Файл: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.1.2003.pdf

Ìàòðèöà ñîåäèíåíèé äëÿ ãðàôà ñõåìû (ðèñ. 5.14,

â

) ðàâíà (çäåñü, êàê è ðàíåå,

ïóñòûå êëåòêè îáîçíà÷àþò íóëåâûå ýëåìåíòû)

1

2

3

4

5

6

7

8

1

–1

–1

1

1

À

=

2

1

1 –1

1 –1

.

3

1 –1

–1

Êðîìå òîãî, ìîæåì çàïèñàòü

~

~

~

~

~

~

~

~

~ ;

&

&

&

&

;

U

E

Y

t

t

U U

U

U

U

U

U

U

E

E

E

E

=

=

1

2

3

4

5

6

7

8

5

6

7

8

0 0 0 0

=

=

diag (

);

&

&

&

&

&

&

&

&

Y Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

I

I

I

I

I

I

I

I

t

1

2

3

4

5

6

7

8

1

2

3

4

5

6

7

I

8

1

0

10

20

30

0 0 0 0 0 0 0

;

&

;

&

&

&

.

ÁÁ = Á

=

t

t

U

U

U

U

Çäåñü äëÿ óäîáñòâà çàïèñè âìåñòî ìàòðèöû-ñòîëáöà íàïðÿæåíèé îáîáùåííûõ

âåòâåé ~

U

çàïèñàíà åå òðàíñïîíèðîâàííàÿ ìàòðèöà â âèäå ìàòðèöû-ñòðîêè. Àíà-

ëîãè÷íàÿ çàïèñü ñäåëàíà äëÿ îñòàëüíûõ ìàòðèö-ñòîëáöîâ. Òàêæå äëÿ óäîáñòâà

Ãëàâà 5. Ðàñ÷åò öåïåé ïðè ñèíóñîèäàëüíîì è ïîñòîÿííîì òîêàõ

253

Ðèñ. 5.14

è êâàäðàòíàÿ äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà ïðîâîäèìîñòåé öåïè

Y

çàïèñàíà â êðàòêîé

ôîðìå.

Èìåÿ â âèäó îñîáåííîñòè ìàòðè÷íîãî ïðîèçâåäåíèÿ

AY

è äèàãîíàëüíûé õà-

ðàêòåð

Y

-ìàòðèöû, ýëåìåíòû ìàòðèöû

AY

ìîæíî çàïèñàòü íåïîñðåäñòâåííî ïî

ìàòðèöå

A

(ñì. § 5.11). Èìååì

1

2

3

4

5

6

7

8

1

–

Y

1

–

Y

6

Y

7

Y

8

AY

=

2

Y

2

Y

3

–

Y

4

Y

6

–

Y

7

3

Y

4

–

Y

5

–

Y

8

1

Y

1

+

Y

6

+

Y

7

+

Y

8

–

Y

6

–

Y

7

–

Y

8

è

AYA

t

=

2

–

Y

6

–

Y

7

Y

2

+

Y

3

+

Y

4

+

Y

6

+

Y

7

–

Y

4

.

3

–

Y

8

–

Y

4

Y

4

+

Y

5

+

Y

8

Ïðîèçâåäåíèå

AY

íà

A

t

ìîæíî, êîíå÷íî, ïîëó÷èòü ïî ôîðìàëüíûì ïðàâèëàì

ìàòðè÷íîãî óìíîæåíèÿ. Íî ýòîò æå ðåçóëüòàò ìîæíî ïîëó÷èòü ïðîñòûì ñîïî-

ñòàâëåíèåì ñòðîê ìàòðèöû

A

(èëè

AY

), êàê ýòî ñäåëàíî â § 5.11 ñ ìàòðèöåé êîí-

òóðîâ.

Ïðîèçâåäåíèå

YE

åñòü ìàòðèöà-ñòîëáåö, êîòîðàÿ â òðàíñïîíèðîâàííîì âèäå

ðàâíà

(

)

YE

t

Y E

Y E

Y E

Y E

=

0 0 0 0

5

5

6

6

7

7

8

8

&

&

&

&

,

÷òî î÷åíü ïðîñòî çàïèñàòü íåïîñðåäñòâåííî ïî ìàòðèöå

E

.

Òàê êàê (

)

&

&

&

&

&

,

ÁÁ +

= Á

YE

t

Y E

Y E

Y E

Y E

1

5

5

6

6

7

7

8

8

0 0 0

òî

1

–

&

Á

1

–

Y E

6

6

&

+

Y E

7

7

&

+

Y E

8

8

&

&

Á

11

A( + YE)

ÁÁ

=

2

Y E

6

6

&

–

Y E

7

7

&

=

–

&

Á

22

3

–

Y E

5

5

&

–

Y E

8

8

&

&

Á

33

îïðåäåëÿåò ìàòðèöó-ñòîëáåö, ýëåìåíòû êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ ñóììîé òåõ ýëåìåíòîâ

ìàòðèöû (

)

Á

Á +

YE

, íîìåðà êîòîðûõ ñîâïàäàþò ñ íîìåðàìè ñòîëáöîâ ìàòðèöû

A

ñ íåíóëåâûìè ýëåìåíòàìè. Íàïðèìåð, âî âòîðîé ñòðîêå ìàòðèöû

A

èìåþòñÿ

ëèøü ñëåäóþùèå íåíóëåâûå ýëåìåíòû:

a

22

=

1,

a

23

=

1,

a

24

=

–1,

a

26

=

1,

a

27

=

–1.

Ñëåäîâàòåëüíî, èìååì ñóììó

Y

6

E

6

–

Y

7

E

7

.

 ðåçóëüòàòå âñåõ îïåðàöèé ïîëó÷àåì

254

×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Y

11

Y

12

Y

13

&

U

10

&

Á

11

AYA

t

U

0

=

Y

21

Y

22

Y

23

´

&

U

20

=

&

Á

22

Y

31

Y

32

Y

33

&

U

30

&

Á

33

èëè

Y U

Y U

Y U

Y U

Y U

Y U

11 10

12

20

13

30

11

21 10

22

20

23

&

&

&

&

;

&

&

&

+

+

= Á

+

+

30

22

31 10

32

20

33

30

33

= Á

+

+

= Á

&

;

&

&

&

&

,

Y U

Y U

Y U

ãäå

Y

Y Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

11

1

6

7

8

22

2

3

4

6

7

=

+

+

+

=

+

+

+

+

;

;

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

12

21

6

7

13

31

8

=

= - -

=

= -

;

;

&

&

&

&

&

;

&

&

&

;

Á = Á +

-

-

Á = -

+

11

1

6

6

7

7

8

8

22

6

6

7

7

Y E

Y E

Y E

Y E

Y E

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y E

Y E

33

4

5

8

23

32

4

33

5

5

8

8

=

+

+

=

= -

Á =

+

;

;

&

&

&

.

Òàêèì îáðàçîì, ñîáñòâåííàÿ ïðîâîäèìîñòü óçëîâ åñòü ñóììà ïðîâîäèìîñòåé,

ïðèñîåäèíåííûõ ê äàííîìó óçëó, à îáùàÿ ïðîâîäèìîñòü óçëîâ åñòü ñóììà ïðîâî-

äèìîñòåé âåòâåé, ñîåäèíÿþùèõ äàííóþ ïàðó óçëîâ, âçÿòàÿ ñ îáðàòíûì çíàêîì.

Ïðè íàëè÷èè â öåïè òîëüêî îäíîãî èñòî÷íèêà òîêà

&

Á

0

k

, ïîäêëþ÷åííîãî ìåæ-

äó îïîðíûì è

k

-ì óçëîì, èìååì

&

&

; ;

&

&

; ;

&

&

.

U

U

U

k

k

k

k

kk

m

k

mk

10

0

1

0

0

0

0

= Á

= Á

= Á

D

D

D

D

D

D

K

K

Âåëè÷èíó

D

/

D

kk

, èìåþùóþ ðàçìåðíîñòü ïðîâîäèìîñòè, íàçîâåì â õ î ä í î é

ï ð î â î ä è ì î ñ ò ü þ ìåæäó îïîðíûì è

k

-ì óçëàìè, à âåëè÷èíó

D

/

D

mk

— â ç à -

è ì í î é ï ð î â î ä è ì î ñ ò ü þ ìåæäó

k

-ì è

m

-ì óçëàìè.

5.13. Ìåòîä ñå÷åíèé

Àíàëîãè÷íî ìåòîäó óçëîâûõ íàïðÿæåíèé, ìîæíî óìåíüøèòü ÷èñëî èñêîìûõ âå-

ëè÷èí äî

q

– 1 âûáîðîì â êà÷åñòâå íåèçâåñòíûõ — íàïðÿæåíèé âåòâåé äåðåâà

~ , ~ , , ~

U U

U

q

1

2

1

K

-

èëè ìàòðèöû-ñòîëáöà ~

U

1

, èìåÿ â âèäó, ÷òî ïðîèçâåäåíà óïîðÿäî-

÷åííàÿ íóìåðàöèÿ âåòâåé ãðàôà ñõåìû, à èìåííî ñíà÷àëà ïðîíóìåðîâàíû âåòâè

äåðåâà, à çàòåì ñâÿçè. Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî äëÿ ìåòîäà

óçëîâûõ íàïðÿæåíèé íåò òàêîé íåîáõîäèìîñòè. Ñîãëàñíî âòîðîìó çàêîíó Êèðõ-

ãîôà, èìååì

1

1

K

(

),

q

-

q p

K

C

~

U

=

q

p

M

F

1

´

~

U

1

=

0

èëè ~

U

2

=

–

F

~

U

1

.

~

U

2

Ãëàâà 5. Ðàñ÷åò öåïåé ïðè ñèíóñîèäàëüíîì è ïîñòîÿííîì òîêàõ

255

Òîãäà íàïðÿæåíèÿ âñåõ îáîáùåííûõ âåòâåé ãðàôà ñõåìû ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç

íàïðÿæåíèÿ âåòâåé äåðåâà â ñëåäóþùåì âèäå:

Çàïèøåì òàêæå ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ àêòèâíûõ è ïàññèâíûõ ýëåìåí-

òîâ öåïè:

~

; ~

.

U U E I I

=

-

= + ÁÁ

Äëÿ ñå÷åíèé öåïè èìååì

DI 0

DI

D

~

.

=

= - ÁÁ

èëè

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî

I

=

YU

è

U

=

~

U

+

E

, ìîæíî çàïèñàòü

DYU

D

YE

~

(

).

= - ÁÁ +

Ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî ~

~

U

=

t

D U

1

, ïîëó÷èì

DYD U

D

YE

t

~

(

).

1

= - ÁÁ +

Ìû ïîëó÷èëè â ìàòðè÷íîé ôîðìå óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî íàïðÿæåíèé âåò-

âåé äåðåâà (

q

– 1 ñêàëÿðíûõ óðàâíåíèé), êóäà âõîäÿò:

DYD

t

— êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ïðîâîäèìîñòåé ñå÷åíèé ïîðÿäêà (

q

– 1)

´ (

q

– 1).

Ýòó ìàòðèöó çàïèøåì â âèäå, àíàëîãè÷íîì ìàòðèöå óçëîâûõ ïðîâîäèìîñòåé,

à èìåííî:

DYD

t

=

-

-

-

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

q

q

q

11

12

1

1

21

22

2

1

1 1

K
K

,

,

,

. . . . . . . . . . . .

q

q

q

Y

-

-

-

1 2

1

1

,

,

,

K

ãäå

Y

kk

— ñîáñòâåííàÿ ïðîâîäèìîñòü

k

-ãî ñå÷åíèÿ;

Y

km

— îáùàÿ ïðîâîäèìîñòü ñå-

÷åíèé

k

è

m

;

D

ÁÁ

— ìàòðèöà-ñòîëáåö ïîðÿäêà (

q

– 1)

´

1, ñîñòîÿùàÿ èç ýëåìåíòîâ, ïðåä-

ñòàâëÿþùèõ ñîáîé ñóììû òîêîâ èñòî÷íèêîâ òîêà âåòâåé, ïåðåñåêàåìûõ äàííûì

ñå÷åíèåì, íîìåð êîòîðîãî îïðåäåëÿåò íîìåð âåòâè äåðåâà;

D

(

YE

) — ìàòðèöà-ñòîëáåö ïîðÿäêà (

q

– 1)

´

1, ñîñòîÿùàÿ èç ýëåìåíòîâ, ïðåä-

ñòàâëÿþùèõ ñîáîé ñóììû òîêîâ ýêâèâàëåíòíûõ èñòî÷íèêîâ òîêà, îáðàçîâàííûõ

çà ñ÷åò ïðåîáðàçîâàíèÿ èñòî÷íèêîâ ÝÄÑ â âåòâÿõ â èñòî÷íèêè òîêà (

YE

).

 ðàçâåðíóòîé ôîðìå ñîâîêóïíîñòü óðàâíåíèé, ïîëó÷åííûõ ïî ìåòîäó ñå÷å-

íèé, èìååò âèä

Y U

Y U

Y

U

q

q

11 1

12

2

1

1

1

11

~

~

~

&

;

. . . . . . . . . . . . . . . .
.

,

+

+ +

= Á

-

-

K

. . . . . . . . . . . . . . .

~

~

~

,

,

,

Y

U

Y

U

Y

U

q

q

q

q

q

-

-

-

-

-

+

+ +

1 1 1

1 2

2

1

1

1

K

= Á

-

-

&

.

,

q

q

1

1

256

×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Çäåñü

Y

d Y d

Y

d Y d

d

Y

kk

kj j

jk

j

p

km

kj j

jm

j

p

kk

kj

j

=

=

Á = -

Á +

=

=

å

å

1

1

;

;

(

&

j

j

j

p

E

&

).

=

å

1

Ðåøåíèå ýòîé ñèñòåìû â ìàòðè÷íîé ôîðìå ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

~

(

)

(

).

U

DYD

D

YE

1

1

= -

ÁÁ +

t

–

Äëÿ íàïðÿæåíèÿ

k

-é âåòâè äåðåâà ìîæíî çàïèñàòü

&

~

&

&

,

,

,

U

k

k

q

q

q

k

= Á

+ +Á

-

-

-

11

1

1

1

1

D

D

D

D

K

ãäå

D

— ãëàâíûé îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû ïðîâîäèìîñòåé ñå÷åíèé è

D

mk

— åãî àë-

ãåáðàè÷åñêîå äîïîëíåíèå.

 êà÷åñòâå ïðèìåðà ñîñòàâèì óðàâíåíèå ïî ìåòîäó ñå÷åíèé äëÿ öåïè, èçîáðà-

æåííîé íà ðèñ. 5.5,

à

è

á

, ãðàôû êîòîðîé ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 5.5,

â

,

ã

è

ä

. Èìååì

ñëåäóþùèå èñõîäíûå äàííûå:

E

U

t

t

t

E

E

E

U U

U

U

U

=

ÁÁ =

Á

=

&

&

&

;

&

&

;

~

~

~

~

~

~

~

1

3

5

6

1

2

3

4

5

0

0

0

0 0 0 0 0

U

Y Y Y Y Y Y

6

1 2 3 4 5 6

;

(

).

Y

=

diag

Äëÿ ãðàôà ñõåìû (ñì. ðèñ. 5.5) èìååì òðè ñå÷åíèÿ:

1, 2, 3

(ñîãëàñíî òðåì íîìå-

ðàì âåòâåé äåðåâà). Òîãäà

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

1 1

1 –1 –1

1 Y

1

Y

4

–

Y

5

–

Y

6

D

=

2

1

–1 –1 ;

DY

=

2

Y

2

–

Y

5

–

Y

6

;

3

1 –1

1

3

Y

3

–

Y

4

Y

5

1

Y

1

+

Y

4

+

Y

5

+

Y

6

Y

5

+

Y

6

–

Y

4

–

Y

5

DYD

t

=

2

Y

5

+

Y

6

Y

2

+

Y

5

+

Y

6

–

Y

5

;

3 –

Y

4

–

Y

5

–

Y

5

Y

3

+

Y

4

+

Y

5

(

)

&

&

&

;

YE

t

Y E

Y E

Y E

=

1 1

3

3

5

5

0

0

0

1

Y E

1 1

&

–

Y E

5

5

&

–

&

Á

6

&

Á

11

D(

ÁÁ

+

YE

)

=

2 –

Y E

5

5

&

–

&

Á

6

=

–

&

Á

22

.

3

Y E

3

3

&

+

Y E

5

5

&

&

Á

33

Ñëåäîâàòåëüíî, èìååì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé:

Ãëàâà 5. Ðàñ÷åò öåïåé ïðè ñèíóñîèäàëüíîì è ïîñòîÿííîì òîêàõ

257