñõåì ïðè ïîìîùè îäíèõ ýëå-

ìåíòîâ

r

,

L

,

C

. Íà õîä ðàñ÷åòà ïîñëåäíåå

îáñòîÿòåëüñòâî íå âëèÿåò. Â îêîí÷àòåëüíîì âûðàæåíèè êîìïëåêñíîå ñîïðîòèâ-

ëåíèå âñåé ïàññèâíîé öåïè ñîäåðæèò ïîëîæèòåëüíóþ âåùåñòâåííóþ ÷àñòü.

Óïðîùåíèå ðàñ÷åòà ñëîæíîé öåïè ïðè ïîìîùè ýêâèâàëåíòíîãî ïðåîáðàçîâà-

íèÿ êîíôèãóðàöèè öåïè ìîæíî ïðîñëåäèòü íà ïðèìåðå ðàñ÷åòà öåïè, èçîáðàæåí-

íîé íà ðèñ. 5.7,

à

. Â ýòîé öåïè óïðîùåíèå äîñòèãàåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèåì òðåóãîëü-

íèêà

Z

12

,

Z

23

,

Z

31

(ðèñ. 5.7,

à

) â ýêâèâàëåíòíóþ çâåçäó

Z

1

,

Z

2

,

Z

3

(ðèñ. 5.7,

á

). Ïîñëå

òàêîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîëó÷àåì ïðîñòóþ öåïü ñ ïîñëåäîâàòåëüíî-ïàðàëëåëüíûì

ñîåäèíåíèåì ó÷àñòêîâ.

5.10. Ïðåîáðàçîâàíèå èñòî÷íèêîâ ÝÄÑ è òîêà

Äëÿ óäîáñòâà ðàñ÷åòà ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé èíîãäà ïîëåçíî ïðîèçâîäèòü çàìåíó

èñòî÷íèêà ÝÄÑ ýêâèâàëåíòíûì èñòî÷íèêîì òîêà èëè âûïîëíÿòü îáðàòíóþ çà-

ìåíó èñòî÷íèêà òîêà ýêâèâàëåíòíûì èñòî÷íèêîì ÝÄÑ.

Èñòî÷íèêè ÝÄÑ è òîêà ÿâëÿþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè îíè îáëàäàþò îäíîé è

òîé æå âíåøíåé õàðàêòåðèñòèêîé

u

=

f

(

i

) (èëè

i

= j

(

u

)). Ïðè ïðèñîåäèíåíèè ê

íèì ïðèåìíèêà ñ íåêîòîðûì ñîïðîòèâëåíèåì

r

ïð

=

1/

g

ïð

(èëè

Z

ïð

=

1/

Y

ïð

) íàïðÿ-

æåíèå

u

(èëè

&

U

) è òîê

i

(èëè

&

I

) â ïðèåìíèêå áóäóò â îáîèõ ñëó÷àÿõ îäèíàêîâû.

Óðàâíåíèå âíåøíåé õàðàêòåðèñòèêè èñòî÷íèêà ÝÄÑ èìååò âèä

u

=

e – r

âí

i

(èëè

&

&

&

U E Z I

= -

âí

). Çàïèøåì ýòî óðàâíåíèå èíà÷å, à èìåííî:

i

=

e

/

r

âí

–

u

/

r

âí

(èëè

&

&

&

I E Z

U Z

=

-

âí

âí

). Óðàâíåíèå âíåøíåé õàðàêòåðèñòèêè èñòî÷íèêà òîêà èìååò

âèä

i

= Á

–

ug

âí

(èëè

&

&

&

I

Y U

= Á -

âí

). Ýòè âíåøíèå õàðàêòåðèñòèêè ñîâïàäóò, åñëè

ñîáëþäàòü óñëîâèÿ

240

×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Ðèñ. 5.7

&

&

&

.

Á =

=

Á =

=

e

r

g

r

E

Z

Y

Z

âí

âí

âí

âí

âí

âí

è

è

èëè

1

1

Ïî ýòèì ðàâåíñòâàì ìîæíî âû÷èñëèòü ïàðàìåòðû

Á

è

g

âí

(

&

Á

è

Y

âí

) èñòî÷íèêà -

òîêà, ýêâèâàëåíòíîãî çàäàííîìó èñòî÷íèêó ÝÄÑ, èìåþùåìó ïàðàìåòðû

e

è

r

âí

(

&

E

è

Z

âí

). Ñîîòâåòñòâåííî, èç ñîîòíîøåíèé

e

g

r

g

E

Y

Z

Y

= Á

=

= Á

=

âí

âí

âí

âí

âí

âí

è

è

èëè

1

1

&

&

ìîæíî ïîëó÷èòü ïàðàìåòðû èñòî÷íèêà ÝÄÑ, ýêâèâàëåíòíîãî èñòî÷íèêó òîêà.

Ýêâèâàëåíòíûå çàìåíû ìîãóò áûòú ïðîèçâåäåíû è äëÿ çàâèñèìûõ èñòî÷íèêîâ.

Ïóñòü â íåêîòîðîé âåòâè

p

ñ ïðîâîäèìîñòüþ

Y

p

èìååòñÿ çàâèñèìûé, óïðàâëÿå-

ìûé òîêîì

&

I

q

âåòâè

q

èñòî÷íèê òîêà

&

Á

p

= b

&

I

q

. Ñîãëàñíî âûøåïðèâåäåííûì ôîð-

ìóëàì, ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü óïðàâëÿåìûé òîêîì èñòî÷íèê òîêà â óïðàâëÿåìûé

òîêîì èñòî÷íèê ÝÄÑ. Çíà÷åíèå ÝÄÑ áóäåò ðàâíî

&

E

p

= b

&

I

q

/

Y

p

, è âíóòðåííåå ñî-

ïðîòèâëåíèå

Z

âí

=

Z

p

=

1/

Y

p

.

Ïðåîáðàçóåì äâå ïàðàëëåëüíî ñîåäèíåííûå âåòâè, ñîäåðæàùèå èñòî÷íèêè

ÝÄÑ

&

E

1

è

&

E

2

è ñîïðîòèâëåíèÿ

Z

1

=

1/

Y

1

è

Z

2

=

1/

Y

2

(ðèñ. 5.8), â îäíó ýêâèâàëåíò-

íóþ âåòâü.

Ðàññìàòðèâàÿ ïàðàëëåëüíî ñîåäèíåííûå íà ðèñ. 5.8 âåòâè êàê èñòî÷íèêè ÝÄÑ

&

E

1

è

&

E

2

ñ âíóòðåííèìè ñîïðîòèâëåíèÿìè

Z

1

è

Z

2

, çàìåíèì èõ ýêâèâàëåíòíûìè èñ-

òî÷íèêàìè òîêà

&

&

Á =

1

1

E Y

1

è

&

&

Á =

2

2

E Y

2

ñ âíóòðåííèìè ïðîâîäèìîñòÿìè

Y

1

=

1/

Z

1

è

Y

2

=

1/

Z

2

(ðèñ. 5.8). Îáúåäèíèâ ýòè äâà èñòî÷íèêà òîêà â îäèí

&

&

&

Á = Á + Á

1

2

ñ âíóò-

ðåííåé ïðîâîäèìîñòüþ

Y

=

Y

1

+

Y

2

, ïåðåéäåì îò íåãî ê èñòî÷íèêó ÝÄÑ

&

&

&

&

E

Y

E Y

E Y

Y Y

1

1 1

1 2

1

2

= Á =

+
+

ñ âíóòðåííèì ñîïðîòèâëåíèåì

Z

=

1

1

2

Y Y

+

.

Ðàñïðîñòðàíÿÿ ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò íà

n

ïàðàëëåëüíî ñîåäèíåííûõ âåòâåé,

íàéäåì, ÷òî çàìåíÿþùàÿ èõ ýêâèâàëåíòíàÿ âåòâü ñîäåðæèò èñòî÷íèê ÝÄÑ.

&

&

&

&

&

E

E Y

E Y

E Y

Y Y

Y

E Y

Y

n n

n

k k

k

n

k

k

n

=

+

+

+

+

+

+

=

=

=

å

å

1 1

1 2

1

2

1

1

K

K

Ãëàâà 5. Ðàñ÷åò öåïåé ïðè ñèíóñîèäàëüíîì è ïîñòîÿííîì òîêàõ

241

Ðèñ. 5.8

è ñîïðîòèâëåíèå

Z

Y Y

Y

n

=

+

+

+

1

1

2

K

.

5.11. Ìåòîä êîíòóðíûõ òîêîâ

Òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî êîíòóð, îáðàçîâàííûé äàííîé ñâÿçüþ ãðàôà ñõåìû, ïðî-

õîäèò òîëüêî ïî âåòâÿì äåðåâà, äàåò âîçìîæíîñòü âûðàçèòü òîêè â âåòâÿõ äåðåâà

÷åðåç òîêè â ñâÿçÿõ. Òàêàÿ ñâÿçü â ìàòðè÷íîì âèäå çàïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îá-

ðàçîì (ñì. § 3.16):

~

~ .

I

D I

1

2 2

= -

Çäåñü ~

I

1

— ìàòðèöà-ñòîëáåö ïîðÿäêà (

q

– 1)

´

1, ýëåìåíòàìè êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ

òîêè

&

~

&

~

I

I

q

1

1

K

-

â îáîáùåííûõ âåòâÿõ äåðåâà; ~

I

2

— ìàòðèöà-ñòîëáåö ïîðÿäêà

n

´

1,

ýëåìåíòàìè êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ òîêè îáîáùåííûõ âåòâåé-ñâÿçåé ãðàôà

&

~

&

~

I

I

q

p

K

.

Íàïîìíèì, ÷òî â îáîáùåííûõ âåòâÿõ íàðÿäó ñ ïàññèâíûìè ýëåìåíòàìè

Z

è

Y

ñî-

äåðæàòñÿ òàêæå èñòî÷íèêè ÝÄÑ è òîêà (ñì. § 3.10). Ïîäìàòðèöà

D

2

=

–

F

t

ÿâëÿ-

åòñÿ ïðÿìîóãîëüíîé ìàòðèöåé ïîðÿäêà (

q

– 1)

´

n

, ñîñòîÿùåé èç ýëåìåíòîâ ±1

è 0. Ñòðîêè ýòîé ìàòðèöû íóìåðóþòñÿ ñîãëàñíî íîìåðàì âåòâåé äåðåâà, à ñòîëá-

öû — ñîãëàñíî íîìåðàì ñâÿçåé ãðàôà ñõåìû (ñì. § 3.15). Ìàòðèöó-ñòîëáåö òîêîâ

âî âñåõ âåòâÿõ ãðàôà ñõåìû ìîæíî îïðåäåëèòü ÷åðåç ìàòðèöó òîêîâ â ñâÿçÿõ,

èìåÿ â âèäó, ÷òî

~

~

~

~

~

~

~ .

I

I

I

D I

I

D

1

I

F

1

I

=

= -

=

-

=

1

2

2 2

2

2

2

2

t

Ñðàâíèâàÿ ìíîæèòåëü-ìàòðèöó ó ~

I

2

ñ ìàòðèöåé

, ìîæíî çàìåòèòü,

÷òî èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî

F

1

C

t

t

=

.

Òàêèì îáðàçîì, òîêè âî âñåõ îáîáùåííûõ âåòâÿõ ãðàôà ñõåìû âûðàæàþòñÿ

÷åðåç ìàòðèöó òîêîâ â ñâÿçÿõ (~ )

I

2

ðàâåíñòâîì

~

~ .

I C I

=

t

2

Òîêè â ñâÿçÿõ, çàïèñàííûå â ìàòðè÷íîé ôîðìå áóêâîé ~

I

2

, íàçûâàþò êîíòóð-

íûìè òîêàìè, òàê êàê ñâÿçè è îïðåäåëÿþò êîíòóðû. Êîíòóðíûå òîêè, ÷èñëî êî-

òîðûõ ðàâíî

n

, ìîæíî ïðèíÿòü çà èñêîìûå íåèçâåñòíûå è ñîñòàâèòü óðàâíåíèÿ

èìåííî äëÿ íèõ. Íàïîìíèì, ÷òî ìàòðè÷íàÿ ñâÿçü ìåæäó òîêàìè âåòâåé äåðå-

âà è òîêàìè ñâÿçåé ãðàôà ñõåìû ïîëó÷åíà èç ìàòðè÷íîãî ðàâåíñòâà

D~I

=

0

(ñì. § 3.15), çàïèñàííîãî íà îñíîâå ïåðâîãî çàêîíà Êèðõãîôà ïðèìåíèòåëüíî ê

ñå÷åíèÿì ãðàôà ñõåìû.

Óðàâíåíèÿ íà îñíîâå âòîðîãî çàêîíà Êèðõãîôà çàïèñûâàþòñÿ â âèäå

CU 0

CU CE

~

,

=

=

èëè

242

×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé