ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.04.2021
Просмотров: 425
Скачиваний: 1
— 16 —
•
Задача
11.7.
Лемма 15.
Пусть функции
x, y
∈
L
. Тогда:
1)
(
L
)
I
(
x
+
y
) = (
L
)
Ix
+ (
L
)
Iy
,
2)
(
∀
α
∈
R
) [ (
L
)
I
(
α x
) =
α
(
L
)
Ix
]
.
Доказательство.
Пусть
x
(
t
) =
f
1
(
t
)
−
g
1
(
t
)
и
y
(
t
) =
f
2
(
t
)
−
g
2
(
t
)
, где
f
1
, g
1
, f
2
, g
2
∈
C
+
. Тогда
x
+
y
= (
f
1
+
f
2
)
−
(
g
1
+
g
2
)
и 1) следует из равенства
(
L
)
I
(
x
+
y
) = (
C
+
)
I
(
f
1
+
f
2
)
−
(
C
+
)
I
(
g
1
+
g
2
) =
((
C
+
)
If
1
−
(
C
+
)
Ig
1
) + ((
C
+
)
If
2
−
(
C
+
)
Ig
2
) = (
L
)
Ix
+ (
L
)
Iy.
Докажем 2). Если
α
≥
0
, то
(
L
)
I
(
α x
) = (
C
+
)
I
(
α f
1
)
−
(
C
+
)
I
(
α g
1
) =
α
(
C
+
)
If
1
−
α
(
C
+
)
Ig
1
=
α
((
C
+
)
If
1
−
(
C
+
)
Ig
1
) =
α
(
L
)
Ix .
Если же
α <
0
, то
−
α >
0
и
(
L
)
I
(
α x
) = (
L
)
I
((
−
α
)
g
1
−
(
−
α
)
f
1
) = (
C
+
)
I
((
−
α
)
g
1
)
−
(
C
+
)
I
((
−
α
)
f
1
) =
(
−
α
)(
C
+
)
Ig
1
−
(
−
α
)(
C
+
)
If
1
=
α
((
C
+
)
If
1
−
(
C
+
)
Ig
1
) =
α
(
L
)
Ix .
♥
Лемма 16.
Пусть
x, y
∈
L
[
a, b
]
.
1. Если
x
(
t
)
≥
0
п.в. на
[
a, b
]
, то
(
L
)
Ix
≥
0
.
2. Если
x
(
t
)
≤
y
(
t
)
п.в. на
[
a, b
]
, то
(
L
)
Ix
≤
(
L
)
Iy
.
3.
|
(
L
)
I x
| ≤
(
L
)
I
|
x
|
.
Доказательство.
Пусть
x
(
t
) =
f
(
t
)
−
g
(
t
)
, где
f, g
∈
C
+
, и
x
(
t
)
≥
0
. Тогда
f
(
t
)
≥
g
(
t
)
и, в силу следствия из леммы 10,
(
C
+
)
If
≥
(
C
+
)
Ig
. Следователь-
но,
(
L
)
Ix
= (
C
+
)
If
−
(
C
+
)
Ig
≥
0
. Таким образом, доказали пункт 1.
Пункт 2 следует из пункта 1, если рассмотреть функцию
y
(
t
)
−
x
(
t
)
≥
0
.
Пункт 3 следует из неравенств
−|
x
(
t
)
| ≤
x
(
t
)
≤ |
x
(
t
)
|
и пункта 2.
♥
Далее, если не будет возникать особой необходимости, интеграл
(
L
)
Ix
бу-
дем обозначать просто
Ix
.
9. ТЕОРЕМА БЕППО ЛЕВИ
В данном разделе будет дано обоснование монотонного предельного пере-
хода под знаком интеграла.
Лемма 17.
Пусть функция
x
∈
L
[
a, b
]
. Тогда
(
∀
ε >
0)(
∃
f
ε
, g
ε
∈
C
+
) [ (
x
(
t
) =
f
ε
(
t
)
−
g
ε
(
t
))
∧
(
g
ε
(
t
)
≥
0)
∧
(
Ig
ε
< ²
) ]
.
Доказательство.
Так как функция
x
∈
L
, то выполняется некоторое раз-
ложение
x
(
t
) =
f
(
t
)
−
g
(
t
)
, где
f, g
∈
C
+
. Для функции
g
∈
C
+
существует
— 17 —
последовательность ступенчатых функций
{
h
n
(
t
)
}
таких, что
h
n
(
t
)
%
g
(
t
)
и
Ig
= lim
n
→∞
Ih
n
. Выберем
n
∈
N
такое, что
0
≤
Ig
−
Ih
n
< ε
. Рассмотрим
представление
x
= (
f
−
h
n
)
−
(
g
−
h
n
) =
f
ε
−
g
ε
, где
f
ε
=
f
+ (
−
h
n
)
∈
C
+
и
g
ε
=
g
+ (
−
h
n
)
∈
C
+
. Заметим, что
g
ε
(
t
)
≥
0
и
Ig
ε
=
Ig
−
Ih
n
< ε
.
♥
Замечание.
Если в условиях леммы 17 дополнительно функция
x
(
t
)
≥
0
,
то в соответствующем разложении функция
f
ε
(
t
)
≥
0
. Действительно, в этом
случае функция
f
ε
(
t
) =
f
(
t
)
−
h
n
(
t
)
≥
f
(
t
)
−
g
(
t
) =
x
(
t
)
≥
0
.
Теорема (Беппо Леви) 5.
Пусть функциональный ряд
P
∞
k
=1
x
k
(
t
)
та-
кой, что функции
x
k
∈
L
[
a, b
]
и
x
k
(
t
)
≥
0
. Пусть
(
∃
c
)(
∀
n
∈
N
) [
P
n
k
=1
Ix
k
≤
c
]
.
Тогда функция
x
(
t
) =
P
∞
k
=1
x
k
(
t
)
∈
L
[
a, b
]
и
Ix
=
P
∞
k
=1
Ix
k
.
Доказательство.
Каждую функцию
x
k
(
t
)
, в силу леммы 17 и замечания к
ней, запишем в виде
x
k
(
t
) =
f
k
(
t
)
−
g
k
(
t
)
, где:
f
k
(
t
)
≥
0
,
g
k
(
t
)
≥
0
;
f
k
, g
k
∈
C
+
и
(
C
+
)
Ig
k
≤
1
/
2
k
.
Рассмотрим функцию
g
(
t
) =
P
∞
k
=1
g
k
(
t
)
. Для всех
n
∈
N
выполняется
P
n
k
=1
(
C
+
)
Ig
k
≤
P
n
k
=1
2
−
k
<
1
. Воспользовавшись следствием теоремы 2,
получим, что функция
g
∈
C
+
и
(
C
+
)
Ig
=
P
∞
k
=1
(
C
+
)
Ig
k
.
Рассмотрим функцию
f
(
t
) =
P
∞
k
=1
f
k
(
t
)
. Заметим, что
n
X
k
=1
(
C
+
)
If
k
=
n
X
k
=1
I
(
x
k
+
g
k
) =
n
X
k
=1
Ix
k
+
n
X
k
=1
Ig
k
< c
+ 1
.
Получили, что и функция
f
(
t
) =
P
∞
k
=1
f
k
(
t
)
∈
C
+
и
(
C
+
)
If
=
P
∞
k
=1
(
C
+
)
If
k
.
Таким образом, функция
x
=
P
∞
k
=1
f
k
−
P
∞
k
=1
g
k
=
f
−
g
∈
L
и
Ix
= (
C
+
)
If
−
(
C
+
)
Ig
=
∞
X
k
=1
(
C
+
)
If
k
−
∞
X
k
=1
(
C
+
)
Ig
k
=
∞
X
k
=1
((
C
+
)
If
k
−
(
C
+
)
Ig
k
) =
∞
X
k
=1
Ix
k
.
♥
Следствие 1.
Пусть последовательность функций
{
x
n
} ⊂
L
[
a, b
]
такая,
что
x
n
(
t
)
%
x
(
t
)
и
(
∃
c
)(
∀
n
∈
N
) [
Ix
n
≤
c
]
. Тогда функция
x
∈
L
[
a.b
]
и
Ix
= lim
n
→∞
Ix
n
.
Доказательство.
Определим функции:
y
1
(
t
) =
x
2
(
t
)
−
x
1
(
t
)
,
y
2
(
t
) =
x
3
(
t
)
−
x
2
(
t
)
,...,
y
k
(
t
) =
x
k
+1
(
t
)
−
x
k
(
t
)
, ...
Заметим, что
x
n
(
t
) =
x
1
(
t
) +
P
n
−
1
k
=1
y
k
(
t
)
, где
y
k
(
t
)
≥
0
и
y
k
∈
L
. Кроме
того,
P
n
−
1
k
=1
Iy
k
=
Ix
n
−
Ix
1
≤
c
−
Ix
1
<
∞
. Из теоремы 6 следует, что
функция
P
∞
k
=1
y
k
(
t
)
∈
L
и
x
(
t
) = lim
n
→∞
x
n
(
t
) =
x
1
(
t
) +
P
∞
k
=1
y
k
(
t
)
∈
L
.
Также получим
Ix
=
Ix
1
+
I
P
∞
k
=1
y
k
=
Ix
1
+
P
∞
k
=1
Iy
k
= lim
n
→∞
(
Ix
1
+
P
n
−
1
k
=1
Iy
k
) = lim
n
→∞
Ix
n
.
♥
— 18 —
Замечание.
Если последовательность функций
{
x
n
} ⊂
L
[
a, b
]
такая, что
x
n
(
t
)
&
x
(
t
)
и
(
∃
c
)(
∀
n
∈
N
) [
Ix
n
≥
c
]
, то, очевидно, как и в следствии 1,
функция
x
∈
L
[
a.b
]
и
Ix
= lim
n
→∞
Ix
n
.
Следствие 2.
Пусть на
[
a, b
]
функция
x
(
t
)
≥
0
,
x
∈
L
[
a, b
]
и
Ix
= 0
.
Тогда
x
(
t
) = 0
п.в. на
[
a, b
]
.
Доказательство.
Определим функции
y
n
(
t
) =
n x
(
t
)
, где
n
∈
N
. Тогда
при
n
→ ∞
y
n
(
t
)
→
y
(
t
) =
½
0
,
x
(
t
) = 0
∞
,
x
(
t
)
>
0
.
Причем,
y
n
(
t
)
%
y
(
t
)
и
Iy
n
=
I
(
nx
) =
nIx
= 0
. Из следствия 1 получим,
что
y
∈
L
, в частности функция
y
(
t
)
конечна п.в. на
[
a, b
]
. Таким образом,
множество
{
t
∈
[
a, b
]
|
x
(
t
)
>
0
}
– ММН.
♥
10. НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ РИМАНА
И СУММИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ
Пусть на
[
a, b
]
функция
x
(
t
)
≥
0
непрерывна на полуинтервале
(
a, b
]
и
неограничена в окрестности точки
a
. Напомним, что такая функция
x
(
t
)
на-
зывается
несобственно интегрируемой по Риману
на
[
a, b
]
, если существует
конечный
lim
ε
→
+0
Z
b
a
+
ε
x
(
t
)
dt
= (
R
∞
)
Z
b
a
x
(
t
)
dt
= (
R
∞
)
Ix.
На языке последовательностей это означает, что для любой последова-
тельности
{
ε
n
}
такой, что
ε
n
→
+0
при
n
→ ∞
, существует не зависящий от
последовательности
{
ε
n
}
конечный
lim
n
→∞
R
b
a
+
ε
n
x
(
t
)
dt
. При этом, без огра-
ничения общности, можно считать (рекомендуется проделать это в качестве
упражнения), что последовательность
ε
n
&
0
.
Теорема 6.
Несобственная интегрируемость по Риману на отрезке
[
a, b
]
функции
x
(
t
)
, определенной в этом разделе выше, равносильна суммируемо-
сти этой функции на отрезке
[
a, b
]
, при этом
(
L
)
Ix
= (
R
∞
)
Ix
.
Доказательство.
Возьмем произвольную последовательность
{
ε
n
}
такую,
что
ε
n
&
0
при
n
→ ∞
. Для
n
∈
N
определим функцию
x
n
(
t
) =
½
0
,
t
∈
[
a, a
+
ε
n
)
x
(
t
)
,
t
∈
[
a
+
ε
n
, b
]
.
Функция
x
n
(
t
)
ограничена и кусочно непрерывна. Следовательно, функция
x
n
∈
L
и
(
L
)
Ix
n
= (
R
)
Ix
n
. Заметим также, что
x
n
(
t
)
%
x
(
t
)
при
n
→ ∞
.
Предположим теперь, что существует
(
R
∞
)
Ix
. Заметим, что
(
L
)
Ix
n
=
(
R
)
Ix
n
≤
(
R
∞
)
Ix <
∞
. Отсюда в силу следствия 1 теоремы 5 получим,
— 19 —
что функция
x
∈
L
и, кроме того,
(
L
)
Ix
= lim
n
→∞
(
L
)
Ix
n
= lim
n
→∞
(
R
)
Ix
n
= lim
n
→∞
Z
b
a
+
ε
n
x
(
t
)
dt
= (
R
∞
)
Ix.
Для обратного доказательства предположим, что
x
∈
L
. Из неравенства
x
n
(
t
)
≤
x
(
t
)
получим, что
(
L
)
Ix
n
≤
(
L
)
Ix
. Вновь применим следствие 1 из
теоремы 5 и получим
(
L
)
Ix
= lim
n
→∞
(
L
)
Ix
n
. В результате установили, что
существует конечный
lim
n
→∞
Z
b
a
+
ε
n
x
(
t
)
dt
= lim
n
→∞
(
R
)
Ix
n
= lim
n
→∞
(
L
)
Ix
n
= (
L
)
Ix,
не зависящий от последовательности
{
ε
n
}
. Это и означает, что существует
(
R
∞
)
Ix
.
♥
Далее покажем, что для знакопеременных функций несобственная инте-
грируемость по Риману не означает суммируемости этих функций.
Рассмотрим на
(0
,
1]
функцию
x
(
t
) =
t
−
1
sin(
t
−
1
)
. Для нее
(
R
∞
)
Ix
=
Z
1
0
1
t
sin
1
t
dt
=
Z
∞
1
sin
τ
τ
dτ
существует по признаку Дирихле. Заметим теперь, что сходимость
(
R
∞
)
Ix
не является абсолютной. Действительно, если предположить существование
(
R
∞
)
I
|
x
|
, то после замены переменной получим, что существует и интеграл
(
R
∞
)
R
∞
1
τ
−
1
|
sin
τ
|
dτ
. Покажем, что это не так. Воспользуемся оценкой
|
sin
τ
|
τ
≥
sin
2
τ
τ
=
1
2
τ
−
cos 2
τ
2
τ
,
из которой следует расходимость
(
R
∞
)
R
∞
1
τ
−
1
|
sin
τ
|
dτ
.
Предположим теперь, что наша функция
x
∈
L
, но тогда и функция
|
x
| ∈
L
. Заметим, что функция
|
x
(
t
)
| ≥
0
п.в. на
[0
,
1]
, непрерывна на по-
луинтервале
(0
,
1]
и неограничена в окрестности точки
0
. Тогда из теоремы
6 следует существование
(
R
∞
)
I
|
x
|
= (
L
)
I
|
x
|
<
∞
, что противоречит расхо-
димости
(
R
∞
)
I
|
x
|
. Таким образом,
x /
∈
L
.
•
Задачи:
11.8 – 11.12.
11. ТЕОРЕМЫ ЛЕБЕГА И ФАТУ
В данном разделе рассмотрим условия выполнения немонотонного пре-
дельного перехода под знаком интеграла.
Теорема (Лебега) 7.
Пусть последовательность функций
{
x
n
} ⊂
L
[
a, b
]
такая, что
x
n
(
t
)
п.в.
→
x
(
t
)
при
n
→ ∞
и
(
∃
x
0
∈
L
)(
∀
n
∈
N
)[
|
x
n
(
t
)
|
п.в.
≤
x
0
(
t
)]
.
Тогда функция
x
∈
L
и
Ix
= lim
n
→∞
Ix
n
.
— 20 —
Доказательство теоремы разобьем на три леммы. При этом определим для
x
0
∈
L
необходимое далее множество
L
(
x
0
) =
{
x
∈
L
| |
x
(
t
)
|
п.в.
≤
x
0
(
t
)
}
.
Лемма 18.
Пусть последовательность функций
{
x
n
} ⊂
L
(
x
0
)
такая, что
x
n
(
t
)
%
(монотонно возрастает), либо
x
n
(
t
)
&
(монотонно убывает), п.в. на
[
a, b
]
. Тогда
(
∃
x
∈
L
(
x
0
))[(
x
(
t
)
п.в.
= lim
n
→∞
x
n
(
t
) )
∧
(
Ix
= lim
n
→∞
Ix
n
)]
.
Доказательство.
Рассмотрим случай
x
n
(
t
)
%
. Эта последовательность
{
x
n
(
t
)
}
п.в. на
[
a, b
]
ограничена сверху, так как
x
n
(
t
)
≤
x
0
(
t
)
. Тогда суще-
ствует определенная п.в. на
[
a, b
]
функция
x
(
t
) = lim
n
→∞
x
n
(
t
)
. Очевидно, что
Ix
n
≤
Ix
0
. По следствию 1 из теоремы 5 функция
x
∈
L
, что вместе с очевид-
ной оценкой
|
x
(
t
)
| ≤
x
0
(
t
)
означает
x
∈
L
(
x
0
)
. Кроме того,
Ix
= lim
n
→∞
Ix
n
.
Случай
x
n
(
t
)
&
рассматривается аналогично с учетом замечания к след-
ствию 1 теоремы 5.
♥
Лемма 19.
Пусть последовательность функций
{
x
n
} ⊂
L
(
x
0
)
. Тогда:
f
(
t
) = sup
{
x
1
(
t
)
, x
2
(
t
)
, ..., x
k
(
t
)
, ...
} ∈
L
(
x
0
)
,
g
(
t
) = inf
{
x
1
(
t
)
, x
2
(
t
)
, ..., x
k
(
t
)
, ...
} ∈
L
(
x
0
)
.
Доказательство.
Рассмотрим функции
f
n
(
t
) = max
{
x
1
(
t
)
, x
2
(
t
)
, ..., x
n
(
t
)
}
.
Заметим, что
f
n
∈
L
и
|
f
n
(
t
)
| ≤
x
0
(
t
)
, то есть
f
n
∈
L
(
x
0
)
. Очевидно, что по-
следовательность
{
f
n
(
t
)
}
монотонно возрастает. Покажем, что
f
n
(
t
)
%
f
(
t
)
.
Возьмем точку
t
такую, что все значения функций
x
n
(
t
) (
n
= 0
,
1
,
2
, ...
)
опре-
делены, конечны и выполняется оценка
|
x
n
(
t
)
| ≤
x
0
(
t
)
. Множество таких
точек, очевидно, является множеством полной меры. В выбранной точке
t
значение
f
(
t
)
определено, конечно и выполняется оценка
|
f
(
t
)
| ≤
x
0
(
t
)
. За-
фиксируем произвольное
ε >
0
. Тогда
(
∃
x
N
(
t
))[
f
(
t
)
−
ε < x
N
(
t
)
≤
f
(
t
)]
.
Для любого
n
≥
N
получим
f
(
t
)
−
ε < x
N
(
t
)
≤
f
n
(
t
)
≤
f
(
t
)
. Следовательно,
(
∀
ε >
0)(
∃
N
)(
∀
n
≥
N
)[
|
f
(
t
)
−
f
n
(
t
)
|
< ε
]
. Таким образом,
f
n
(
t
)
%
f
(
t
)
, что,
в силу леммы 18, означает
f
∈
L
(
x
0
)
.
Для обоснования свойства
g
∈
L
(
x
0
)
следует рассмотреть функции
g
n
(
t
) =
min
{
x
1
(
t
)
, x
2
(
t
)
, ..., x
n
(
t
)
}
. Очевидно, что
g
n
∈
L
(
x
0
)
. Далее, как и для
f
(
t
)
,
доказывается, что
g
n
(
t
)
&
g
(
t
)
. Тогда из леммы 18 следует, что
g
∈
L
(
x
0
)
.
♥
Лемма 20.
Пусть последовательность функций
{
x
n
} ⊂
L
(
x
0
)
такая, что
x
n
(
t
)
п.в.
→
x
(
t
)
. Тогда
x
∈
L
(
x
0
)
и
Ix
= lim
n
→∞
Ix
n
.
Доказательство.
Определим функции
y
n
(
t
) = sup
{
x
n
(
t
)
, x
n
+1
(
t
)
, ...
}
. По
лемме 19 функции
y
n
∈
L
(
x
0
)
. Заметим, что последовательность
{
y
n
(
t
)
}
моно-
тонно убывает. Покажем, что
y
n
(
t
)
&
x
(
t
)
. Возьмем произвольную точку
t
из
множества полной меры точек, в которых все функции
x
n
(
t
)
и
x
(
t
)
определе-
ны, конечны и выполняется при
n
→ ∞
сходимость
x
n
(
t
)
→
x
(
t
)
. Фиксируем
произвольное
ε >
0
. Тогда
(
∃
N
)(
∀
n
≥
N
)[
x
(
t
)
−
ε < x
n
(
t
)
< x
(
t
) +
ε
]
. Отсюда
для
n
≥
N
следует оценка
x
(
t
)
−
ε < y
n
(
t
)
≤
x
(
t
) +
ε
. Получили
y
n
(
t
)
&
x
(
t
)
.
Из леммы 18 теперь следует, что
x
∈
L
(
x
0
)
и
Ix
= lim
n
→∞
Iy
n
.