Файл: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.1.2003.pdf

Ìàòðèöû ïàðàìåòðîâ

Z

z

,

Y

y

â äàííîì ÷àñòíîì ñëó÷àå çàïèñàíû â ôîðìå ñèì-

ìåòðè÷íûõ äèàãîíàëüíûõ ìàòðèö. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â öåïè îòñóòñòâóþò èíäóê-

òèâíî ñâÿçàííûå êàòóøêè è çàâèñèìûå èñòî÷íèêè. Ïðè íàëè÷èè èíäóêòèâíî

ñâÿçàííûõ êàòóøåê âåòâè, ñîäåðæàùèå ýòè êàòóøêè, äîëæíû áûòü îòíåñåíû ê

z

-âåòâÿì, è òîãäà âçàèìíàÿ èíäóêòèâíîñòü ìîæåò áûòü ó÷òåíà äîáàâëåíèåì

íåäèàãîíàëüíûõ ñèììåòðè÷íî ðàñïîëîæåííûõ ýëåìåíòîâ â ìàòðèöå

Z

z

(ñì.

§ 5.18). Íàëè÷èå çàâèñèìûõ èñòî÷íèêîâ òàêæå ìîæåò áûòü ó÷òåíî â ýòîì ñëó÷àå

äîáàâëåíèåì ÷ëåíîâ â

Z

- è

Y

-ìàòðèöàõ.

Äîïóñòèì, èìååòñÿ çàâèñèìûé èñòî÷íèê òîêà â 4-é âåòâè, óïðàâëÿåìûé íà-

ïðÿæåíèåì 2-é âåòâè:

&

Á

42

=

Y

42

&

U

2

. Òîê ýòîãî èñòî÷íèêà òîêà ìîæíî ïåðåíåñòè â

ëåâóþ ÷àñòü ðàâåíñòâà è ó÷èòûâàòü åãî äîáàâëåíèåì â ìàòðèöå

Y

y

íåíóëåâîãî

ýëåìåíòà

Y

42

. Çàìåòèì, ÷òî ýëåìåíò

Y

24

¹

0, è ïîýòîìó ìàòðèöà

Y

y

ñòàíîâèòñÿ

íåñèììåòðè÷íîé. Òî÷íî òàê æå, åñëè â íåêîòîðîé âåòâè (íàïðèìåð, 7) èìååòñÿ

óïðàâëÿåìûé òîêîì (íàïðèìåð, òîêîì âåòâè 5) èñòî÷íèê ÝÄÑ

&

E

75

=

Z

75

&

I

5

, òî åãî

ìîæíî ó÷åñòü â âèäå äîïîëíèòåëüíîãî ïàäåíèÿ íàïðÿæåíèÿ â êîíòóðå

7

îò òîêà

I

5

äîáàâëåíèåì â ìàòðèöå

Z

z

íåäèàãîíàëüíîãî ýëåìåíòà –

Z

75

.

Ìåòîä ñìåøàííûõ âåëè÷èí äàåò âîçìîæíîñòü áåç ýêâèâàëåíòíûõ ïðåîáðàçî-

âàíèé ó÷åñòü óïðàâëÿåìûå íàïðÿæåíèåì èñòî÷íèêè òîêà è óïðàâëÿåìûå òîêîì

èñòî÷íèêè ÝÄÑ, åñëè èõ ðàçäåëüíî ðàñïîëîæèòü, ñîîòâåòñòâåííî, â

y

-ïîäãðàôå

ñõåìû è

z

-ïîäãðàôå ñõåìû, ò. å. ðàçäåëåíèå ãðàôà ïðîèçâîäèòü ñ ó÷åòîì è ýòîãî

îáñòîÿòåëüñòâà. Çàìåòèì, ÷òî ÷èñëî èåèçâåñòíûõ, à ñëåäîâàòåëüíî, è ïîðÿäîê ñèñ-

òåìû óðàâíåíèé íåìèíèìàëüíû. Â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå ÷èñëî íåèçâåñòíûõ

ðàâíî øåñòè, â òî âðåìÿ êàê ïî ìåòîäó êîíòóðíûõ òîêîâ è ïî ìåòîäó ñå÷åíèé

(è óçëîâûõ íàïðÿæåíèé) îíî ðàâíî ÷åòûðåì. Â ýòîì îòíîøåíèè ìåòîä ñìåøàí-

íûõ ïåðåìåííûõ óñòóïàåò äðóãèì ìåòîäàì.

5.15. Ïðèíöèï íàëîæåíèÿ

è îñíîâàííûé íà íåì ìåòîä ðàñ÷åòà öåïè

 âûðàæåíèè äëÿ òîêà

&

I

k

, ïîëó÷åííîì ïî ìåòîäó êîíòóðíûõ òîêîâ, âåëè÷èíû

&

,

&

,

,

&

E E

E

nn

11

22

K

ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé êàæäàÿ ñóììó ÝÄÑ âñåõ èñòî÷íèêîâ, âõîäÿ-

ùèõ â ñîîòâåòñòâóþùèå êîíòóðû. Òî÷íî òàê æå â âûðàæåíèè äëÿ óçëîâîãî íàïðÿ-

æåíèÿ

&

U

k

0

, ïîëó÷åííîì ïî ìåòîäó óçëîâûõ íàïðÿæåíèé, âåëè÷èíû

&

,

&

,

,

&

Á Á

Á

-

1

2

1

K

q

ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé êàæäàÿ ñóììó òîêîâ âñåõ èñòî÷íèêîâ òîêîâ, ïîäêëþ÷åííûõ

ê ñîîòâåòñòâóþùèì óçëàì. Âûïèñàâ ýòè ñóììû ÿâíî è ñãðóïïèðîâàâ â âûðàæå-

íèÿõ äëÿ

&

I

k

è

&

U

k

0

÷ëåíû, ñîäåðæàùèå ÝÄÑ èëè òîêè îòäåëüíûõ èñòî÷íèêîâ, ïî-

ëó÷èì âûðàæåíèÿ äëÿ

&

I

k

è

&

U

k

0

â âèäå ñëàãàåìûõ, êàæäîå èç êîòîðûõ áóäåò èìåòü

ìíîæèòåëåì ÝÄÑ èëè òîê òîãî èëè èíîãî èñòî÷íèêà. Èç ýòîãî ñëåäóåò, ÷òî êîí-

òóðíûé òîê â ëþáîì êîíòóðå ðàâåí ñóììå òîêîâ, âûçûâàåìûõ â ýòîì êîíòóðå

êàæäîé èç ÝÄÑ â îòäåëüíîñòè, è, ñîîòâåòñòâåííî, óçëîâîå íàïðÿæåíèå ìåæäó

ëþáûì óçëîì è îïîðíûì ðàâíî ñóììå óçëîâûõ íàïðÿæåíèé, ñîçäàííûõ ìåæäó

ýòèì óçëîì è îïîðíûì êàæäûì â îòäåëüíîñòè èñòî÷íèêîì òîêà (èëè èñòî÷íè-

êîì ÝÄÑ âåòâè, ïðèêëþ÷åííîé ê äàííîìó óçëó). Ýòî âåñüìà âàæíîå ïîëîæåíèå

î íåçàâèñèìîñòè äåéñòâèÿ èñòî÷íèêîâ ÝÄÑ èëè òîêà, èçâåñòíîå ïîä íàèìåíîâà-

íèåì ï ð è í ö è ï à í à ë î æ å í è ÿ, âûòåêàåò èç ëèíåéíîñòè óðàâíåíèé, ïîëó÷àå-

ìûõ íà îñíîâàíèè çàêîíîâ Êèðõãîôà äëÿ ëèíåéíûõ öåïåé, ò. å. öåïåé ñ ïàðàìåò-

ðàìè, íå çàâèñÿùèìè îò òîêîâ è íàïðÿæåíèé.

Ãëàâà 5. Ðàñ÷åò öåïåé ïðè ñèíóñîèäàëüíîì è ïîñòîÿííîì òîêàõ

263

Ïðèíöèï íàëîæåíèÿ ñïðàâåäëèâ íå òîëüêî äëÿ ëþáîãî êîíòóðíîãî òîêà, íî è

äëÿ òîêà â ëþáîé âåòâè, òàê êàê âñåãäà ìîæíî âûáðàòü ñîâîêóïíîñòü êîíòóðîâ

òàê, ÷òî èíòåðåñóþùàÿ íàñ âåòâü âîéäåò òîëüêî â îäèí êîíòóð. Ýòî íåïîñðåä-

ñòâåííî âûòåêàåò òàêæå èç ëèíåéíîñòè ñèñòåìû óðàâíåíèé, çàïèñàííûõ â îòíî-

øåíèè èñòèííûõ òîêîâ â âåòâÿõ ïî çàêîíàì Êèðõãîôà.

Ñëåäóåò èìåòü â âèäó, ÷òî ïðèíöèï íàëîæåíèÿ íå ïðèìåíèì äëÿ êâàäðàòè÷-

íûõ ôîðì, êàêîâûìè ÿâëÿþòñÿ âûðàæåíèÿ äëÿ ìîùíîñòåé.

Ïðèíöèï íàëîæåíèÿ ïîçâîëÿåò ðàñ÷ëåíèòü ñëîæíóþ çàäà÷ó íà ðÿä áîëåå ïðî-

ñòûõ, â êàæäîé èç êîòîðûõ â ðàññìàòðèâàåìîé ñëîæíîé öåïè äåéñòâóåò òîëüêî

îäíà ÝÄÑ èëè îäèí èñòî÷íèê òîêà, à âñå

îñòàëüíûå èñòî÷íèêè ýíåðãèè ïðåäïîëà-

ãàþòñÿ îòñóòñòâóþùèìè. Ïðè ýòîì âñå

äðóãèå èñòî÷íèêè ÝÄÑ äîëæíû áûòü

çàìêíóòû íàêîðîòêî ñ ñîõðàíåíèåì â âåò-

âÿõ èõ âíóòðåííèõ ñîïðîòèâëåíèé, à âñå

äðóãèå èñòî÷íèêè òîêà äîëæíû áûòü ðàçîìêíóòû, íî â ñîîòâåòñòâóþùèõ âåòâÿõ

äîëæíû áûòü ñîõðàíåíû èõ âíóòðåííèå ïðîâîäèìîñòè.

Ïðèìåíÿÿ, íàïðèìåð, ïðèíöèï íàëîæåíèÿ äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è ðàñ÷åòà öåïè,

èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 5.11, ïîëó÷àåì äâå áîëåå ïðîñòûå çàäà÷è (ðèñ. 5.16), òîêè

â êîòîðûõ íàõîäÿòñÿ ïðîñòî:

&

&

&

(

)

&

(

¢ =

+

+

=

+

+

+

=

I

E

Z

Z Z

Z

Z

E Z

Z

Z Z

Z Z

Z Z

E

1

1

1

2

3

2

3

1

2

3

1 2

2

3

3 1

1

Z

Z

D

I

I

Z

Z

Z

E Z

D

I

I

Z

Z

Z

2

3

2

1

3

2

3

1 3

3

1

2

2

3

+

¢ = ¢

+

=

¢ = ¢

+

=

) ;

&

&

&

;

&

&

&

E Z

D

I

E

Z

Z Z

Z

Z

E Z

Z

D

I

I

1 2

2

2

2

1 3

1

3

2

1

3

1

;

&

&

&

(

) ;

&

&

¢¢ =

+

+

=

+

¢¢ = ¢¢

2

3

1

3

2

3

3

2

2

1

3

2 1

Z

Z

Z

E Z

D

I

I

Z

Z

Z

E Z

D

+

=

¢¢ = ¢¢

+

=

&

;

&

&

&

.

Ñëåäîâàòåëüíî, äåéñòâèòåëüíûå òîêè â âåòâÿõ ïðè äåéñòâèè îáîèõ èñòî÷íè-

êîâ ÝÄÑ ñ ó÷åòîì íàïðàâëåíèÿ ñòðåëîê íà ðèñ. 5.16 ðàâíû:

&

&

&

&

(

)

&

;

&

&

&

&

I

I

I

E Z

Z

E Z

D

I

I

I

E

1

1

1

1

2

3

2

3

2

2

2

= ¢ - ¢¢ =

+

-

= ¢¢ - ¢ =

2

1

3

1 3

3

3

3

1 2

2 1

(

)

&

;

&

&

&

&

&

.

Z

Z

E Z

D

I

I

I

E Z

E Z

D

+

-

= ¢ + ¢¢ =

+

264

×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Ðèñ. 5.16

Çàäà÷à ðàñ÷åòà öåïè, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 5.12, ñ ïîìîùüþ ïðèíöèïà íàëî-

æåíèÿ ñîîòâåòñòâåííî ìîæåò áûòü ðàñ÷ëåíåíà íà òðè áîëåå ïðîñòûå çàäà÷è ðàñ-

÷åòà òîé æå öåïè ïðè äåéñòâèè îäíîé ÝÄÑ

&

E

2

,

&

E

3

èëè

&

E

4

.

5.16. Ïðèíöèï âçàèìíîñòè

è îñíîâàííûé íà íåì ìåòîä ðàñ÷åòà öåïè

Äëÿ ëèíåéíûõ öåïåé ñïðàâåäëèâ âàæíûé ï ð è í ö è ï â ç à è ì í î ñ ò è, óñòàíîâ-

ëåííûé Ìàêñâåëëîì, êîòîðûé ãëàñèò: åñëè ÝÄÑ

&

&

E

E

ab

=

, äåéñòâóÿ â âåòâè

ab

ñêîëü óãîäíî ñëîæíîé öåïè, ïðè îòñóòñòâèè â öåïè ïðî÷èõ ÝÄÑ âûçûâàåò â äðó-

ãîé âåòâè

cd

ýòîé öåïè òîê

&

&

I

I

cd

=

, òî òàêàÿ æå ÝÄÑ

&

&

E

E

cd

=

, äåéñòâóÿ â âåòâè

cd

,

ïðè îòñóòñòâèè ïðî÷èõ ÝÄÑ âûçîâåò â âåòâè

ab

òàêîé æå òîê

&

&

I

I

ab

=

.

Ýòî ïîëîæåíèå âûòåêàåò èç âûðàæåíèÿ äëÿ òîêà

&

I

k

ïî ìåòîäó êîíòóðíûõ

òîêîâ. Âûáåðåì íåçàâèñèìûå êîíòóðû òàê, ÷òîáû âåòâü

ab

âõîäèëà òîëüêî â êîí-

òóð

k

, à âåòâü

cd —

òîëüêî â êîíòóð

m

, ÷òî ïî îòíîøåíèþ ê äâóì âåòâÿì, êàê óæå

îòìå÷àëîñü ðàíåå, âñåãäà ìîæíî ñäåëàòü. Òîãäà èç ðàâåíñòâ

&

&

&

&

&

&

I

I

E

I

I

E

ab

k

km

cd

m

mk

=

=

=

=

D

D

D

D

è

ñëåäóåò, ÷òî

&

&

&

I

I

I

ab

cd

=

=

, òàê êàê

D

mk

= D

km

. Ïðè ýòîì îòíîøåíèå

&

&

& &

E

I

E I

ab

cd

=

åñòü âçàèìíîå ñîïðîòèâëåíèå

Z

km

îò

k

-ãî êîíòóðà ê

m

-ìó êîíòóðó, à îòíîøåíèå

&

&

& &

E

I

E I

cd

ab

=

åñòü âçàèìíîå ñîïðîòèâëåíèå

Z

mk

îò

m

-ãî êîíòóðà ê

k

-ìó êîíòóðó.

Òàêèì îáðàçîì, ñôîðìóëèðîâàííûé óêàçàííûì îáðàçîì ïðèíöèï âçàèìíîñòè

ïðèâîäèò ê ðàâåíñòâó ýòèõ âçàèìíûõ ñîïðîòèâëåíèé:

Z

km

=

Z

mk

. Îáðàòèì âíèìà-

íèå, ÷òî çäåñü, ïåðåñòàâëÿÿ ÝÄÑ

&

E

èç îäíîé âåòâè â äðóãóþ, ìû îäèíàêîâî ñî-

ãëàñîâûâàëè ïîëîæèòåëüíûå íàïðàâëåíèÿ ÝÄÑ è òîêîâ â êàæäîé èç ýòèõ âåò-

âåé, à èìåííî: ìû ïðèíÿëè

&

&

E E

ab

=

è

&

&

I I

ab

=

, à òàêæå

&

&

E E

cd

=

è

&

&

I I

cd

=

.

Åñëè áû ïðè ïåðåñòàíîâêå ÝÄÑ

&

E

èç âåòâè

ab

â âåòâü

cd

ìû èçìåíèëè åå ïî-

ëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå, ò. å. ïðèíÿëè

&

&

E E

ab

=

è

&

&

&

E E

E

dc

cd

=

= -

, à ïîëîæèòåëü-

íûå íàïðàâëåíèÿ òîêîâ îñòàâèëè ïðåæíèìè, ò. å. ïðèíÿëè ïî-ïðåæíåìó

&

&

I I

ab

=

è

&

&

I I

cd

=

, òî, î÷åâèäíî, ïîëó÷èëè áû

Z

E

I

E

I

Z

E

I

E

I

E

I

km

ab

cd

mk

cd

ab

dc

ab

=

=

=

= -

= -

&
&

&
&

&
&

&

&

&
&

,

è

ò. å. ïîëó÷èëè áû ñîîòíîøåíèå

Z

km

=

–

Z

mk

, íà ÷òî áûëî óæå óêàçàíî â § 5.11.

 äàëüíåéøåì, ïîëüçóÿñü ïðèíöèïîì âçàèìíîñòè, áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî

ïîëîæèòåëüíûå íàïðàâëåíèÿ ÝÄÑ è òîêîâ âî âñåõ âåòâÿõ ïðèíÿòû ñîãëàñîâàí-

íûìè îäèíàêîâî, ò. å. áóäåì ïðè ýòîì èìåòü

Z

km

=

Z

mk

.

Ïðèíöèï âçàèìíîñòè â ñî÷åòàíèè ñ ïðèíöèïîì íàëîæåíèÿ äàåò âîçìîæíîñòü

ñóùåñòâåííî ñíèçèòü òðóäîåìêîñòü ðàñ÷åòà ñëîæíîé öåïè, â êîòîðîé äåéñòâóåò

îäíîâðåìåííî íåñêîëüêî ÝÄÑ, îñîáåííî â ñëó÷àå, êîãäà òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü

òîê â îäíîé âåòâè ýòîé öåïè.

Ïóñòü ñëîæíàÿ öåïü, ñîñòîÿùàÿ èç

p

âåòâåé, ñîäåðæèò

s

èñòî÷íèêîâ ÝÄÑ

&

E

1

,

&

E

2

, . . .,

&

E

s

â

s

ïåðâûõ ïî ïîðÿäêó íîìåðîâ âåòâÿõ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â öåïè äåé-

ñòâóåò òîëüêî îäíà ÝÄÑ

&

E

k

â

k

-é âåòâè (1

£

k

£

s

), à îñòàëüíûå èñòî÷íèêè ÝÄÑ

Ãëàâà 5. Ðàñ÷åò öåïåé ïðè ñèíóñîèäàëüíîì è ïîñòîÿííîì òîêàõ

265

çàêîðî÷åíû ñ ñîõðàíåíèåì â âåòâÿõ èõ âíóòðåííèõ ñîïðîòèâëåíèé. Íàçîâåì ýòó

ñðàâíèòåëüíî ïðîñòóþ çàäà÷ó îñíîâíîé. Âû÷èñëèì â ýòîé çàäà÷å òîêè âî âñåõ

p

âåòâÿõ:

( )

&

I

k

1

,

( )

&

I

k

2

,

( )

&

I

k

3

, . . .,

( )

&

I

m

k

, . . .,

( )

&

I

p

k

. Çäåñü âåðõíèé èíäåêñ â ñêîáêàõ ïîêàçûâàåò,

ïîä äåéñòâèåì êàêîé ÝÄÑ âîçíèêàåò òîê, à íèæíèé — â êàêîé âåòâè ðàññìàòðè-

âàåòñÿ òîê.

Åñëè åäèíñòâåííûé èñòî÷íèê ñ ÝÄÑ

&

E

k

ïåðåñòàâèòü â

m

-þ âåòâü, òî, ñîãëàñíî

ïðèíöèïó âçàèìíîñòè

, â

k

-é âåòâè ïîéäåò òàêîé æå òîê, êàê â

m

-é âåòâè â îñíîâ-

íîé çàäà÷å, ò. å. ïðè ýòîì òîê â

k

-é âåòâè áóäåò ðàâåí òîêó

( )

&

I

m

k

, âû÷èñëåííîìó

â îñíîâíîé çàäà÷å.

 äåéñòâèòåëüíîñòè â

m

-é âåòâè äåéñòâóåò èñòî÷íèê ÝÄÑ

&

E

m

. Î÷åâèäíî, òîê

â

k

-é âåòâè, âîçíèêàþùèé ïîä äåéñòâèåì åäèíñòâåííîãî èñòî÷íèêà ÝÄÑ

&

E

m

,

âêëþ÷åííîãî â

m

-þ âåòâü, ðàâåí

( )

( )

&

&

&

&

.

I

I

E

E

k

m

m

k

m

k

=

Ïåðåñòàâëÿÿ ïîñëåäîâàòåëüíî åäèíñòâåííûé èñòî÷íèê ÝÄÑ

&

E

k

âî âñå âåòâè,

â êîòîðûõ â èññëåäóåìîé ðåàëüíîé öåïè äåéñòâóþò èñòî÷íèêè ÝÄÑ, ò. å. èçìå-

íÿÿ èíäåêñ

m

îò åäèíèöû äî

s

, âêëþ÷àÿ è çíà÷åíèå

m

=

k

, è îñóùåñòâëÿÿ ïðîïîð-

öèîíàëüíûé ïåðåñ÷åò çíà÷åíèé òîêîâ îò ÝÄÑ

&

E

k

ê äåéñòâèòåëüíûì çíà÷åíèÿì

ÝÄÑ

&

E

m

, âû÷èñëèì òàêèì ìåòîäîì òîêè â

k

-é âåòâè, âîçíèêàþùèå â íåé ïðè äåé-

ñòâèè âñåõ äåéñòâèòåëüíûõ ÝÄÑ ïîîäèíî÷êå.

Ñîãëàñíî ïðèíöèïó íàëîæåíèÿ, òîê

&

I

k

â

k

-é âåòâè, âîçíèêàþùèé ïðè äåéñò-

âèè âñåõ çàäàííûõ ÝÄÑ îäíîâðåìåííî, ðàâåí

( )

( )

&

&

&

&

&

.

I

I

I

E

E

k

k

m

m

s

m

k

m

k

m

s

=

=

=

=

å

å

1

1

Òàêèì îáðàçîì, äîñòàòî÷íî ðåøèòü òîëüêî ñðàâíèòåëüíî ïðîñòóþ îñíîâíóþ

çàäà÷ó, ò. å. ðàññ÷èòàòü òîêè

( )

&

I

m

k

âî âñåõ âåòâÿõ, êîãäà äåéñòâóåò òîëüêî îäíà ÝÄÑ

&

E

k

â òîé âåòâè (

k

-é), â êîòîðîé õîòèì íàéòè òîê

&

I

k

, ïîñëå ÷åãî èñêîìûé òîê

&

I

k

âû÷èñëÿåòñÿ ïî ïîñëåäíåé ôîðìóëå. Ýòà ôîðìóëà íåïîñðåäñòâåííî ïðèãîäíà

äëÿ âû÷èñëåíèÿ òîêà â âåòâè, ñîäåðæàùåé èñòî÷íèê ÝÄÑ (1

£

k

£

s

), ò. å. åñëè

&

E

k

¹

0.

Äëÿ âû÷èñëåíèÿ æå òîêà â âåòâè, â êîòîðîé íåò èñòî÷íèêà ÝÄÑ (

s

<

k

£

p

),

ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ýòîé æå ôîðìóëîé, åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî â ýòó âåòâü

âêëþ÷åí ôèêòèâíûé èñòî÷íèê ÝÄÑ

&

E

k

ôèêò

¹

0; òîãäà

(

)

&

&

&

&

(

).

I

I

E

E

k s

k

m

k

m

s

m

k

=

>

=

å

ôèêò

ôèêò

1

Ïîñêîëüêó ñóììèðîâàíèå èäåò òîëüêî äî

m

=

s

,

k

>

s

, òî òîê â

k

-é âåòâè îò äåé-

ñòâèÿ ôèêòèâíîãî èñòî÷íèêà, êîãäà îí âêëþ÷åí â ýòó æå

k

-þ âåòâü, íå ó÷èòûâà-

åòñÿ.

266

×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

5.17. Ìåòîä ýêâèâàëåíòíîãî ãåíåðàòîðà

Çàäà÷à îòûñêàíèÿ òîêà â îäíîé âûäåëåííîé âåòâè, ðàññìîòðåííàÿ â ïðåäûäóùåì

ïàðàãðàôå, ìîæåò áûòü ðåøåíà òàêæå ñ ïîìîùüþ ì å ò î ä à ý ê â è â à ë å í ò í î -

ã î ã å í å ð à ò î ð à, èëè, êàê èíîãäà ãîâîðÿò, ñ ïîìîùüþ ò å î ð å ì û î á ý ê â è -

â à ë å í ò í î ì ã å í å ð à ò î ð å. Ñóùíîñòü ýòîãî ìåòîäà çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî

ïî

îòíîøåíèþ ê âûäåëåííîé âåòâè ab ñ ñîïðîòèâëåíèåì Z

ab

âñÿ îñòàëüíàÿ ÷àñòü

ñëîæíîé öåïè, ñîäåðæàùàÿ èñòî÷íèêè ÝÄÑ, ìîæåò áûòü çàìåíåíà îäíèì ýêâèâà-

ëåíòíûì ãåíåðàòîðîì ñ ÝÄÑ

&

E

ã

è âíóòðåííèì ñîïðîòèâëåíèåì Z

ã

.

Ïóñòü âåòâü ñ ñîïðîòèâëåíèåì

Z

ab

âõîäèò â êîíòóð

1

è ÿâëÿåòñÿ ñâÿçüþ

â ìåòîäå êîíòóðíûõ òîêîâ. Ñîáñòâåííîå ñîïðîòèâëåíèå ýòîãî êîíòóðà çàïèøåì

â âèäå

Z

Z

Z

ab

11

11

0

=

+

, èìåÿ â âèäó, ÷òî

Z

11

0

åñòü ñîáñòâåííîå ñîïðîòèâëåíèå êîí-

òóðà, êîãäà

Z

ab

=

0. Ïîñêîëüêó âûäåëåííàÿ âåòâü ÿâëÿåòñÿ ñâÿçüþ, òî

Z

ab

íå âîé-

äåò íè â êàêèå äðóãèå ýëåìåíòû ìàòðèöû êîíòóðíûõ ñîïðîòèâëåíèé. Ñîãëàñíî

ìåòîäó êîíòóðíûõ òîêîâ, èìååì

&

&

&

&

&

.

I

I

E

I

E

ab

kk

k

k

n

ab

kk

k

k

n

=

=

=

=

=

å

å

I

èëè

D

D

D

D

1

1

1

1

Ðàçëîæèì

D

ïî ýëåìåíòàì ïåðâîé ñòðîêè. Òîãäà

D

D

D

D

)D

D

=

+

+

+

=

+

+

+

+

+

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

n

n

ab

11 11

12

12

1

1

11

0

11

12

12

K

K

(

1

1

11

11

0

11

12

12

1

1

11

0

n

n

ab

n

n

ab

Z

Z

Z

Z

Z

D

D

D

D

D

D

D

=

+

+

+

+

=

+

K

.

Çäåñü

D

0

— îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû êîíòóðíûõ ñîïðîòèâëåíèé ïðè óñëîâèè,

÷òî

Z

ab

=

0. Ó÷èòûâàÿ ýòî, ïðåäûäóùåå ðàâåíñòâî ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

Z I

I

E

E

ab ab

ab

k

kk

&

&

&

&

+

=

=

å

D

D

D

D

0

11

1

11

0

èëè

(

)

&

&

.

Z

Z I

E

ab

ab

+

=

ã

0

Ïîñëåäíåìó ðàâåíñòâó ñîîòâåòñòâóåò ñõåìà, èçîáðàæåííàÿ íà ðèñ. 5.17. Ýòà

ñõåìà è ñâèäåòåëüñòâóåò î âîçìîæíîñòè çàìåíû àêòèâíîãî äâóõïîëþñíèêà

A

ýê-

âèâàëåíòíûì ãåíåðàòîðîì ñ ÝÄÑ

&

&

&

E

E

U

ã

=

=

0

0

è ñîïðîòèâëåíèåì

Z

ã

. Ñëåäîâà-

òåëüíî, èñêîìûé òîê â âåòâè

ab

&

&

,

I

U

Z

Z

ab

ab

=

+

0

ã

÷òî ïðåäñòàâëÿåò ìàòåìàòè÷åñêóþ ôîðìóëèðîâêó òåîðåìû Òåâåíåíà.

Âûøå ïî ñóùåñòâó, áûë èçëîæåí ìåòîä çàìåíû ñëîæíîé àêòèâíîé

öåïè ïî îòíîøåíèþ ê âûäåëåííîé ïàðå çàæèìîâ äâóõïîëþñíèêîì,

ñîäåðæàùèì íåèäåàëüíûé èñòî÷íèê ýíåðãèè. Â äàííîì ñëó÷àå òàêîé

èñòî÷íèê áûë ïðåäñòàâëåí èñòî÷íèêîì ÝÄÑ

&

E

0

ñ âíóòðåííèì íåíó-

ëåâûì ñîïðîòèâëåíèåì

Z

ã

. Çàìåíèì èñòî÷íèê ÝÄÑ èñòî÷íèêîì òîêà

&

&

/

&

Á =

=

0

0

0

E Z

E Y

ã

ã

è ïàðàëëåëüíî ïðèñîåäèíåííîé ê èñòî÷íèêó òî-

êà ïðîâîäèìîñòüþ

Y

ã

=

1/

Z

ã

. Òîãäà íàïðÿæåíèå

&

U

ab

íà çàæèìàõ âûäå-

ëåííîé âåòâè

ab

ìîæåò áûòü îïðåäåëåíî ïðè ïîìîùè âûðàæåíèÿ

Ãëàâà 5. Ðàñ÷åò öåïåé ïðè ñèíóñîèäàëüíîì è ïîñòîÿííîì òîêàõ

267

Ðèñ. 5.17