ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.04.2021
Просмотров: 1093
Скачиваний: 7
11
Производную нужно вычислять в центре грани 1, т.е. в точке
(
x, y
+
∆
y
2
, z
+
∆
z
2
)
. Но если куб очень маленький, мы сделаем пренебрежимую ошибку,
если вычислим ее в вершине
(
x, y, z
)
.
Повторяя те же рассуждения с двумя другими парами граней, мы полу-
чаем, что поток сквозь 3 и 4 наружу равен
Π
3
+ Π
4
=
∂a
y
∂y
∆
x
∆
y
∆
z,
а поток сквозь 5 и 6 наружу равен
Π
5
+ Π
6
=
∂a
z
∂z
∆
x
∆
y
∆
z.
Общий поток через все грани равен сумме этих членов
Z
пов-ть куба
a
d
S
=
µ
∂a
x
∂x
+
∂a
y
∂y
+
∂a
z
∂z
¶
∆
x
∆
y
∆
z.
Сумма производных в скобках есть
div
a
(дивергенция вектора
a
, см. ниже),
а
∆
x
∆
y
∆
z
= ∆
V
– объем куба. Более точно, дивергенция векторного поля
определяется инвариантным (не зависящим от системы координат) соотно-
шением (2.12) (см. ниже), а проведенные выше вычисления позволили найти
явное выражение для дивергенции в декартовых координатах.
Таким образом, для бесконечно малого куба
I
S
a
d
S
= div
a
∆
V
(2.6)
(кружок у интеграла выписывать не обязательно; он подчеркивает, что ин-
теграл берется по замкнутой поверхности).
Уравнение (2.6) связывает
div
a
с потоком
a
из бесконечно малого объёма.
Разобьём объём конечной величины на бесконечно малые, записав соотноше-
ние (2.6) для каждого из них
Z
S
i
a
d
S
= (div
a
)
i
∆
V
i
.
Просуммируем по всем
i
, и, принимая во внимание отмеченный выше факт,
что суммарный поток из объёма равен сумме потоков из отдельных его ча-
стей, получим
теорему Остроградского-Гаусса
:
I
S
a
d
S
=
Z
V
div
a
dV
(2.7)
12
— поток векторного поля через замкнутую поверхность равен интегралу от
дивергенции этого векторного поля по объёму, ограниченному данной поверх-
ностью.
Объёмные интегралы. Интегралы по объёму в сферической и ци-
линдрической системе координат.
В теореме Остроградского-Гаусса
(2.7) возник объёмный интеграл. В электродинамике через объёмные интегра-
лы вычисляется заряд системы, дипольный момент, энергия поля и другие
величины. Напомним, как вводится это понятие. Пусть в области простран-
ства объёма
V
задана функция
f
(
r
)
. Разобьём
V
на части
∆
V
i
и, произвольно
выбрав в каждом
∆
V
i
некоторую точку
M
i
, составим сумму
X
f
(
M
i
)∆
V
i
.
Измельчая разбиение так, чтобы линейные размеры всех элементов
∆
V
i
стре-
мились к нулю, получим
объёмный интеграл
:
Z Z Z
V
f dV
или
Z
V
f dV.
(2.8)
В области пространства
V
может быть задана векторная функция
a
(
r
)
. Тогда
точно так же можно ввести объёмный интеграл от векторной функции
Z
V
a
dV.
(2.9)
Если область, по которой ведется интегрирование в (2.8), (2.9), представляет
собой параллелепипед, то бывает удобно проводить интегрирование в д.с.к.,
разбивая область на бесконечно малые кубики, так что
dV
=
dxdydz
и
Z
V
f dV
=
Z
V
f
(
x, y, z
)
dxdydz.
Если же область, по которой ведется интегрирование, является цилин-
дром, то бывает удобно проводить вычисления в цилиндрической системе
координат (ц.с.к.). Напомним, что в ц.с.к. положение точки
M
в простран-
стве определяется её декартовой координатой
z
и полярными координатами
(
ρ, ϕ
)
её проекции на плоскость
xy
. Величины
(
ρ, ϕ, z
)
называются
цилин-
дрическими координатами точки
M
. Непосредственно из рисунка видно, что
они связаны с декартовыми координатами точки
M
следующими соотноше-
ниями:
x
=
ρ
cos
ϕ,
y
=
ρ
sin
ϕ,
z
=
z.
13
При вычислении объемных интегралов в ц.с.к. область делится на бесконечно
малые объемы, ограниченные тремя парами координатных поверхностей. Ко-
ординатная поверхность в ц.с.к. задается условием
ρ
= const
или
ϕ
= const
или
z
= const
, так что на координатной поверхности меняются лишь две
координаты из трех. В любой системе координат, заданной в трехмерном
пространстве, существуют три семейства координатных поверхностей.
Поскольку координатные поверхности в ц.с.к. пересекаются под прямым
углом (так же, как и в декартовой, и в сферической системе – такие системы
координат называются ортогональными), бесконечно малый объем находит-
ся по формуле
dV
=
ρ dρ dϕ dz.
Таким образом, вычисление объемного интеграла в цилиндрических коорди-
натах производится с помощью формулы
Z
V
f dV
=
Z
V
f
(
ρ, ϕ, z
)
ρ dρ dϕ dz.
В сферической системе координат положение точки
M
в пространстве опре-
деляется: 1) расстоянием
r
от начала координат до точки
M
; 2) углом
θ
между положительным направлением оси
z
и отрезком
OM
(угол
θ
меня-
ется от 0 до
π
); 3) углом
ϕ
между положительным направлением оси
x
и
проекцией
OM
1
отрезка
OM
на плоскость
xy
.
Величины
(
r, θ, ϕ
)
называются
сферическими координатами точки
M
.
Из рисунка видно, что декартовы координаты связаны со сферическими со-
отношениями
x
=
r
sin
θ
cos
ϕ,
y
=
r
sin
θ
sin
ϕ,
z
=
r
cos
θ .
При вычислении объемных интегралов в сферической системе координат
(с.с.к.) область делится на бесконечно малые объемы, ограниченные тремя
парами координатных поверхностей. Нарисуем такой элемент объема. Его
можно считать бесконечно малым прямоугольным параллелепипедом с реб-
рами
dr, r dθ, r
sin
θ dϕ
, так что
dV
=
r
2
sin
θ dr dθ dϕ.
Таким образом, переход к интегрированию в сферической системе координат
производится по формуле
Z
V
f dV
=
Z
V
f
(
r, θ, ϕ
)
r
2
sin
θ dr dθ dϕ.
14
2.3. Векторный анализ
Основные дифференциальные операции.
Если любой точке простран-
ства (или части пространства) ставится в соответствие некоторая величина,
то говорят, что в пространстве задано поле этой величины. Если любой точке
пространства ставится в соответствие число, то поле называется скалярным;
если любой точке пространства ставится в соответствие вектор, то поле на-
зывается векторным.
С формальной точки зрения поле есть функция точки. Пусть задано ска-
лярное поле:
f
=
f
(
r
)
. Если в пространстве выбрана некоторая декартова
система координат, то можем написать:
f
=
f
(
x, y, z
)
.
Пусть в пространстве дана некоторая точка
M
. Из неё можно выходить
по всевозможным направлениям. Выберем некоторое направление
l
. Произ-
водной
f
по направлению
l
называется скорость изменения поля в данном
направлении
df
dl
= lim
N
→
M
f
(
N
)
−
f
(
M
)
MN
.
На заданном направлении
l
координаты
x, y, z
являются функциями рассто-
яния
l
,
f
=
f
(
x
(
l
)
, y
(
l
)
, z
(
l
))
, поэтому
f
можно продифференцировать как
сложную функцию:
df
dl
=
∂f
∂x
dx
dl
+
∂f
∂y
dy
dl
+
∂f
∂z
dz
dl
.
Это выражение можно представить как скалярное произведение двух векто-
ров
df
dl
=
µ
∂f
∂x
i
+
∂f
∂y
j
+
∂f
∂z
k
¶ µ
dx
dl
i
+
dy
dl
j
+
dz
dl
k
¶
.
Первый вектор здесь называется
градиентом
поля
f
grad
f
=
∂f
∂x
i
+
∂f
∂y
j
+
∂f
∂z
k
.
(2.10)
Второй вектор
dx
dl
i
+
dy
dl
j
+
dz
dl
k
=
d
(
x
i
+
y
j
+
z
k
)
dl
=
d
r
dl
=
~τ
— это единичный вектор направления
l
. Таким образом,
df
dl
= (grad
f, ~τ
)
.
(2.11)
15
Из последнего выражения следует, что вектор
grad
f
в точке
M
указывает
в сторону наибыстрейшего возрастания поля
f
, причём эта наибыстрейшая
скорость равна
|
grad
f
|
. Полученный физический смысл градиента показыва-
ет, что градиент инвариантно связан с рассматриваемым полем, т.е. остается
неизменным (инвариантным) при замене декартовых осей (этого не видно из
определения (2.10), данного в неинвариантной форме, “привязанной” к какой-
то системе координат). Итак, градиент скалярного поля образует векторное
поле.
Если ввести векторный дифференциальный
оператор
∇
("набла")
∇
=
i
∂
∂x
+
j
∂
∂y
+
k
∂
∂z
,
или
∇
=
µ
∂
∂x
,
∂
∂y
,
∂
∂z
¶
,
то можно записать (2.10) в виде
grad
f
=
∇
f,
а (2.11) в виде
df
dl
= (
~τ
∇
f
) = (
~τ
∇
)
f.
Рассмотрим теперь векторное поле
a
(
r
)
и введем операцию дивергенции.
Составим отношение потока поля
a
через замкнутую поверхность
S
к объёму
области, ограниченному этой поверхностью
H
a
d
S
V
.
Предел этого отношения при стягивании области к точке
M
называется
ди-
вергенцией
поля
a
в точке
M
:
div
a
= lim
(
V
)
→
M
H
a
d
S
V
.
(2.12)
Отметим, что дивергенция векторного поля образует скалярное поле.
Выражение для дивергенции в д.с.к. было получено выше (см. с. 11)
div
a
=
∂a
x
∂x
+
∂a
y
∂y
+
∂a
z
∂z
.
Дивергенция векторного поля
a
может быть записана в виде скалярного про-
изведения оператора
∇
на вектор
a
:
div
a
= (
∇
a
)
.