ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.04.2021
Просмотров: 1097
Скачиваний: 7
16
Выше была доказана теорема Остроградского (2.7), которая позволяет вы-
разить поток векторного поля через замкнутую поверхность через интеграл
по объему от дивергенции.
Наконец, введем понятие ротора векторного поля
a
. Рассмотрим плоскую
площадку, перпендикулярную некоторому направлению
n
. Найдем циркуля-
цию вектора
a
по контуру, ограничивающему эту площадку и её отношение
к величине площадки
H
a
d
l
S
.
Предел этого отношения при стягивании площадки (которая остается плос-
кой) к точке
M
называется проекцией
ротора
векторного поля
a
на направ-
ление
n
(rot
a
)
n
= lim
(
S
)
→
M
H
a
d
l
S
.
(2.13)
Обратим внимание, что операция
rot
применяется к векторному полю и сам
ротор есть векторное поле.
Если рассмотреть циркуляцию по бесконечно малым квадратам, можно
найти выражение для
rot
a
в д.с.к.:
rot
a
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
i
j
k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
a
x
a
y
a
z
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
.
Через оператор
∇
ротор выражается следующим образом:
rot
a
= [
∇
a
]
,
т.е. ротор векторного поля
a
есть векторное произведение вектора
∇
на век-
тор
a
.
Можно показать, что циркуляция по произвольному контуру
Γ
есть сум-
ма циркуляций вдоль двух меньших контуров, на которые разбивается
Γ
,
I
Γ
=
I
Γ
1
+
I
Γ
2
.
Тогда, разбив произвольный контур на бесконечно малые
участки, используя для каждого участка (2.13) и суммируя уравнения
I
Γ
i
a
d
l
= (rot
a
)
i
∆
S
i
по всем участкам, получим
I
Γ
a
d
l
=
Z
S
rot
a
d
S
.
(2.14)
17
В этом состоит
теорема Стокса
: циркуляция поля по замкнутому контуру
равна потоку ротора этого поля через поверхность, ограниченную указанным
контуром.
Символическое исчисление.
Дифференциальные операции от произве-
дений скалярных и векторных полей удобно вычислять, используя оператор
∇
. Оператор
∇
используется потому, что с его помощью удобно получать
и записывать различные формулы векторного анализа.
∇
— дифференци-
альный векторный оператор, он имеет свойства производной и вектора и
при операциях с ним следует пользоваться правилами дифференцирования
и формулами векторной алгебры. Вычислим для примера градиент произве-
дения двух скалярных функций
grad(
f g
) =
∇
(
f g
) =
∇
(
↓
f g
) +
∇
(
f
↓
g
) =
g
∇
f
+
f
∇
g .
Таким образом, чтобы применить дифференциальную операцию к произве-
дению, надо переписать её через оператор
∇
, записать два слагаемых (в
которых
∇
действует сначала на первый множитель, затем – на второй) и,
пользуясь правилами векторной алгебры, расставить сомножители так, что-
бы “высвободить” из-под оператора
∇
те множители, на которые
∇
не дей-
ствует (например, расставить сомножители так, чтобы
∇
оказался справа от
тех множителей, на которые он не действует).
Рассмотрим ещё один пример
div [
ab
] = (
∇
[
ab
]) = (
∇
[
↓
ab
])+(
∇
[
a
↓
b
]) = (
b
[
∇
a
])
−
(
a
[
∇
b
]) =
b
rot
a
−
a
rot
b
.
Дифференциальные операции второго порядка.
В приложениях век-
торного анализа приходится иметь дело не только с выполнением операций
grad
,
div
,
rot
, но и с их различными комбинациями. Особенно часто встреча-
ются так называемые операции второго порядка, т.е. попарные комбинации
трех основных операций. Комбинируя символы
grad
,
div
,
rot
попарно, мож-
но составить девять пар, однако смысл имеют лишь следующие пять:
1)
rot grad
f
= [
∇
,
∇
f
] = [
∇
,
∇
]
f
= 0
;
2)
div grad
f
= (
∇
,
∇
f
) = (
∇
,
∇
)
f
=
∇
2
f
= ∆
f
;
3)
div rot
a
= (
∇
[
∇
a
]) = 0
;
4)
rot rot
a
= [
∇
[
∇
a
]] =
∇
(
∇
a
)
−
(
∇
,
∇
)
a
= grad div
a
−
∆
a
(“ротор ротора равен градиенту дивергенции минус лапласиан”) ;
5)
grad div
a
— см. п. 4.
18
Скалярный дифференциальный оператор
∆ =
∇
2
(см. п. 3) называется опе-
ратором Лапласа и в д.с.к., очевидно, записывается как
∆ =
∂
2
∂x
2
+
∂
2
∂y
2
+
∂
2
∂z
2
.
(2.15)
В с.с.к. оператор
∆
имеет следующий вид
∆ = ∆
r
+
1
r
2
∆
θ,ϕ
,
(2.16)
где
∆
r
— радиальная, а
∆
θ,ϕ
— угловая часть оператора Лапласа. Поскольку
∆
θ,ϕ
содержит производные по углам
θ, ϕ
, то явное выражение для
∆
r
можно
найти, вычисляя результат действия (2.15) на функцию
f
=
f
(
r
)
,
r
=
|
r
|
=
p
x
2
+
y
2
+
z
2
. Учитывая, что
∆
f
(
r
) = div grad
f
(
r
) = div
∂f
∂r
r
r
=
r
grad(
r
−
1
∂f /∂r
) +
r
−
1
∂f
∂r
div
r
,
находим
∆
f
(
r
) = ∆
r
f
(
r
) =
∂
2
f
∂r
2
+
2
r
∂f
∂r
=
1
r
2
∂
∂r
µ
r
2
∂
∂r
¶
f .
Таким образом,
∆
r
=
1
r
2
∂
∂r
µ
r
2
∂
∂r
¶
.
Полезно иметь в виду, что
∆
f
(
r
)
можно также записать как
∆
f
(
r
) =
1
r
d
2
dr
2
(
rf
(
r
))
.
(2.17)
Интегральные соотношения.
Теоремы Остроградского (2.7) и Стокса
( 2.14) позволяют получать другие интегральные соотношения. Например,
положим в формуле Остроградского ( 2.7)
a
=
c
f
, где
c
– произвольный
постоянный вектор. Вычисляя дивергенцию, находим
div
a
= div (
c
f
) =
c
grad
f .
Подставляя в (2.7), приходим к равенству
µ
c
,
Z
V
grad
f dV
¶
=
µ
c
,
I
S
f d
S
¶
.
Или, в силу произвольности вектора
c
,
Z
V
grad
f dV
=
I
S
f d
S
.
19
Положим теперь
a
=
c
f
в формуле Стокса. Вычисляя ротор, находим
rot
a
= rot(
c
f
) =
−
[
c
grad
f
]
,
так что
−
µ
c
,
Z
S
[grad
f d
S
]
¶
=
µ
c
,
I
L
f d
l
¶
.
Отсюда получаем интегральное соотношение
−
Z
S
[grad
f d
S
] =
I
L
f d
l
.
Рекомендуемая литература: [6] Приложение; [7] Приложение; [8] гл.2,3.
20
Микроскопическая теория
электромагнитных явлений в
вакууме
3. Уравнения электромагнитного поля
3.1. Основные положения электродинамики
Кратко перечислим основные положения электродинамики и фундаментальные элек-
тромагнитные явления, известные из предыдущего изучения теории электричества.
•
Между микрочастицами, а следовательно, и между макротелами существует
элек-
тромагнитное взаимодействие
. Способность тел вступать в электромагнитное вза-
имодействие характеризуется электрическим зарядом, причем существуют заряды
двух видов: положительные и отрицательные (одноименные отталкиваются, разно-
именные притягиваются).
•
Сила взаимодействия между двумя неподвижными точечными зарядами определя-
ется
законом Кулона
:
F
=
0
r
3
r
,
где
r
— расстояние от заряда
q
до заряда
q
0
. Основываясь на законе Кулона, можно
ввести понятие электрического поля: заряд
q
создает вокруг себя
электрическое
поле
, которое характеризуется
напряженностью
E
=
q
r
r
3
.
Другой заряд,
q
0
, оказавшийся в поле, испытывает действие силы
F
=
q
0
E
.
Исходя из закона Кулона, можно получить следующее соотношение
div
E
= 4
πρ ,
(3.1)
где
ρ
– плотность электрического заряда.
•
Если заряды движутся произвольным образом, то их взаимодействие уже не опре-
деляется законом Кулона. Электрические силы сложным образом зависят от движе-
ния зарядов. Одну из частей силы, действующую между движущимися зарядами,
называют магнитной силой. Она возникает потому, что движущиеся заряды по-
рождают магнитное поле, которое характеризуется
магнитной индукцией
B
, так
что сила, действующая на заряд
q
, находящийся в поле
E
,
B
и имеющий скорость
v
, есть
F
=
q
E
+
q
c
[
vB
]
—
сила Лоренца
.