Файл: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.1.2003.pdf
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Дисциплина: Не указана
Добавлен: 25.01.2021
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÷òî ïðåäñòàâëÿåò ìàòåìàòè÷åñêóþ ôîðìóëèðîâêó òåîðåìû Íîðòîíà. Íåòðóäíî
çàìåòèòü, ÷òî òîê
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0
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ðàâåí òîêó â âåòâè
ab
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Z
ab
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0.
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ îïðåäåëåíèÿ òîêà
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ab
â èíòåðåñóþùåé íàñ âåòâè íåîáõî-
äèìî ýêñïåðèìåíòàëüíî èëè ðàñ÷åòíûì ïóòåì íàéòè íàïðÿæåíèå
&
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0
ïðè ðàçðû-
âå âåòâè
ab
è ñîïðîòèâëåíèå
Z
ã
âñåé ïðî÷åé ÷àñòè öåïè ïðè çàìêíóòûõ íàêîðîò-
êî ñîäåðæàùèõñÿ â íåé èñòî÷íèêàõ ÝÄÑ.
 ðåàëüíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ âåëè÷èíà
Z
ã
ìîæåò áûòü îïðåäåëåíà òàêæå è
ýêñïåðèìåíòàëüíî. Îáîçíà÷èì òîê â âåòâè
ab
ïðè
Z
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=
0, ò. å. ïðè çàìûêàíèè
ýòîé âåòâè íàêîðîòêî, ÷åðåç
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. Òîãäà èç âûðàæåíèÿ äëÿ
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ïîëó÷èì
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ò. å.
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ìîæíî îïðåäåëèòü ýêñïåðèìåíòàëüíî êàê îòíîøåíèå íàïðÿæåíèÿ
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0
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çàæèìàõ
ab
öåïè ïðè õîëîñòîì õîäå ê òîêó
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I
k
ïðè åå êîðîòêîì çàìûêàíèè.
Ïðèìåíèì òåîðåìó îá ýêâèâàëåíòíîì ãåíåðàòîðå äëÿ îïðåäåëåíèÿ òîêîâ â öå-
ïè, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 5.11. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ òîêà
&
I
1
ðàçîìêíåì ïåðâóþ âåòâü
è íàéäåì íàïðÿæåíèå íà åå çàæèìàõ (ðèñ. 5.18), ïðè÷åì ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâ-
ëåíèå ïðèìåì ñîâïàäàþùèì ñ ïðèíÿòûì íà ðèñóíêå ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëå-
íèåì èñêîìîãî òîêà
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1
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-
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-
+
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+
)
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-
+
E Z
Z
Z
2
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2
3
Ñîïðîòèâëåíèå
Z
ã
íàéäåì êàê ñîïðîòèâëåíèå âñåé ïðî÷åé öåïè ìåæäó çàæè-
ìàìè
ab
ïðè çàìêíóòûõ íàêîðîòêî èñòî÷íèêàõ ÝÄÑ (ðèñ. 5.19):
Z
Z Z
Z
Z
ã
=
+
2
3
2
3
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Ñëåäîâàòåëüíî, èñêîìûé òîê
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+
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+
-
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Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ýòèì ìåòîäîì òîêà
&
I
3
ðàçîìêíåì òðåòüþ âåòâü (ðèñ. 5.20).
Íàïðÿæåíèå íà åå çàæèìàõ ïðè ýòîì èìååò çíà÷åíèå
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2 1
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-
=
-
-
+
=
+
+
268
×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
Ðèñ. 5.18
Ðèñ. 5.19
Ðèñ. 5.20
Âåëè÷èíà
Z
ã
â ýòîì ñëó÷àå ðàâíà
Z
Z Z
Z
Z
ã
=
+
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Ñëåäîâàòåëüíî,
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2 1
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+
=
+
ã
 êà÷åñòâå åùå îäíîãî ïðèìåðà ïðèìåíåíèÿ òåîðåìû îá ýêâèâàëåíòíîì ãå-
íåðàòîðå ðàññìîòðèì çàäà÷ó îá îïðåäåëåíèè òîêà
&
I
0
â âåòâè
ab
èçìåðèòåëüíîãî
ïðèáîðà íåóðàâíîâåøåííîé ìîñòîâîé ñõåìû (ðèñ. 5.21) â ñëó÷àå, êîãäà ìîæíî
ïðåíåáðå÷ü âíóòðåííèì ñîïðîòèâëåíèåì èñòî÷íèêà ÝÄÑ, ïèòàþùåãî ìîñò. Ïðåä-
ïîëîæèâ, ÷òî âåòâü
ab
ðàçîìêíóòà (ðèñ. 5.22), íàéäåì íàïðÿæåíèå
&
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íà åå çà-
æèìàõ:
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öåïè ìåæäó òî÷êàìè
a
è
b
ïðè ðàçîìêíóòîé âåòâè èç-
ìåðèòåëüíîãî ïðèáîðà è ïðè çàìûêàíèè íàêîðîòêî òî÷åê
c
è
d
(ðèñ. 5.23) áóäåì
èìåòü âûðàæåíèå
Z
Z Z
Z
Z
Z Z
Z
Z
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+
+
+
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3
4
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Ñëåäîâàòåëüíî, èñêîìûé òîê
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Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z Z
Z
Z
Z Z
Z
ab
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1
2
1 2
1
2
3
4
3
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+
-
+
æ
è
çç
ö
ø
÷÷
+
+
+
+
Z
4
æ
è
çç
ö
ø
÷÷
,
ãäå
Z
ab
— ñîïðîòèâëåíèå èçìåðèòåëüíîãî ïðèáîðà.
 çàêëþ÷åíèå ðàññìîòðèì åùå îäèí ïðèìåð èñïîëüçîâàíèÿ òåîðåìû îá ýêâè-
âàëåíòíîì ãåíåðàòîðå, à èìåííî çàäà÷ó ïîäáîðà ïàðàìåòðîâ â äàííîé âåòâè,
ïîäêëþ÷åííîé ê ñëîæíîé öåïè ñ öåëüþ ïîëó÷åíèÿ ìàêñèìàëüíîé àêòèâíîé
ìîùíîñòè. Ïðèìåíèâ òåîðåìó îá ýêâèâàëåíòíîì ãåíåðàòîðå, ìîæíî îïðåäåëèòü
òîê â ïðèåìíèêå:
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(
)
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+
+
0
0
Ãëàâà 5. Ðàñ÷åò öåïåé ïðè ñèíóñîèäàëüíîì è ïîñòîÿííîì òîêàõ
269
Ðèñ. 5.21
Ðèñ. 5.22
Ðèñ. 5.23
Àêòèâíàÿ ìîùíîñòü
P I r
U r
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x
x
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+
+
ïð ïð
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(
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2
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P
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r
ïð
¹
0 ñëåäóåò, ÷òî ìàêñèìóì ìîùíîñòè ìîæíî îáåñ-
ïå÷èòü ïðè óìåíüøåíèè çíàìåíàòåëÿ, äîáèâàÿñü ðàâåíñòâà
x
ïð
+
x
ã
=
0 (
x
ïð
è
x
ã
ìîãóò áûòü ðàçíîãî õàðàêòåðà — èíäóêòèâíîãî èëè åìêîñòíîãî). Ïðè ýòîì
P
U r
r
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0
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(
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.
2
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
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— âåëè÷èíà çàäàííàÿ, ìîæíî íàéòè
P
max
, èçìåíÿÿ
r
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. Óñëîâè-
åì îáåñïå÷åíèÿ àáñîëþòíîãî ìàêñèìóìà áóäåò ðàâåíñòâî
r
ã
=
r
ïð
. Ïðè ýòîì
P
U
r
P
P
I r
I
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r
r
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(
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×
=
×
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2
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100
2
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ïð ïð
ïð
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ïð
ïð
è
h
×
+
=
100
50
r
r
ã
ïð
%,
ãäå
h
— êîýôôèöèåíò ïîëåçíîãî äåéñòâèÿ ðàññìàòðèâàåìîãî óñòðîéñòâà. Ðåæèì
ìàêñèìàëüíîé ìîùíîñòè ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ â ìàëîìîùíûõ ïåðåäàòî÷íûõ
óñòðîéñòâàõ, ïðèìåíÿåìûõ â ýëåêòðîèçìåðèòåëüíîé òåõíèêå, â ðàäèîòåõíèêå,
ðàäèîýëåêòðîíèêå è àâòîìàòèêå.  ýòèõ ñëó÷àÿõ ïîëó÷åíèå êàê ìîæíî áîëüøåé
ìîùíîñòè íåðåäêî ÿâëÿåòñÿ áîëåå âàæíûì, ÷åì äîñòèæåíèå áîëüøîãî çíà÷åíèÿ
êîýôôèöèåíòà ïîëåçíîãî äåéñòâèÿ.
5.18. Ðàñ÷åò öåïåé ïðè íàëè÷èè âçàèìíîé èíäóêöèè
Ïðàâèëî ñîñòàâëåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé öåïè ïðè íàëè÷èè âçàèì-
íîé èíäóêöèè, ðàññìîòðåííîå â § 3.7, ïîëîæèì â îñíîâó äëÿ ðàñ÷åòà öåïåé ñ âçà-
èìíîé èíäóêöèåé ïðè ïðîòåêàíèè ñèíóñîèäàëüíûõ òîêîâ. Ïðèìåíèâ êîìïëåêñ-
íûé ìåòîä, àëãåáðàèçèðóåì ýòè óðàâíåíèÿ.
Íàïîìíèì ïðàâèëî, îïðåäåëÿþùåå çíàê ÝÄÑ âçàèìíîé èíäóêöèè èëè ïàäå-
íèÿ íàïðÿæåíèÿ, êîìïåíñèðóþùåãî ýòó ÝÄÑ. Òî÷êè, ïîñòàâëåííûå íà îäíîì èç
çàæèìîâ êàæäîé êàòóøêè, îçíà÷àþò ñëåäóþùåå: åñëè ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëå-
íèå òîêà â ïåðâîé êàòóøêå ïðèíÿòî îò òî÷êè, òî ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå
ÝÄÑ âçàèìíîé èíäóêöèè, âîçíèêàþùåé â äðóãîé êàòóøêå, òàêæå äîëæíî áûòü
ïðèíÿòî òî òî÷êè. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî äëÿ äàííîé ñèñòåìû òî÷åê, îòìå÷åííûõ íà
çàæèìàõ âñåõ èíäóêòèâíîñâÿçàííûõ êàòóøåê, èçâåñòíû êîýôôèöèåíòû âçàèì-
íîé èíäóêöèè ïî âåëè÷èíå è çíàêó.
Äëÿ ðàñ÷åòà öåïåé, ñîäåðæàùèõ èíäóêòèâíî-ñâÿçàííûå âåòâè, íåïîñðåäñò-
âåííî ïðèìåíèìû âñå èçëîæåííûå ðàíåå ìåòîäû, çà èñêëþ÷åíèåì ìåòîäà óçëî-
âûõ íàïðÿæåíèé è ôîðìóë ïðåîáðàçîâàíèÿ ñîåäèíåíèÿ òðåóãîëüíèêà â ýêâèâà-
ëåíòíîå ñîåäèíåíèå çâåçäîé è îáðàòíî. Ïðèìåíåíèå ýòèõ ïîñëåäíèõ òðåáóåò
ââåäåíèÿ íåêîòîðûõ äîïîëíèòåëüíûõ ïðàâèë.
Ðàññ÷èòàåì öåïü, èçîáðàæåííóþ íà ðèñ. 5.24. Êàòóøêè
L
1
è
L
2
èíäóêòèâíî
ñâÿçàíû, ïðè÷åì äëÿ äàííîé ñèñòåìû òî÷åê çàäàí êîýôôèöèåíò âçàèìíîé èí-
äóêöèè
M
12
=
M
21
=
M
.
270
×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
Ñîñòàâèì óðàâíåíèå ïî âòîðîìó çàêîíó Êèðõãîôà äëÿ
êîíòóðà, îáõîä êîòîðîãî ïðîèçâîäèì ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå.
Ïóñòü ïîëîæèòåëüíûå íàïðàâëåíèÿ òîêà è îáõîäà êîíòóðà
ñîâïàäàþò. Â êîíòóð âõîäÿò ïÿòü ÝÄÑ: ÝÄÑ
&
E
âíåøíåãî
èñòî÷íèêà, ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè
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ëåíèÿ ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè
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1
L
è
&
E
2
L
ñîâïàäàþò ñ ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì
òîêà â öåïè.
Òàê êàê ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå òîêà â îáåèõ êàòóøêàõ âçÿòî îò òî÷êè, òî
â îáåèõ êàòóøêàõ ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå ÝÄÑ âçàèìíîé èíäóêöèè
&
E
1
M
è
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E
2
M
òàêæå áóäåò îò òî÷åê. Ïîýòîìó âñå ÝÄÑ âîéäóò â óðàâíåíèå ñ îäèíàêîâûì ïîëî-
æèòåëüíûì çíàêîì:
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E
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E
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2
1
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L
M
M
Âñïîìíèì, ÷òî âñå ñêàçàííîå ìîæíî îòíîñèòü ê ïàäåíèÿì íàïðÿæåíèÿ, äëÿ
êîòîðûõ èìååì
&
&
U
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L
L
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è
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U
E
M
M
= -
, è, ñëåäîâàòåëüíî,
&
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(
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U
U
U
I r r
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+
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(
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j L I j MI j L I j MI I r r
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ý
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L
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M
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ýêâèâàëåíòíóþ èíäóêòèâ-
íîñòü âñåé öåïè.
Ýêâèâàëåíòíàÿ èíäóêòèâíîñòü âñåãäà ïîëîæèòåëüíà, ÷òî âûòåêàåò èç ðàâåí-
ñòâà
W
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=
1
2
L
ý
i
2
> 0, òàê êàê ýíåðãèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ âñåé öåïè âñåãäà ïîëîæè-
òåëüíà.
Ýêâèâàëåíòíàÿ èíäóêòèâíîñòü çàâèñèò îò çíàêà âçàèìíîé èíäóêòèâíîñòè.
 çàâèñèìîñòè îò çíàêà
M
ðàçëè÷àþò äâà ñïîñîáà âêëþ÷åíèÿ êàòóøåê: ñîãëàñíîå
âêëþ÷åíèå, êîãäà
M >
0 (
M
=
|
M
|
), è âñòðå÷íîå âêëþ÷åíèå, êîãäà
M
< 0 (
M
=
–|M
|
).
Ïðè ñîãëàñíîì âêëþ÷åíèè ìàãíèòíûå ïîòîêè ñàìîèíäóêöèè è âçàèìíîé èíäóê-
öèè ñîâïàäàþò ïî íàïðàâëåíèþ, ÷òî ïðèâîäèò ê óâåëè÷åíèþ ýêâèâàëåíòíîé èí-
äóêòèâíîñòè âñåé öåïè:
¢
L
ý
=
L
1
+
L
2
+ 2
|
M
|
. Ïðè âñòðå÷íîì âêëþ÷åíèè ìàãíèòíûå
ïîòîêè ñàìîèíäóêöèè è âçàèìíîé èíäóêöèè íàïðàâëåíû âñòðå÷íî, ÷òî ïðèâîäèò
ê óìåíüøåíèþ ýêâèâàëåíòíîé èíäóêòèâíîñòè âñåé öåïè:
¢¢
L
ý
=
L
1
+
L
2
– 2
|
M
|
.
Îïðåäåëèâ èçìåðåíèåì ýêâèâàëåíòíûå èíäóêòèâíîñòè
¢
L
ý
è
¢¢
L
ý
ïðè ñîãëàñíîì
è âñòðå÷íîì âêëþ÷åíèÿõ êàòóøåê, ìîæíî âû÷èñëèòü àáñîëþòíîå çíà÷åíèå èõ
âçàèìíîé èíäóêòèâíîñòè èç ñîîòíîøåíèÿ
¢ - ¢¢ =
=
¢ - ¢¢
L
L
M
M
L
L
ý
ý
ý
ý
èëè
4
4
.
Ïåðåõîä îò ñîãëàñíîãî âêëþ÷åíèÿ ê âñòðå÷íîìó ïðè ýòîì ñëåäóåò âûïîëíèòü
ïåðåñîåäèíåíèåì êîíöîâ îáìîòêè îäíîé èç êàòóøåê, íå èçìåíÿÿ âçàèìíîãî ðàñ-
Ãëàâà 5. Ðàñ÷åò öåïåé ïðè ñèíóñîèäàëüíîì è ïîñòîÿííîì òîêàõ
271
Ðèñ. 5.24
ïîëîæåíèÿ êàòóøåê. Çíàê êîýôôèöèåíòà âçàèìíîé èíäóêöèè ïîëîæèòåëåí, êî-
ãäà ýêâèâàëåíòíàÿ èíäóêòèâíîñòü èìååò áîëüøåå çíà÷åíèå.
 êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàñ÷åòà áîëåå ñëîæíîé
öåïè ðàññìîòðèì ñîñòàâëåíèå óðàâíåíèé ïî çà-
êîíàì Êèðõãîôà è ïî ìåòîäó êîíòóðíûõ òîêîâ
äëÿ öåïè, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 5.25, ïðè íàëè-
÷èè âçàèìíîé èíäóêöèè ìåæäó èíäóêòèâíûìè
êàòóøêàìè
L
3
,
L
4
è
L
5
.
Ïîëîæèòåëüíûå íàïðàâëåíèÿ òîêîâ â âåò-
âÿõ ïîêàçàíû ñòðåëêàìè. Ñîãëàñíî ñêàçàííîìó
â § 3.7, â èíäóêòèâíî-ñâÿçàííûõ êàòóøêàõ ïî-
ëîæèòåëüíûå íàïðàâëåíèÿ òîêîâ ïðèíèìàþòñÿ
îò çàæèìà êàòóøêè, îáîçíà÷åííîãî òî÷êîé.
Ïî çàêîíàì Êèðõãîôà èìååì:
äëÿ óçëîâ
&
&
&
;
&
&
&
;
&
&
&
;
I
I
I
I
I
I
I
I
I
1
6
2
2
3
5
4
1
3
0
0
0
-
+
=
-
+
+
=
-
-
=
äëÿ êîíòóðîâ
0
1
1
1
1
1
6
6
6
4
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çç
ö
ø
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æ
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çç
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ø
÷÷ + +
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&
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&
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j M I
j M I
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E
r I
r
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45 5
43 3
2
5
2 2
6
6
1
+
+
+
=
+
+
æ
è
çç
ö
w
w
w
ø
÷÷ + +
+
+
-
+
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(
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&
;
&
&
(
I
r
j L I
j M I
j M I
E
E
r
6
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5
5
54 4
53 3
5
3
4
w
w
w
+
+
+
+
+
+
æ
è
çç
ö
ø
÷÷
j L I
j M I
j M I
r
j L
j C
w
w
w
w
w
4
4
45 5
43 3
3
3
3
1
)
&
&
&
&
I
j M I
j M I
r
j L I
j M I
j M
3
34 4
35 5
5
5
5
54 4
53
+
+
+
-
+
-
-
w
w
w
w
w
&
&
(
)
&
&
&
I
3
.
Âåëè÷èíû
M
34
=
M
43
,
M
53
=
M
35
è
M
45
=
M
54
çàäàíû ñ èõ çíàêàìè äëÿ ñèñòåìû
òî÷åê, êîòîðûå óêàçàíû íà êàòóøêàõ
L
3
,
L
4
è
L
5
. Â èíäóêòèâíûõ êàòóøêàõ
L
3
,
L
4
è
L
5
, ãäå èìååò ìåñòî ÿâëåíèå âçàèìíîé èíäóêöèè, âñå òîêè íàïðàâëåíû îò òî÷åê,
ïîýòîìó íàïðàâëåíèÿ ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè è âçàèìíîé èíäóêöèè ñîâïàäàþò, à ñëå-
äîâàòåëüíî, ñîâïàäàþò è íàïðàâëåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ýòèì ÝÄÑ ïàäåíèé íà-
ïðÿæåíèé. Ïîýòîìó çíàêè â ÷ëåíàõ
j L I
w
5 5
&
,
j M I
w
53 3
&
è
j M I
w
54 4
&
â ïîñëåäíåì
óðàâíåíèè îäèíàêîâû.
Ïî ìåòîäó êîíòóðíûõ òîêîâ â îáùåì âèäå óðàâíåíèÿ çàïèñûâàþòñÿ â îáû÷-
íîé ôîðìå, êàê è ïðè îòñóòñòâèè âçàèìíîé èíäóêöèè:
Z I
Z I
Z I
E
Z I
Z I
Z I
E
11 1
12 2
13 3
11
21 1
22 2
23 3
2
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&
;
&
&
&
&
+
+
=
+
+
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2
31 1
32 2
33 3
33
;
Z I
Z I
Z I
E ,
&
&
&
&
+
+
=
íî â âûðàæåíèÿ äëÿ ñîáñòâåííûõ è îáùèõ ñîïðîòèâëåíèé êîíòóðîâ âîéäóò äîáà-
âî÷íûå ÷ëåíû, ó÷èòûâàþùèå ÿâëåíèå âçàèìíîé èíäóêöèè.  äàííîì ÷àñòíîì
ñëó÷àå êîíòóðíûå òîêè
&
I
1
,
&
I
2
è
&
I
3
ÿâëÿþòñÿ è òîêàìè â âåòâÿõ
1
,
2
è
3
.
272
×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
Ðèñ. 5.25