Файл: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.1.2003.pdf

Y U

Y U

Y U

Y U

Y U

Y U

11 1

12

2

13

3

11

21 1

22

2

23

3

2

~

~

~

&

;

~

~

~

&

+

+

= Á

+

+

= Á

2

31 1

32

2

33

3

33

;

~

~

~

&

,

Y U

Y U

Y U

+

+

= Á

ãäå

Y

Y Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

11

1

4

5

6

22

2

5

6

21

12

5

6

13

31

=

+

+

+

=

+

+

=

=

+

=

;

;

;

= - -

Á = Á -

+

Á = Á +

Y

Y

Y E

Y E

Y E

4

5

11

6

1 1

5

5

22

6

5

5

;

&

&

&

&

;

&

&

&

;

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y E

Y E

33

3

4

5

23

32

5

33

3

3

5

5

=

+

+

=

= -

Á = -

-

;

;

&

&

&

.

Âñå ýòè âåëè÷èíû ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû ïóòåì ôîðìàëüíûõ ìàòðè÷íûõ îïå-

ðàöèé è àíàëèçà ýëåìåíòîâ ìàòðèöû

D

òî÷íî òàê, êàê ýòî äåëàëîñü â § 5.11

è 5.12.

Ìåòîä ñå÷åíèé è ìåòîä óçëîâûõ íàïðÿæåíèé ñâîäÿòñÿ ê ôîðìèðîâàíèþ è ðå-

øåíèþ ñèñòåìû, ñîñòîÿùåé èç

q

– 1 óðàâíåíèé, è â ýòîì îòíîøåíèè îíè ðàâ-

íîöåííû. Îäíàêî â ìåòîäå óçëîâûõ íàïðÿæåíèé èñïîëüçóåòñÿ ìàòðèöà ñîåäè-

íåíèé, ñîñòàâëåíèå êîòîðîé âî âñåõ ñëó÷àÿõ ÿâëÿåòñÿ îáÿçàòåëüíûì, åñëè ðå÷ü

èäåò íå î íåïîñðåäñòâåííîé çàïèñè óðàâíåíèé ïðè ïîìîùè âèçóàëüíîãî ñïîñîáà

ñîñòàâëåíèÿ ìàòðèö êîíòóðîâ è ñå÷åíèé. Ïðè èñïîëüçîâàíèè âû÷èñëèòåëüíûõ

ìàøèí ïðîöåäóðà ñîñòàâëåíèÿ ìàòðèö

C

è

D

äîëæíà áûòü ôîðìàëèçîâàíà. Îä-

íèì èç òàêèõ ìåòîäîâ ÿâëÿåòñÿ ðàñ÷åò ìàòðèöû

F

÷åðåç ïîäìàòðèöû

A

1

è

A

2

.

Ïîýòîìó â âû÷èñëèòåëüíîì îòíîøåíèè ìåòîä óçëîâûõ íàïðÿæåíèé áîëåå ýêî-

íîìè÷åí. Îäíàêî ìåòîäû ñå÷åíèé è êîíòóðíûõ òîêîâ ïîçâîëÿþò âûäåëèòü òå

íàïðÿæåíèÿ è òîêè, êîòîðûå ìîãóò ïðåäñòàâëÿòü íåïîñðåäñòâåííûé èíòåðåñ,

à ïîýòîìó äàííûå ìåòîäû äàæå â îòíîøåíèè èñïîëüçîâàíèÿ âû÷èñëèòåëüíîé

òåõíèêè èìåþò ñâîè îáëàñòè ïðèìåíåíèÿ.

5.14. Ìåòîä ñìåøàííûõ âåëè÷èí

Ïðè ðåøåíèè íåêîòîðûõ çàäà÷, îñîáåííî çàäà÷ ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ,

÷àñòü âåòâåé öåëåñîîáðàçíî õàðàêòåðèçîâàòü ñîïðîòèâëåíèåì, à äðóãóþ ÷àñòü —

ïðîâîäèìîñòüþ, ò. å. äëÿ ÷àñòè ñõåìû ìîæåò áûòü çàäàíî

I

y

=

Y

y

U

y

, à äëÿ äðóãîé

÷àñòè —

U

z

=

Z

z

I

z

. Çäåñü èíäåêñû

y

è

z

ïîêàçûâàþò ïðèíàäëåæíîñòü ìàòðèö

y

- èëè

z

-âåòâÿì (íàçîâåì äëÿ êðàòêîñòè âåòâè, õàðàêòåðèçóåìûå ïðîâîäèìîñòüþ,

y

-â å ò â ÿ ì è, à âåòâè, õàðàêòåðèçóåìûå ñîïðîòèâëåíèåì,

z

-â å ò â ÿ ì è).

Ðàçëè÷íûé âèä çàïèñè çàêîíà Îìà ïðåäîïðåäåëÿåò è âûáîð ñîîòâåòñòâóþ-

ùèõ èñêîìûõ âåëè÷èí. Äëÿ

Y

-÷àñòè ñõåìû (÷àñòü ñõåìû èëè ãðàôà ñõåìû, ñîäåð-

æàùàÿ òîëüêî

y

-âåòâè) öåëåñîîáðàçíî â êà÷åñòâå èñêîìûõ âåëè÷èí âûáèðàòü íà-

ïðÿæåíèÿ âåòâåé äåðåâà. Äëÿ

Z

-÷àñòè ñõåìû (÷àñòü ñõåìû èëè ãðàôà ñõåìû,

ñîäåðæàùàÿ òîëüêî

z

-âåòâè) öåëåñîîáðàçíî â êà÷åñòâå èñêîìûõ âåëè÷èí (èñêî-

ìûõ ïåðåìåííûõ, êàê èíîãäà ãîâîðÿò) âûáèðàòü òîêè â ñâÿçÿõ. Èñõîäÿ èç ýòîé

îñîáåííîñòè, ñëåäóåò

y

-âåòâè îòíåñòè ê âåòâÿì äåðåâà è òîëüêî ïðè íåâîçìîæíî-

258

×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

ñòè ýòîãî, êîãäà äîáàâëåíèå íîâîé

y

-âåòâè ê ïðåäûäóùèì ïðèâîäèò ê îáðàçîâà-

íèþ êîíòóðà, îòíåñòè ýòè âåòâè ê ñâÿçÿì. Åñëè

y

-âåòâè íå îáðàçóþò äåðåâî ãðàôà

ñõåìû, ÷àñòü

z

-âåòâåé âîéäåò â ñîñòàâ âåòâåé äåðåâà, ïîýòîìó

z

-âåòâè ìîãóò ñî-

äåðæàòüñÿ òàêæå è â âåòâÿõ äåðåâà ãðàôà ñõåìû.

Âñïîìíèì, ÷òî

F

-ìàòðèöà îïðåäåëÿåò êîíòóðû (íîìåðà êîòîðûõ ñîâïàäàþò

ñ íîìåðàìè âåòâåé, îòíåñåííûõ ê ñâÿçÿì) è âõîäÿùèå â ýòè êîíòóðû âåòâè äå-

ðåâà. Ïðè ñîñòàâëåíèè äåðåâà ãðàôà ñíà÷àëà òîëüêî èç

y

-âåòâåé, à çàòåì óæå äî-

ïîëíåíèåì äåðåâà äî êîíöà ñâÿçÿìè (åñëè íå õâàòàåò äëÿ ýòîãî

y

-âåòâåé) ñòðóê-

òóðà

F

-ìàòðèöû áóäåò ñëåäóþùåé:

F

-ìàòðèöà ðàçáèâàåòñÿ íà áëîêè, ó êîòîðûõ ïåðâûé íèæíèé èíäåêñ ïîêàçû-

âàåò õàðàêòåð ñâÿçè, îáðàçóþùåé êîíòóð, à âòîðîé èíäåêñ — õàðàêòåð âåòâè äåðå-

âà (

y

èëè

z

), âõîäÿùåé â äàííûé êîíòóð. Â êîíòóðàõ, îáðàçîâàííûõ èç

y

-ñâÿçåé,

íå ìîãóò íàõîäèòüñÿ

z

-âåòâè äåðåâà, òàê êàê

y

-âåòâü ñòàíîâèòñÿ ñâÿçüþ ïðè óñëî-

âèè îáðàçîâàíèÿ êîíòóðà òîëüêî èç

y

-âåòâåé; ïîýòîìó

F

yz

=

0

âñåãäà. Èíäåêñ

yz

,

ñîãëàñíî ïðàâèëàì èíäåêñàöèè, ïîêàçûâàåò, ÷òî êîíòóðû îáðàçîâàíû

y

-ñâÿçÿìè

è

z

-âåòâÿìè äåðåâà.

Ñòîëáöû êîíòóðíîé ìàòðèöû

C

ðàçäåëèì íà ÷åòûðå ãðóïïû è ïðîíóìåðóåì

ñòîëáöû ïîñëåäîâàòåëüíî: äëÿ ãðóïïû

y

-âåòâåé äåðåâà, çàòåì äëÿ

y

-ñâÿçåé, ïîñëå

÷åãî äëÿ

z

-âåòâåé äåðåâà è çàâåðøèì íóìåðàöèþ

z

-ñâÿçÿìè. Ñîîòâåòñòâåííî,

ñòðîêè ìàòðèöû

C

îïðåäåëÿòñÿ ñíà÷àëà

y

-ñâÿçÿìè, à çàòåì óæå

z

-ñâÿçÿìè. Ïðè

óñëîâèè òàêîãî ðàçáèåíèÿ

C

-ìàòðèöó ìîæíî çàïèñàòü òàê:

Ïðè ðàçäåëåíèè âåòâåé íà ÷åòûðå ãðóïïû ìàòðèöó ñå÷åíèé

D

òàêæå ìîæíî

çàïèñàòü â âèäå

Ãëàâà 5. Ðàñ÷åò öåïåé ïðè ñèíóñîèäàëüíîì è ïîñòîÿííîì òîêàõ

259

ãäå

1

-

F

yy

t

=

D

y

.

Ñîîòâåòñòâåííî òàêîìó ðàçäåëåíèþ òîïîëîãè÷åñêèõ ìàòðèö äîëæíî áûòü

ïðîâåäåíî ðàçäåëåíèå ìàòðèö

Z

è

Y

. Êàæäàÿ èç ýòèõ ìàòðèö áóäåò ñîñòîÿòü èç

äâóõ äèàãîíàëüíûõ áëîêîâ. Ñîãëàñíî ïðèîðèòåòó âåòâåé, â âåðõíåé ëåâîé ÷àñòè

áóäóò ðàñïîëîæåíû âåòâè, îòíåñåííûå ê äåðåâó, â íèæíåé ïðàâîé ÷àñòè — îòíå-

ñåííûå ê ñâÿçÿì. Ñîîòâåòñòâåííî, âåðõíèì ïîäìàòðèöàì ïàðàìåòðîâ âåòâåé äå-

ðåâà ïðèïèøåì íèæíèé èíäåêñ 1, íèæíèì ïîäìàòðèöàì ïàðàìåòðîâ ñâÿçåé —

íèæíèé èíäåêñ 2. Ýòè ìàòðèöû áóäóò èìåòü âèä

Y

y

=

Y

1

;

Z

z

=

Z

1

.

Y

2

Z

2

Ìàòðèöû-ñòîëáöû òîêîâ, íàïðÿæåíèé, èñòî÷íèêîâ ÝÄÑ è òîêà òàêæå ðàçäå-

ëèì ïî ýòîìó ïðèíöèïó. Èìååì

~

I

1

y

~

U

1

y

E

1

y

ÁÁ

1

y

~

I

=

~

I

2

y

=

~

I

y

; ~

U

=

~

U

2

y

=

~

U

y

;

E

=

E

2

y

=

E

y

;

ÁÁ

=

ÁÁ

2

y

=

ÁÁ

y

,

~

I

1

z

~

I

z

~

U

1

z

~

U

z

E

1

z

E

z

ÁÁ

1

z

ÁÁ

z

~

I

2

z

~

U

2

z

E

2

z

ÁÁ

2

z

ãäå

I

y

=

I

1

y

;

I

z

=

I

1

z

è ò. ä.

I

2

y

I

2

z

Ïðèìåíèì ê ÷àñòè ãðàôà ñõåìû, ñîñòàâëåííîé èç

y

-âåòâåé, ìåòîä ñå÷åíèé.

Çàïèñü óðàâíåíèé áóäåò àíàëîãè÷íà çàïèñè ñèñòåìû óðàâíåíèé äëÿ ñå÷åíèé

(ñì. § 5.13) ñ äîïîëíèòåëüíûì ÷ëåíîì, ó÷èòûâàþùèì òîêè

z

-ñâÿçåé, ðàâíûì

–

F I

zy

t

z

~

2

. Èìååì

D Y D

F I

D Y E

y

y

y

t

y

zy

t

z

y

y

y

y

~

~

(

).

U

1

-

= -

+ ÁÁ

2

260

×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Òî÷íî òàê æå, åñëè ïðèìåíèòü ìåòîä êîíòóðíûõ òîêîâ ê ÷àñòè ãðàôà, ñîñòàâ-

ëåííîé èç

z

-âåòâåé, ìîæíî çàïèñàòü ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå, àíàëîãè÷íîå ïîëó÷åí-

íîìó â § 5.11 ñ äîáàâëåíèåì íàïðÿæåíèé

y

-âåòâåé äåðåâà, êîòîðûå ðàâíû

F

zy

~

U

1

y

.

Èìååì

C Z C I

F U

C Z

E

z

z

z

z

zy

y

z

z

z

z

t

~

~

(

).

2

1

+

=

ÁÁ +

Ýòè óðàâíåíèÿ ìîæíî çàïèñàòü âìåñòå:

D Y D

F

F

C Z C

U

I

D Y E

C Z

y

y

y

t

zy

t

zy

z

z

z

t

y

z

y

y

y

y

z

z

-

=

-

+ ÁÁ

Á

~

~

(

)

(

1

2

Á +

z

E

z

)

.

Ýòà ñèñòåìà ìàòðè÷íûõ óðàâíåíèé è ñîñòàâëÿåò

ñèñòåìó óðàâíåíèé äëÿ ñìåøàííûõ âåëè÷èí.

Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî åñëè âñå âåòâè ñõåìû îòíå-

ñòè èëè ê

y

-âåòâÿì, èëè ê

z

-âåòâÿì, òî ïîëó÷èì, ñîîò-

âåòñòâåííî, óðàâíåíèå ìåòîäà ñå÷åíèé èëè ìåòîäà êîí-

òóðíûõ òîêîâ.

Äëÿ ãðàôà ñõåìû (ðèñ. 5.15) èìååì

1

2

3

4

5

6

7

8

4 –1

1

1

¬

y

-ñâÿçü

C

=

6

–1

–1

1

ü
ý

ï

þ

ï

z

-ñâÿçü

7

1 –1 –1

1

8 –1

1

–1

1

1

2

3

4

5

6

7

8

1

1

1

–1

1

ü
ý

ï

þ

ï

y

-äåðåâî

D

=

2

1

–1

1

1

3

1

1 –1

5

1

1

1

¬

z

-äåðåâî

Ãëàâà 5. Ðàñ÷åò öåïåé ïðè ñèíóñîèäàëüíîì è ïîñòîÿííîì òîêàõ

261

Ðèñ. 5.15

1

2

3

6

7

8

F

yy

=

4 –1

1

;

-

F

zz

t

=

5

1

1 ;

1

2

3

6

7

8

6

–1

1

–1

1

F

zy

=

7

1

–1 –1 ;

-

F

zy

t

=

2

1

1

;

8 –1

1

3

1 –1

5

6

7

8

1

2

3

4

6 –1

1

1

1

1

C

z

=

7

1

;

D

y

=

2

1

–1 ;

8 –1

1

3

1

Y

1

Z

5

Y

2

Z

6

Y

y

=

Y

3

;

Z

z

=

Z

7

;

Y

4

Z

8

~

U

1

y

=

~

U

1

;

~

I

2

z

=

~

I

6

~

U

2

~

I

7

;

~

U

3

~

I

8

&

E

1

&

E

5

&

Á

1

&

Á

5

E

y

=

&

E

2

;

E

z

=

&

E

6

;

ÁÁ

y

=

&

Á

2

;

ÁÁ

z

=

&

Á

6

.

&

E

3

&

E

7

&

Á

3

&

Á

7

&

E

4

&

E

8

&

Á

4

&

Á

8

262

×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé