ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.04.2021
Просмотров: 1098
Скачиваний: 7
96
10. Постоянный ток в проводящих средах. За-
кон Ома. Закон Джоуля-Ленца
От изучения полей, созданных неподвижными зарядами, перейдем к рас-
смотрению стационарного движения зарядов в проводниках. Постоянный ток
∂
j
∂t
= 0
течет в проводящей среде в том случае, если электрическое поле в ней
постоянно
∂
E
∂t
= 0
. Из уравнения
div
E
= 4
πρ
для проводника в силу посто-
янства
E
следует, что и
∂ρ
∂t
= 0
. Тогда уравнение непрерывности приводит к
следующему условию стационарности тока
div
j
= 0
.
(10.1)
Условие стационарности может быть выражено в интегральном виде. Инте-
грируя (10.1) по участку проводника (или токовой трубки), ограниченному
поперечными сечениями
S
1
и
S
2
, получаем
Z
div
j
dV
=
Z
j
d
S
=
Z
S
2
j
d
S
−
Z
S
1
j
d
S
= 0
,
(10.2)
или
J
2
=
J
1
,
(10.3)
т.е. в стационарном случае через любое сечение проводника проходит одина-
ковый ток.
Постоянное электрическое поле внутри проводника с постоянным током
удовлетворяет уравнению
rot
E
= 0
.
(10.4)
Итак, для нахождения стационарного тока
j
и постоянного электрического
поля
E
имеются два уравнения
rot
E
= 0
,
div
j
= 0
.
(10.5)
Из них следует, что на границе раздела двух проводящих сред должны вы-
полняться условия (ср. разд. 9.4)
E
2
τ
=
E
1
τ
,
j
2
n
=
j
1
n
.
(10.6)
Уравнений (10.5) недостаточно для определения двух векторов
j
и
E
, и к
ним еще должно быть присоединено условие, связывающее их между собой.
97
Эта связь зависит от вещества проводника, в большинстве случаев её мож-
но считать линейной. Если проводник однороден и изотропен, то линейная
зависимость сводится к простой пропорциональности
j
=
σ
E
.
(10.7)
Последнее соотношение представляет собой закон Ома в дифференциальной
форме. Коэффициент
σ
называют
коэффициентом электропроводности
или
проводимостью
. Уравнения (10.5) и (10.7) позволяют определить
j
и
E
при
заданных граничных условиях.
Обратим внимание, что задача о нахождении
j
и
E
эквивалентна элек-
тростатической задаче о поле в диэлектрике в отсутствие внешних зарядов.
Действительно, в последнем случае имеем уравнения для полей
E
и
D
rot
E
= 0
,
div
D
= 0
и связь между ними
D
=
ε
E
.
Очевидно, что при формальных заменах
D
→
j
,
ε
→
σ
(10.8)
переходим к задаче о постоянном токе. Например, если в среду с проводимо-
стью
σ
1
, в которой существует постоянное поле
E
0
, вносят шар с проводимо-
стью
σ
2
, то ток и напряженность поля в такой системе находятся из решения
задачи о диэлектрическом шаре в однородном поле с помощью замен (10.8).
Рассмотрим участок проводника с током, ограниченный поверхностями
одинакового потенциала
ϕ
1
и
ϕ
2
. Назовем напряжением
U
на участке про-
водника величину
U
=
|
∆
ϕ
|
.
Будем считать, что справедливы следующие соотношения пропорционально-
сти
U
∼
E,
J
∼
j.
Так как, согласно (10.5),
j
∼
E
, то
U
∼
J
. Вводя коэффициент пропорцио-
нальности
R
, который называется сопротивлением, приходим закону Ома в
интегральной форме
U
=
JR .
(10.9)
Например, пусть на участке цилиндрического проводника длины
l
и пло-
щади сечения
S
течет постоянный ток
J
. Ток
J
в этом случае равномерно
распределен по сечению:
J
=
jS
. Поскольку площадь сечения не зависит
98
от координаты, то и плотность тока остается постоянной на всем участке.
Это значит, что и напряженность поля остается постоянной на всем участке
проводника. Вычисляя напряжение
U
=
(2)
Z
(1)
Edx
=
El
и выражая правую часть через силу тока, приходим к закону Ома (10.9), в
котором для сопротивления
R
имеем явное выражение
R
=
l
σS
.
(10.10)
При прохождении электрического тока через проводник в последнем вы-
деляется тепло. Если ток постоянный, то количество выделенной теплоты
равно работе, произведенной электрическим полем по перемещению зарядов
в проводнике. Работа, производимая электрическим полем в единицу време-
ни по перемещению зарядов в единичном объеме, равна
q
=
dA
dt
=
Fv
=
ρ
Ev
=
ρ
vE
.
(10.11)
Следовательно, количество теплоты, выделяющейся в единицу времени в еди-
ничном объеме проводника, есть
q
=
jE
(10.12)
— закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме. Принимая во внимание
(10.5), можно переписать (10.12) в виде
q
=
σE
2
=
j
2
/σ.
(10.13)
Рассчитаем теперь количество тепла, выделяющегося на участке цепи
между сечениями с потенциалами
ϕ
1
и
ϕ
2
. За время
dt
через первое сечение
пройдет некоторый заряд
de
. Поскольку ток постоянный, то распределение
зарядов в проводнике остается неизменным, следовательно, такой же заряд
выйдет через второе сечение. Таким образом, заряд
de
переносится из обла-
сти с потенциалом
ϕ
1
в область с потенциалом
ϕ
2
, так что работа электриче-
ской силы за время
dt
на участке проводника есть
de
(
ϕ
2
−
ϕ
1
)
. Количество
теплоты
Q
, выделяющейся на этом участке в единицу времени, есть
Q
=
de
dt
(
ϕ
2
−
ϕ
1
) =
JU
=
J
2
R
=
U
2
/R .
(10.14)
Эти соотношения выражают закон Джоуля-Ленца в интегральной форме.
Рекомендуемая литература: [2] Ч.II,§17; [10] §21.
99
11. Постоянное магнитное поле в средах
Напомним, что в стационарном случае система уравнений Максвелла в
среде (8.21) распадается на две части. Уравнения, описывающие постоянное
магнитное поле, имеют вид
div
B
= 0
rot
H
=
4
π
c
j
ext
.
(11.1)
Здесь по-прежнему предполагается, что имеется только макроскопический
ток сторонних зарядов с плотностью
j
ext
, созданный внешними зарядами, а
ток проводимости в магнетике отсутствует.
Двух уравнений (11.1) недостаточно для определения векторов
B
,
H
и к
ним должно быть добавлено уравнение связи
B
=
B
(
H
)
.
(11.2)
Или, вспоминая, что напряженность магнитного поля была введена через
магнитную индукцию
B
и вектор намагничения
M
соотношением
H
=
B
−
4
π
M
, уравнение связи можно представить как
M
=
M
(
H
)
.
(11.3)
По характеру зависимости (11.2), (11.3) среды делятся на следующие типы.
Существуют среды, в которых для не очень сильных полей зависимость
B
и
H
можно считать линейной. В изотропной среде
B
=
µ
H
.
Для вектора намагничения это приводит к линейной зависимости от напря-
женности магнитного поля
M
=
B
−
H
4
π
=
µ
−
1
4
π
H
=
χ
H
Коэффициент
µ
называется
магнитной проницаемостью
, а коэффицент
χ
—
магнитной восприимчивостью
. Магнитная восприимчивость различных
магнетиков может быть положительной и отрицательной. Если
χ >
0 (
µ >
1)
, то такие вещества называются
парамагнетиками
. В качестве примера
парамагнитных сред можно привести щелочные металлы или молекулярный
кислород. Парамагнетизм обусловлен ориентацией внешним полем собствен-
ных, существующих и в отсутствие внешнего магнитного поля, магнитных
моментов атомов или молекул, из которых состоит вещество.
100
Вещества, магнитная восприимчивость которых отрицательна
χ <
0 (
µ <
1)
, называются
диамагнетиками
. Примером диамагнитной среды могут слу-
жить инертные газы. Причина появления магнитного момента, направленно-
го против поля, состоит в возникновении добавочного кругового движения
атомных электронов (индуцированных круговых токов) под действием маг-
нитного поля. Эти токи и создают в каждом атоме индуцированный магнит-
ный момент, направленный, согласно правилу Ленца, противоположно внеш-
нему магнитному полю. Диамагнетизм — явление универсальное, присущее
всем телам без исключения. Но непосредственно оно наблюдается обычно то-
гда, когда атомы или молекулы не имеют собственного магнитного момента,
потому что более сильный парамагнетизм обычно маскирует диамагнитный
эффект.
В пара- и диамагнетиках магнитные эффекты очень малы и магнитная
проницаемость мало отличается от единицы.
Среды, в которых макроскопический магнитный момент существует и в
отсутствие внешнего магнитного поля, составляют третий класс магнетиков.
Их представителем являются ферромагнетики. В ферромагнетиках даже при
слабых магнитных полях связь
M
и
H
нелинейна и неоднозначна.
Если среда пространственно-однородна, то в соотношении ( 11.1)
µ
=
const
и уравнения (11.1) переписываются в виде
div
B
= 0
,
rot
B
=
4
π
c
µ
j
.
Первое уравнение тождественно удовлетворяется соотношением
B
= rot
A
.
Выбирая калибровку
div
A
= 0
, можем получить следующее уравнение на
векторный потенциал
∆
A
=
−
4
π
c
µ
j
.
Как видим, уравнения, которым удовлетворяют векторы
A
и
B
в изотропной
однородной среде, отличаются от уравнений (5.1), (5.2), (5.8) для постоянного
магнитного поля в вакууме только множителем
µ
перед плотностью тока.
Следовательно, магнитная индукция, создаваемая током
j
ext
в изотропном
однородном магнетике, может быть получена из магнитной индукции того
же тока в вакууме умножением на
µ
.
Рекомендуемая литература: [2] Ч.II,§§20,21.