ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.04.2021
Просмотров: 419
Скачиваний: 1
— 26 —
Определим измеримые множества
a
n
=
A
\
B
n
и
b
n
=
B
n
\
A
. Заметим, что
A
∩
b
n
=
∅
,
B
n
∩
a
n
=
∅
,
A
∪
b
n
=
B
n
∪
a
n
и
χ
a
n
(
t
) = max
{
χ
A
(
t
)
−
χ
B
n
(
t
)
,
0
}
= (
χ
A
−
χ
B
n
)
+
(
t
)
,
χ
b
n
(
t
) = max
{
χ
B
n
(
t
)
−
χ
A
(
t
)
,
0
}
= (
χ
A
−
χ
B
n
)
−
(
t
)
.
Далее получим
µa
n
+
µb
n
=
Iχ
a
n
+
Iχ
b
n
=
I
(
χ
A
−
χ
B
n
)
+
+
I
(
χ
A
−
χ
B
n
)
−
=
I
|
χ
A
−
χ
B
n
|
.
Для всех
n
∈
N
функции
|
χ
A
(
t
)
−
χ
B
n
(
t
)
| ∈
L
и
|
χ
A
(
t
)
−
χ
B
n
(
t
)
| ≤
2
∈
L
.
Кроме того,
|
χ
A
(
t
)
−
χ
B
n
(
t
)
|
п.в.
→
0
при
n
→ ∞
. Тогда по теореме 7 при
n
→ ∞
получим
I
|
χ
A
−
χ
B
n
| →
0
. Таким образом,
µa
n
+
µb
n
→
0
при
n
→ ∞
, что и
завершает доказательство.
♥
14. МЕРА ИЗМЕРИМОГО МНОЖЕСТВА
КАК ЕГО ВНЕШНЯЯ МЕРА
Пусть дано произвольное множество
A
⊂
[
a, b
]
. Определим число
µ
∗
A
= inf
B
⊃
A
µB ,
где точная нижняя граница берется по всем открытым множествам
B
⊃
A
.
Это число
µ
∗
A
называется
внешней мерой
множества
A
.
Заметим, что всякое открытое множество
B
измеримо, и
µB
равна сум-
ме длин составляющих это множество интервалов. Таким образом, понятие
внешней меры множества можно давать без привлечения понятия интеграла.
Теорема 13.
Если множество
A
измеримо, то
µ
∗
A
=
µA
.
Доказательство.
Если
µA
= 0
, то утверждение очевидно. Считаем далее,
что
µA >
0
.
Так как
A
⊂
B
, то
µA
≤
µB
. Отсюда следует оценка
µA
≤
µ
∗
A
. Для
доказательства теоремы требуется установить обратное неравенство.
В силу теоремы 12, по заданному
ε >
0
и для каждого
n
∈
N
построим
конечную систему интервалов
B
n
и измеримые множества
a
n
, b
n
такие, что
A
∪
b
n
=
B
n
∪
a
n
и
µa
n
< ε/
2
n
+2
,
µb
n
< ε/
2
n
+2
. Обозначим
B
=
∪
n
B
n
. В таком
случае,
A
∪
(
∪
∞
n
=1
b
n
) =
B
∪
(
∪
∞
n
=1
a
n
) =
B
∪
(
∪
∞
n
=1
a
n
\
B
)
.
Заметим, что
A
∩
(
∪
n
b
n
) =
∅
и
B
∩
(
∪
n
a
n
\
B
) =
∅
. Тогда получим
µA
+
µ
(
∪
n
b
n
) =
µB
+
µ
(
∪
n
a
n
\
B
)
.
Отсюда следует оценка
|
µB
−
µA
|
=
|
µ
(
∪
n
b
n
)
−
µ
(
∪
n
a
n
\
B
)
| ≤
µ
(
∪
n
b
n
) +
µ
(
∪
n
a
n
\
B
)
≤
— 27 —
µ
(
∪
n
b
n
) +
µ
(
∪
n
a
n
)
<
∞
X
n
=1
ε
2
n
+2
+
∞
X
n
=1
ε
2
n
+2
=
ε
2
,
из которой, в частности, получим
µB < µA
+
ε/
2
. Обратим внимание на то,
что множество
B
открыто, но включение
A
⊂
B
может и не выполняться.
Поэтому множество
B
следует несколько “подправить“.
Определим измеримое множество
a
=
∩
n
a
n
. Очевидно,
(
∀
n
∈
N
) [
a
⊂
a
n
]
.
Поэтому
µa
≤
µa
n
< ε/
2
n
+2
. Отсюда при
n
→ ∞
получим
µa
= 0
. Покажем,
что
A
⊂
B
∪
a
. Возьмем точку
t
∈
A
. Тогда
t
∈
B
, либо
t /
∈
B
. В первом случае
t
∈
B
∪
a
. Рассмотрим случай
t /
∈
B
. Так как
B
=
∪
n
B
n
, то
(
∀
n
∈
N
) [
t /
∈
B
n
]
.
Из равенств
A
∪
b
n
=
B
n
∪
a
n
следует, что
(
∀
n
∈
N
) [
A
⊂
B
n
∪
a
n
]
. Но тогда
(
∀
n
∈
N
) [
t
∈
a
n
]
. Следовательно, точка
t
∈ ∩
n
a
n
=
a
, то есть доказали, что
t
∈
B
∪
a
.
Так как
µa
= 0
, то есть
a
– ММН (задача 12.2), то по заданному выше
ε >
0
найдется конечная или счетная система интервалов
{4
i
}
такая, что
a
⊂ ∪
i
4
i
и
P
i
|4
i
|
< ε/
2
. Определим открытое множество
B
0
=
B
∪
(
∪
i
4
i
)
.
Тогда
A
⊂
B
0
и
µB
0
≤
µB
+
µ
(
∪
i
4
i
)
≤
µB
+
X
i
|4
i
|
< µB
+
ε/
2
< µA
+
ε.
В результате
µ
∗
A
≤
µB
0
< µA
+
ε
. Учитывая произвольность
ε >
0
, получим
µ
∗
A
≤
µA
. Итак,
µ
∗
A
=
µA
.
♥
Теорема 14.
Множество
A
⊂
[
a, b
]
измеримо тогда и только тогда, когда
µ
∗
A
+
µ
∗
CA
=
b
−
a
, где
CA
= [
a, b
]
\
A
.
Доказательство.
Пусть множество
A
измеримо. Тогда измеримо и мно-
жество
CA
. Так как
A
∪
CA
= [
a, b
]
и
A
∩
CA
=
∅
, то
µA
+
µCA
=
b
−
a
.
Осталось заметить (теорема 13), что
µA
=
µ
∗
A
и
µCA
=
µ
∗
CA
.
Предположим теперь, что для
A
выполняется условие
µ
∗
A
+
µ
∗
CA
=
b
−
a
.
Покажем, что множество
A
измеримо, то есть измерима характеристическая
функция
χ
A
(
t
)
этого множества.
Пусть последовательность
{
ε
n
}
такая, что
ε
n
&
0
при
n
→ ∞
. По каждому
ε
n
построим открытые множества
U
n
и
V
n
такие, что:
U
n
⊃
A
,
V
n
⊃
CA
,
µU
n
< µ
∗
A
+
ε
n
/
2
и
µV
n
< µ
∗
CA
+
ε
n
/
2
. Без ограничения общности, можно
считать, что
U
1
⊃
U
2
⊃
...
⊃
U
n
⊃
...
и
V
1
⊃
V
2
⊃
...
⊃
V
n
⊃
...
Действительно,
если по
ε
1
и
ε
2
построены соответствующие множества
U
1
,
U
2
и
U
1
6⊃
U
2
, то
вместо
U
2
возьмем множество
U
0
2
=
U
2
∩
U
1
. Тогда
U
0
2
⊃
A
и
U
1
⊃
U
0
2
. Кроме
того,
U
0
2
⊂
U
2
, поэтому
µU
0
2
≤
µU
2
< µ
∗
A
+
ε
2
/
2
и т.д.
Рассмотрим последовательность суммируемых функций
{
χ
U
n
(
t
)
}
. Пока-
жем, что
χ
U
n
(
t
)
→
χ
A
(
t
)
п.в. на
[
a, b
]
при
n
→ ∞
. Заметим, что при
n
→ ∞
— 28 —
последовательность функций
{
χ
U
n
(
t
)
}
монотонно убывает, а последователь-
ность суммируемых функций
{
1
−
χ
V
n
(
t
)
}
монотонно возрастает. Поэтому
последовательность функций
{
χ
U
n
(
t
)
−
(1
−
χ
V
n
(
t
))
}
монотонно убывает. Так
как функции
χ
U
n
(
t
)
−
(1
−
χ
V
n
(
t
))
≥
0
, то
χ
U
n
(
t
)
−
(1
−
χ
V
n
(
t
))
&
f
(
t
)
≥
0
.
Учитывая, что
I
[
χ
U
n
−
(1
−
χ
V
n
)]
≥
0
, из замечания к следствию 1 теоремы 5
получим: функция
f
∈
L
и
0
≤
If
= lim
n
→∞
I
[
χ
U
n
−
(1
−
χ
V
n
)] = lim
n
→∞
(
µU
n
+
µV
n
−
(
b
−
a
))
<
lim
n
→∞
(
µ
∗
A
+
µ
∗
CA
+
ε
n
−
(
b
−
a
)) = lim
n
→∞
ε
n
= 0
.
В результате
If
= 0
и (следствие 2, теоремы 5)
f
(
t
) = 0
п.в. на
[
a, b
]
. Устано-
вили, что функции
χ
U
n
(
t
)
−
(1
−
χ
V
n
(
t
))
&
0
. Воспользуемся теперь оценкой
χ
U
n
(
t
)
−
(1
−
χ
V
n
(
t
))
≥
χ
U
n
(
t
)
−
χ
A
(
t
)
≥
0
,
из которой следует, что
χ
U
n
(
t
)
→
χ
A
(
t
)
при
n
→ ∞
п.в. на
[
a, b
]
.
Осталось заметить, что все функции
χ
U
n
(
t
)
измеримые и функция
χ
A
(
t
)
всюду конечна. Тогда по следствию 2 из теоремы 7 получим, что функция
χ
A
(
t
)
измеримая, то есть измеримо и множество
A
.
♥
Последнее утверждение показывает, что можно дать равносильное перво-
начальному определение измеримого множества в терминах внешней меры,
то есть независимо от понятия интеграла. Именно так поступал в своих по-
строениях А. Лебег: множество
A
⊂
[
a, b
]
называлось им
измеримым
, если
µ
∗
A
+
µ
∗
CA
=
b
−
a
.
Иногда это определение дается в иной форме. Определим для произволь-
ного множества
A
⊂
[
a, b
]
число
µ
∗
A
= sup
F
⊂
A
µF ,
называемое
внутренней мерой
множества
A
, где точная верхняя граница
берется по всем замкнутым множествам
F
⊂
A
. При этом по определению
считают, что мера замкнутого множества
µF
= (
b
−
a
)
−
µ
(
CF
)
, где множество
CF
= [
a, b
]
\
F
открыто. Затем множество
A
называется
измеримым
, если
µ
∗
A
=
µ
∗
A
.
Покажем, что последнее определение измеримого множества и определе-
ние Лебега равносильны. Действительно,
µ
∗
A
= sup
F
⊂
A
µF
= sup
F
⊂
A
((
b
−
a
)
−
µ
(
CF
)) = (
b
−
a
)
−
inf
F
⊂
A
µCF.
Так как
F
замкнуто и
F
⊂
A
, то
CF
открыто и
CF
⊃
CA
. Тогда
inf
F
⊂
A
µCF
= inf
CF
⊃
CA
µCF
= inf
B
⊃
CA
µB
=
µ
∗
CA.
— 29 —
Следовательно,
µ
∗
A
= (
b
−
a
)
−
µ
∗
CA
. Таким образом, равенства
µ
∗
A
=
µ
∗
A
и
µ
∗
A
+
µ
∗
CA
=
b
−
a
выполняются одновременно.
♥
Далее множества, измеримые в первоначальном определении или в равно-
сильном определении Лебега, называем просто
измеримыми
множествами.
•
Задачи:
12.9 – 12.16.
15. ФУНКЦИИ, ИЗМЕРИМЫЕ ПО ЛЕБЕГУ
Определив измеримые множества, а затем установив свойства измеримых
множеств, А. Лебег дает определение измеримой функции.
Функция
x
(
t
)
, определенная и конечная п.в. на
[
a, b
]
называется
измеримой
по Лебегу, если для любого
c
∈
R
1
множество
{
t
∈
[
a, b
]
|
x
(
t
)
≤
c
}
измеримо.
Далее измеримые функции, о которых говорилось первоначально, будем
временно называть измеримыми по Риссу.
Теорема 15.
Множество функций, измеримых по Лебегу, совпадает с
множеством функций, измеримых по Риссу.
Доказательство.
Пусть прежде функция
x
(
t
)
измерима по Риссу. Для
произвольного
c
∈
R
1
определим функцию
x
c
(
t
) = max
{
x
(
t
)
, c
}
, которая
также измерима по Риссу. Возьмем последовательность чисел
ε
n
&
0
. Для
n
∈
N
по Риссу измеримы и все функции
y
n
(
t
) =
ε
−
1
n
[
x
c
+
ε
n
(
t
)
−
x
c
(
t
) ]
. Оче-
видно, что при
n
→ ∞
y
n
(
t
)
→
½
1
,
x
(
t
)
≤
c
0
,
x
(
t
)
> c
¾
=
χ
{
t
|
x
(
t
)
≤
c
}
(
t
)
.
По следствию 2 из теоремы 7 получим, что характеристическая функция
χ
{
t
|
x
(
t
)
≤
c
}
(
t
)
измерима. В результате измеримо множество
{
t
∈
[
a, b
]
|
x
(
t
)
≤
c
}
,
что означает измеримость функции
x
(
t
)
по Лебегу.
Теперь предположим, что функция
x
(
t
)
измерима по Лебегу, то есть для
всех
c
∈
R
1
измеримы множества
{
t
∈
[
a, b
]
|
x
(
t
)
≤
c
}
. Для натуральных
n
∈
N
и целых
m
∈
Z
определим множества
A
(
n, m
) =
n
t
¯
¯
¯
m
n
< x
(
t
)
≤
m
+ 1
n
o
=
n
t
¯
¯
¯
x
(
t
)
≤
m
+ 1
n
o
\
n
t
¯
¯
¯
x
(
t
)
≤
m
n
o
.
Так как в правой части последнего равенства множества измеримы, то изме-
римы и множества
A
(
n, m
)
. Следовательно, измеримы и характеристические
функции этих множеств
χ
A
(
n,m
)
(
t
)
.
П.в. на
[
a, b
]
, где функция
x
(
t
)
конечна, определим для фиксированного
n
∈
N
функцию
x
n
(
t
)
так, что в точках
t
∈
A
(
n, m
)
она принимает значение
x
n
(
t
) =
m/n
. Заметим, что функция
x
n
(
t
)
конечна п.в. на
[
a, b
]
и
x
n
(
t
) =
m
=
∞
X
m
=
−∞
m
n
χ
A
(
n,m
)
(
t
) = lim
k
→∞
m
=
k
X
m
=
−
k
m
n
χ
A
(
n,m
)
(
t
)
.
— 30 —
Так как функции
P
m
=
k
m
=
−
k
m
n
χ
A
(
n,m
)
(
t
)
измеримы по Риссу, то, в силу следствия
2 теоремы 7, функции
x
n
(
t
)
также измеримы по Риссу. Заметим теперь, что
п.в. на
[
a, b
]
выполняется
|
x
n
(
t
)
−
x
(
t
)
| ≤
1
/n
. Следовательно,
x
n
(
t
)
→
x
(
t
)
при
n
→ ∞
п.в. на
[
a, b
]
. Вновь по следствию 2 теоремы 7 получим, что
функция
x
(
t
)
измерима по Риссу.
♥
Далее функции, измеримые по Лебегу или в равносильном определении
измеримые по Риссу, будем называть просто
измеримыми
функциями.
•
Задачи:
12.17 – 12.21.
16. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА ПО ЛЕБЕГУ
Рассмотрим прежде случай ограниченной измеримой функции. Итак, да-
на функция
x
(
t
)
, измеримая на
[
a, b
]
и п.в. на
[
a, b
]
для некоторых
m, M
∈
R
1
выполняется
m < x
(
t
)
< M
. Как известно (следствие 1 теоремы 7), такая
функция
x
(
t
)
является суммируемой, то есть существует
(
L
)
Ix
. Дадим опре-
деление интеграла от
x
(
t
)
по Лебегу.
Пусть
P
– разбиение
m
=
x
0
< x
1
< x
2
< ... < x
k
=
M
отрезка
[
m, M
]
.
Определим измеримые множества
A
(
i
) =
{
t
∈
[
a, b
]
|
x
i
< x
(
t
)
≤
x
i
+1
}
, где
i
= 0
, k
−
1
, и составим интегральную сумму
S
P
(
x
) =
k
−
1
X
i
=0
x
i
µ
{
t
∈
[
a, b
]
|
x
i
< x
(
t
)
≤
x
i
+1
}
=
k
−
1
X
i
=0
x
i
µA
(
i
)
.
Предположим теперь, что задана последовательность разбиений
{
P
n
}
от-
резка
[
m, M
]
такая, что длина наибольшего интервала в разбиении
P
n
стре-
мится к нулю при
n
→ ∞
. Если для интегральных сумм
S
P
n
(
x
) =
S
n
(
x
)
при
n
→ ∞
существует единственный конечный
lim
n
→∞
S
n
(
x
)
, независящий
от
m, M
и способа разбиений отрезка
[
m, M
]
, то функция
x
(
t
)
называет-
ся
интегрируемой
на
[
a, b
]
по Лебегу, а значение этого предела называется
интегралом Лебега, который обозначим
(Λ)
Ix
.
Теорема 16.
Всякая измеримая ограниченная на отрезке функция
x
(
t
)
интегрируема по Лебегу и
(Λ)
Ix
= (
L
)
Ix
.
Доказательство.
По разбиению
P
отрезка
[
m, M
]
определим измеримые
множества
A
(
i
) =
{
t
∈
[
a, b
]
|
x
i
< x
(
t
)
≤
x
i
+1
}
, а также измеримые, и значит
суммируемые, характеристические функции этих множеств
χ
A
(
i
)
(
t
)
. Рассмот-
рим суммируемую функцию
x
P
(
t
) =
P
k
−
1
i
=0
x
i
χ
A
(
i
)
(
t
)
. Вычислим
(
L
)
Ix
P
=
k
−
1
X
i
=0
x
i
Iχ
A
(
i
)
=
k
−
1
X
i
=0
x
i
µA
(
i
) =
S
P
(
x
)
.