ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.04.2021
Просмотров: 298
Скачиваний: 1
М И Н И СТ Е РСТ В О
О БРА ЗО В А Н И Я
РО ССИ Й СК О Й
Ф Е Д Е РА Ц И И
В О РО Н Е Ж СК И Й
ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н Ы Й
У Н И В Е РСИ Т Е Т
М ате
м ати ч е
ск о е
м о д е
ли ро вани е
случ айны х
ве
ли ч и н
Практич еское
пособие
к
курсу
“Пакеты
прикладных
програм м ”
Специаль ности
“М атем атич еское
м оделирование
систем
автом атич еского
рег улирования
”
(010202.1),
“М атем атич еское
и
програм м ное
обеспеч ение
защ иты
инф орм ации”
(010213)
В О РО Н Е Ж
2003
2
У тверж дено
науч но
-
м етодич еским
советом
ф акуль тета
прикладной
м атем а
-
тики
,
инф орм атики
и
м еханики
1
декабря
2003
г
.,
протокол
№
2.
Составители
:
Голуб
В
.
А
.
Ж укова
Т
.
М
.
Соколова
М
.
А
Практич еское
пособие
подготовлено
на
каф едре
технич еской
кибернетики
и
автом атич еског о
регулирования
В оронеж ского
государственного
университета
.
Реком ендуется
для
студентов
4
курса
дневного
отделения
специаль ностей
“М атем атич еское
м оделирование
систем
автом атич еского
рег улирования
”
(010202.1)
и
“М атем атич еское
и
прог рам м ное
обеспеч ение
защ иты
инф орм а
-
ции”
(010213)
3
С о д е
рж ани е
1.
М о д е
ли ро вани е
по сле
д о вательно сти
случ айны х
и спы тани й
… … … …
......4
2
.
М о д ели ро вани е
д и ск ре
тны х
случ айны х
ве
ли ч и н
… … … … … … … …
......
…
.5
2.1.
О бщ ий
алгоритм
м оделирования… … … … … … … … … … …
..
… … … …
.
…
.5
2.2.
М оделирование
случ айной
велич ины
с
бином иаль ным
распределением … … … … … … … … … … … … … … … …
.
… … … … … … …
...
…
...
…
6
2.3.
М оделирование
случ айной
велич ины
,
распределенной
по
закону
Пуассона… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
...6
2.4.
М оделирование
случ айной
велич ины
,
распределенной
по
геом етрич еском у
закону… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
.
… …
7
3.
М о д ели ро вани е
не
пре
ры вны х
случ айны х
вели ч и н
… … … …
..
… … …
...
…
..8
3.1.
М оделирование
непрерывной
случ айной
велич ины
м етодом
обратной
ф ункции… … … … … … … … … … … …
.
… … … … … … … … … … … … …
..8
3.2.
М оделирование
случ айной
велич ины
с
заданной
гистограм м ой… … …
.
… … … … … … … …
...
… … … … … … … … … … … … … … …
...9
3.3.
М оделирование
непрерывной
случ айной
велич ины
стандартным
м етодом
исклю ч ения… … … … … … … … … … … … … … … … … …
.10
3.4.
М оделирование
непрерывной
случ айной
велич ины
м етодом
суперпозиции… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
.11
3.5.
М оделирование
г ауссовской
случ айной
велич ины
м етодам и
обратной
ф ункции
и
сум м ирования… … … … … … … … … …
...
… … … … … … …
.12
3.6.
М оделирование
г ауссовской
случ айной
велич ины
м етодам и
ф ункциональ ного
преобразования
,
исклю ч ения
и
суперпозиции… … … …
..
…
..13
3.7.
М оделирование
случ айной
велич ины
с
экспоненциаль ным
распределением … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
.16
3.8.
М оделирование
случ айной
велич ины
с
гам м а
-
распределением … … …
.
… … … … … … … … … … … … … … … … … … …
....16
3.9.
М оделирование
случ айных
велич ин
с
распределениям и
2
χ
,
Сть ю дента
,
Ф ишера… … … … … … … … … … … … … … … … … …
.
… … … … … …
..19
Задание
на
выполнение
лабораторных
работ
по
ком пь ю терном у
м оделированию
случ айных
велич ин… …
… … … … … … … … … … … …
...
… …
...20
При м е
р
.
М оделирование
случ айной
выборки
,
распределенной
по
экспоненциаль ном у
закону… … … … … … … … … … … … … … … … …
..
… …
...21
Ли те
ратура
… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
.
… … …
..26
4
1.
М о д ели ро вани е
по следо вательно сти
случ айны х
и спы тани й
[1]
По сле
д о вате
льно сть
незави си м ы х
и спы тани й
Пусть
проводится
последователь ность
k
независим ых
испытаний
,
в
резуль
-
тате
каж дого
из
которых
м ож ет
произойти
одно
из
двух
противополож ных
со
-
бытий
А
и
A
B
=
с
вероятность ю
( )
( )
( )
.
A
P
g
p
1
B
P
,
p
A
P
=
=
−
=
=
.
М оделирование
последователь ности
испытаний
осущ ествляется
следую щ им
образом
.
Получ аю т
последователь ность
знач ений
k
2
1
r
,...,
r
,
r
базовой
случ айной
вели
-
ч ины
(
БСВ
)
–
велич ины
,
равном ерно
распределенной
на
интервале
(0,1):
ξ
~
( )
1
,
0
R
.
Е сли
k
,...,
2
,
1
i
,
p
r
i
=
<
,
то
сч итаем
,
ч то
в
i-
том
испытании
наступило
событие
А
,
если
p
r
i
>
,
то
сч итаем
,
ч то
в
i-
том
испытании
наступило
событие
A
B
=
.
Э ти
допущ ения
правом ерны
,
т
.
к
.
если
( )
1
,
0
~
R
ξ
,
то
(
)
p
p
P
=
<
<
ξ
0
,
т
.
е
.
(
) ( )
A
P
p
P
=
<
ξ
.
Т акж е
справедливо
:
(
)
p
p
P
−
=
<
<
1
1
ξ
,
т
.
е
.
(
)
( )
A
P
p
P
=
>
ξ
.
Т еперь
предполож им
,
ч то
резуль татом
каж дого
из
k
независим ых
испытаний
м ож ет
быть
появление
одного
из
n
несовм естных
событий
n
A
A
A
,
,
,
2
1
K
,
обра
-
зую щ их
полную
г руппу
.
В ероятность
появления
каж дого
из
событий
известна
( )
n
i
p
A
P
i
i
,
1
,
=
=
,
и
не
м еняется
при
переходе
от
одного
к
другом у
(
т
.
к
.
все
А
i
несовм естны
и
образую т
полную
г руппу
,
то
∑
=
=
n
i
i
p
1
1).
М оделирование
такой
последователь ности
осущ ествляется
следую щ им
об
-
разом
.
Разделим
отрезок
[ ]
1
,
0
на
n
уч астков
n
∆
∆
∆
,
,
,
2
1
K
,
длины
которых
соответ
-
ственно
равны
n
p
p
p
,
,
,
2
1
K
.
Получ аем
последователь ность
знач ений
n
r
r
r
,
,
,
2
1
K
случ айной
велич ины
( )
1
,
0
~
R
ξ
.
Е сли
m
i
r
∆
∈
,
то
сч итаем
,
ч то
в
i-
том
испытании
наступило
собы
-
тие
А
m
.
Э то
допущ ение
правом ерно
,
т
.
к
.
(
) ( )
m
m
A
P
P
=
∆
∈
ξ
,
(
)
( )
m
m
m
m
A
P
p
от ре зка
д л ина
P
=
=
∆
=
∆
∈
ξ
.
При м е
р
.
Пусть
проводится
последователь ность
независим ых
испытаний
,
в
каж дом
из
которых
м ож ет
произойти
одно
из
трех
несовм естных
событий
A
1
,
А
2
,
А
3
,
образую щ их
полную
г руппу
,
( )
( )
( )
4
,
0
,
25
,
0
,
35
,
0
3
2
1
=
=
=
A
P
A
P
A
P
.
При
м оделировании
отрезок
[ ]
1
,
0
делят
на
три
уч астка
.
Генерирую т
двухраз
-
рядные
ч исла
r
i
.
Н априм ер
,
15
,
0
1
=
r
–
это
ч исло
попало
на
первый
уч асток
,
знач ит
в
первом
испытании
произойдет
А
1
,
,
34
,
0
r
2
=
следователь но
,
во
втором
испытании
тож е
произойдет
А
1
;
,
71
,
0
r
3
=
знач ит
в
треть ем
испытании
произой
-
дет
А
3
и
т
.
д
.
5
По сле
д о вате
льно сть
зави си м ы х
и спы тани й
Пусть
проводится
последователь ность
зависим ых
испытаний
,
в
каж дом
из
которых
м ож ет
произойти
событие
А
или
не
произойти
(
)
A
B
=
.
М оделирование
осущ ествляется
следую щ им
образом
:
1.
Получ аем
знач ение
r
1
случ айной
велич ины
( )
1
,
0
~
R
ξ
.
Е сли
( )
A
P
r
1
1
<
,
где
( )
A
P
1
–
вероятность
наступления
события
А
в
первом
испытании
,
то
сч ита
-
ем
,
ч то
в
1-
ом
испытании
произошло
событие
А
.
Е сли
( )
A
P
r
1
1
≥
,
то
ф иксирует
-
ся
непоявление
события
А
(
т
.
е
.
событие
В
).
Д опустим
,
ч то
в
первом
испытании
появилось
событие
A
.
2.
Получ аем
следую щ ее
знач ение
r
2
.
Е сли
(
)
A
A
P
r
\
2
2
<
,
где
(
)
A
A
P
\
2
–
ус
-
ловная
вероятность
появления
во
втором
испытании
события
А
при
условии
,
ч то
в
1-
вом
испытании
произошло
событие
А
,
то
ф иксируем
появление
во
вто
-
ром
испытании
события
А
,
если
(
)
A
\
A
P
r
2
2
≥
,
то
сч итаем
,
ч то
во
втором
испыта
-
нии
произошло
A
B
=
.
Д опустим
произошло
В
.
3.
Получ аем
следую щ ее
знач ение
r
3
.
Е сли
(
)
AB
A
P
r
\
3
3
<
–
вероятность
на
-
ступления
в
треть ем
испытании
события
А
,
при
условии
наступления
в
первом
–
события
А
и
во
втором
–
события
В
,
то
сч итаем
,
ч то
в
треть ем
испытании
поя
-
вилось
событие
А
,
в
противном
случ ае
В
и
т
.
д
.
Э тот
алг оритм
легко
м ож ет
быть
обобщ ен
на
случ ай
не
двух
,
а
k
событий
.
2.
М о д ели ро вани е
д и ск ретны х
случ айны х
вели ч и н
[1]
2.1.
Общ и й
алго ри тм
м о д е
ли ро вани я
Е сли
случ айная
велич ина
дискретная
,
то
её
м оделирование
(
получ ение
по
-
следователь ности
её
знач ений
)
м ож но
свести
к
м оделированию
независим ых
испытаний
.
Д ействитель но
,
пусть
им еется
ряд
распределения
ξ
x
1
x
2
…
x
n
P
p
1
p
2
…
p
n
О бознач им
A
i
событие
,
состоящ ее
в
том
,
ч то
случ айная
велич ина
ξ
прим ет
знач ение
х
i
.
Т огда
нахож дение
знач ения
,
принятог о
случ айной
велич иной
в
резуль тате
испытания
,
сводится
к
определению
того
,
какое
из
событий
n
A
A
A
,
,
,
2
1
K
поя
-
вится
.
Т
.
к
.
эти
события
несовм естны
,
образую т
полную
г руппу
и
вероятность
появления
каж дог о
из
них
не
м еняется
от
испытания
к
испытанию
,
то
для
м о
-
делирования
знач ений
ξ
м ож но
исполь зовать
процедуру
м оделирования
после
-
дователь ности
независим ых
испытаний
.
Сущ ествую т
и
друг ие
специаль ные
ал
-
горитм ы
.