ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.04.2021
Просмотров: 301
Скачиваний: 1
21
При м ер
М о д ели ро вани е
случ айно й
вы бо рк и
,
распре
д е
ле
нно й
по
эк спо не
нци ально м у
зак о ну
Плотность
распределения
вероятностей
)
(
x
f
и
ф ункция
распределения
)
(
x
F
непрерывной
случ айной
велич ины
,
распределенной
по
экспоненциаль ном у
за
-
кону
,
определяю тся
как
,
0
,
)
(
≥
=
−
x
e
x
f
λ
λ
,
0
,
1
)
(
≥
−
=
−
x
e
x
F
λ
где
λ
>0 -
парам етр
распределения
.
Граф ики
ф ункций
)
(
x
f
и
)
(
x
F
,
построенные
при
различ ных
знач ениях
пара
-
м етра
λ
,
приведены
на
рис
.1
и
рис
.2
соответственно
.
λ
3
4
=
λ
2
0.5
=
λ
1
1
=
λ
3
4
=
λ
2
0.5
=
λ
1
1
=
Э кспон е н ци а л ьн а я
ф ун кци я
ра спре де л е н и я
Э кспон е н ци а л ьн а я
плотн ость
ве роятн ости
Рис
.2
Рис
.1
0
2
4
0
0.5
1
F1 z
( )
F2 z
( )
F3 z
( )
z z
,
z
,
0
2
4
0
2
4
f1 z
( )
f2 z
( )
f3 z
( )
z z
,
z
,
F3 z
( )
if z
0
≥
1
e
λ
3
−
z
⋅
−
,
0
,
(
)
:=
F2 z
( )
if z
0
≥
1
e
λ
2
−
z
⋅
−
,
0
,
(
)
:=
F1 z
( )
if z
0
≥
1
e
λ
1
−
z
⋅
−
,
0
,
(
)
:=
f3 z
( )
if z
0
≥
λ
3 e
λ
3
−
z
⋅
⋅
,
0
,
(
)
:=
f2 z
( )
if z
0
≥
λ
2 e
λ
−
2
z
⋅
⋅
,
0
,
(
)
:=
f1 z
( )
if z
0
≥
λ
1 e
λ
1
−
z
⋅
⋅
,
0
,
(
)
:=
Е сли
x -
случ айная
велич ина
,
равном ерно
распределенная
на
отрезке
[0,1],
то
случ айную
велич ину
y,
им ею щ ую
экспоненциаль ное
распределение
с
парам ет
-
ром
λ
,
м ож но
м оделировать
,
исполь зуя
м етод
обратных
ф ункций
,
следую щ им
образом
.
Задается
объем
выборки
, N:=100
и
задается
знач ение
парам етра
распределе
-
ния
,
наприм ер
,
λ
:=1
И з
соотношения
для
ф ункции
распределения
( )
,
0
,
1
≥
−
=
=
−
x
e
x
F
y
x
λ
находим
y:
22
i
0
N
1
−
..
:=
x
i
rnd
1
( )
:=
y
i
ln x
i
( )
−
λ
:=
Знач ения
сф орм ированной
случ айной
выборки
располагаем
в
таблице
:
k
0
9
..
:=
j
0
9
..
:=
A
k j
,
y
k
10
⋅
j
+
:=
A
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1.269
·
10
-3
0.215
0.879
0.431
1.731
0.191
1.24
4.466
0.127 8.963
·
10
-3
0.759
0.921
0.182
0.599
2.087
3.121
0.775
0.62
1.982
1.513
5.743
0.471
1.131 8.856
·
10
-3
0.323
0.887
1.818
0.663
0.914
1.328
0.85
0.164
0.554
0.728
1.392
0.16
0.153
1.181
0.556
3.399
0.166
1.724
1.317
0.328
1.146
1.28
0.131
1.8
0.728
0.638
1.877
0.609
4.072
1.344
0.218
1.829
0.758
1.852
1.072
1.846
0.116
0.377
0.337
0.291 1.621
·
10
-3
1.641
0.236
0.806
0.121
1.395
=
Граф ич еское
изображ ение
знач ений
построенной
случ айной
выборки
приве
-
дено
на
рис
. 3.
0
20
40
60
80
100
0
2
4
6
5.743
1.269 10
3
−
×
y
i
99
0
i
Рис
. 3.
Граф ич еское
изображ ение
знач ений
см оделированной
выборки
.
Осно вны е
ч и сло вы е
харак те
ри сти к и
вы бо рк и
max(y)=5.743
м аксим аль ное
знач ение
;
min(y)=1.269x10
3
−
м иним аль ное
знач ение
;
mean(y)=0.992
выбороч ное
среднее
;
var(y)=0.947
выбороч ная
дисперсия
;
stdev(y)=0.973
выбороч ное
среднеквадратич еское
отклонение
.
Знач ения
выборки
м ож но
располож ить
в
порядке
возрастания
,
исполь зуя
ф ункцию
sort(y)
пакета
Mathcad.
23
По стро е
ни е
ги сто грам м ы
,
по ли го на
ч асто т
,
те
о ре
ти ч еск о й
пло тно сти
распре
д е
ле
ни я
Задается
ч исло
интервалов
разбиения
для
построения
гистограм м ы
,
напри
-
м ер
, r:=10
и
определяется
длина
интервала
:
h
max y
( )
min y
( )
−
(
)
r
:=
О сущ ествляется
разбиение
на
интервалы
:
q
0
r
1
−
..
:=
v
0
min y
( )
:=
v
q
1
+
v
q
h
+
:=
С
исполь зованием
стандартной
ф ункции
пакета
Mathcad
определяется
ч исло
выбороч ных
знач ений
,
попавших
в
каж дый
из
интервалов
v:
Hist
hist v y
,
(
)
:=
.
Гистограм м а
относитель ных
ч астот
находится
как
H
Hist
N h
⋅
:=
Знач ения
Hist
исполь зую тся
и
для
построения
полигона
ч астот
P:=H.
Граф ик
теоретич еской
плотности
распределения
случ айной
велич ины
,
рас
-
пределенной
по
экспоненциаль ном у
закону
с
парам етром
λ
,
м ож ет
быть
по
-
строен
так
,
как
это
показано
выше
,
с
исполь зованием
ф орм улы
f z
( )
if z
0
≥
λ
e
λ
−
z
⋅
⋅
,
0
,
(
)
:=
Граф ич еское
изображ ение
гистограм м ы
H
полигона
ч астот
P
и
кривой
рас
-
пределения
f(z)
приведено
на
рис
. 4.
0
2
4
6
0
0.5
1
1
0
Hist
Pol
f z
( )
5.169
0
v v
,
z
,
Рис
. 4.
Гистограм м а
Hist,
полигон
ч астот
Pol
и
кривая
распределения
f(z).
24
По стро е
ни е
эм пи ри ч е
ск о й
и
те
о ре
ти ч еск о й
ф унк ци й
распре
д е
ле
ни я
Д ля
построения
граф ика
эм пирич еской
ф ункций
распределения
задается
шаг
h:=0.01
и
пределы
изм енения
перем енной
:
z
min y
( )
h
−
min y
( )
,
max y
( )
h
+
..
:=
.
Т еоретич еская
ф ункция
распределения
случ айной
велич ины
,
распределен
-
ной
по
экспоненциаль ном у
закону
с
парам етром
λ
,
м ож ет
быть
построена
так
,
как
это
показано
выше
,
с
исполь зованием
ф орм улы
FT t
( )
if t
0
>
1
e
λ
−
t
⋅
−
,
0
,
(
)
:=
Э м пирич еская
ф ункция
распределения
случ айной
велич ины
,
распределен
-
ной
по
экспоненциаль ном у
закону
с
парам етром
λ
,
м ож ет
быть
построена
сле
-
дую щ им
образом
:
Задается
ч исло
интервалов
разбиения
r:=10
и
определяется
длина
интервала
:
h
max y
( )
min y
( )
−
(
)
r
:=
О сущ ествляется
разбиение
на
интервалы
:
q
0
r
1
−
..
:=
v
0
min y
( )
:=
v
q
1
+
v
q
h
+
:=
.
С
исполь зованием
стандартной
ф ункции
пакета
Mathcad
определяется
ч исло
выбороч ных
знач ений
,
попавших
в
каж дый
из
интервалов
v:
Hist
hist v y
,
(
)
:=
.
H
Hist
N h
⋅
:=
F
0
0
:=
k
1
last H
( )
1
+
..
:=
F
k
F
k
1
−
H
k
1
−
r
+
:=
, -
эм пирич еская
ф ункция
распределения
.
Граф ики
теоретич еской
FT
и
эм пирич еской
F
ф ункций
распределения
при
-
ведены
на
рис
. 5.
0
2
4
0
0.5
1
1.01
0
F
FT t
( )
5
0
v t
,
Рис
. 5.
Граф ики
теоретич еской
F
и
эм пирич еской
FT
ф ункций
распределения
.
25
Исследо вани е
зави си м о сти
ви д а
ги сто грам м ы
о т
о бъе
м а
вы бо рк и
при
ф и к си ро ванно м
ч и сле
и нтервало в
разби е
ни я
И сследуем
зависим ость
вида
гистог рам м ы
от
объем а
выборки
при
ф икси
-
рованном
ч исле
интервалов
разбиения
.
Д ля
этого
сф орм ируем
три
выборки
разного
объем а
,
заф иксировав
ч исло
интервалов
разбиения
,
и
построим
для
ка
-
ж дой
из
выборок
гистограм м у
так
,
как
это
описано
выше
.
Получ енные
гисто
-
грам м ы
изображ ены
на
рис
. 6.1
–
рис
.6.3.
j2
0
k
2
1
−
..
:=
j3
0
k
3
1
−
..
:=
v1
0
min x1
(
)
:=
v2
0
min x2
(
)
:=
v3
0
min x3
(
)
:=
v1
j1
1
+
v1
j1
h1
+
:=
v2
j2 1
+
v2
j2
h2
+
:=
v3
j3
1
+
v3
j3
h3
+
:=
H1
hist v1 x1
,
(
)
:=
H2
hist v2 x2
,
(
)
:=
H3
hist v3 x3
,
(
)
:=
Hist1
H1
n
1
h1
⋅
:=
Hist2
H2
n
2
h2
⋅
:=
Hist3
H3
n
3
h3
⋅
:=
0
2
4
0
0.5
1
Hist1
v1
0
2
4
0
0.5
1
Hist2
v2
0
2
4
0
0.5
1
Hist3
v3
Рис
.6.1
Рис
.6.2
Рис
.6.3
О бъем
выборки
20,
ч исло
интервалов
25.
О бъем
выборки
200,
ч исло
интервалов
25.
О бъем
выборки
2000,
ч исло
интервалов
25.
λ
1
:=
По стро ени е
ги сто грам м
д ля
разли ч ны х
о бъем о в
вы бо рк и
при
ф и к си ро ванно м
ч и сле
и нтервало в
разби ени я
Ч
исла
интервалов
разбиения
k
1
25
:=
k
2
25
:=
k
3
25
:=
О бъем ы
выборок
n
2
200
:=
n
3
2000
:=
n
1
20
:=
i3
0
n
3
1
−
..
:=
i2
0
n
2
1
−
..
:=
i1
0
n
1
1
−
..
:=
y
i3
rnd 1
( )
:=
y
i2
rnd 1
( )
:=
y
i1
rnd 1
( )
:=
x2
i2
ln 1
y
i2
−
(
)
−
λ
:=
x3
i3
ln 1
y
i3
−
(
)
−
λ
:=
x1
i1
ln 1
y
i1
−
(
)
−
λ
:=
h1
max
x1
(
)
min x1
(
)
−
k
1
:=
h2
max
x2
(
)
min x2
(
)
−
k
2
:=
h3
max
x3
(
)
min x3
(
)
−
k
3
:=
j1
0
k
1
1
−
..
:=
Иссле
д о вани е
зави си м о сти
ви д а
ги сто грам м ы
о т
ч и сла
и нте
рвало в
разби ени я
при
ф и к си ро ванно м
о бъе
м е
вы бо рк и
И сследуем
зависим ость
вида
г истог рам м ы
от
ч исла
интервалов
разбиения
при
ф иксированном
объем е
выборки
.
Д ля
этого
построим
гистограм м ы
с
раз
-
лич ным
ч ислом
интервалов
разбиения
,
предваритель но
заф иксировав
объем
выборки
,
и
построим
для
каж дой
из
выборок
г истог рам м у
так
,
как
это
описано
выше
.
Получ енные
гистограм м ы
изображ ены
на
рис
. 7.1
–
рис
.7.3.