Файл: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.1.2003.pdf

Re

(

(

cos(

)

(

si

2

2

2

T

F jk e

T

F k

k t

T

F k

jk t

k

w)

w)

w a

w)

w

é
ëê

ù
ûú

=

+

=

n(

),

k t

k

w y

+

ãäå

y

k

= p

/2 +

a

k

.

Òàêèì îáðàçîì, âåëè÷èíà

2

2

2

T

F k e

j

T

F k e

j

T

F jk

j

j

k

k

(

(

(

w)

w)

w)

y

a

=

=

ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êîìïëåêñíóþ àìïëèòóäó

k

-é ãàðìîíèêè

&

,

A

A e

k

k

j

k

=

y

ãäå

A

T

F k

k

=

2 ( .

w)

Ñîâîêóïíîñòü êîìïëåêñíûõ àìïëèòóä âñåõ ãàðìîíèê äàííîé ôóíêöèè ìîæåò

ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê äèñêðåòíûé ñïåêòð ýòîé ôóíêöèè. Åãî ìîæíî ïðåäñòàâèòü

íà ãðàôèêå â âèäå ñïåêòðà çíà÷åíèé àìïëèòóä è

ñïåêòðà çíà÷åíèé ôàç. Ïî îñè àáñöèññ îòêëàäûâà-

åì ÷àñòîòó, êîòîðàÿ èìååò äèñêðåòíûå çíà÷åíèÿ,

ðàâíûå ÷àñòîòàì ãàðìîíèê. Äëÿ êàæäîé ÷àñòîòû

ãàðìîíèê îòêëàäûâàåì îò îñè àáñöèññ ïàðàëëåëüíî

îñè îðäèíàò îòðåçêè, äëèíû êîòîðûõ ðàâíû àìïëè-

òóäàì

A

k

èëè íà÷àëüíûì ôàçàì

y

k

ãàðìîíèê. Ïðè

ýòîì

A

k

>

0, à

y

k

ìîæåò áûòü êàê ïîëîæèòåëüíûì,

òàê è îòðèöàòåëüíûì. Òàêèå õàðàêòåðèñòèêè íîñÿò

íàçâàíèå ä è ñ ê ð å ò í û õ ñ ï å ê ò ð î â èëè ä è ñ -

ê ð å ò í û õ ÷ à ñ ò î ò í û õ õ à ð à ê ò å ð è ñ ò è ê —

ñîîòâåòñòâåííî, à ì ï ë è ò ó ä í î - ÷ à ñ ò î ò í î é è ô à ç î - ÷ à ñ ò î ò í î é õ à -

ð à ê ò å ð è ñ ò è ê.

Íà ðèñ. 8.10 èçîáðàæåíà äèñêðåòíàÿ àìïëèòóäíî-÷àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà

äëÿ ôóíêöèè âðåìåíè, ïîêàçàííîé íà ðèñ. 8.7, ïðè

t =

0.

8.8. Áèåíèÿ êîëåáàíèé

Íà ïðàêòèêå èñïîëüçóþòñÿ íåñèíóñîèäàëüíûå òîêè è íàïðÿæåíèÿ, êîòîðûå íå

ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû â âèäå ðÿäà Ôóðüå, ñîäåðæàùåãî ñîñòàâëÿþùèå ñ ÷àñ-

òîòàìè, êðàòíûìè îñíîâíîé ÷àñòîòå, è âìåñòå ñ òåì îáëàäàþò â èçâåñòíîì îòíî-

øåíèè ïåðèîäè÷íîñòüþ ñâîèõ èçìåíåíèé. Ñþäà îòíîñÿòñÿ íåñèíóñîèäàëüíûå

òîêè è íàïðÿæåíèÿ, èçîáðàæàåìûå

êðèâûìè ñ ïåðèîäè÷åñêîé îãèáàþùåé.

Ê íèì

ïðèíàäëåæàò òàê íàçûâàåìûå á è å í è ÿ ê î ë å á à í è é è ì î ä ó ë ÿ ö è ÿ ê î ë å -

á à í è é.

Ðàññìîòðèì ñëó÷àé áèåíèÿ êîëåáàíèé. Ïóñòü â íåêîòîðîé öåïè íàëàãàþòñÿ

äâà ñèíóñîèäàëüíûõ òîêà:

i

1

=

I

m

sin

w

1

t

è

i

2

=

I

m

sin

w

2

t

, èìåþùèå îäèíàêîâûå àì-

ïëèòóäû, íî ðàçíûå ÷àñòîòû, ïðè÷åì ÷àñòîòû

w

1

è

w

2

áëèçêè äðóã ê äðóãó, òàê ÷òî

ðàçíîñòü èõ çíà÷èòåëüíî ìåíüøå êàæäîé èç íèõ:

w

w

w

w

w

w

1

2

1

1

2

2

-

<

-

<

è

.

348

×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Ðèñ. 8.10

Ðåçóëüòèðóþùèé äåéñòâèòåëüíûé òîê â öåïè ïðè ýòîì ðàâåí

i i

i

I

t

t

I

t

t

m

m

= +

=

+

=

-

+

1

2

1

2

1

2

1

2

2

2

2

(sin

sin

)

cos

sin

.

w

w

w

w

w

w

Òàê êàê

w

w

w

w

1

2

1

2

2

2

-

<

+

, òî êðèâóþ òîêà

i

ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñèíóñîèäó

ñ óãëîâîé ÷àñòîòîé

w

w

1

2

2

+

æ
è

ç

ö
ø

÷

, àìïëèòóäà êîòîðîé èçìåíÿåòñÿ ñðàâíèòåëüíî ìåä-

ëåííî ïî çàêîíó 2

I

m

cos

w

w

1

2

2

-

æ
è

ç

ö
ø

÷

t

.

Òàê êàê àìïëèòóäà åñòü âåëè÷èíà ñóùåñòâåííî ïîëîæèòåëüíàÿ, à âåëè÷èíà

cos

w

w

1

2

2

-

æ
è

ç

ö
ø

÷

t

ìåíÿåò çíàê â ìîìåíòû ïåðåõîäà åå ÷åðåç íóëü, òî ýòî ðàâíîñèëüíî

ñêà÷êîîáðàçíîìó èçìåíåíèþ â ýòè ìîìåíòû âðåìåíè ôàçû ñèíóñîèäàëüíûõ êî-
ëåáàíèé ñ ÷àñòîòîé

w

w

1

2

2

+

íà óãîë

p

.

Íà ðèñ. 8.11 èçîáðàæåíû áèåíèÿ êîëåáàíèé äëÿ ñëó÷àÿ

w

w

w

w

1

2

1

2

+

-

=

26/3, ò. å.

äëÿ ñëó÷àÿ

w

1

/

w

2

=

29/23 èëè

w

2

/

w

1

=

23/29.

×àñòîòîé áèåíèé

f

á

ïðèíÿòî íàçûâàòü

÷àñòîòó, îïðåäåëÿåìóþ ÷èñëîì ìàêñèìóìîâ

îãèáàþùåé êðèâîé â åäèíèöó âðåìåíè. Ñî-

îòâåòñòâåííî, âåëè÷èíó

T

á

=

1/

f

á

(ðèñ. 8.11)

íàçûâàþò ïåðèîäîì áèåíèé. Òàêèì îáðà-

çîì, ïåðèîä áèåíèé ðàâåí ïîëîâèíå ïåðèî-
äà ôóíêöèè cos

w

w

1

2

2

-

t

.

Ëåãêî óñìîòðåòü èç ðèñóíêà, ÷òî õàðàê-

òåð ðåçóëüòèðóþùåé êðèâîé íå ïîâòîðÿåòñÿ

â äâóõ ñîñåäíèõ ïåðèîäàõ áèåíèé. Â ðàñ-

ñìîòðåííîì ïðèìåðå õàðàêòåð ðåçóëüòè-

ðóþùåé êðèâîé áóäåò ïîâòîðÿòüñÿ òîëüêî ÷åðåç òðè ïåðèîäà ôóíêöèè

cos

w

w

1

2

2

-

t

, ò. å. ÷åðåç 6

T

á

, òàê êàê â ýòîì èíòåðâàëå âðåìåíè óêëàäûâàåòñÿ öåëîå

÷èñëî ïåðèîäîâ ôóíêöèè sin

w

w

1

2

2

-

t

, è ÷èñëî ñêà÷êîîáðàçíûõ èçìåíåíèé åå

ôàçû íà óãîë

p

ÿâëÿåòñÿ ÷åòíûì ÷èñëîì 6.

Òàêèì îáðàçîì, ïåðèîä ðåçóëüòèðóþùåé êðèâîé áîëüøå ïåðèîäà áèåíèé.

Åñëè îòíîøåíèå

w

1

/

w

2

ÿâëÿåòñÿ èððàöèîíàëüíûì ÷èñëîì, òî ïåðèîä ðåçóëüòè-

ðóþùåé êðèâîé îáðàùàåòñÿ â áåñêîíå÷íîñòü è, ñëåäîâàòåëüíî, ýòà êðèâàÿ íå ÿâ-

ëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé. Òåì íå ìåíåå, ïîíÿòèå î ïåðèîäå áèåíèé

T

á

ñîõðàíÿåò

îïðåäåëåííûé ñìûñë.

Ãëàâà 8. Ðàñ÷åò ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ïðè íåñèíóñîèäàëüíûõ òîêàõ

349

Ðèñ. 8.11

ßâëåíèå áèåíèé êîëåáàíèé ñ óñïåõîì èñïîëüçóåòñÿ äëÿ óñòàíîâëåíèÿ îòêëî-

íåíèÿ ÷àñòîòû

w

1

êîëåáàíèé â îäíîé ñèñòåìå îò ÷àñòîòû

w

2

êîëåáàíèé â äðóãîé

ñèñòåìå. Èçìåðÿÿ ÷àñòîòó áèåíèé, ïîëó÷àåì âîçìîæíîñòü íàáëþäàòü âåñüìà ìà-

ëûå îòêëîíåíèÿ

D w = w

1

–

w

2

ïî ñðàâíåíèþ ñ ñàìèìè âåëè÷èíàìè

w

1

è

w

2

.

Òàê êàê ðåçóëüòèðóþùàÿ êðèâàÿ

i

=

f

(

t

) â îáùåì ñëó÷àå íå ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè-

÷åñêîé, òî äëÿ âû÷èñëåíèÿ äåéñòâóþùåãî òîêà

i

=

f

(

t

), ñòðîãî ãîâîðÿ, ìû íå ìî-

æåì ïîëüçîâàòüñÿ ìåòîäàìè, óñòàíîâëåííûìè â § 8.3.

Îäíàêî åñëè óñëîâèòüñÿ ïîä äåéñòâóþùèì çíà÷åíèåì

I

ïîíèìàòü ñðåäíåå

êâàäðàòè÷åñêîå çíà÷åíèå òîêà

i

=

f

(

t

) çà äîñòàòî÷íî áîëüøîé ïðîìåæóòîê âðåìå-

íè

t

>>

T

á

, òî ñ áîëüøîé òî÷íîñòüþ ìîæíî âû÷èñëèòü çíà÷åíèå

I

êàê êîðåíü

êâàäðàòíûé èç ñóììû êâàäðàòîâ äåéñòâóþùèõ çíà÷åíèé ñîñòàâëÿþùèõ, èìåþ-

ùèõ ÷àñòîòû

w

1

è

w

2

. Òàê, â ðàññìîòðåííîì ïðèìåðå ïðè îäèíàêîâûõ àìïëèòóäàõ

I

m

ýòèõ ñîñòàâëÿþùèõ èìååì

I

i t dt

I

I

I

I

m

m

m

m

=

» æ

è

çç

ö
ø

÷÷ +

æ
è

çç

ö
ø

÷÷ =

=

ò

1

2

2

2

2

2

0

2

2

t

t

( )

,

ò. å. â ýòîì ñëó÷àå çíà÷åíèå äåéñòâóþùåãî òîêà, êîòîðîå ïîêàæåò îáû÷íûé ïðè-

áîð ïåðåìåííîãî òîêà, ðàâíî ïîëîâèíå ìàêñèìóìà îãèáàþùåé êðèâîé.

8.9. Ìîäóëèðîâàííûå êîëåáàíèÿ

Äðóãèì âèäîì íåñèíóñîèäàëüíûõ òîêîâ, èçîáðàæàåìûõ êðèâîé ñ ïåðèîäè÷åñêîé

îãèáàþùåé, ÿâëÿþòñÿ ìîäóëèðîâàííûå òîêè. Â ñëó÷àå òàê íàçûâàåìîé à ì ï ë è -

ò ó ä í î é ì î ä ó ë ÿ ö è è îíè îïèñûâàþòñÿ óðàâíåíèåì

i I

t I

m

t

t

m

=

=

+

sin

(

sin )sin ,

w

w

0

1

W

ïðè÷åì

W

— ÷ à ñ ò î ò à ì î ä ó ë ÿ ö è è — ìíîãî ìåíüøå ÷àñòîòû

w

, íàçûâàåìîé

í å ñ ó ù å é ÷ à ñ ò î ò î é. Êîýôôèöèåíò

m

, ëåæàùèé â ïðåäåëàõ 0 <

m

< 1, íàçû-

âàþò ê î ý ô ô è ö è å í ò î ì ì î ä ó ë ÿ ö è è. Òàêèì îáðàçîì, ìîäóëèðîâàííûé

òîê ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê òîê ÷àñòîòû

w

, àìïëèòóäà êîòîðîãî èçìåíÿåòñÿ ïå-

ðèîäè÷åñêè ñ ÷àñòîòîé

W

(ðèñ. 8.12).

Ìîäóëÿöèÿ ïðèìåíÿåòñÿ â ïðîâîäíîé è ðàäèî-

ñâÿçè. Â ïåðåäàþùåì óñòðîéñòâå íà êîëåáàíèÿ ñ

îñíîâíîé íåñóùåé ÷àñòîòîé

w

âîçäåéñòâóþò ñî

çâóêîâîé ÷àñòîòîé

W

, ñîçäàâàÿ òàêèì îáðàçîì ìî-

äóëèðîâàííûå êîëåáàíèÿ. Ìîäóëÿöèÿ îñóùåñòâ-

ëÿåòñÿ îáû÷íî ñ ïîìîùüþ íåëèíåéíûõ ýëåìåíòîâ

ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, íàïðèìåð ïóòåì ïîäà÷è êîëå-

áàíèé íåñóùåé è çâóêîâîé ÷àñòîò íà ñåòêó ýëåê-

òðîííîé ëàìïû è ïîäáîðà óñëîâèé ðàáîòû ëàìïû

íà íåëèíåéíîì ó÷àñòêå åå õàðàêòåðèñòèêè.

Ïåðåïèñàâ âûðàæåíèå äëÿ ìîäóëèðîâàííîãî òîêà â ôîðìå

i I

t

mI

t

mI

t

=

+

-

-

+

0

0

0

1

2

1

2

sin

cos(

cos(

,

w

w

w

W)

W)

350

×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Ðèñ. 8.12

âèäèì, ÷òî åãî ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñóììó òðåõ ñèíóñîèäàëüíûõ òîêîâ.

Ïåðâûé èç íèõ èìååò íåñóùóþ ÷àñòîòó

w

, à äâà äðóãèõ èçìåíÿþòñÿ ñ ÷àñòîòàìè

w

–

W

è

w

+

W

, êîòîðûå íàçûâàþò á î ê î â û ì è ÷ à ñ ò î ò à ì è. Òàê êàê

W << w

,

òî áîêîâûå ÷àñòîòû áëèçêè ê íåñóùåé. Ïåðåäà÷à ñèãíàëà ïî ïðîâîäàì èëè ïî ðà-

äèî ïðîèçâîäèòñÿ íà íåñóùåé è áîêîâûõ ÷àñòîòàõ. Â ïðèåìíîì óñòðîéñòâå âíîâü

âûäåëÿþòñÿ êîëåáàíèÿ ñî çâóêîâîé ÷àñòîòîé ñ ïîìîùüþ ïðîöåññà äåòåêòèðî-

âàíèÿ.

Πäåéñòâóþùåì ìîäóëèðîâàííîì òîêå ìîæíî ïðèâåñòè òå æå ñîîáðàæåíèÿ,

÷òî è â ñëó÷àå áèåíèé. Ïîëüçóÿñü ïîñëåäíèì âûðàæåíèåì äëÿ ìîäóëèðîâàííîãî

òîêà è âûáèðàÿ

t

>> 2

p

/

W

, ïîëó÷àåì

I

i dt

I

m I

m I

=

» æ

è

çç

ö
ø

÷÷ +

æ
è

çç

ö
ø

÷÷ +

æ
è

çç

ö

ò

1

2

2 2

2 2

2

0

0

2

0

2

0

t

t

ø

÷÷ =

+

2

0

2

2

2

2

I

m

.

Ïðè

m

=

0, ò. å. ïðè îòñóòñòâèè ìîäóëÿöèè,

I

=

I

0

/ 2, òàê êàê ïðè ýòîì òîê

i

èç-

ìåíÿåòñÿ ïî ñèíóñîèäàëüíîìó çàêîíó. Ïðè

m

=

1, ò. å. ïðè ñòîïðîöåíòíîé ìîäó-

ëÿöèè,

I

=

I

0

2

15

, .

Ïîìèìî ðàññìîòðåííîé âûøå àìïëèòóäíîé ìîäóëÿöèè, îñóùåñòâëÿþò òàêæå

÷ à ñ ò î ò í ó þ è ô à ç î â ó þ ì î ä ó ë ÿ ö è è, âîçäåéñòâóÿ îò ìîäóëèðóþùåãî

óñòðîéñòâà èëè íà ÷àñòîòó

w

, èëè íà íà÷àëüíóþ ôàçó

y

òîêà

i

. ×àñòîòíàÿ ìîäóëÿ-

öèÿ ïðè ðàäèîïåðåäà÷å èìååò áîëüøîå äîñòîèíñòâî â òîì, ÷òî ïðè íåé ëåã÷å èç-

áàâëÿòüñÿ îò ìåøàþùèõ âëèÿíèé, âûçûâàþùèõ øóìû â ïðèåìíèêå.

Ãëàâà 8. Ðàñ÷åò ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ïðè íåñèíóñîèäàëüíûõ òîêàõ

351

Âîïðîñû, çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ ê ãëàâàì 6, 7 è 8

6.1. Ðåçîíàíñ ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì ñîåäèíåíèè

ýëåìåíòîâ

r

,

L

,

C

ÂÎÏÐÎÑÛ

1.

Ìîæíî ëè äîñòè÷ü ðåçîíàíñà â èçîáðàæåííîé íà ðèc. Â6.1 öåïè èçìåíÿÿ:

à

) åìêîñòü êîíäåíñàòîðà;

á

) ïðèëîæåííîå ê öåïè íàïðÿæåíèå;

â

) ñîïðîòèâëåíèå

ðåçèñòîðà;

ã

) èíäóêòèâíîñòü êàòóøêè;

ä

) ÷àñòîòó ïðèëîæåííîãî ê öåïè íàïðÿæå-

íèÿ?

2.

×åìó ðàâíî íàïðÿæåíèå

U

LC

íà ó÷àñòêå

LC

ïðè ðåçîíàíñå?

3.

×åìó ðàâíà ðåàêòèâíàÿ ìîùíîñòü â öåïè ïðè ðåçîíàíñå?

4.

Íà êàêèõ ó÷àñòêàõ öåïè ñëåäóåò èçìåðèòü íàïðÿæåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ äîá-

ðîòíîñòè?

5.

(Î) Óâåëè÷èòñÿ èëè óìåíüøèòñÿ ïîëîñà ïðîïóñêàíèÿ

öåïè (ðèc. Â6.1), åñëè, ñîõðàíÿÿ íåèçìåííîé ðåçîíàíñíóþ

÷àñòîòó,

à

) óâåëè÷èòü èíäóêòèâíîñòü;

á

) óâåëè÷èòü åì-

êîñòü;

â

) óâåëè÷èòü äîáðîòíîñòü êîíòóðà;

ã

) óâåëè÷èòü åì-

êîñòü è îäíîâðåìåííî óìåíüøèòü ñîïðîòèâëåíèå

r

ðåçè-

ñòîðà;

ä

) óâåëè÷èòü ñîïðîòèâëåíèå

r

ðåçèñòîðà?

6.

(Î) Ñëåäóåò ëè ñ öåëüþ óìåíüøåíèÿ ïîëîñû ïðîïóñêà-

íèÿ öåïè (ðèc. Â6.1) ïðè ñîõðàíåíèè åå ðåçîíàíñíîé ÷àñòî-

òû:

à

) óâåëè÷èâàòü âîëíîâîå ñîïðîòèâëåíèå è óìåíüøàòü

àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå;

á

) óìåíüøàòü èíäóêòèâíîñòü,

óâåëè÷èâàÿ àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå?

7.

Êàêîå çíà÷åíèå (íàèìåíüøåå èëè íàèáîëüøåå) ïðèíèìàåò ïðè ðåçîíàíñå íà-

ïðÿæåíèå íà çàæèìàõ öåïè (ðèñ. Â6.1) ïðè ïèòàíèè åå îò èñòî÷íèêà òîêà?

ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß

1.

Îïðåäåëèòå, êàê èçìåíÿòñÿ äîáðîòíîñòü êîíòóðà, òîê ïðè ðåçîíàíñå è ðå-

çîíàíñíàÿ ÷àñòîòà (ðèc. Â6.1) ïðè ñîõðàíåíèè íåèçìåííûìè âñåõ ïàðàìåòðîâ

è óâåëè÷åíèè:

à

) ñîïðîòèâëåíèÿ

r

â 1,5 ðàçà;

á

) èíäóêòèâíîñòè

L

â 2 ðàçà;

â

) åì-

êîñòè

C

â 3 ðàçà;

ã

) íàïðÿæåíèÿ íà âõîäå â 2 ðàçà?

2.

(Ð) Â êàêîì äèàïàçîíå ÷àñòîò âõîäíîãî íàïðÿæåíèÿ

U

=

220 B â êîíòóðå, èìå-

þùåì ðåçîíàíñíóþ ÷àñòîòó

w

0

, ñ äîáðîòíîñòüþ

Q

=

20 è âîëíîâûì ñîïðîòèâëå-

íèåì

r =

100 Îì òîê áóäåò ïðåâûøàòü çíà÷åíèå 31 À?

3.

(Ð) Íàïðÿæåíèå

U

C

íà êîíäåíñàòîðå äîñòèãàåò ïðè ðåçîíàíñå çíà÷åíèÿ 1000 Â,

÷òî íåäîïóñòèìî. Âî ñêîëüêî ðàç ñëåäóåò èçìåíèòü åìêîñòü êîíäåíñàòîðà, ÷òîáû

íàïðÿæåíèå íà íåì ñíèçèëîñü íà 10% ïðè ñîõðàíåíèè íåèçìåííîé ðåçîíàíñíîé

÷àñòîòû?

4.

(Ð) Ïîëó÷èòå ñîîòíîøåíèå ìåæäó ÷àñòîòàìè

w

1

è

w

2

èçìåíåíèÿ òîêà â öåïè

(ðèc. Â6.1), ïðè êîòîðûõ åå ðåàêòèâíûå ñîïðîòèâëåíèÿ ðàâíû ïî àáñîëþòíîìó

çíà÷åíèþ, íî ïðîòèâîïîëîæíû ïî çíàêó.

Ðèc. Â6.1