Файл: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.1.2003.pdf

ãäå ~

U

=

ìàòðèöà-ñòîëáåö ïîðÿäêà

ð

´

1,

ýëåìåíòàìè êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ íàïðÿæåíèÿ

îáîáùåííûõ âåòâåé;

U

— ìàòðèöà-ñòîëáåö

ïîðÿäêà

ð

´

1, ýëåìåíòàìè êîòîðîé ÿâëÿþò-

ñÿ íàïðÿæåíèÿ ïàññèâíûõ ýëåìåíòîâ îáîá-

ùåííûõ âåòâåé (ðèñ. 5.9). Äëÿ ïàññèâíûõ

ýëåìåíòîâ ìîæíî çàïèñàòü çàêîí Îìà â

ìàòðè÷íîé ôîðìå, à èìåííî:

U ZI

=

,

ãäå

Z

— êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà

ð

´

p

ñîïðîòèâëåíèé âåòâåé öåïè (ñì. § 5.8).

Êðîìå òîãî, ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå

&

&

~

&

I

I

k

k

k

=

- Á

èëè â ìàòðè÷íîé ôîðìå

I I

= - ÁÁ

~

.

Ïîäñòàâèì ýòè ñîîòíîøåíèÿ â êîíòóðíîå óðàâíåíèå, ïîëó÷èì

CU CZI CZ I

CZI CZ

CE

=

=

- ÁÁ =

-

ÁÁ =

(~

)

~

èëè

CZI C E Z

~

(

).

=

+ ÁÁ

Íî ~

~

I C I

=

t

2

, ïîýòîìó îêîí÷àòåëüíî èìååì

( ) (

) ( ) ( ) ( )

(

) ( )

C

Z

C I

C

E

Z

n p

p p

p n

n

n p

p

p p

p

´ ´

´ ´

´ ´ ´

´

´

´ ´ ´

=

ÁÁ

t

~

(

) .

2

1

1

1

+

Ñèñòåìà óðàâíåíèé â ìàòðè÷íîé ôîðìå äëÿ êîíòóðíûõ òîêîâ ñîñòîèò èç

n

óðàâíåíèé è ñîäåðæèò ñëåäóþùèå ÷ëåíû:

CZC

t

— êâàäðàòíóþ ìàòðèöó êîíòóðíûõ ñîïðîòèâëåíèé ïîðÿäêà

n

´

n

. Ýòà

ìàòðèöà ñâÿçûâàåò ïàäåíèÿ íàïðÿæåíèé â êîíòóðàõ ñ êîíòóðíûìè òîêàìè. Îíà

èìååò âèä

CZC

t

=

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

n

n

n

n

nn

11

12

1

21

22

2

1

2

K
K

K

. . . . . . . .

;

CE

— ìàòðèöó-ñòîëáåö ïîðÿäêà

n

´

1, ñîñòîÿùóþ èç ýëåìåíòîâ, ïðåäñòàâëÿþ-

ùèõ ñîáîé ñóììû ÝÄÑ âåòâåé, âõîäÿùèõ â êîíòóðû, îáðàçîâàííûå ñâÿçÿìè, íî-

ìåðà êîòîðûõ îïðåäåëÿþò íîìåðà ýëåìåíòîâ;

CZ

C Z

ÁÁ

ÁÁ

=

( ) — ìàòðèöó-ñòîëáåö ïîðÿäêà

n

´

1, ñîñòîÿùóþ èç ýëåìåíòîâ, ïðåä-

ñòàâëÿþùèõ ñîáîé ñóììû ÝÄÑ ýêâèâàëåíòíûõ èñòî÷íèêîâ ÝÄÑ, îáðàçîâàííûõ

çà ñ÷åò ïðåîáðàçîâàíèÿ èñòî÷íèêîâ òîêîâ

ÁÁ

â âåòâÿõ â èñòî÷íèêè ÝÄÑ

Z

ÁÁ

.

Ãëàâà 5. Ðàñ÷åò öåïåé ïðè ñèíóñîèäàëüíîì è ïîñòîÿííîì òîêàõ

243

Ðèñ. 5.9

244

×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Ïðàâàÿ ñòîðîíà ìàòðè÷íîãî ðàâåíñòâà, òàêèì îáðàçîì, îïðåäåëÿåò ñóììû ÝÄÑ,

êîòîðûå âïðåäü áóäåì ïèñàòü â âèäå

C E Z

(

)

&

&

&

.

+ ÁÁ =

E

E

E

nn

11

22

M

Ðåøèâ ñèñòåìó óðàâíåíèé, íàéäåì êîíòóðíûå

òîêè (ìàòðèöó-ñòîëáåö ~

I

2

).

Çíàÿ ~

I

2

, ìîæíî îïðåäåëèòü òîêè âî âñåõ îáîá-

ùåííûõ âåòâÿõ èç âûðàæåíèÿ ~

~

I C I

=

t

2

, òîêè âî âñåõ

ïàññèâíûõ ýëåìåíòàõ öåïè — èç ôîðìóëû

I I

= - ÁÁ

~

,

à òàêæå íàïðÿæåíèÿ íà ïàññèâíûõ ýëåìåíòàõ

U

=

ZI

è íàïðÿæåíèÿ îáîáùåííûõ âåòâåé (ìåæäó ïàðàìè

óçëîâ) ~

U

=

U – E

.

Ðàññìîòðèì öåïü, èçîáðàæåííóþ íà ðèñ. 5.10

(àíàëîãè÷íóþ ðèñ. 5.5,

à

). Âûäåëèì âåòâè

1

,

2

,

3

â êà-

÷åñòâå äåðåâà ãðàôà. Òîãäà âåòâè 4, 5 è 6 îïðåäåëÿò

ñâÿçè ýòîãî ãðàôà. Ìàòðèöû

C

,

E

,

Á

Á

è

Z

ìîæíî çà-

ïèñàòü â âèäå

E

=

ÁÁ =

Á

&

&

&

;

;

E

E

E

1

3

5

6

0

0

0

0
0
0
0
0

1

2

3

4

5

6

4

–1

1

1

Ñ

=

5

1

1

–1

1

;

6

1

1

1

Z

1

Z

2

Z

=

Z

3

.

Z

4

Z

5

Z

6

Ðèñ. 5.10

Ãëàâà 5. Ðàñ÷åò öåïåé ïðè ñèíóñîèäàëüíîì è ïîñòîÿííîì òîêàõ

245

Ìàòðèöû

CZ

,

CZC

t

,

Z

ÁÁ

è

C E Z

(

)

+ ÁÁ

ìîæíî ïîëó÷èòü, âûïîëíèâ ñîîòâåòñò-

âóþùèå ìàòðè÷íûå îïåðàöèè óìíîæåíèÿ:

1

2

3

4

5

6

4 –

Z

1

Z

3

Z

4

CZ

=

5

Z

1

Z

2

–

Z

3

Z

5

;

6

Z

1

Z

2

Z

6

;

&

Z

Á

Á =

Á

0
0
0
0
0

6

6

Z

;

CZC

t

=

Z

1

+

Z

3

+

Z

4

–

Z

1

–

Z

3

–

Z

1

Z

11

Z

12

Z

13

–

Z

1

–

Z

3

Z

1

+

Z

2

+

Z

3

+

Z

5

Z

1

+

Z

2

=

Z

21

Z

22

Z

23

–

Z

1

Z

1

+

Z

2

Z

1

+

Z

2

+Z

6

Z

31

Z

32

Z

33

C E Z

(

)

&

&

&

&

&

&

&

&
&

;

+ ÁÁ =

-

+

-

+

+

Á

=

E

E

E

E

E

E

Z

E

E
E

1

3

1

3

5

1

6

6

11

22

33

~

&

~

&

~

&

~

&

&

&

.

I

2

4

5

6

=

=

I
I
I

I

I

I

I

II

III

Îêîí÷àòåëüíî ñèñòåìà óðàâíåíèé ïðèìåò âèä

Z

11

Z

12

Z

13

&

I

I

&

E

11

Z I

Z I

Z I

E

Z I

Z I

Z I

11

12

13

11

21

22

23

&

&

&

&

;

&

&

&

I

II

III

I

II

I

+

+

=

+

+

II

I

II

III

=

+

+

=

&

;

&

&

&

&

.

E

Z I

Z I

Z I

E

22

31

32

33

33

CZC I

t

~

2

=

Z

21

Z

22

Z

23

´

&

I

II

=

&

E

22

èëè

Z

31

Z

32

Z

33

&

I

III

&

E

33

Åñëè âíèìàòåëüíî ðàññìîòðåòü ìàòðèöó

CZ

, òî ìîæíî çàìåòèòü âåñüìà ïðî-

ñòîå åå îòëè÷èå îò ìàòðèöû

C

. Òàì, ãäå â ñòîëáöå ìàòðèöû

C

èìåþòñÿ íåíóëåâûå

ýëåìåíòû, â ìàòðèöå

CZ

ïîÿâëÿþòñÿ êîìïëåêñíûå ñîïðîòèâëåíèÿ, íîìåðà êî-

òîðûõ ñîâïàäàþò ñ íîìåðàìè ñòîëáöà. Ïîýòîìó çàïîëíåíèå ýòîé ìàòðèöû êàê

âðó÷íóþ, òàê è ïðè ïîìîùè ÝÂÌ ìîæíî îñóùåñòâèòü ïðîñòûì ïåðåáîðîì ýëå-

ìåíòîâ ìàòðèöû

C

, íå ïðèáåãàÿ äëÿ ýòîé öåëè ê ìàòðè÷íîìó óìíîæåíèþ. Ïðîèç-

âåäåíèå

CZC

t

òàêæå ïðîñòî ïîëó÷èòü, ðàññìàòðèâàÿ ìàòðèöó

C.

Ïóñòü íàñ èí-

òåðåñóåò

j

,

s-

é ýëåìåíò

CZC

t

. Äëÿ ýòîãî äîëæíî áûòü âûïîëíåíî óìíîæåíèå

j

-é

ñòðîêè ìàòðèöû

CZ

íà

s

-é ñòîëáåö ìàòðèöû

C

t

. Íî

s

-é ñòîëáåö ìàòðèöû

C

t

åñòü

s-

ÿ ñòðîêà ìàòðèöû

C

. Ïîýòîìó

j

,

s

-é ýëåìåíò ìàòðèöû

CZC

t

åñòü ñóììà ñîïðî-

òèâëåíèé òåõ ñòîëáöîâ ìàòðèöû

CZ

, ãäå â

j

-é è

s

-é ñòðîêàõ ìàòðèöû

C

îäíî-

âðåìåííî áóäóò ñîäåðæàòüñÿ íåíóëåâûå ýëåìåíòû, ïðè÷åì çíàê ñîïðîòèâëåíèÿ

â ñóììå îïðåäåëèòñÿ ïî ñî÷åòàíèþ çíàêîâ íåíóëåâûõ ýëåìåíòîâ (çíàê «ïëþñ»

åñëè çíàêè îäèíàêîâû, è «ìèíóñ» — åñëè îíè ðàçíûå). Òàê, íàïðèìåð,

Z

23

åñòü

ïðîèçâåäåíèå 2-é ñòðîêè ìàòðèöû

CZ

íà 3-é ñòîëáåö ìàòðèöû

C

t

èëè íà 3-þ

ñòðîêó ìàòðèöû

C

, ðàññìîòðåííóþ êàê ñòîëáåö (ïî íîìåðàì 2-é ñòðîêå ñîîòâåò-

ñòâóåò ÷èñëî 5, à 3-é ñòðîêå — ÷èñëî 6 â ìàòðèöå

C

). Â ýòèõ ñòðîêàõ îäíîâðåìåí-

íî íå ðàâíû íóëþ ýëåìåíòû â ñòîëáöàõ 1 (çíàêè ñîâïàäàþò) è 2 (çíàêè ñîâïà-

äàþò). Ïîýòîìó

Z

23

=

Z

1

+

Z

2

. Ðàçóìååòñÿ, òàêîé çàêîíîìåðíîñòè íå áóäåò ïðè

îòñóòñòâèè ñîâïàäåíèÿ íåíóëåâûõ ýëåìåíòîâ ó ìàòðèö

CZ

è

C

t

, ÷òî ìîæåò áûòü,

åñëè

Z

— íåñèììåòðè÷íàÿ ìàòðèöà (äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà ñèììåòðè÷íà).

Ñòðîêà ìàòðèöû

C

îïðåäåëÿåò âåòâè, âõîäÿùèå â äàííûé êîíòóð, ïîýòîìó

ýëåìåíò

Z

kk

, âû÷èñëÿåìûé êàê ïðîèçâåäåíèå

k

-é ñòðîêè ìàòðèöû

CZ

íà

k

-é ñòîë-

áåö ìàòðèöû

C

t

, îïðåäåëèò ñ î á ñ ò â å í í î å ñ î ï ð î ò è â ë å í è å

k

-ãî êîíòóðà,

ðàâíîå ñóììå âñåõ êîìïëåêñíûõ ñîïðîòèâëåíèé âåòâåé, âõîäÿùèõ â

k

-é êîíòóð.

Òî÷íî òàê æå ïðîèçâåäåíèå

k

-é ñòðîêè ìàòðèöû

CZ

íà

m

-é ñòîëáåö ìàòðèöû

C

t

îïðåäåëèò î á ù å å ñ î ï ð î ò è â ë å í è å ê î í ò ó ð î â

k

è

m

, ðàâíîå ñóììå êîì-

ïëåêñíûõ ñîïðîòèâëåíèé òåõ âåòâåé äåðåâà, êîòîðûå âõîäÿò â

k

-é è â

m

-é êîíòó-

ðû. Ïðè ýòîì ñîïðîòèâëåíèÿ òåõ âåòâåé, êîíòóðíûå òîêè â êîòîðûõ ñîâïàäàþò

ïî íàïðàâëåíèþ, âîéäóò â ñóììó ñî çíàêîì «ïëþñ», â ïðîòèâíîì ñëó÷àå — ñî

çíàêîì «ìèíóñ».

Óðàâíåíèÿ îòíîñèòåëüíî êîíòóðíûõ òîêîâ äëÿ íå î÷åíü ñëîæíûõ öåïåé ìîæíî

ñîñòàâèòü íåïîñðåäñòâåííî, ðàññìàòðèâàÿ ñõåìó öåïè. Äëÿ ýòîãî ñëåäóåò âûäå-

ëèòü êîíòóðû, ïî êîòîðûì ïðîõîäÿò ýòè òîêè. Âûäåëèì â êà÷åñòâå òàêîâûõ òîêè

&

I

I

,

&

I

II

,

&

I

III

, ïîêàçàííûå íà ðèñ. 5.10. Äëÿ íèõ ìîæíî ñîñòàâèòü ñèñòåìó èç òðåõ óðàâ-

íåíèé. Äëÿ ñîñòàâëåíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî

n

êîíòóðíûõ òîêîâ

ïðîíóìåðóåì êîíòóðíûå òîêè îò 1 äî

n

è âûáåðåì êîíòóðû òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû

â íèõ îáÿçàòåëüíî âõîäèëà êàêàÿ-ëèáî íîâàÿ âåòâü (ïðîùå âñåãî â êà÷åñòâå êîí-

òóðíûõ òîêîâ âûáèðàòü òîêè â ñâÿçÿõ è íóìåðîâàòü ñâÿçè îò 1 äî

n

). Âûáåðåì ïðî-

èçâîëüíî ïîëîæèòåëüíûå íàïðàâëåíèÿ îáõîäîâ êîíòóðîâ è áóäåì ñ÷èòàòü ýòè íà-

ïðàâëåíèÿ òàêæå ïîëîæèòåëüíûìè íàïðàâëåíèÿìè êîíòóðíûõ òîêîâ. Îáîçíà÷èì

÷åðåç

&

E

kk

ñóììó ÝÄÑ, âõîäÿùèõ â êîíòóð

k.

ÝÄÑ, íàïðàâëåíèå êîòîðûõ ñîâïàäàåò

ñ íàïðàâëåíèåì îáõîäà, ñëåäóåò áðàòü ñî çíàêîì «ïëþñ», à íåñîâïàäàþùèå — ñî

çíàêîì «ìèíóñ». Îáîçíà÷èì ÷åðåç

Z

kk

ñóììó ñîïðîòèâëåíèé, âõîäÿùèõ â êîíòóð

k

,

è íàçîâåì âåëè÷èíó

Z

kk

ñîáñòâåííûì ñîïðîòèâëåíèåì êîíòóðà. Ñóììó ñîïðîòèâëå-

íèé â îáùåé äëÿ êîíòóðîâ

k

è

m

âåòâè îáîçíà÷èì ÷åðåç

Z

km

èëè

Z

mk

è íàçîâåì îáùèì

ñîïðîòèâëåíèåì êîíòóðîâ

k

è

m

. Ñîãëàñíî âòîðîìó çàêîíó Êèðõãîôà, ïîëó÷àåì äëÿ

n

íåçàâèñèìûõ êîíòóðîâ ñëåäóþùóþ ñèñòåìó èç

n

ëèíåéíûõ óðàâíåíèé:

Z I

Z I

Z I

E

Z I

Z I

Z I

n

n n

11

12

1

11

21

22

2

&

&

&

&

;

&

&

&

1

2

1

2

+

+ +

=

+

+ +

K

K

n

=

+

+ +

=

&

;

. . . . . . . . . . . . . . . .

&

&

&

&

.

E

Z I

Z I

Z I

E

n

n

nn

nn

22

1

2

1

2

K

n

Ñîñòàâëåíèå òàêèõ óðàâíåíèé, ñîäåðæàùèõ

n

êîíòóðíûõ òîêîâ, è ðåøåíèå èõ

îòíîñèòåëüíî ýòèõ òîêîâ è ÿâëÿåòñÿ ñîäåðæàíèåì ìåòîäà êîíòóðíûõ òîêîâ.

246

×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Äëÿ ñîáëþäåíèÿ åäèíîîáðàçèÿ â íàïèñàíèè óðàâíåíèé ïåðåä âñåìè ÷ëåíàìè,

ñîäåðæàùèìè îáùèå ñîïðîòèâëåíèÿ

Z

km

, ñòàâèì çíàê «ïëþñ». Ïðè ýòîì ñëåäóåò

ñ÷èòàòü

Z

km

=

Z

mk

=

r

km

+

jx

km

, åñëè óñëîâíûå ïîëîæèòåëüíûå íàïðàâëåíèÿ êîí-

òóðíûõ òîêîâ â îáùåé âåòâè êîíòóðîâ

k

è

m

ñîâïàäàþò, è

Z

km

=

Z

mk

=

–

r

km

–

jx

km

,

åñëè îíè ïðîòèâîïîëîæíû. Â ýòèõ âûðàæåíèÿõ

r

km

è

x

km

— àëãåáðàè÷åñêèå ñóì-

ìû àêòèâíûõ è ðåàêòèâíûõ ñîïðîòèâëåíèé â îáùåé âåòâè.

Óïðîùåíèå, äîñòèãàåìîå ââåäåíèåì ïîíÿòèÿ êîíòóðíûõ òîêîâ, íå îãðàíè÷èâàåò-

ñÿ óìåíüøåíèåì ÷èñëà óðàâíåíèé, îíî îïðåäåëÿåòñÿ åùå è òåì, ÷òî äîñòèãàåòñÿ íå-

êîòîðûé àâòîìàòèçì â çàïèñè ñèñòåìû óðàâíåíèé. Òàê, ïðèâåäåííàÿ âûøå ñèñòåìà

èç

n

óðàâíåíèé çàïèñàíà äàæå áåç ðàññìîòðåíèÿ êîíêðåòíûõ êîíòóðîâ öåïè — âû-

ÿñíåíî ëèøü ÷èñëî íåçàâèñèìûõ êîíòóðîâ. Åñòåñòâåííî, äëÿ îïðåäåëåíèÿ âåëè÷èí

Z

kk

,

Z

km

è

&

E

kk

íåîáõîäèìî ó÷åñòü âõîäÿùèå â êîíòóðû êîíêðåòíûå ñîïðîòèâëåíèÿ è

ÝÄÑ, à òàêæå âûáðàííûå ïîëîæèòåëüíûå íàïðàâëåíèÿ òîêîâ è ÝÄÑ.

Ðåøàÿ ïðèâåäåííóþ âûøå ñèñòåìó óðàâíåíèé äëÿ êîíòóðíîãî òîêà

&

I

k

â êîí-

òóðå

k

, íàéäåì

&

&

&

&

&

,

I

E

E

E

E

k

k

k

mm

km

nn

kn

=

+

+ +

+ +

11

1

22

2

D

D

D

D

D

D

D

D

K

K

ãäå

D

— ãëàâíûé îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû, ïðè÷åì

D =

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

n

n

n

n

11

12

1

1

21

22

23

2

31

32

33

3

K
K
K

. . . . . . . . . . .

,

Z

Z

Z

Z

n

n

n

nn

1

2

3

K

à

D

k

1

,

D

k

2

, . . .,

D

km

, . . .,

D

kn

— àëãåáðàè÷åñêèå äîïîëíåíèÿ, ïîëó÷àåìûå èç îïðåäåëè-

òåëÿ

D

ïóòåì âû÷åðêèâàíèÿ â íåì

k

-é ñòðîêè è

m

-ãî ñòîëáöà è óìíîæåíèÿ âíîâü

ïîëó÷åííîãî îïðåäåëèòåëÿ íà (–1)

k+m

. Âåñüìà ñóùåñòâåííî çàìåòèòü, ÷òî äëÿ ëè-

íåéíûõ öåïåé áåç çàâèñèìûõ èñòî÷íèêîâ ýíåðãèè

D

km

= D

mk.

. Äåéñòâèòåëüíî,

D

km

ïîëó÷àåòñÿ èç

D

ïóòåì âû÷åðêèâàíèÿ

k

-é ñòðîêè è

m

-ãî ñòîëáöà, à

D

mk

— ïóòåì

âû÷åðêèâàíèÿ

m

-é ñòðîêè è

k

-ãî ñòîëáöà. Òàê êàê ïðè îòñóòñòâèè çàâèñèìûõ èñ-

òî÷íèêîâ ýíåðãèè

Z

km

=

Z

mk

, òî â ðåçóëüòàòå âû÷åðêèâàíèÿ ïîëó÷àþòñÿ äâà îïðå-

äåëèòåëÿ, â êîòîðûõ ýëåìåíòû ñòðîê îäíîãî ðàâíû ýëåìåíòàì ñîîòâåòñòâóþùèõ

ñòîëáöîâ äðóãîãî, à òàêèå îïðåäåëèòåëè, êàê èçâåñòíî, ðàâíû äðóã äðóãó.

 ìàòðè÷íîé ôîðìå ðåøåíèå äëÿ êîíòóðíûõ òîêîâ çàïèñûâàåòñÿ â âèäå

~

(

)

(

),

I

CZC

C E Z

2

1

=

+ Á

Á

-

t

ãäå (

CZC

t

)

–1

(

CZC

t

)

=

1

, ò. å. (

CZC

t

)

–1

— îáðàòíàÿ ìàòðèöà

êîíòóðíûõ ñîïðîòèâëåíèé.

 êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì öåïü, èçîáðàæåííóþ íà

ðèñ. 5.11. Ïîëîæèòåëüíûå íàïðàâëåíèÿ êîíòóðíûõ òîêîâ

&

I

1

è

&

I

2

íàïðàâèì òàê, êàê óêàçàíî ñòðåëêàìè. Êîíòóðíûå òîêè

&

I

1

è

&

I

2

â äàííîì ÷àñòíîì ñëó÷àå ðàâíû äåéñòâèòåëüíûì òî-

êàì â ïåðâîé è âî âòîðîé âåòâÿõ. Äåéñòâèòåëüíûé æå òîê â òðåòüåé âåòâè ðàâåí

Ãëàâà 5. Ðàñ÷åò öåïåé ïðè ñèíóñîèäàëüíîì è ïîñòîÿííîì òîêàõ

247

Ðèñ. 5.11