ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.04.2021
Просмотров: 300
Скачиваний: 1
11
М етоду
исклю ч ения
свойственен
характерный
недостаток
.
М оделирую
-
щ ий
алгоритм
описывается
ф орм улой
(
)
K
,
,
2
1
α
α
ψ
ξ
=
,
где
,...
,
2
1
α
α
-
независи
-
м ые
БСВ
;
( )
⋅
ψ
-
ф ункция
сч етного
м нож ества
аргум ентов
.
Последний
ф акт
предъявляет
ж есткие
требования
к
псевдослуч айным
ч ислам
.
Е сли
( )
x
f
0
задана
на
бесконеч ном
интервале
или
не
ог ранич ена
,
принципи
-
аль но
возм ож но
построить
м аж орирую щ ую
ф ункцию
непосредственно
.
О днако
более
удобно
подобрать
преобразование
( )
ξ
φ
η
1
=
так
,
ч тобы
случ айная
вели
-
ч ина
η
им ела
ог ранич енную
плотность
на
конеч ном
интервале
;
η
м оделирую т
м етодом
исклю ч ения
,
тогда
( )
η
φ
ξ
1
1
−
=
.
3.4.
М о д е
ли ро вани е
не
преры вно й
случ айно й
ве
ли ч и ны
м е
то д о м
супе
рпо зи ци и
М етод
суперпозиции
м оделирования
непрерывной
случ айной
велич ины
ξ
с
ф иксированной
плотность ю
распределения
( )
x
f
0
основан
на
ф орм уле
полной
вероятности
.
Пусть
ξ
и
ν
–
случ айные
велич ины
,
заданные
на
одном
и
том
ж е
вероятностном
пространстве
;
( )
z
F
ν
-
ф ункция
распределения
ν
;
( )
z
x
p
ν
ξ
-
ус
-
ловная
плотность
распределения
ξ
при
условии
z
=
ν
.
Т ог да
безусловная
плот
-
ность
распределения
ξ
равна
( )
( )
( )
∫
∞
∞
−
=
z
dF
z
x
p
x
f
ν
ν
ξ
0
. (3.4.1)
В
ч астности
,
если
ν
–
дискретная
случ айная
велич ина
со
м нож еством
знач е
-
ний
{
}
N
c
c
c
,
,
,
2
1
K
и
вероятностям и
{
}
{
}
( )
( )
x
f
c
x
p
N
N
i
p
c
P
i
i
i
i
=
∞
≤
=
=
=
ν
ξ
ν
,
,
,
1
:
,
то
(3.4.1)
приним ает
вид
( )
( )
∑
=
=
N
i
i
i
x
f
p
x
f
1
0
. (3.4.2)
М оделирую щ ий
алгоритм
заклю ч ается
в
следую щ ем
:
1.
О пределяется
вспом огатель ная
случ айная
ν
велич ина
так
,
ч тобы
им ело
м есто
(3.4.1)
или
(3.4.2).
2.
М оделируется
ν
;
пусть
z
–
реализация
ν
.
3.
М оделируется
ξ
при
условии
z
=
ν
;
получ аем
x
–
реализацию
случ айной
велич ины
ξ
.
Д ля
ум ень шения
среднего
врем ени
τ
,
затрач иваем ого
на
получ ение
одной
реализации
x
,
случ айную
велич ину
ν
надлеж ит
определять
так
,
ч тобы
ν
и
ξ
при
ф иксированном
ν
достаточ но
быстро
м оделировались
.
Н аиболь ший
практич еский
эф ф ект
дает
непрерывно
-
дискретный
вариант
(3.4.2).
Граф ич ески
(3.4.2)
означ ает
,
ч то
ф иг ура
единич ной
площ ади
( )
( )
{
}
c
x
b
x
f
y
y
x
<
≤
≤
≤
,
0
:
,
0
разбивается
на
N
непересекаю щ ихся
ч астей
с
площ адям и
i
p
.
О сновной
прин
-
12
цип
разбиения
(3.4.2)
заклю ч ается
в
том
,
ч то
ч асти
i
g
,
им ею щ ие
наиболь шую
площ адь
(
наиболь шую
вероятность
i
p
),
долж ны
соответствовать
наиболее
просто
и
быстро
им итируем ым
плотностям
( )
x
f
i
.
О статоч ную
плот
-
ность
( )
( )
( )
∑
∑
=
=
−
=
−
=
5
1
6
6
5
1
0
0
1
,
i
i
i
i
i
p
p
p
x
f
p
x
f
x
f
м ож но
им итировать
м етодом
исклю ч ения
.
3.5.
М о д е
ли ро вани е
гауссо вск о й
случ айно й
ве
ли ч и ны
м е
то д ам и
о братно й
ф унк ци и
и
сум м и ро вани я
Рассм отрим
м оделирование
м етодам и
обратной
ф ункции
и
сум м ирования
гауссовской
случ айной
велич ины
ξ
с
плотность ю
распределения
:
( )
(
)
(
) ( )
(
)
;
,
2
2
exp
,
1
2
1
0
R
x
D
D
x
D
x
n
x
f
∈
−
−
=
=
π
µ
µ
(3.5.1)
где
парам етры
распределения
:
1
R
∈
µ
-
м атем атич еское
ож идание
,
D
-
диспер
-
сия
.
В ведем
в
рассм отрение
стандартную
гауссовскую
случ айную
велич ину
∗
ξ
,
с
плотность ю
( )
1
,
0
1
x
n
.
Л ег ко
убедить ся
,
ч то
D
+
=
µ
ξ
∗
ξ
(3.5.2)
им еет
распределение
(3.5.1).
И споль зуя
соотношение
(3.5.2)
для
м оделирования
ξ
,
обратим ся
к
задач е
м оделирования
∗
ξ
.
И сследуем
три
м етода
м оделирования
∗
ξ
.
Первый
м етод
есть
ч астный
случ ай
м етода
обратной
ф ункции
:
( )
(
)
≤
≤
−
Φ
−
<
<
Φ
=
−
−
∗
,
5
,
0
0
,
1
,
1
5
,
0
,
1
1
α
α
α
α
ξ
(3.5.3)
где
( )
( )
∫
∞
−
=
Φ
z
dx
x
n
z
1
,
0
1
есть
ф ункция
распределения
стандартного
норм аль ного
закона
,
а
( )
⋅
Φ
−
1
–
об
-
ратная
ей
ф ункция
.
В
(3.5.3)
уч тено
известное
свойство
( )
⋅
Φ
:
( )
( )
z
z
Φ
−
=
−
Φ
1
.
В ыраж ение
( )
z
1
−
Φ
ч ерез
элем ентарные
ф ункции
отсутствует
,
поэтом у
ис
-
поль зуется
аппроксим ация
13
( )
( )
θ
θ
θ
θ
−
+
+
+
=
Ψ
≈
Φ
−
2
1
1
04810
,
0
99229
,
0
1
27061
,
0
30753
,
2
z
z
(3.5.4)
с
ошибкой
( )
( )
3
1
1
10
3
−
−
⋅
<
Ψ
−
Φ
z
z
при
9
,
0
<
z
или
( )
( )
3
2
2
2
1
001308
,
0
189269
,
0
432788
,
1
1
01328
,
0
802853
,
0
515517
,
2
θ
θ
θ
θ
θ
θ
+
+
+
+
+
+
−
=
Ψ
≈
Φ
−
z
z
(3.5.5)
с
ошибкой
( )
( )
4
1
1
10
5
,
4
−
−
⋅
<
Ψ
−
Φ
z
z
при
9
,
0
<
z
.
В
соотношениях
(3.5.4), (3.5.5)
1
5
,
0
,
ln
2
<
<
−
=
z
z
θ
.
В торой
м етод
(
м етод
сум м ирования
)
основан
на
централь ной
предель ной
теорем е
.
Е сли
K
,
,
2
1
α
α
–
независим ые
БСВ
,
то
при
∞
→
N
случ айная
велич ина
−
=
∑
=
∗
N
i
i
N
N
1
2
12
α
ξ
(3.5.6)
распределена
асим птотич ески
норм аль но
,
так
ч то
ф ункция
распределения
.
R
z
),
z
(
F
1
*
∈
→
Φ
ξ
Ф орм ула
(3.5.6)
при
некотором
конеч ном
N
и
определяет
м оделирую щ ий
алгоритм
.
Случ айная
велич ина
∗
ξ
,
определяем ая
(3.5.6),
аппроксим ирует
стан
-
дартную
г ауссовскую
случ айную
велич ину
.
О шибка
аппроксим ации
( ) ( )
z
z
F
z
N
Φ
−
=
∆
∗
ξ
max
тем
м ень ше
,
ч ем
боль ше
N
.
Т ретий
м етод
является
м одиф икацией
второго
.
О ч евидно
,
ч то
при
пом ощ и
специаль ного
ф ункциональ ног о
преобразования
из
произволь ной
случ айной
велич ины
,
в
ч астности
∗
ξ
,
м ож но
получ ить
г ауссовскую
.
О днако
это
преобра
-
зование
ч ерез
элем ентарные
ф ункции
не
выраж ается
.
Т ем
не
м енее
среди
эле
-
м ентарных
ф ункциональ ных
преобразований
найдены
такие
,
которые
сущ ест
-
венно
ум ень шаю т
N
∆
.
В
[3]
реком ендовано
ф ункциональ ное
преобразование
(
)
∗
∗
∗
∗
∗
+
−
−
=
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
15
10
13440
41
3
5
2
N
.
3.6.
М о д е
ли ро вани е
гауссо вск о й
случ айно й
ве
ли ч и ны
м е
то д ам и
ф унк ци о нально го
пре
о бразо вани я
,
и ск люч е
ни я
и
супе
рпо зи ци и
Рассм отрим
м оделирование
гауссовской
случ айной
велич ины
ξ
с
плотно
-
сть ю
распределения
(3.5.1)
с
пом ощ ь ю
м етодов
ф ункциональ ного
преобразова
-
ния
,
исклю ч ения
и
суперпозиции
.
14
У ч итывая
(3.5.2),
решим
задач у
м оделирования
стандартной
гауссовской
велич ины
∗
ξ
.
И сследуем
два
м етода
м оделирования
∗
ξ
.
Первый
м етод
–
м етод
ф ункциональ ног о
преобразования
-
основан
на
сле
-
дую щ ем
утверж дении
.
Е сли
2
1
,
α
α
–
независим ые
БСВ
,
то
случ айные
велич ины
(
)
(
)
2
1
2
2
1
1
2
sin
ln
2
2
cos
ln
2
πα
α
ξ
πα
α
ξ
−
=
−
=
∗
∗
(3.6.1)
являю тся
независим ым и
стандартным и
гауссовским и
.
М оделирую щ ий
алго
-
ритм
определяется
ф орм улой
(3.6.1).
В торой
м етод
исполь зует
ком бинацию
м етода
суперпозиции
с
м етодом
ис
-
клю ч ения
.
Представим
∗
ξ
в
виде
νη
ξ
=
∗
, (3.6.2)
где
η
ν
,
–
независим ые
случ айные
велич ины
;
ν
-
бернуллиевая
случ айная
вели
-
ч ина
,
{
} {
}
5
,
0
1
1
=
=
=
−
=
ν
ν
P
P
;
η
-
непрерывная
случ айная
велич ина
с
плотно
-
сть ю
0
,
2
2
2
≥
=
−
y
e
p
y
π
η
. (3.6.3)
Д ля
м оделирования
η
прим еним
м етод
суперпозиции
:
( )
( )
( )
y
f
p
y
f
p
y
p
2
2
1
1
+
=
η
, (3.6.4)
где
6827
,
0
2
,
1
1
0
2
1
1
2
2
≈
=
−
=
∫
−
dy
e
p
p
p
y
π
(3.6.5)
( )
[ ]
( )
( )
[ ]
( )
y
I
e
p
y
f
y
I
e
p
y
f
y
y
∞
−
−
=
=
,
1
2
2
2
1
,
0
2
1
1
2
2
2
1
2
1
π
π
. (3.6.6)
Середина
распределения
( )
(
)
y
f
1
м оделируется
м етодом
исклю ч ения
с
пря
-
м оуг оль ной
м аж орирую щ ей
ф ункцией
( )
[ ]
( )
y
I
p
y
g
1
,
0
1
1
2
1
π
=
. (3.6.7)
15
«Х вост»
распределения
( )
(
)
y
f
2
тож е
м оделируется
м етодом
исклю ч ения
,
прич ем
предваритель но
исполь зуется
вспом огатель ное
преобразо
-
вание
(
)
(
)
2
1
exp
2
η
ψ
−
=
.
Плотность
распределения
для
ψ
:
( )
(
)
1
0
,
ln
2
1
2
1
2
1
2
1
2
≤
<
−
=
−
−
z
z
e
p
z
p
π
ψ
. (3.6.8)
При
м оделировании
ψ
исполь зуем
м етод
исклю ч ения
с
прям оуголь ной
м а
-
ж орирую щ ей
ф ункцией
( )
[ ]
( )
z
I
e
p
z
g
1
,
0
2
1
2
2
2
1
−
=
π
. (3.6.9)
Случ айная
велич ина
η
получ ается
обратным
преобразованием
:
ψ
η
ln
2
1
−
=
. (3.6.10)
Ф орм улы
(3.6.2)
–
(3.6.10)
определяю т
следую щ ий
м оделирую щ ий
алг оритм
.
1.
С
пом ощ ь ю
датч ика
БСВ
ф орм ируется
псевдослуч айное
ч исло
1
α
.
Е сли
5
,
0
1
<
α
,
то
реализация
s
случ айной
велич ины
ν
равна
1
−
=
s
,
инач е
1
=
s
.
2.
Ф орм ируется
ч исло
2
α
.
Е сли
1
2
p
<
α
,
то
выч исляется
1
2
p
α
α
=
′
и
осущ е
-
ствляется
переход
к
шагу
3 (
им итация
( )
y
f
1
),
в
противном
случ ае
–
к
шагу
4
(
им итация
( )
y
f
2
).
3.
Ф орм ируется
ч исло
3
α
.
Е сли
( )
(
)
2
exp
2
3
α
α
′
−
<
,
то
реализация
y
случ ай
-
ной
велич ины
η
равна
:
α
′
=
y
.
В
противном
случ ае
получ аем
4
α
и
проверка
не
-
равенства
повторяется
,
полагая
4
:
α
α
=
′
и
т
.
д
.,
пока
при
некоем
k
α
не
выпол
-
нится
неравенство
.
Переход
к
шагу
6.
4.
В ыч исляется
(
) (
)
1
1
2
1
p
p
−
−
=
′′
α
α
.
5.
Ф орм ируется
ч исло
1
+
k
α
.
Е сли
(
)
2
1
1
ln
2
1
−
+
′′
−
<
α
α
k
,
то
реализация
y
случ айной
велич ины
η
равна
:
α
′′
−
=
ln
2
1
y
.
В
противном
случ ае
получ аем
2
+
k
α
и
проверку
неравенства
повторяем
при
2
:
+
=
′′
k
α
α
и
т
.
д
.,
пока
неравенство
не
выполнится
.
6.
В ыч исляется
реализация
x
c
луч айной
велич ины
∗
ξ
:
sy
x
=
.
Следует
отм етить
,
ч то
велич ины
α
α
′′
′
,
позволяю т
исполь зовать
одно
и
то
ж е
псевдослуч айное
ч исло
на
различ ных
шаг ах
алгоритм а
и
,
следователь но
,
ум ень шаю т
врем я
м оделирования
.