Файл: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.1.2003.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 25.01.2021
Просмотров: 5603
Скачиваний: 13
è, ñîîòâåòñòâåííî, ê ïîÿâëåíèþ ïåðåíàïðÿæåíèé íà îòäåëüíûõ ó÷àñòêàõ öåïè,
ê íåæåëàòåëüíîìó âëèÿíèþ ãàðìîíèê çâóêîâîé ÷àñòîòû íà ðàäèî- è òåëåôîííóþ
ñâÿçü, ê âîçíèêíîâåíèþ â òðåõôàçíûõ äâèãàòåëÿõ ìàãíèòíûõ ïîëåé, âðàùàþ-
ùèõñÿ ïðîòèâ íàïðàâëåíèÿ âðàùåíèÿ ðîòîðà (íàïðèìåð, ïðè
k
=
5, 11, . . .) è, ñëå-
äîâàòåëüíî, âûçûâàþùèõ òîðìîæåíèå ðîòîðà è äîáàâî÷íûå ïîòåðè â äâèãàòåëÿõ.
Îäíàêî îòñþäà íå ñëåäóåò, ÷òî âî âñåõ áåç èñêëþ÷åíèÿ óñòðîéñòâàõ âñåãäà íå-
îáõîäèìî ñòðåìèòüñÿ ê ïîëó÷åíèþ ñèíóñîèäàëüíûõ òîêîâ è íàïðÿæåíèé. Ýòî,
áåçóñëîâíî, îòíîñèòñÿ ê ìîùíûì ýëåêòðîýíåðãåòè÷åñêèì óñòðîéñòâàì. Îäíàêî
â ìàëîìîùíûõ óñòðîéñòâàõ àâòîìàòè÷åñêîãî óïðàâëåíèÿ è ðåãóëèðîâàíèÿ, à òàê-
æå â ðÿäå ñïåöèàëüíûõ ðàäèîòåõíè÷åñêèõ, ýëåêòðîèçìåðèòåëüíûõ è ðàçëè÷íûõ
ýëåêòðîííûõ óñòðîéñòâ îêàçûâàåòñÿ íåîáõîäèìûì êàê ðàç ïîëó÷èòü ôîðìû êðè-
âûõ íàïðÿæåíèÿ è òîêà, îòëè÷àþùèåñÿ îò ñèíóñîèäàëüíûõ, ò. å. ñîäåðæàùèå
âûñøèå ãàðìîíèêè. Íåêîòîðûå èç òàêèõ óñòðîéñòâ áóäóò ðàññìîòðåíû â ãëàâàõ
î íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ.
8.5. Îñîáåííîñòè ïîâåäåíèÿ âûñøèõ ãàðìîíèê
â òðåõôàçíûõ öåïÿõ
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ôàçíûå ÝÄÑ ñèììåòðè÷íî óñòðîåííîãî òðåõôàçíîãî ãåíåðà-
òîðà ñîäåðæàò âûñøèå ãàðìîíèêè. Êðèâûå ÝÄÑ âî âñåõ ôàçàõ ïî ôîðìå îäèíà-
êîâû è ñäâèíóòû â êàæäîé ïîñëåäóþùåé ôàçå îòíîñèòåëüíî ïðåäûäóùåé íà
óãîë 2
p
/3, ãäå 2
p
— ïåðèîä âñåé êðèâîé ÝÄÑ, ðàâíûé ïåðèîäó ïåðâîé ãàðìîíè-
êè. Òàê êàê ïåðèîä
k
-é ãàðìîíèêè â
k
ðàç ìåíüøå ïåðèîäà ïåðâîé ãàðìîíèêè, òî
óãîë ñäâèãà
k
-é ãàðìîíèêè â ïîñëåäóþùåé ôàçå ïî îòíîøåíèþ ê ïðåäûäóùåé
ôàçå ðàâåí
k
2
p
/3. Òàêèì îáðàçîì, âñå ãàðìîíèêè, ïîðÿäîê êîòîðûõ êðàòåí ÷èñëó
ôàç, ò. å. êðàòåí òðåì (
k
=
3, 6, 9, 12, 15, . . .), ñäâèíóòû äðóã îòíîñèòåëüíî äðóãà íà
óãîë, ðàâíûé 2
p
, óìíîæåííûé íà öåëîå ÷èñëî, ò. å. ýòè ãàðìîíèêè íàõîäÿòñÿ â
ôàçå äðóã ñ äðóãîì è îáðàçóþò ñèììåòðè÷íûå ñèñòåìû íóëåâîé ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòè.
Ãàðìîíèêè, äëÿ êîòîðûõ
k
– 1 äåëèòñÿ íà òðè (
k
=
4, 7, 10, 13, . . .), îáðàçóþò,
êàê íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ñèììåòðè÷íûå ñèñòåìû ïðÿìîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.
Ãàðìîíèêè, äëÿ êîòîðûõ
k
+ 1 äåëèòñÿ íà òðè (
k
=
2, 5, 8, 11, . . .), îáðàçóþò ñèì-
ìåòðè÷íûå ñèñòåìû îáðàòíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.
Èç ýòèõ ñâîéñòâ âûòåêàåò ðÿä îñîáåííîñòåé ïîâåäåíèÿ âûñøèõ ãàðìîíèê â
òðåõôàçíûõ öåïÿõ.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îáìîòêè ãåíåðàòîðà ñîåäèíåíû òðåóãîëüíèêîì. Ñóììà
ïåðâûõ ãàðìîíèê ôàçíûõ ÝÄÑ â êîíòóðå òðåóãîëüíèêà ðàâíà íóëþ. Ýòî èìååò
ìåñòî òàêæå äëÿ âñåõ âûñøèõ ãàðìîíèê, ïîðÿäîê êîòîðûõ íå êðàòåí òðåì. Ãàðìî-
íèêè æå, ïîðÿäîê êîòîðûõ êðàòåí òðåì, ñîâïàäàþò ïî ôàçå âî âñåõ ôàçíûõ îá-
ìîòêàõ, è èõ ñóììà íå ðàâíà íóëþ. Ýòà ñóììàðíàÿ ÝÄÑ âûçûâàåò â êîíòóðå òðå-
óãîëüíèêà òîê äàæå ïðè îòñóòñòâèè íàãðóçêè ãåíåðàòîðà. Ïàäåíèÿ íàïðÿæåíèÿ â
îáìîòêàõ âñëåäñòâèå ïðîòåêàíèÿ ýòîãî òîêà êîìïåíñèðóþò âûçûâàþùèå òîê
ÝÄÑ. Ïîýòîìó íàïðÿæåíèÿ íà çàæèìàõ îáìîòêè íå ñîäåðæàò ãàðìîíèê, ïîðÿäîê
êîòîðûõ êðàòåí òðåì.
Òî æå ñàìîå èìååò ìåñòî ïðè ñîåäèíåíèè îáìîòîê òðàíñôîðìàòîðà òðåóãîëü-
íèêîì, åñëè ôàçíûå ÝÄÑ â îáìîòêàõ òðàíñôîðìàòîðà ñèììåòðè÷íû. Îáû÷íî,
Ãëàâà 8. Ðàñ÷åò ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ïðè íåñèíóñîèäàëüíûõ òîêàõ
343
èñïîëüçóÿ ýòî ñâîéñòâî, ñòðåìÿòñÿ ñîåäèíèòü ëèáî îáìîòêó ãåíåðàòîðà, ëèáî
îäíó èç îáìîòîê òðàíñôîðìàòîðà â òðåóãîëüíèê ñ öåëüþ ïîãàñèòü ãàðìîíèêè,
èìåþùèå ïîðÿäîê, êðàòíûé òðåì, âíóòðè ýòîé îáìîòêè è íå äàòü èì âûõîäà â îñ-
òàëüíóþ öåïü.  ÝÄÑ ñèììåòðè÷íî óñòðîåííîãî ãåíåðàòîðà îòñóòñòâóþò ÷åòíûå
ãàðìîíèêè, òàê êàê êðèâûå, ñèììåòðè÷íûå îòíîñèòåëüíî îñè àáñöèññ, íå ñîäåð-
æàò ÷åòíûõ ãàðìîíèê, ÷òî áóäåò ïîêàçàíî â ñëåäóþùåì ïàðàãðàôå. Ïîýòîìó ïðè
ñîåäèíåíèè òðåóãîëüíèêîì íà âûõîäíûõ çàæèìàõ, êðîìå ïåðâûõ, ìîãóò áûòü
âûñøèå ãàðìîíèêè ïîðÿäêîâ
k
=
5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, . . .
Åñëè îáìîòêè ãåíåðàòîðà èëè òðàíñôîðìàòîðà ñîåäèíåíû çâåçäîé, òî ïðè ñèì-
ìåòðèè ôàçíûõ ÝÄÑ â ëèíåéíûõ íàïðÿæåíèÿõ òàêæå îòñóòñòâóþò ãàðìîíèêè,
ïîðÿäîê êîòîðûõ êðàòåí òðåì, õîòÿ â ôàçíûõ íàïðÿæåíèÿõ ýòè ãàðìîíèêè ñîäåð-
æàòñÿ. Ýòî ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì òîãî, ÷òî ëèíåéíûå íàïðÿæåíèÿ ðàâíû ðàçíî-
ñòÿì ôàçíûõ íàïðÿæåíèé. Ïîýòîìó îòíîøåíèå äåéñòâóþùèõ ëèíåéíîãî è ôàç-
íîãî íàïðÿæåíèé â ýòîì ñëó÷àå ìåíüøå 3. Ïîêàæåì ýòî. Îáîçíà÷èì ÷åðåç
U
1
,
U
2
,
U
3
, ... äåéñòâóþùèå çíà÷åíèÿ ãàðìîíèê ôàçíîãî íàïðÿæåíèÿ. Èìåÿ â âèäó, ÷òî
ëèíåéíûå íàïðÿæåíèÿ äëÿ ãàðìîíèê, ïîðÿäîê êîòîðûõ íå êðàòåí òðåì, â 3
áîëüøå ôàçíûõ, ïîëó÷àåì
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
ë
ô
=
+ +
+
+ +
+
+
+
+
+
3
0
0
1
2
5
2
7
2
11
2
1
2
3
2
5
2
7
2
9
2
11
K
2
3
K
<
.
Ïðè îòñóòñòâèè íåéòðàëüíîãî ïðîâîäà â ëèíåéíûõ òîêàõ è òîêàõ ïðèåìíèêà
íåò ãàðìîíèê ñ ïîðÿäêîì, êðàòíûì òðåì, òàê êàê ýòèõ ãàðìîíèê íåò â ëèíåéíûõ
íàïðÿæåíèÿõ. Ñîîòâåòñòâåííî, íåò ýòèõ ãàðìîíèê è â ôàçíûõ íàïðÿæåíèÿõ ïðè-
åìíèêà, äàæå åñëè îí ñîåäèíåí çâåçäîé.  ïîñëåäíåì ñëó÷àå ìåæäó íåéòðàëüíû-
ìè òî÷êàìè ãåíåðàòîðà è ïðèåìíèêà ïîÿâëÿåòñÿ íàïðÿæåíèå òðîéíîé ÷àñòîòû,
êîòîðîå ìîæåò äîñòèãàòü îïàñíûõ äëÿ æèçíè çíà÷åíèé. Ïðè íàëè÷èè íåéòðàëü-
íîãî ïðîâîäà ïî íåìó è, ñîîòâåòñòâåííî, ïî ëèíåéíûì ïðîâîäàì çàìêíóòñÿ òîêè
òðîéíîé ÷àñòîòû.
Âñå ýòè íåæåëàòåëüíûå ÿâëåíèÿ èñ÷åçàþò, åñëè ãàðìîíèêè ñ ïîðÿäêîì, êðàò-
íûì òðåì, ïîãàøåíû â îäíîé èç îáìîòîê ãåíåðàòîðà èëè òðàíñôîðìàòîðà, ñîåäè-
íåííûõ òðåóãîëüíèêîì. Èíîãäà â òðàíñôîðìàòîðå äëÿ ýòîé öåëè ñîçäàþò íå
èìåþùóþ âûâîäîâ ñïåöèàëüíóþ îáìîòêó, ñîåäèíåííóþ â òðåóãîëüíèê.
Ïðè ðàññìîòðåíèè âîïðîñà î ïîëó÷åíèè âðàùàþùåãîñÿ ïîëÿ â òðåõôàçíîì
äâèãàòåëå ìû îãðàíè÷èëèñü ó÷åòîì ïåðâûõ ãàðìîíèê òîêîâ â îáìîòêàõ. Ãàðìî-
íèêè, äëÿ êîòîðûõ ÷èñëî (
k
– 1) äåëèòñÿ íà òðè, èìåþò òó æå ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòü, ÷òî è ïåðâàÿ ãàðìîíèêà. Îíè ñîçäàþò ïîëå, âðàùàþùååñÿ â òîì æå íà-
ïðàâëåíèè, ÷òî è ïîëå îñíîâíîé âîëíû, íî ñ áîëüøåé ñêîðîñòüþ. Ãàðìîíèêè, äëÿ
êîòîðûõ ÷èñëî (
k
+ 1) äåëèòñÿ íà òðè, ñîçäàþò ïîëÿ, âðàùàþùèåñÿ â îáðàòíîì
íàïðàâëåíèè.
8.6. Î ñîñòàâå âûñøèõ ãàðìîíèê ïðè íàëè÷èè ñèììåòðèè
ôîðì êðèâûõ òîêà èëè íàïðÿæåíèÿ
Ïðè íàëè÷èè òîãî èëè èíîãî âèäà ñèììåòðèè â êðèâûõ òîêà èëè íàïðÿæåíèÿ íå-
êîòîðûå êîýôôèöèåíòû â ðàçëîæåíèè â ðÿä Ôóðüå îáðàùàþòñÿ â íóëü.
344
×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
Âàæíûì ñëó÷àåì ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðèÿ êðèâûõ îòíîñèòåëüíî îñè àáñöèññ
(ðèñ. 8.6), ïðè êîòîðîé âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå
f t
f t T
( )
(
),
= -
+
2
ò. å. îòðèöàòåëüíàÿ ïîëóâîëíà ÿâëÿåòñÿ çåðêàëüíûì èçîáðàæåíèåì ñäâèíóòîé íà
ïîëîâèíó ïåðèîäà ïîëîæèòåëüíîé ïîëóâîëíû.
Åñëè êðèâàÿ ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî îñè àáñöèññ, ðÿä Ôóðüå íå ñîäåðæèò
ïîñòîÿííîé ñîñòàâëÿþùåé è ÷åòíûõ ãàðìîíèê, òàê êàê äëÿ íèõ íå óäîâëåòâîðÿ-
åòñÿ ïðèâåäåííîå ðàíåå óñëîâèå ñèììåòðèè. Äåéñòâèòåëüíî, ñäâèãó ôóíêöèè,
à ñëåäîâàòåëüíî, è ïåðâîé ãàðìîíèêè íà
T
/2 ñîîòâåòñòâóåò ñäâèã ÷åòíûõ ãàðìî-
íèê íà öåëîå ÷èñëî ïîëíûõ ïåðèîäîâ, è çíà÷åíèÿ ýòèõ ãàðìîíèê íå ìåíÿþò ñâî-
åãî çíàêà. Òàêèì îáðàçîì, ëþáàÿ ñèììåòðè÷íàÿ îòíîñèòåëüíî îñè àáñöèññ êðè-
âàÿ ñîäåðæèò òîëüêî íå÷åòíûå ãàðìîíèêè.
Ýòî ïîëîæåíèå èìååò èñêëþ÷èòåëüíî áîëüøîå çíà÷åíèå. Îñíîâûâàÿñü íà íåì,
ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî ïðè ñèììåòðè÷íîì óñòðîéñòâå âðàùàþùèõñÿ ãåíåðàòî-
ðîâ ÝÄÑ â èõ îáìîòêàõ íå ñîäåðæàò ÷åòíûõ ãàðìîíèê, à òàêæå åñëè óñëîâèÿ ïðî-
õîæäåíèÿ òîêà ïî öåïè îäèíàêîâû â îáîèõ íàïðàâëåíèÿõ, òî ïðè ñèììåòðè÷íîé
ÝÄÑ è òîê íå áóäåò ñîäåðæàòü ÷åòíûõ ãàðìîíèê.  ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öå-
ïÿõ ñ ïîñòîÿííûìè ïàðàìåòðàìè óñëîâèÿ ïðîõîæäåíèÿ òîêà â îáîèõ íàïðàâ-
ëåíèÿõ âñåãäà îäèíàêîâû. Ýòè óñëîâèÿ ìîãóò áûòü íåîäèíàêîâû â öåïÿõ ñ èç-
ìåíÿþùèìèñÿ ïàðàìåòðàìè, íàïðèìåð â íåëèíåéíûõ öåïÿõ ñ âûïðÿìèòåëÿìè.
 ïîñëåäíåì ñëó÷àå ïîÿâëÿþòñÿ ïîñòîÿííàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ è ÷åòíûå ãàðìîíèêè
â êðèâîé òîêà.
Ïðèìåðîì ñèììåòðè÷íîé îòíîñèòåëüíî îñè àáñöèññ êðèâîé ÿâëÿåòñÿ êðèâàÿ
òðàïåöåèäàëüíîé ôîðìû, ïðèâåäåííàÿ íà ðèñ. 8.7. Ðàçëîæåíèå åå â ðÿä Ôóðüå
èìååò âèä
f t
A T
t
t
( )
sin
sin
sin
sin
sin
sin
=
+
+
2
1
3
3
3
1
5
5
2
2
2
p t
wt
w
wt
w
wt
5
w
t
+
æ
è
ç
ö
ø
÷
K
,
÷òî ëåãêî ïîëó÷àåòñÿ, åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ ïðèâåäåííûìè ðàíåå ôîðìóëàìè
äëÿ
B
k
è
C
k
. Ïðè
t =
T
/4 ïîëó÷àåì ðàâíîáåäðåííûé òðåóãîëüíèê, è ðàçëîæåíèå
ïðèíèìàåò âèä
f t
A
t
t
t
( )
sin
sin
sin
.
=
-
+
-
æ
è
ç
ö
ø
÷
8
1
3
3
1
5
5
2
2
2
p
w
w
w
K
Ïðè
t =
0 ïîëó÷àåì ïðÿìîóãîëüíóþ êðèâóþ, äëÿ êîòîðîé
Ãëàâà 8. Ðàñ÷åò ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ïðè íåñèíóñîèäàëüíûõ òîêàõ
345
Ðèñ. 8.6
Ðèñ. 8.7
f t
A
t
t
t
( )
sin
sin
sin
.
=
+
+
+
æ
è
ç
ö
ø
÷
4
1
3
3
1
5
5
2
p
w
w
w
K
Èç ýòèõ ðàçëîæåíèé âèäíî, ÷òî â íèõ îòñóòñòâóþò ïîñòîÿííûå ñîñòàâëÿþùèå
è ÷åòíûå ãàðìîíèêè.
Ìîæåò áûòü ñèììåòðèÿ êðèâûõ äðóãîãî õàðàêòåðà. Íà ðèñ. 8.8 èçîáðàæåíà
êðèâàÿ, ñèììåòðè÷íàÿ îòíîñèòåëüíî îñè îðäèíàò. Èçîáðàæàåìàÿ åþ ôóíêöèÿ
óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ
f
(
t
)
=
f
(–
t
). Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ïðè ýòîì
B
B
B
B
k
1
2
3
0
=
=
=
=
=
=
K
K
è ðàçëîæåíèå â ðÿä Ôóðüå èìååò âèä
f t
A
C
t C
t C
t
C
k t
k
( )
cos
cos
cos
cos
=
+
+
+
+ +
+
0
1
2
3
2
3
w
w
w
w
K
K
Åñëè êðèâàÿ ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò (ðèñ. 8.9), òî
f
(
t
)
=
–
f
(–
t
).  ýòîì ñëó÷àå
A
C
C
C
C
k
0
1
2
3
0
=
=
=
=
=
=
=
K
K
è ðÿä Ôóðüå èìååò âèä
f t
B
t B
t B
t
B
k t
k
( )
sin
sin
sin
sin
=
+
+
+
+
+
1
2
3
2
3
w
w
w
w
K
K
Ïîä÷åðêíåì, ÷òî óñëîâèå ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî îñè àáñöèññ íå çàâèñèò îò
âûáîðà íà÷àëà îòñ÷åòà âðåìåíè, ò. å. ÿâëÿåòñÿ ñâîéñòâîì ñàìèõ êðèâûõ, òîãäà êàê
ðàññìîòðåííûå îñòàëüíûå âèäû ñèììåòðèè ñâÿçàíû ñ âûáîðîì íà÷àëà îòñ÷åòà
âðåìåíè.
8.7. Ïðåäñòàâëåíèå ðÿäà Ôóðüå â êîìïëåêñíîé ôîðìå
 ðÿäå ñëó÷àåâ öåëåñîîáðàçíî ïðåäñòàâèòü ðÿä Ôóðüå â êîìïëåêñíîé ôîðìå.
Ýòî îñîáåííî ïîëåçíî áóäåò ïðè ðàññìîòðåíèè â ãë. 11 ÷àñòîòíîãî ìåòîäà àíàëè-
çà ïðîöåññîâ â ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ. Ðàíåå ðÿä Ôóðüå áûë ïðåäñòàâëåí â âèäå
f t
A
B
k t C
k t
k
k
k
k
( )
( sin
cos
).
=
+
+
=
=¥
å
0
1
w
w
 âûðàæåíèÿõ äëÿ
A
0
,
B
k
è
C
k
íàì áóäåò óäîáíåå âçÿòü ïðåäåëû èíòåãðèðîâà-
íèÿ íå îò 0 äî
T
, à îò
—T
/2 äî +
T
/2. Áóäåì èìåòü
A
T
f t dt B
T
f t
k t dt C
T
f
T
T
k
T
T
k
0
2
2
2
2
1
2
2
=
=
=
-
+
-
+
ò
ò
( ) ;
( )sin
;
w
( )cos
,
t
k t dt
T
T
w
-
+
ò
2
2
ïðè÷åì
w =
2
p
/
T
— óãëîâàÿ ÷àñòîòà ïåðâîé ãàðìîíèêè.
346
×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
Ðèñ. 8.9
Ðèñ. 8.8
Ïîëüçóÿñü âûðàæåíèÿìè
sin
(
)
cos
(
),
a
a
a
a
a
a
=
-
+
=
+
-
-
1
2
1
2
j e
e
e
e
j
j
j
j
è
ìîæåì íàïèñàòü
B
k t C
k t
C
jB e
C
jB e
k
k
k
k
jk t
k
k
jk t
sin
cos
(
)
(
)
w
w
w
w
+
=
-
+
+
é
ë
-
1
2
ê
ù
ûú
.
Èç ôîðìóë äëÿ
B
k
è
C
k
èìååì
C
jB
T
f t e
dt C
jB
T
f t e
dt
k
k
jk t
T
T
k
k
jk t
-
=
+
=
-
-
+
-
ò
2
2
2
2
( )
;
( )
w
w
T
T
2
2
+
ò
.
Ñëåäîâàòåëüíî,
( sin
cos
)
( )
B
k t C
k t
T
e
f t e
k
k
k
k
k
k
jk t
jk
w
w
w
w
+
=
=
=¥
=
=¥
-
å
å
1
1
1
t
T
T
k
k
jk t
jk t
T
T
q
dt
T
e
f t e
dt
T
+
=
=
-
+
=
=¥
-
-
+
=
ò
å
ò
2
2
1
2
2
1
1
w
w
( )
1
2
2
1
1
q
jq t
jq t
T
T
q
q
jq t
e
f t e
dt
T
e
f t
=¥
-
-
+
=-¥
=-
å
ò
å
+
w
w
w
( )
( )
e
dt
jq t
T
T
-
-
+
ò
w
2
2
.
Çäåñü ïðîèçâåäåíà çàìåíà â ïåðâîé ñóììå
k
íà
q
, à âî âòîðîé ñóììå
k
íà (–
q
) ñ
öåëüþ ïîëó÷åíèÿ îäèíàêîâûõ âûðàæåíèé ïîä çíàêàìè îáåèõ ñóìì. Åñòåñòâåííî,
÷òîáû âòîðàÿ ñóììà ïðè ýòîì íå èçìåíèëàñü, ñóììèðîâàíèå â íåé íåîáõîäèìî
ïðîèçâåñòè ïî çíà÷åíèÿì
q
îò –
¥
äî –1, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ñóììèðîâàíèþ ïî
çíà÷åíèÿì
k
îò +1 äî +
¥
.
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
A
T
f t dt
T
e
f t e
dt
T
T
jq t
jq t
T
T
0
2
2
2
2
1
1
=
=
é
ë
ê
ê
ù
-
+
-
-
+
ò
ò
( )
( )
w
w
û
ú
ú
=
q
0
,
ìîæåì ïðåäñòàâèòü
f
(
t
) â âèäå
ãäå
f t
T
e
F jq
F jq
f t e
dt
q
q
jq t
jq t
T
( )
(
,
(
( )
=
=
=-¥
=+¥
-
-
å
1
2
w
w
w)
w)
+
ò
ü
ý
ï
ï
þ
ï
ï
T
2
.
(*)
Ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå äëÿ
f
(
t
) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðÿä Ôóðüå â êîìïëåêñ-
íîé ôîðìå. Â ýòîì âûðàæåíèè êàæäîé
k
-é ãàðìîíèêå îòâå÷àåò ñóììà äâóõ ñî-
ïðÿæåííûõ ÷ëåíîâ (ïðè
q
=
+
k
è ïðè
q
=
–
k
), ðàâíàÿ óäâîåííîé âåùåñòâåííîé
÷àñòè êàæäîãî èç ýòèõ ÷ëåíîâ:
1
1
2
T
e
F jk
T
e
F jk
T
F jk e
jk t
jk t
jk t
w
w
w
w)
w)
w)
(
(
Re
(
+
-
=
é
ëê
ù
û
-
ú
.
Îáîçíà÷èâ
F
(
jk
w) =
F
(
k
w
)
e
j
k
a
, èìååì
Ãëàâà 8. Ðàñ÷åò ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ïðè íåñèíóñîèäàëüíûõ òîêàõ
347